精品解析：2026年四川绵阳市涪城区中考二模考试数学试题

九年级数学（甲卷） 本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，答题卡共4页．满分150分，考试时间20分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡相应； 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔写在答题卡的对应框内．超出答题区域书写的答案无效． 位置，并认真核对条形码上的姓名、考号． 3.考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题只有一个选项最符合题目4要求． 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，下面四种中国传统窗户图案中，是轴对称但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 近几年我国汽车工业快速发展，在年仅新能源汽车销量就超过万辆，将万用科学记数法表示应是（ ） A. B. C. D. 4. 使得式子有意义的的取值范围是（ ） A. ，且 B. C. ，且 D. ，且 5. 如图是一个由7个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图为（   ） A.                           B.                           C.                           D. 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，，，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在圆柱中以圆柱的上下两个底面为底的两个圆锥顶点在O处相接，分别为上下两个圆锥的母线，，若圆柱的高，，上下两个底面的直径与顶点都在同一个平面之中，则上下两个圆锥的侧面积之比是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，D、E、F分别是上的点，且四边形是矩形，连接与交于点G，若，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 第II卷（非选择题，共114分） 二、填空题：本小题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 因式分解：____． 14. 如图，直线，；，则_____． 15. 学校准备在候选的名女生和名男生中采用随机抽签的方式选取两名学生代表学校参加全市的演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是____． 16. 人民公园的人工湖有大小两种游船供游客选用，已知租借3艘大船和4艘小船共需240元，租借2艘大船和2艘小船共需要140元，根据规定，大船每次最多可坐8人，小船每次最多可坐5人，若某班有52名同学都参加游船项目活动，则租船费用至少应是____元． 17. 已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____． 18. 矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接与交于M，若，则_____． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算、化简求值： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 20. 联合国教科文组织设定每年4月23日是“世界读书日”，其主要目的在于希望散居全球各地的人们，无论是年老还是年轻，无论是贫穷还是富有，无论是患病还是健康，都能享受阅读带来的乐趣．在世界读书日即将到来之际，为了解全校同学的阅读情况，学校学生会随机选取了100名同学就周末在家开展课外读物阅读的时长进行调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 阅读时长（分钟） 频数（人数） 第1组 5 第2组 a 第3组 35 第4组 20 第5组 15 （1）请直接写出_____，_____，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是____度； （2）请补全上面的频数分布直方图； （3）若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有多少？ 21. 一文具店销售甲乙两种笔记本，其中甲笔记本单价是乙笔记本单价的1.25倍，当两种笔记本的销售额均为600元时，甲笔记本的销售量比乙笔记本少10个． （1）求甲、乙两种笔记本的单价； （2）在一次活动中某班准备购买这两种笔记本共20本，且购买乙笔记本的费用不超过120元，总费用不超过280元，求购买这两种笔记本有多少种方案，并判断哪种方案总的花费最少． 22. 如图，正方形中，分别是边上的点，，垂足为，与相交于，与AC交于，与交于． （1）求证：； （2）若正方形边长为，，求的长度． 23. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数在第一象限中的图象交于点A，，点为反比例函数图象上位于点上方的一点，直线与轴，轴分别交于D，E两点． （1）求反比例函数解析式； （2）若，求点坐标． 24. 如图，是的弦，，垂足为为的直径，，与分别交于． （1）证明：； （2）求的值； （3）求的长度． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线上一点，平分，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求点坐标； （3）在直线上取两点（在点上方），连接，使得，求坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（甲卷） 本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，答题卡共4页．