精品解析：新蔡县第一高级中学2025-2026学年高一卓越部下学期期中模拟数学试卷

新蔡一高高一卓越部期中模拟卷（数学） 一、单选题 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解作答. 【详解】命题“”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“”的否定是：. 故选：D 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示可求得. 【详解】因为，，且，所以，解得. 故选：C. 3. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，向量，满足，，， 所以， 则在上的投影向量为. 4. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊点法判断即可. 【详解】因为， 所以，故排除C； ，故排除B； 而， 所以在不可能单调递减，故排除D； 因为排除了BCD，而A又满足上述性质，故A正确. 故选：A. 5. 已知函数，若把的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于点对称，则ω的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移写出函数解析式，可得，运算得，得解. 【详解】由题意，平移后函数解析式为， 由题意得，， 解得，，且， 当时，. 故选：A. 6. 已知函数有且仅有3个零点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得函数为奇函数，在上有且只有1个零点，然后利用零点存在定理可得不合题意，当时利用数形结合可得适合题意，进而即得答案. 【详解】因为 所以， 故为奇函数，且为的零点，所以在上有且只有1个零点， 又，，， 故零点均位于区间内， 当时，，，故存在使得， 又，故存在使得， 所以在上至少存在两个零点，故不符合题意； 当时，由，可得， 作出函数与函数的大致图象， 由图形可知函数与函数的有3个交点，即函数有且仅有3个零点，适合题意， 所以的最大值为4. 故选：C． 7. 已知函数的图象在区间上与轴有2024个交点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出方程的根，再找到取最小值时的零点,求得结果即可. 【详解】由得， 解得或， 所以或， 令,,,,, ,,当,时， 取最小值，最小值为. 故选：A. 8. 已知函数的图象与y轴的交点为，与x轴正半轴最靠近y轴的交点为，轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为（B位于M与N之间），若的面积为10（其中O为坐标原点），则函数的最小正周期为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由的面积求出，再通过代入，求出，再由即可求出周期. 【详解】由题意，作图如下： 因为， 所以，所以， 因为图象与y轴的交点为， 所以，即， 因为，所以， 所以， 又因为图象最靠近y轴的与x轴正半轴的交点为， 所以，所以， 所以，所以. 故选：C. 二、多选题 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则即可判断ABC，根据数量积的定义判断D. 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D， ，D错误. 故选：AB 10. 已知是三个向量，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若与共线，则或 【答案】AC 【解析】 【分析】由向量的共线的定义、数量积以及模的定义即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，让，不共线，则有，但不成立，故B错误； 对于C，若，则，即，所以同向，即，故C正确； 对于D，若与共线，则同向或反向，但它们的模长不一定相等，故D错误. 故选：AC. 11. 下列选项正确的是（ ） A. 若锐角的终边经过点，则 B. 中，“”是“是钝角三角形”的充要条件 C. 函数的对称中心是 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用三角函数定义及诱导公式可判定A，利用余弦函数的性质，三角形内角的范围结合充分必要条件的定义可判定B，利用正切函数的性质可判定C，利用诱导公式可判定D. 【详解】对A：利用三角函数定义可知，且，所以，故A正确； 对B：在中，由可知为钝角，满足充分性， 而是钝角三角形，并不能确定哪个内角为钝角，不满足必要性，故B错误; 对C：令， 知函数的对称中心是，故C错误； 对D：根据诱导公式，故D正确. 故选：AD 三、填空题 12. 已知，，且，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据模长公式即可代入求解. 【详解】由，得，将，代入得，解得. 故答案为：2 13. 已知为单位向量，若的夹角为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积求出，可得. 【详解】，的夹角为， 则有， 所以． 故答案为： 14. 已知平面向量满足，则的最大值为_____. 【答案】30 【解析】 【分析】根据向量模的几何意义构造几何图形，再根据向量数量积的公式，结合图形，即可求解. 【详解】设，则， 由，则，， 故 点在以为圆心3为半径的圆周上，点在以为圆心，2为半径的圆周上，如图所示， 而， 由图可知，当三点共线，在如图所示的位置时， 有最大值有最大值5，此时取最大值1， 所以的最大值为30. 故答案为：30 四、解答题 15. 已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义先计算出的值，然后利用齐次式的运算化简原式，代入的值即可求解； （2）利用诱导公式直接化简原式，然后代入的值即可求解. 【小问1详解】 ∵角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点， ∴，∴. 【小问2详解】 . 16. 在中，点分别在边和边上，且，，交于点，设，． （1）试用，表示； （2）在边上有点，使得，求证：三点共线． 【答案】（1） （2） 由，得， 所以， 所以， 因为与有公共点B， 所以B，P，F三点共线． 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解； （2）利用向量的线性运算及共线向量基本定理即可求解. 【小问1详解】 设，由题意， 所以，①， 设，由，，②， 由①、②得，， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 略 17. 如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅锤平面内，在点A 测得，，在点 B 测得，，，测得. （1）求点A 和点 N 之间的距离； （2）求两山顶M，N间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在里，已知两角一边，先由三角形内角和求出，再用正弦定理算出  （2）在中，根据已知两角求出，再用正弦定理算出在中，已知，用余弦定理算出，再开方得 【小问1详解】 由题意可得，，所以 在中，根据正弦定理可知 所以 则 【小问2详解】 在中，，所以， 由正弦定理可得 则. 在中，， 由余弦定理得 ， 所以 故两山顶M，N间的距离为 18. 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若． ①求证：是等腰三角形； ②已知的面积为9，点满足，求线段AD的最小值； （2）对于，若存在，使得，则称为的伴随三角形．若存在伴随三角形，求出三个内角中的最大值． 【答案】（1）①由， 可得， 由正弦定理得， 由余弦定理可得， 所以，即得， 所以是等腰三角形； ②4 （2） 【解析】 【分析】（1）化简条件结合正弦定理及余弦定理得到，即可判断；由得，利用面积公式可得，利用余弦定理和基本不等式，即可得出答案. （2）由题意，根据诱导公式可得，，结合三角形内角和计算即可求解. 【小问1详解】 ①略 ②由，有， 所以， 由余弦定理得出，又， 所以，， 因为由，得， 所以， 所以 当且仅当时，取等号成立， 所以的最小值为． 【小问2详解】 对于一般情况有或， 若， 由，得， 得，与矛盾，不合题意舍； 不妨设， 由，得， 得， 根据三角形内角和可得， 所以，解得． 19. 在平面直角坐标系中，横､纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列与，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同：②，其中，则称与互为正交点列. （1）求的正交点列； （2）判断是否存在正交点列？并说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由：由题可得， 设点列是点列的正交点列， 则可设 因为与与相同，所以有 因为得方程，显然不成立， 所以有序整点列不存在正交点列. 【解析】 【分析】（1）由正交点列的定义可知，设，由正交点列的定义可知，求解即可. （2）设点列是点列的正交点列，则可设因为与与相同,即可得出结论. 【小问1详解】 设点列的正交点列是， 由正交点列的定义可知， 设， 由正交点列的定义可知， 即，解得 所以点列的正交点列是. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡一高高一卓越部期中模拟卷（数学） 一、单选题 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 3. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若把的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于点对称，则ω的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知函数有且仅有3个零点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知函数的图象在区间上与轴有2024个交点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象与y轴的交点为，与x轴正半轴最靠近y轴的交点为，轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为（B位于M与N之间），若的面积为10（其中O为坐标原点），则函数的最小正周期为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 二、多选题 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是三个向量，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若与共线，则或 11. 下列选项正确的是（ ） A. 若锐角的终边经过点，则 B. 中，“”是“是钝角三角形”的充要条件 C. 函数的对称中心是 D. 若，则 三、填空题 12. 已知，，且，则______. 13. 已知为单位向量，若的夹角为，则__________． 14. 已知平面向量满足，则的最大值为_____. 四、解答题 15. 已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. （1）求的值； （2）求. 16. 在中，点分别在边和边上，且，，交于点，设，． （1）试用，表示； （2）在边上有点，使得，求证：三点共线． 17. 如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅锤平面内，在点A 测得，，在点 B 测得，，，测得. （1）求点A 和点 N 之间的距离； （2）求两山顶M，N间的距离. 18. 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若． ①求证：是等腰三角形； ②已知的面积为9，点满足，求线段AD的最小值； （2）对于，若存在，使得，则称为的伴随三角形．若存在伴随三角形，求出三个内角中的最大值． 19. 在平面直角坐标系中，横､纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列与，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同：②，其中，则称与互为正交点列. （1）求的正交点列； （2）判断是否存在正交点列？并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $