专题强化4：随机变量及其分布解答题【六大题型 】训练-2025-2026学年高二下学期数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版选择性必修第三册）

专题强化4：随机变量及其分布解答题 【题型归纳】 · 题型一：条件概率与全概率公式模型 · 题型二：离散型随机变量的应用 · 题型三：二项分布 · 题型四：超几何分布 · 题型五：正态分布 · 题型六：随机变量及其分布与其他知识交汇问题 【题型探究】 题型一：条件概率与全概率公式模型 【典例1】．（25-26高二上·河南驻马店·期末）某校组织趣味知识竞赛，共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，若两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响.设甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，. (1)甲、乙同时回答1道题时，分别求乙得10分、0分和分的概率； (2)求比赛结束后乙获胜的概率； (3)求在乙获胜的条件下，乙恰好得10分的概率. 【答案】(1); ; ; (2) (3) 【详解】（1）记回答1道题时，乙的得分为， 则， ， ， 即乙得 10 分、0 分、分的概率分别为，， . （2）根据条件，比赛结束后乙获胜时，乙的总得分可能为30分，20分，10分，对应的事件分别记为，，，乙获胜记为事件，则 因此. （3）由条件得： 【变式1】．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）高二年级某班在元旦联欢时设计了一个抽奖环节，抽奖箱里有3个黑球和2个红球，每位同学从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回抽奖箱中，奖励幸运礼品一份；下一位同学在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第个抽奖同学获得第1份幸运礼品”记为事件，设“第个抽奖同学获得第2份幸运礼品”记为事件. (1)求和； (2)求第位同学恰好获得第2份幸运礼品的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式和条件概率公式求解可得； （2）根据相互独立事件的概率乘法公式求出，然后利用全概率公式，结合等比数列求和公式可得. 【详解】（1）由题意，表示第一个同学取出红球，第二个同学取出黑球，第三个同学取出红球， 表示第一个同学取出黑球，第二、三个同学取出红球， 表示在第三个同学获得第二个幸运礼品的情况下，第二个同学获得第一个幸运礼品的概率， 所以，， 因为， 所以； （2）第个同学获得第1份幸运礼品，第个同学获得第2份幸运礼品的概率为： ， 因为， 所以第个同学获得第2份幸运礼品的概率为： ， ， 所以第个抽幸运奖同学获得第二份幸运礼品的概率为. 【变式2】．（2026·湖南·二模）为激发学生对体育的热爱，某校开展体育知识竞赛活动．甲、乙、丙三人参加比赛，有问题1、问题2两道题，其中问题1为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙、丙三人抢到的概率均为，问题2为必答题，甲、乙、丙三人都要回答；已知甲能正确回答问题1、问题2的概率分别为和，乙、丙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响． (1)求问题1回答正确的概率； (2)记能正确回答问题2的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) X 0 1 2 3 P ，. 【分析】（1）根据条件概率公式，结合全概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可. 【详解】（1）解：设“甲抢到问题1”为事件A，“乙抢到问题1”为事件B，“丙抢到问题1”为事件C，“问题1被回答正确”为事件D，由题意知： ， 由全概率公式得： . （2）由题意知：X的可能取值为0,1,2,3， 则有， ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则. 题型二：离散型随机变量的应用 【典例2】．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3∶2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． (1)求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； (2)小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，求随机变量X的数学期望和方差； (3)现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)； (3) Y 2 3 4 5 P ； 【分析】（1）根据全概率公式即可求解； （2）判断随机变量，根据二项分布的期望；方差公式即可求解； （3）确定随机变量Y的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，求得期望. 【详解】（1）设事件A为：买到新款盲盒，事件B为：买到旧款盲盒，事件C为：盲盒中出现“隐藏款”， 则， 则； （2）每个盲盒是否开出隐藏款相互独立，每个盲盒开出隐藏款的概率为​， 因此随机变量， 根据二项分布的期望、方差公式： 得，； （3）当拆出全部2个隐藏款或全部4个常规款时，即可确定所有盲盒类型，停止抽取， 因此Y的可能取值为2，3，4，5， 隐藏款的位置共有种等可能情况， 计算概率得：（前2个均为隐藏款）, （第二个隐藏在第3位，前2位有1个隐藏）, （第二个隐藏在第4位，或前4个均为常规款）， （剩余所有情况）， Y的分布列为： Y 2 3 4 5 P 数学期望：. 【变式1】．（2026高三下·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》．某地为响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表： 单个家庭生育婴儿数 1 2 3 补贴方案 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年 补贴方案 每月补助1000元，共补贴3年 通过人口普查，可近似估计该地单个家庭生育婴儿的数量与概率如表： 单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3 概率 由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在的情况． (1)若采用补贴方案，随机选取一家庭，若该家庭的补助不低于1100元／月，求该家庭共生育2个婴儿的概率； (2)试从均值的角度讨论哪套补贴方案的补助额更高； (3)若采用补贴方案的概率为，采用补贴方案的概率为，记单个家庭每月收到的补助额为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)方案B的补助额更高 (3)的分布列为 X 0 300 1000 1100 2600 P 的期望为. 【分析】（1）求出事件“补贴方案中，一家庭的补助不低于1100元/月”和事件“一家庭共生育2个婴儿”与事件M的交事件的概率，即可由条件概率公式计算得解； （2）分别求出方案每月获得的补助额的期望值即可得解； （3）求出随机变量的所有取值和相应概率即可求分布列，再由期望计算公式计算期望即可得解. 【详解】（1）记事件“补贴方案中，一家庭的补助不低于1100元/月”，事件“一家庭共生育2个婴儿”， 则， 所以选取的该家庭的补助不低于1100元/月条件下该家庭共生育2个婴儿的概率为； （2）设采用补贴方案每月获得的补助额为，则， 故由题可得， 采用补贴方案每月获得的补助额为，则， 因为，所以方案B的补助额更高； （3）由题可得， 且，， ，， ， 所以的分布列为 X 0 300 1000 1100 2600 P 所以的期望为. 【变式2】．（25-26高二下·福建厦门·月考）2025年端午期间，某百货公司举办了一次有奖促销活动，顾客消费满600元（含600元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（只能选择其中的一种）. 方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，有放回摸出3个球，每摸到1次红球，立减200元. 方案二：从装有10个形状，大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，不放回摸出3个球，中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折；其余情况不打折. (1)某顾客恰好消费600元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望； (2)若顾客消费1000元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理？ 【答案】(1)分布列为： 0 200 400 600 (2)方案一 【详解】（1）设实付金额为元 顾客消费600元，方案一为有放回摸出3个球，每摸到1次红球，立减200元. 摸到红球的次数可能为0，1，2，3次，对应实付金额的取值为： 摸到0次红球：元，摸到1次红球：元， 摸到2次红球：元，摸到3次红球：元， 的可能取值为0，200，400，600. 有放回摸球，红球2个，黑球8个 每次摸到红球的概率为，摸到黑球的概率为 ， ， 故的分布列为 0 200 400 600 (元). （2）(1)若选择方案一，设摸到红球的个数为，实付金额为，则 由已知可得，则 (元). (2)若选择方案二，设实付金额为，则的可能取值为0，500，750，1000. ， ， 故的分布列为 0 500 750 1000 (元). ， 从实付金额的期望值分析顾客选择方案一更合理 题型三：二项分布 【典例3】．（25-26高二下·山西·月考）聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 【答案】(1) (2)的分布列为，当最大时． 【分析】（1）先定义“输入的问题没有语法错误”、“一次应答被采纳” 两个事件，明确已知概率后，直接套用全概率公式，分“无错采纳” 和“有错采纳” 两类情况相加即可． （2）依据 “次独立重复试验+固定成功概率” 判定服从二项分布，列出分布列；最后通过计算相邻概率比值，解不等式找到单调区间，确定概率最大时的值 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件， 由题意，，，则 ， ． （2）依题意，， 所以的分布列为， 当最大时，有 即， 解得，， 故当最大时，． 【变式1】．（2026·贵州黔东南·模拟预测）某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10元；若零件不合格，则亏损20元.已知每件该零件第一次检测合格的概率为，第二次检测合格的概率为，且每件零件是否合格相互独立. (1)求检测3件该零件，至少有2件合格的概率； (2)已知一箱中有4件该零件，记这箱零件总获利元，求的分布列与期望. 【答案】(1)； (2) ，. 【分析】（1）求出随机检测1件该零件合格的概率，利用独立事件的乘法求解； （2）求出的所有可能取值，分别求出的每个可能取值的概率，列出分布列，利用分布列求出期望. 【详解】（1）由题意可得随机检测1件该零件合格的概率是， 则检测3件该零件，至少有2件合格的概率是. （2）由题意可知X的所有可能取值为，，，10，40. ， ， ， ， ， 则X的分布列为 故. 【变式2】．（2026·山东枣庄·二模）某人工智能实验室要对一款新型学习智能体进行轮测试（每轮测试的结果相互独立），每轮测试中智能体会随机接受类与类任务中的一个．已知该智能体每轮成功完成类任务的概率均为，每轮成功完成类任务的概率均为．成功完成一次类任务得1分，成功完成一次类任务得2分，不成功均得0分．记智能体在第1轮测试后的得分为． (1)求的分布列； (2)记智能体经过2轮测试后的总得分为，求； (3)每轮测试中智能体成功完成类或类任务就称为“过关”．记轮测试中智能体过关的次数为，求和． 【答案】(1)分布列为： 0 1 2 (2) (3)， 【分析】（1）根据题意求出对应随机变量的概率，得到分布列； （2）根据条件概率公式求解即可； （3）利用二项分布的期望、方差公式求解即可. 【详解】（1）的可能取值为， ， ，， 所以分布列为： 0 1 2 （2）由（1），，, 所以. （3）由题意，， 所以， 所以，, 题型四：超几何分布 【典例4】．（2026·山西运城·一模）一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． (1)若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率； (2)现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 数学期望为1 【详解】（1）单个志愿者需要两项培训考核都合格才通过，且两次培训考核独立， 因此单个志愿者通过培训考核的概率为， 则单个志愿者没有通过培训考核的概率为. 因为“至少有1人通过”的对立事件为“两人都没有通过”， 因此所求概率. （2）由题意，服从超几何分布，的所有可能取值为， 概率公式为， 分别计算概率得，， ，， 因此的分布列为： 所以数学期望为. 【变式1】．（25-26高二上·北京昌平·期末）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图： (1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？ (2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较，的大小.（只需写出结论） 【答案】(1)甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为2人，乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为4人 (2)分布列见详解，的数学期望为2 (3) 【分析】（1）根据频率即可直接求得甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生人数； （2）记从乙班抽到的学生人数为，由题得随机变量符合超几何分布，则有，即可求，再计算均值即可. （3）从频率分布直方图，我们可以得到甲班的数据比较集中，乙班的数据比较分散，这说明甲班的离散程度小，数据波动小，方差也小，乙班的离散程度大，数据波动大，方差也大，故可得. 【详解】（1）甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为人， 乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为人. （2）两个班级每天学习时间不超过4小时的学生人数共有6人，记从乙班抽到的学生人数为，易得随机变量符合超几何分布，的取值为 则有， 则，，， 则分布列为： 1 2 3 0.2 0.6 0.2 则，即的数学期望为2. （3）根据频率分布直方图，可以观察到甲班每天学习时间较为集中，乙班学习时间较为分散，故可得乙班数据波动较大，方差较大，则有. 【变式2】．（2025·重庆·模拟预测）某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响. (1)已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； (2)记小王总得分为. （i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望； （ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量） 【答案】(1)小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略 (2)（i）分布列见解析；；（ii）当时，无论小王如何调整A、B组题目数量，其总得分X的期望均为20分；理由见解析 【分析】（1）小王两组题目均有选择的方案有两种，1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目，分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，，求得，，可得结论； （2）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，，（i）由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为，利用超几何分布求得分布列，可求数学期望；（ii）设小王选择的3个题目中A组题目数量为，B组题目数量为，其中，则服从超几何分布，，计算数学期望可得结论. 【详解】（1）小王两组题目均有选择的方案有两种， 1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目， 分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，， ， ， 因为，所以， 以至少答对1个题目的概率为依据，小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略. （2）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，， （i）由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为， 则，，， 故的分布列为： 10 20 30 故， （ii）设小王选择的3个题目中组题目数量为，组题目数量为，其中， 则服从超几何分布，，，， ， 当时，的值与无关， 即当时，无论小王如何调整组题目数量，其总得分的期望均为20分. 题型五：正态分布 【典例5】．（2026·新疆·模拟预测）某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为X，求X的分布列； (3)由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率. ［参考数据：；若，则，，］ 【详解】（1）由频率分布直方图易知，， 解得， 由图知的频率为0.04，的频率为， 的频率为0.54， ∴获奖学生最低分数线落在内，不妨设为x， 则，解得， ∴估计获奖学生的最低分数线为76分. （2）由图可知，与的频率之比是， 根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取3人，在内抽取4人，在内抽取1人. 则X的可能取值为0，1，2， 易知，，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P （3）易知平均值为， 即可得， ∴. 【变式1】．（24-25高二下·广东潮州·月考）为提升工作效率，公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为，求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，M公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1) (2)317 (3)分布列见解析， 【分析】（1）由题及对立事件概率性质可得答案； （2）由正态分布性质结合题意可得答案； （3）由题可得X的所有可能取值为0，800，1600，2400，然后可得分布列及对应期望. 【详解】（1）分别记甲、乙、丙培训合格为事件A，B，C， 则甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率： . （2）由已知得的近似值为90，的近似值为3， 所以 而， 所以估计这些员工中成绩超过93分的人数为317. （3）X的所有可能取值为0，800，1600，2400. 且，， ，. 所以的分布列为 0 800 1 600 2 400 【变式2】．（2025·广东广州·三模）为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示. (1)用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数； (2)将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量，求的数学期望； (3)从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率. 参考数据：若，则，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平均数的计算公式求解即可； （2）根据正态分布的对称性求解，然后根据二项分布的期望公式求解期望即可； （3）根据分层抽样、条件概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意有， 所以估计此次知识竞赛成绩的平均数为； （2）由题意有，因为，即，所以， 由题意得抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数服从二项分布，即，所以， 所以抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为； （3）由频率分布直方图有：分数在和的频率分别为和， 按照分层抽样，抽取10份，其中在应抽取份，分数应抽取份， 令事件抽取3份试卷来自不同区间，事件取出的试卷有2份来自区间， 所以， 所以. 所以抽测3份试卷有2份来自区间的概率为. 题型六：随机变量及其分布与其他知识交汇问题 【典例6】．（25-26高二下·湖南长沙·月考）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现同时从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，甲口袋中恰有3个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，没有黑球的概率为． (1)求，，，； (2)求与的递推关系式； (3)求随机变量的数学期望．（用n表示） 【答案】(1)，，， (2) (3)． 【分析】（1）根据操作，利用古典概型的概率计算公式，直接求值即可. （2）根据操作，先表示出，再结合，即可探索与的递推关系. （3）令，根据（2）的结论，可求数列的通项公式，再由随机变量的分布列，求随机变量的数学期望． 【详解】（1），，，． （2）由题可知， ， ， ， ， 且有， 则 ， 即． （3）令，由（2）有，， ，，即是首项为，公比为的等比数列， 因此，， 则的分布列为 0 1 2 3 P 故． 【变式1】．（2026·陕西渭南·模拟预测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． (1)求甲获得3分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 【答案】(1)； (2)随机变量的分布列为： ； (3)①；②当时，取得最大值. 【分析】（1）甲获得3分，有和获胜两种情况，根据事件的相互独立性和互斥事件的加法即可求解； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式计算； （3）①先求出的表达式，再得到的表达式，即可比较大小； ②通过换元，令，结合二次函数的图像性质及复合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立． 所以甲以获胜的概率为， 甲以获胜的概率为， 所以甲获得3分的概率为； （2）由题意可知，随机变量为甲的总得分，其所有可能取值为、、、， 若，即甲、乙获胜的概率都是， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以； （3）①由题意，，， 所以 ， 则， 所以； ②由①可得，， 令，， 因为，可得恒成立，所以单调递增， 又当时，取得最大值，即， 所以， 即当时，取得最大值. 【变式2】．（25-26高三上·广西·期末）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （ⅰ）求关于p的函数表达式； （ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数） 【答案】(1)分布列见解析，80.8 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析，时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元． 【分析】（1）依题意确定X的可能取值，并利用独立事件的概率乘法公式计算出对应的概率，列出分布列并计算出数学期望； （2）（ⅰ）分别求出支付金额的期望与优惠券成本的期望，代入期望利润的公式，计算即得；（ⅱ）利用求导判断的单调性，即可证明在内存在唯一极大值点，进而求得期望利润的最大值. 【详解】（1）由题可知，X的可能取值为100，90，80，70，60， ，， ，， ． 分布列为： X 100 90 80 70 60 P 0.2 0.24 0.16 0.24 0.16 数学期望为：． （2）（ⅰ）∵期望利润＝购买概率×（支付金额的期望－商品成本）－优惠券成本的期望， 则支付金额的期望为： ； 优惠券成本的期望为 ． ∴ ． （ⅱ） 令．解得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； ∴在内存在唯一极大值点， 又， ∴当时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元． 【专题强化】 1．（25-26高二下·北京·月考）全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 【答案】(1)乙获得执业医师证书的可能性最大，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，计算甲乙丙获得执业医师证书的概率，比较大小，即可得解. （2）分三种情况，结合互斥事件的概率加法公式以及独立事件的乘法公式，即可得解. 【详解】（1）记甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”依次为事件，在医学综合笔试中“合格”依次为事件. 因为所有考试是否合格互不影响，所以与，与，与相互独立. 因此甲获得执业医师证书的概率； 乙获得执业医师证书的概率； 丙获得执业医师证书的概率， 所以. 故乙获得执业医师证书的可能性最大. （2）记甲、乙、丙三人获得执业医师证书依次为事件，则，，. 由于事件相互独立，则恰有两人获得执业医师证书的概率 . 故有两人获得执业医师证书的概率为. 2．（25-26高二下·江苏南京·月考）甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回， ①求取出的2个球中至少有一个红球的概率； ②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率； (2)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①设“所取到的2个球中至少有一个红球”为事件，结合古典概型的概率公式和对立事件的概率公式，可求解；②由缩小样本空间求条件概率的方法可求得所求概率； （2）设“从甲袋中取到红球”为事件，“从乙袋中随机取2个球，取到的2个球中恰有1个红球”为事件，根据条件概率公式及全概率公式，可得所求概率. 【详解】（1）①设“所取到的2个球中至少有一个红球”为事件，则表示取到的2个球全是白球， 由题可知，， 所以，即取出的2个球中至少有一个红球的概率为； ②第1次取到白球，则在第1次取球后，甲袋中有2个红球，2个白球， 所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为. （2）设“从甲袋中取到红球”为事件，则. 设“从乙袋中随机取2个球，取到的2个球中恰有1个红球”为事件， 则，. 所以. 3．（25-26高二下·江苏盐城·月考）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为，猜对得奖金元；猜对谜语的概率为，猜对得奖金元．若规定第一道谜语猜错没有奖金，只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择． (1)求张某猜对两道谜语的概率； (2)张某选择先猜哪一道谜语，使获得奖金的数学期望最大？（张某先猜获得的奖金为元，先猜获得奖金为元） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析两个事件之间的独立关系，利用独立事件概率公式计算； （2）列出两种情况的所有可能的奖金取值，列出对应概率，求解数学期望比较即可. 【详解】（1）设猜对第一道谜语为事件,猜到第二道谜语为事件, 两道谜语猜对为独立事件， 因此猜对两道谜语的概率. （2）① 先猜A，奖金为 的可能取值为，对应概率： ， ， ， 期望. ② 先猜B，奖金为， 的可能取值为，对应概率： ， ， ， 期望， 因为，因此先猜的期望更大. 4．（25-26高二下·宁夏银川·月考）某文创店为推广非遗手作产品，推出消费抽奖优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动规则如下：抽奖箱内放置3个红球和2个白球，每次从箱中随机抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元，按活动规则每满300元可参加一次抽奖，剩余金额不足300元不参与抽奖，记顾客B获得的返现总金额为随机变量． ①求顾客B获得返现金额为90元的概率； ②若该文创店同时推出购物享九折的优惠活动（直接减免消费总金额的10%），且两种优惠活动不能同时参加，试通过计算说明顾客B选择哪种优惠方案更划算． 【答案】(1) 20 30 50 数学期望为29 (2)①；②选打折 【分析】（1）先求出随机变量的所有取值，再求出其概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）①顾客B抽奖三次，获得90元返现的情况有两种：三次返现均为30元，或者一次返现50元、两次返现20元，计算这两种情况的概率之和即可； ②对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）由题知，随机变量的可能取值为. 则，. 分布列如下： 20 30 50 . （2）①根据题意得消费1000元可以抽3次，返现金额为90元. 获得90元返现的情况有两种：三次抽奖的返现金额均为30元；或其中一次返现50元、两次返现20元. 因此 ②九折省100元，抽奖期望，选打折. 5．（2026·陕西·模拟预测）2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】(1) (2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算，理由见解析 【分析】（1）先求出顾客享受到免单优惠的概率，再根据独立事件的概率乘法公式求解即可. （2）结合离散型随机变量及二项分布的期望公式分别求出方案一、方案二的数学期望，比较即可. 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 设顾客享受到免单优惠为事件，则. 所以两位顾客均享受免单优惠的概率为. （2）若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，500，700，1000. ，， ，. 所以（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由题意知，，故. 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 6．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 【答案】(1)的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. (2)655（人） (3)115 【分析】（1）根据正态分布的概念即可求解； （2）根据正态分布的对称性求出成绩在区间内的学生的概率，然后再求人数即可； （3）由题意可得，即满足题意. 【详解】（1） 由题意，样本平均分为105分，样本方差为100，因此的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. （2），， 所以成绩在区间内的学生的概率， 故成绩在区间内的学生的人数为(人). （3）由题意，获奖人数占总人数，即，因此， 根据参考数据：，满足要求， 而，因此. 7．（25-26高二下·贵州遵义·月考）某校在一次数学活动期间为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有1000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)活动期间学校开放号门、号门和号门供学生出入，学生从号门、号门和号门进入学校的概率分别为，，，若学生从某个门进入学校，则其从该门出学校的概率为，从其他两个门出学校的概率各为．假设学生从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲乙丙丁名学生参加活动，设X为人中从号门出学校的人数，求X的期望及方差． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）利用所有矩形面积和为列出方程，求出参数；从高分段累计频率，定位分数线所在区间，列方程求解前30%对应的最低分； （2）利用全概率公式，分从号门、号门和号门进入学校三种情况，计算出从号门出校门的总概率；判定服从二项分布，直接用公式计算期望和方差求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得. 成绩在的频率为； 成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 规定成绩较高的前的学生获奖,因为，， 所以分数线在内. 设最低分数线为，则，解得， 因此获奖学生的最低分数线为. （2）设事件表示从号门进入学校（），事件表示从号门出学校， 由全概率公式可得， 又已知，，，，，， 所以. 因为为名学生中从号门出学校的人数，每名学生相互独立， 所以服从二项分布，即， 由二项分布的期望和方差可得，，因此X的期望为，方差为. 8．（25-26高二下·福建三明·月考）某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可. （2）利用贝叶斯公式计算求解即可. （3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得. 【详解】（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为， 则且两两互斥， 依题意，，， 且， 由全概率公式得. （2）由贝叶斯公式，得所求概率为. （3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立， 从而选择篮球的概率为， 当时，由全概率公式，得的递推关系为， 而，，化简得，. 9．（25-26高二下·上海松江·月考）乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜，比赛结束.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球甲同学得分的概率为，且对以后的每一球，若甲同学在这一球中得分，则他在下一球的得分概率为，若甲同学在这一球中未得分，则他在下一球的得分概率为． (1)求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率； (2)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和期望． 【答案】(1) (2)X的分布列为： X 0 1 2 P 【分析】（1）先判断两球结束比赛等价于甲或乙连胜两球，再分别计算甲连胜、乙连胜的概率，利用互斥事件加法求总概率，再依据条件概率公式，用乙连胜概率除以比赛结束概率，得到乙获胜的条件概率. （2）先确定甲新增得分的可能取值为，再按“两球都不得分、恰好得1分、两球都得分”分类计算对应概率，列出离散型随机变量的分布列，最后代入期望公式计算数学期望. 【详解】（1）打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连胜两球， 设事件A为“打两球后结束”，事件B为“乙赢得比赛”， 则，， 故 （2）依题意X的可能取值是， 所以(甲两次均不得分)， (甲第一次得分第二次失分或第一次失分第二次得分)， (甲两次均得分)， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以 10．（25-26高二下·吉林长春·月考）近年来足球赛事中，单败淘汰赛制（输一局就淘汰）与新兴的双败赛制并存，为比赛增添了许多看点.现有四支队伍A、B、C、D参与赛事，其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p，，而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为.经抽签，第一轮比赛时，A和C对阵，B和D对阵. 双败赛制规则如下图所示： (1)若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场热身赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率； (2)若，在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率是多少？ (3)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并说明哪种赛制对强队更有利？ 【答案】(1) (2) (3)双败赛制对强队更有利 【分析】（1）用列举法写出随机选出2支队伍的各种情况，然后由概率公式得结论； （2）分析单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的所有情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式计算； （3）分别分析出在两种赛制下A赢的情况，然后结合独立事件和互斥事件的概率公式计算出两种赛制下A赢的概率，作差比较后可得. 【详解】（1）从4支队伍中随机选出2支，共有6种可能：， 其中选出的2支队伍恰好是A和B的只有一种：， 所以选出的两支队伍恰好是A和B的概率为. （2）设事件“A对阵B或C或D时，A赢”，，， 设事件B=“B对阵C或D时，B赢”，事件C=“C对阵B或D时，C赢”，事件D=“D对阵C或B时，D赢”，则，事件M，B，C，D相互独立， 设事件N=“单败淘汰赛赛制下，B获得冠军”，则事件N包含两种情况： ①  A、 C对阵时A赢，B、 D对阵时B赢，最后C、 B对阵时B赢，即事件， ； ②A、 C对阵时C赢，B、 D对阵时B赢，最后A、 B对阵时B赢，即事件， ， 因为事件和互斥，所以 所以； 所以在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率为； （3）在单败淘汰赛赛制下，A要想获得冠军，有两种情况： ①  A、 C对阵时A赢，B、 D对阵时B赢，最后A、 B对阵时A赢，即事件， ； ②A、 C对阵时A赢，B、 D对阵时D赢，最后A、 D对阵时A赢，即事件， ， 因为事件和互斥，所以A获得冠军的概率为 ； 在双败赛制下，A要想获得冠军，从每场A参与的比赛中A的输赢角度出发，有三种情况： ①A、 C对阵时A赢，A与B、 D对阵中的胜者对阵时A赢，最后一场比赛A赢，即事件， ； ②A、 C对阵时A赢，A与B、 D对阵中的胜者对阵时A输，B、 D对阵中的负者与C对阵时的胜者与A对阵时A赢，最后一场A赢，即事件， ； ③A、 C对阵时A输，A与B、 D对阵中的负者对阵时A赢，B、 D对阵中的胜者与C对阵时的负者与A对阵时A赢，最后一场A赢，即事件， ， 所以A获得冠军的概率为 ， ， 所以当时，，因此双败赛制对强队更有利. 11．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·月考）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 如图，一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为， (1)求； (2)求的通项公式，求 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算. （2）利用全概率公式列出递推关系，再利用数列构造法及累加法求出通项公式即可. 【详解】（1）依题意，质点运动到的概率，则. （2）运动到分两种情况，由点向右运动1个单位，由点向右运动2个单位， 则，即， 而，因此是首项为，公比为的等比数列， 则， 所以 ， . 12．（25-26高二下·湖南·月考）袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且添加一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作 的数学期望记为 (1)求随机变量的分布列； (2)设用含的式子表示 (3)求 【答案】(1) 4 5 (2) (3) 【分析】（1）确定的可能取值，按照分布列的步骤进行求解即可； （2）利用条件概率及全概率公式结合数学期望的计算公式即可求解； （3）利用（2）中的结论及可得到递推公式，再利用构造法即可求出. 【详解】（1）根据题意的可能取值为， 即一次摸球摸到白球，， 即一次摸球摸到黑球，， 所以的分布列为 4 5 （2）设第次摸球摸到黑球为事件，的取值可能为4，5，6， 则，     ，     ，     所以． （3）由（2）及得， ，   所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，     所以，即. 13．（25-26高二下·湖南长沙·月考）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率； (2)已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：元），求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析；1012.5 【分析】（1）根据概率的乘法公式及加法公式求解即可. （2）判断可能的取值，分别求其概率，即可得到分布列，进而求出数学期望． 【详解】（1）记这批产品通过检验为事件， 则. （2）当时，的取值为800；当时，的取值为1600；当时，的取值为1000， 所以的可能取值为800，1000，1600. ，， . 所以的分布列为： 800 1000 1600 数学期望为：. 14．（2026·山东济宁·一模）2026年春节期间，甲乙两名同学在商场参加一个小游戏，且分在同一组.现有三个不透明的盒子，盒中分别装有若干个除颜色不同外，其他均相同的球，盒中有1个红球，2个黄球；盒中有1个红球，3个黄球；盒中有5个红球，3个黄球.游戏规则如下：两人为一组参加游戏，游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从盒中随机摸出1个小球，记录颜色后再放回盒内，然后，乙根据甲摸到小球的颜色在指定的盒子中有放回地摸一个小球.若甲摸到红球，则乙从盒中摸球；若甲摸到黄球，则乙从盒中摸球.记录乙摸出小球的颜色后放回小球，本轮结束.在一轮摸球过程中，若甲和乙摸出的小球颜色相同，则二人获得一张“骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰骋”卡片.规定连续两轮获得“驰骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏.假设每轮摸球结果互不影响. (1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率； (2)记甲乙两人在第轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为，且. （i）求； （ii）求，并判断：当时，是否无限趋近于一个常数？若是，求出的值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i），（ii），当时，是否无限趋近于一个常数，即. 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式，结合分类讨论即可求解， （2）根据，可得递推关系，分情况讨论，结合等比数列的性质求解. 【详解】（1）甲从A盒中摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为，乙从B盒中摸到黄球的概率为， 红球的概率为，乙从C盒中摸到黄球的概率为，红球的概率为， 故甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率为. （2）（i）, , （ii）设事件表示甲乙两人在第轮摸球游戏中获得“驰骋”卡片， 则 ， 则，或 又， 当时，， 所以，， ， 故为等比数列，且公比为，首项为， 则，故， 而满足上式，因此； 当时，， 则，则， 故为等比数列，且公比为，首项为， 故， 而满足上式，因此， ， 当时，则. 综上可得：故当时，无限趋近于一个常数，即. 试卷第12页，共34页 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化4：随机变量及其分布解答题 【题型归纳】 · 题型一：条件概率与全概率公式模型 · 题型二：离散型随机变量的应用 · 题型三：二项分布 · 题型四：超几何分布 · 题型五：正态分布 · 题型六：随机变量及其分布与其他知识交汇问题 【题型探究】 题型一：条件概率与全概率公式模型 【典例1】．（25-26高二上·河南驻马店·期末）某校组织趣味知识竞赛，共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，若两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响.设甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，. (1)甲、乙同时回答1道题时，分别求乙得10分、0分和分的概率； (2)求比赛结束后乙获胜的概率； (3)求在乙获胜的条件下，乙恰好得10分的概率. 【变式1】．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）高二年级某班在元旦联欢时设计了一个抽奖环节，抽奖箱里有3个黑球和2个红球，每位同学从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回抽奖箱中，奖励幸运礼品一份；下一位同学在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第个抽奖同学获得第1份幸运礼品”记为事件，设“第个抽奖同学获得第2份幸运礼品”记为事件. (1)求和； (2)求第位同学恰好获得第2份幸运礼品的概率. 【变式2】．（2026·湖南·二模）为激发学生对体育的热爱，某校开展体育知识竞赛活动．甲、乙、丙三人参加比赛，有问题1、问题2两道题，其中问题1为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙、丙三人抢到的概率均为，问题2为必答题，甲、乙、丙三人都要回答；已知甲能正确回答问题1、问题2的概率分别为和，乙、丙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响． (1)求问题1回答正确的概率； (2)记能正确回答问题2的人数为X，求X的分布列和数学期望． 题型二：离散型随机变量的应用 【典例2】．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3∶2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． (1)求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； (2)小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，求随机变量X的数学期望和方差； (3)现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望． 【变式1】．（2026高三下·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》．某地为响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表： 单个家庭生育婴儿数 1 2 3 补贴方案 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年 补贴方案 每月补助1000元，共补贴3年 通过人口普查，可近似估计该地单个家庭生育婴儿的数量与概率如表： 单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3 概率 由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在的情况． (1)若采用补贴方案，随机选取一家庭，若该家庭的补助不低于1100元／月，求该家庭共生育2个婴儿的概率； (2)试从均值的角度讨论哪套补贴方案的补助额更高； (3)若采用补贴方案的概率为，采用补贴方案的概率为，记单个家庭每月收到的补助额为，求的分布列与期望． 【变式2】．（25-26高二下·福建厦门·月考）2025年端午期间，某百货公司举办了一次有奖促销活动，顾客消费满600元（含600元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（只能选择其中的一种）. 方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，有放回摸出3个球，每摸到1次红球，立减200元. 方案二：从装有10个形状，大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，不放回摸出3个球，中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折；其余情况不打折. (1)某顾客恰好消费600元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望； (2)若顾客消费1000元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理？ 题型三：二项分布 【典例3】．（25-26高二下·山西·月考）聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 【变式1】．（2026·贵州黔东南·模拟预测）某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10元；若零件不合格，则亏损20元.已知每件该零件第一次检测合格的概率为，第二次检测合格的概率为，且每件零件是否合格相互独立. (1)求检测3件该零件，至少有2件合格的概率； (2)已知一箱中有4件该零件，记这箱零件总获利元，求的分布列与期望. 【变式2】．（2026·山东枣庄·二模）某人工智能实验室要对一款新型学习智能体进行轮测试（每轮测试的结果相互独立），每轮测试中智能体会随机接受类与类任务中的一个．已知该智能体每轮成功完成类任务的概率均为，每轮成功完成类任务的概率均为．成功完成一次类任务得1分，成功完成一次类任务得2分，不成功均得0分．记智能体在第1轮测试后的得分为． (1)求的分布列； (2)记智能体经过2轮测试后的总得分为，求； (3)每轮测试中智能体成功完成类或类任务就称为“过关”．记轮测试中智能体过关的次数为，求和． 题型四：超几何分布 【典例4】．（2026·山西运城·一模）一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． (1)若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率； (2)现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 【变式1】．（25-26高二上·北京昌平·期末）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图： (1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？ (2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较，的大小.（只需写出结论） 【变式2】．（2025·重庆·模拟预测）某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响. (1)已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； (2)记小王总得分为. （i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望； （ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量） 题型五：正态分布 【典例5】．（2026·新疆·模拟预测）某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为X，求X的分布列； (3)由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率. ［参考数据：；若，则，，］ 【变式1】．（24-25高二下·广东潮州·月考）为提升工作效率，公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为，求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，M公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，，. （2）由已知得的近似值为90，的近似值为3， 【变式2】．（2025·广东广州·三模）为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示. (1)用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数； (2)将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量，求的数学期望； (3)从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率. 参考数据：若，则，. 题型六：随机变量及其分布与其他知识交汇问题 【典例6】．（25-26高二下·湖南长沙·月考）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现同时从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，甲口袋中恰有3个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，没有黑球的概率为． (1)求，，，； (2)求与的递推关系式； (3)求随机变量的数学期望．（用n表示） 【变式1】．（2026·陕西渭南·模拟预测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． (1)求甲获得3分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 【变式2】．（25-26高三上·广西·期末）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （ⅰ）求关于p的函数表达式； （ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数） 【专题强化】 1．（25-26高二下·北京·月考）全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 2．（25-26高二下·江苏南京·月考）甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回， ①求取出的2个球中至少有一个红球的概率； ②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率； (2)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 3．（25-26高二下·江苏盐城·月考）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为，猜对得奖金元；猜对谜语的概率为，猜对得奖金元．若规定第一道谜语猜错没有奖金，只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择． (1)求张某猜对两道谜语的概率； (2)张某选择先猜哪一道谜语，使获得奖金的数学期望最大？（张某先猜获得的奖金为元，先猜获得奖金为元） 4．（25-26高二下·宁夏银川·月考）某文创店为推广非遗手作产品，推出消费抽奖优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动规则如下：抽奖箱内放置3个红球和2个白球，每次从箱中随机抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元，按活动规则每满300元可参加一次抽奖，剩余金额不足300元不参与抽奖，记顾客B获得的返现总金额为随机变量． ①求顾客B获得返现金额为90元的概率； ②若该文创店同时推出购物享九折的优惠活动（直接减免消费总金额的10%），且两种优惠活动不能同时参加，试通过计算说明顾客B选择哪种优惠方案更划算． 5．（2026·陕西·模拟预测）2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 6．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 7．（25-26高二下·贵州遵义·月考）某校在一次数学活动期间为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有1000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)活动期间学校开放号门、号门和号门供学生出入，学生从号门、号门和号门进入学校的概率分别为，，，若学生从某个门进入学校，则其从该门出学校的概率为，从其他两个门出学校的概率各为．假设学生从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲乙丙丁名学生参加活动，设X为人中从号门出学校的人数，求X的期望及方差． 8．（25-26高二下·福建三明·月考）某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 9．（25-26高二下·上海松江·月考）乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜，比赛结束.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球甲同学得分的概率为，且对以后的每一球，若甲同学在这一球中得分，则他在下一球的得分概率为，若甲同学在这一球中未得分，则他在下一球的得分概率为． (1)求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率； (2)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和期望． 10．（25-26高二下·吉林长春·月考）近年来足球赛事中，单败淘汰赛制（输一局就淘汰）与新兴的双败赛制并存，为比赛增添了许多看点.现有四支队伍A、B、C、D参与赛事，其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p，，而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为.经抽签，第一轮比赛时，A和C对阵，B和D对阵. 双败赛制规则如下图所示： (1)若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场热身赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率； (2)若，在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率是多少？ (3)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并说明哪种赛制对强队更有利？ 11．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·月考）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 如图，一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为， (1)求； (2)求的通项公式，求 12．（25-26高二下·湖南·月考）袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且添加一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作 的数学期望记为 (1)求随机变量的分布列； (2)设用含的式子表示 (3)求 13．（25-26高二下·湖南长沙·月考）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率； (2)已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：元），求的分布列及数学期望. 14．（2026·山东济宁·一模）2026年春节期间，甲乙两名同学在商场参加一个小游戏，且分在同一组.现有三个不透明的盒子，盒中分别装有若干个除颜色不同外，其他均相同的球，盒中有1个红球，2个黄球；盒中有1个红球，3个黄球；盒中有5个红球，3个黄球.游戏规则如下：两人为一组参加游戏，游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从盒中随机摸出1个小球，记录颜色后再放回盒内，然后，乙根据甲摸到小球的颜色在指定的盒子中有放回地摸一个小球.若甲摸到红球，则乙从盒中摸球；若甲摸到黄球，则乙从盒中摸球.记录乙摸出小球的颜色后放回小球，本轮结束.在一轮摸球过程中，若甲和乙摸出的小球颜色相同，则二人获得一张“骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰骋”卡片.规定连续两轮获得“驰骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏.假设每轮摸球结果互不影响. (1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率； (2)记甲乙两人在第轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为，且. （i）求； （ii）求，并判断：当时，是否无限趋近于一个常数？若是，求出的值；若不是，请说明理由. 试卷第12页，共34页 2 学科网（北京）股份有限公司 $