满分150分，考试时间20分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡相应； 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔写在答题卡的对应框内．超出答题区域书写的答案无效． 位置，并认真核对条形码上的姓名、考号． 3.考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题只有一个选项最符合题目4要求． 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据零指数幂运算法则，任何非零数的次幂等于， ∵底数， 2. 如图，下面四种中国传统窗户图案中，是轴对称但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意． 3. 近几年我国汽车工业快速发展，在年仅新能源汽车销量就超过万辆，将万用科学记数法表示应是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，是负数．先将万化为整数，共位整数，再根据科学记数法的定义确定和的值即可得到答案． 【详解】解：万， ∵， ∴， ∴万用科学记数法表示为 4. 使得式子有意义的的取值范围是（ ） A. ，且 B. C. ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】要使含二次根式的分式有意义，需同时满足两个条件：二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列出不等式组求解即可得到的取值范围. 【详解】解：∵要使有意义， ∴需满足， 解不等式，移项得，系数化为得， 解不等式，得， ∴的取值范围是，且． 5. 如图是一个由7个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图为（   ） A.                           B.                           C.                           D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可. 【详解】根据主视图的定义可知，此几何体的主视图有两列，左边有三个小正方形，右边有一个小正方形，如图所示： ， 故选A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握主视图是从组合体正面看得到的图形是解题的关键. 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，包括合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，根据对应的运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A 、合并同类项可得，故此选项错误； B、与不是同类项，不能合并，故此选项错误； C、根据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加，可得，故此选项正确； D、根据完全平方公式，故此选项错误． 7. 已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据对称点的位置确定点所在象限， 再根据象限内点的坐标特征列不等式组求解即可. 【详解】解：∵点关于原点的对称点在第四象限， ∴点在第二象限， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：. 8. 如图，菱形中，，，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点，根据菱形的性质求出，进而得到，利用面积公式求解即可. 【详解】解：连接交于点， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴. 9. 若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先联立抛物线与直线得到，然后设点，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由求解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线有两交点A，B， 设点 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得． 10. 如图，在圆柱中以圆柱的上下两个底面为底的两个圆锥顶点在O处相接，分别为上下两个圆锥的母线，，若圆柱的高，，上下两个底面的直径与顶点都在同一个平面之中，则上下两个圆锥的侧面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积公式可知，底面半径相等时，侧面积之比等于母线长之比.，由题意可知为直角三角形，利用勾股定理求出的长，进而求出比值． 【详解】解：设圆柱的底面半径为，则上下两个圆锥的底面半径均为， 圆锥的侧面积公式为（为母线长）， ∴上下两个圆锥的侧面积之比为， ， ∴，即为直角三角形， 在中，，， ∴由勾股定理得：， 上下两个圆锥的侧面积之比为． 11. 如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心坐标及圆与坐标轴相切得出圆的半径，设圆上任意一点坐标为，由半径得，，那么圆上任意一点的横纵坐标满足方程 ，再联立与得到一元二次方程，根据直线与圆有公共点，利用一元二次方程根的判别式  建立关于 b 的不等式，最后利用二次函数的图象与性质解不等式即可． 【详解】解：圆心 ， ∴圆心到轴，轴的距离为 ∵与轴，轴均相切， 的半径， 设圆上任意一点坐标为， 由半径得， ∴圆上任意一点的横纵坐标满足方程， 当图象与有公共点时， 联立与， 得： ， 整理得：， 关于  的一元二次方程有实数根， ， 整理得，. 令， 解得， 令， ∴不等式的解集，即为抛物线在轴下方时，对应于轴交点横坐标的取值范围， ∵，抛物线开口方向向上，  不等式的解集为． 12. 如图，在中，，D、E、F分别是上的点，且四边形是矩形，连接与交于点G，若，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形得到，，然后根据平行线分线段成比例定理可设，则，求出，则，再在中由勾股定理求解，再由平行线分线段成比例定理得，则，解得，那么，最后由求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴在中，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 解得． 第II卷（非选择题，共114分） 二、填空题：本小题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 因式分解：____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 如图，直线，；，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先由平行线的性质求解，再由三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵ ∴ ∵， ∴． 15. 学校准备在候选的名女生和名男生中采用随机抽签的方式选取两名学生代表学校参加全市的演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是____． 【答案】 ##0.6 【解析】 【分析】结合题意，画树状图进行计算，即可得到答案.． 【详解】解：画树状图为： 共种等可能的结果数， 其中选中一男一女的结果数为， 恰好选中一男一女的概率是． 16. 人民公园的人工湖有大小两种游船供游客选用，已知租借3艘大船和4艘小船共需240元，租借2艘大船和2艘小船共需要140元，根据规定，大船每次最多可坐8人，小船每次最多可坐5人，若某班有52名同学都参加游船项目活动，则租船费用至少应是____元． 【答案】270 【解析】 【分析】本题先通过列二元一次方程组求解出单艘大船和小船的租金，再根据人均租金判断优先多租大船更划算，列举所有满足载客要求的租船方案，对比各方案费用得到最小值． 【详解】解：设租借艘大船需要元，租借艘小船需要元， 根据题意列方程组得 解得，. 因此单艘大船租金为元，单艘小船租金为元， 设租大船艘，小船艘，总费用为元，根据题意得，其中为非负整数，总费用， 计算得大船人均租金为元，小船人均租金为元，因此优先多租大船可降低总费用，列举可行方案计算费用： 当时，，元； 当时，，剩余人需租艘小船，满足载客要求，此时元； 当时，，剩余人需租艘小船，此时元； 当时，，剩余人需租艘小船，此时元； 当时，计算可得总费用均大于元. 因此租船费用的最小值为． 17. 已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____． 【答案】 且 【解析】 【分析】根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解出分式方程的解，再根据解为正数且分式有意义列出不等式求解即可. 【详解】解：， 整理得， 方程两边同乘得， ， 展开整理得， 解得， 分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为， 且，即且， 解得且. 18. 矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接与交于M，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点、分别作，，垂足为点，由旋转可得，，得到，然后解，求出，再由求解即可． 【详解】解：过点、分别作，，垂足为点， ∵矩形中， ∴，， 由旋转可得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， 解得． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算、化简求值： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的运算法则、零指数幂的意义等计算即可； （2）先对括号内分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解约分进行化简，然后把x的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 20. 联合国教科文组织设定每年4月23日是“世界读书日”，其主要目的在于希望散居全球各地的人们，无论是年老还是年轻，无论是贫穷还是富有，无论是患病还是健康，都能享受阅读带来的乐趣．在世界读书日即将到来之际，为了解全校同学的阅读情况，学校学生会随机选取了100名同学就周末在家开展课外读物阅读的时长进行调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 阅读时长（分钟） 频数（人数） 第1组 5 第2组 a 第3组 35 第4组 20 第5组 15 （1）请直接写出_____，_____，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是____度； （2）请补全上面的频数分布直方图； （3）若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有多少？ 【答案】（1）25，20，； （2）见详解； （3）1260 【解析】 【分析】（1）用100乘以第2组的百分比即可求a，求出第4组所占百分比即得m，用乘以第3组人所占百分比即得圆心角； （2）根据（1）所得a的值，画图即可； （3）用1800乘以周末阅读时长达到30分钟的百分比即可． 【小问1详解】 解：， 第4组所占百分比为：，则， 第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角为：； 【小问2详解】 解由（1）得，则频数分布直方图如图， 【小问3详解】 解：周末阅读时长达到30分钟所占百分比为， （人） 答：若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有1260人． 21. 一文具店销售甲乙两种笔记本，其中甲笔记本单价是乙笔记本单价的1.25倍，当两种笔记本的销售额均为600元时，甲笔记本的销售量比乙笔记本少10个． （1）求甲、乙两种笔记本的单价； （2）在一次活动中某班准备购买这两种笔记本共20本，且购买乙笔记本的费用不超过120元，总费用不超过280元，求购买这两种笔记本有多少种方案，并判断哪种方案总的花费最少． 【答案】（1）甲笔记本单价为15元，乙笔记本单价为12元 （2）共有4种购买方案，购买甲笔记本10本，乙笔记本10本时总花费最少 【解析】 【分析】（1）设乙笔记本单价为未知数，根据销量差的关系列分式方程求解，检验后得到单价.； （2）设购买乙笔记本的数量，根据费用限制列不等式组，得到未知数的整数解从而得到方案数，再根据总费用随乙购买数量的变化规律得到最少花费的方案． 【小问1详解】 解：设乙笔记本的单价为元，则甲笔记本的单价为元， 根据题意，得  方程两边同乘，得  解得， 检验：当时，， 所以是原方程的解，且符合题意， 则 答：甲笔记本单价为15元，乙笔记本单价为12元； 【小问2详解】 解：设购买乙笔记本本，则购买甲笔记本本， 根据题意，得   解第一个不等式，得 解第二个不等式，得， 即  因为为非负整数， 所以可取7，8，9，10，共4种取值，即共有4种购买方案. 设总费用为元，则 因为， 所以随的增大而减小， 当时，取得最小值，此时， 答：共有4种购买方案，购买甲笔记本10本，乙笔记本10本时总的花费最少． 22. 如图，正方形中，分别是边上的点，，垂足为，与相交于，与AC交于，与交于． （1）求证：； （2）若正方形边长为，，求的长度． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由正方形性质可得，，，，再证明即可； （）由四边形是正方形，得，，，，证明，所以，由勾股定理得，故有，则有，，再求出，然后证明，所以，再代入即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数在第一象限中的图象交于点A，，点为反比例函数图象上位于点上方的一点，直线与轴，轴分别交于D，E两点． （1）求反比例函数解析式； （2）若，求点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由列方程求出，从而得到点的坐标和反比例函数解析式； （2）过分别作轴的垂线，由得，再由得，从而由相似比求出的纵坐标，进而求出的坐标和直线的解析式，令得点的坐标． 【小问1详解】 解：函数的图象与反比例函数在第一象限中的图象交于点A， 设， ， ， ， 在第一象限， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点作轴于 ，过点作轴于， ， ， ， ， ， ， ，即， 在上， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 令 ，得 ， 24. 如图，是的弦，，垂足为为的直径，，与分别交于． （1）证明：； （2）求的值； （3）求的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（）过圆心作于，于，由垂径定理得，，​，结合得，再由证，推出；又因，判定矩形为正方形，得；最后由，证得 （）先由直径所对圆周角为直角得，再由同弧所对圆周角相等得，将求转化为求；结合已知条件和（）的结论得到相关线段长度，再由正方形性质算出，在中求出半径，进而得到直径；最后在中，根据余弦定义算出，即的值为； （）先由（）的结论得到各线段长度，建立平面直角坐标系并确定各点坐标，再分别求出直线和直线的解析式，联立方程求出交点的坐标，最后用两点间距离公式算出的长度为． 【小问1详解】 解：过圆心作于，于，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形，，​， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴，， ∵、， ∴． 【小问2详解】 解：过圆心作于，于，连接，， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由（）得，矩形是正方形， ∴， 在中，， ∴直径， 在中，，​， ∴， 即 ； 【小问3详解】 解：由（）得， 建立坐标系：设 ，，，，，， 设直线得解析式，代入点，， 得， 解得， ∴直线方程：， 即：直线方程：， 同理：代入点、，直线方程：， 联立方程直线、，得， 解得， ∴交点， 由两点间距离公式：． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线上一点，平分，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求点坐标； （3）在直线上取两点（在点上方），连接，使得，求坐标． 【答案】（1）抛物线解析式为： （2） （3） 或 ． 【解析】 【分析】（）根据，两点，利用待定系数法求解即可得； （）先由抛物线解析式求出与轴交点的坐标，再在中用勾股定理求出的长度；根据角平分线定理得到与的比例关系，结合的长度求出，从而确定的坐标；接着求出直线的解析式，联立直线与抛物线的方程，舍去点对应的解，得到点的坐标； （）先求出直线的解析式，再利用角平分线的性质得到点到直线的距离等于的长度；结合，根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出与的长度；设出点的坐标，由的长度列方程求解得到的坐标，再根据的长度和直线的斜率求出对应点的坐标，最终得到两组符合条件的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴代入两点坐标得方程组：， 解得 ， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式； 令，得， 即：抛物线与轴交点， 在中，，， 由勾股定理得， ∵平分， 根据角平分线定理：，且， 即： 解得：，即， 设直线解析式为， 代入、得：， 联立直线与抛物线方程：， 整理得：， 解得：（对应点，舍去），​，代入直线得 ， ∴点坐标为：； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 代入、得， 解得：， ∴直线的解析式为， 作，垂足为， ∵平分，， ∴ ∵点在直线上， ∴在直线上，点到直线的距离为定值：， 即：中，边上的高为， 在中，在轴上，边上的高为， ∵， ∴，，即 由​，，得，， 设，由得：， 整理解得​或， ① 当时，， ，，，计算得； ② 当时，， ，，​，计算得； 因此坐标为： 或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $