1.5.3 子弹打木块模型及其应用 重难点突破专项训练 -2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

1.5.3 子弹打木块模型及其应用 【素养目标】 1.学会用整体法和隔离法分析物体的受力情况和运动情况，知道子弹打木块过程中物体的运动特点； 2.建立子弹打木块问题模型，学会从动量和能量观点解决子弹打木块的实际问题. 【知识梳理】 一、子弹打木块的两种基本类型 1.木块固定在水平面上(如图1所示) 运动性质：子弹在滑动摩擦力作用下相对地面做匀减速直线运动. 若木块长度为L，木块对子弹的阻力大小为 f，一颗质量为m 的子弹以初速度v₀射入木块，子弹末速度为 v(v≥0)，子弹相对木块的位移为 s. 对子弹应用动能定理可得 产生的热量 说明：当s<L时，子弹停留在木块内，末速度 v=0. 当 s≥L时，子弹射出木块时的末速度 v>0. 2.木块放置在光滑的水平面上 运动性质：子弹在木块的滑动摩擦力作用下相对地面做匀减速直线运动；木块在子弹的滑动摩擦力作用下做匀加速运动. 处理方法：把子弹和木块看成一个系统，对系统利用动量守恒定律列方程，对木块和子弹分别利用动能定理列方程，然后求解. 如图2所示，设子弹质量为m，水平初速度为 v₀，置于光滑水平面上的木块质量为M，若木块长度为L，木块移动的位移为x. (1)假如子弹相对木块的位移为 s，子弹未射出木块，则子弹和木块最终的共同速度为 v. 由动量守恒定律得： 对于子弹，由动能定理得 ), 对于木块，由动能定理得 ③, 由①②③可得 系统动能的减少量转化为系统内能 Q. (2)若子弹能穿过木块，子弹射穿木块时的速度大于等于木块的速度. 设穿透后子弹和木块的速度分别为 v₁ 和 v₂， 由动量守恒定律得 ), 对于子弹，由动能定理得 , 对于木块，由动能定理得 ⑦, ⑧. 二、以上两种基本类型的共同点 1.系统内相互作用的两物体间的一对滑动摩擦力做功的总和恒为负值，有一部分机械能转化为内能； 2.摩擦生热的条件：必须存在滑动摩擦力和相对滑行的路程，大小为 Q=f△s，其中f是滑动摩擦力的大小，△s是两个物体的相对路程. 一、单选题 1．如图所示，质量为m的子弹水平射入质量为M、放在光滑水平地面上静止的木块，子弹未穿透木块，则从子弹接触木块到随木块一起匀速运动的过程中木块动能增加了5J，那么此过程中系统产生的内能可能为（　　） A．6J B．3J C．4.8J D．3.4J 2．如图所示，木块置于光滑的水平面上，质量为的子弹以初速度水平向右射向木块，穿出木块时子弹的速度为，木块的速度为。设木块的长度为，子弹穿过木块的过程中木块对子弹的阻力始终保持不变，下列说法正确的是（　　） A．木块的质量为 B．子弹穿过木块的过程中，系统损失的动能为 C．子弹穿过木块的过程中，木块对子弹的阻力大小为 D．子弹在木块中运动的时间为 3．如图甲所示，光滑水平地面上静置着质量分布均匀、上表面水平的长木板M，物块m从长木板的左端以一定的速度滑上长木板，刚好不能从长木板右端滑下；如图乙所示，将长木板等分为六块后并排放在光滑水平地面上，物块m从木块1的左端以相同的速度滑上木块，最后木块5和木块6恰好不会分离，则物块m与长木板M的质量之比为（　　） A． B． C． D． 4．如图甲所示，一块长度为L、质量为m的木块静止在光滑水平面上．一颗质量也为m的子弹以水平速度v0射入木块．当子弹刚射穿木块时，木块向前移动的距离为s(图乙)．设子弹穿过木块的过程中受到的阻力恒定不变，子弹可视为质点．则子弹穿过木块的时间为 A． B． C． D． 5．如图甲所示，两个质量均为m、厚度均为d、高度均为h的木板A、B静止放置在光滑水平面上，质量为m的子弹（体积忽略）以一定初速度打入木板A，子弹恰好未离开木板B且A、B两木板没有发生碰撞。现把A、B两块木板绑在一起横放（如图乙所示），子弹再次以同样的初速度打入木板A，子弹也恰好未离开木板。设子弹在木板中受到的阻力恒定，忽略空气阻力和重力引起的竖直方向的运动，则等于（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，一子弹水平射入放在光滑水平地面上静止的木块子弹未穿透木块，假设子弹与木块之间的作用力大小恒定，若此过程中产生的内能为6J，则此过程中木块动能可能增加了（ ） A．12J B．16J C．6J D．4J 7．质量为m的均匀木块静止在光滑水平面上，木块左右两侧各有一位持有完全相同步枪和子弹的射击手．首先左侧射手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为d1，然后右侧射手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为d2，如图所示，设子弹均未射穿木块，且两颗子弹与木块之间的作用大小均相同．当两颗子弹均相对于木块静止时，下列判断正确的是（　　） A．木块静止，d1＜d2 B．木块静止，d1＞d2 C．木块向右运动，d1＜d2 D．木块向左运动，d1=d2 8．如图所示，两个质量和速度均相同的子弹分别水平射入静止在光滑水平地面上质量相同、材料不同的两矩形滑块A、B中，射入A中的深度是射入B中深度的两倍．上述两种射入过程相比较 A．射入滑块A的子弹速度变化大 B．整个射入过程中两滑块受的冲量一样大，木块对子弹的平均阻力一样大 C．射入滑块A中时阻力对子弹做功是射入滑块B中时的两倍 D．两个过程中系统产生的热量相同 二、多选题 9．如图所示，木块静止在光滑水平面上，子弹A、B从两侧同时水平射入木块，木块始终保持静止，子弹A射入木块的深度是B的3倍．假设木块对子弹的阻力大小恒定，A、B做直线运动且不会相遇，则A、B运动的过程中，下列说法正确的是（    ） A．子弹B的初速度大小是子弹A的初速度大小的3倍 B．子弹B的质量是子弹A的质量的3倍 C．若子弹A向右射入木块与木块相对静止后，子弹B再向左射入木块，最终A进入的深度大于B的3倍 D．若子弹B向左射入木块与木块相对静止后，子弹A再向右射入木块，最终A进入的深度大于B的3倍 10．如图所示，光滑的水平导轨上套有一质量为1kg可沿杆自由滑动的滑块，滑块下方通过一根长为1m的轻绳悬挂着质量为0.99kg的木块，开始时滑块和木块均静止。现有一质量为10g的子弹以500m/s的水平速度击中木块并留在其中（作用时间极短），取重力加速度，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）       A．整个运动过程，子弹、木块和滑块组成的系统动量守恒 B．子弹和木块摆到最高点时速度不为零 C．滑块的最大速度为2.5m/s D．子弹和木块摆起的最大高度为0.625m 11．用不可伸长的细线悬挂一质量为M的小木块，木块静止，如图所示，现有一质量为m的子弹自左方水平射向木块，并停留在木块中，子弹初速度为v0，则下列判断正确的是（　　） A．从子弹射向木块到一起上升到最高点的过程中系统的机械能守恒 B．子弹射入木块瞬间动量守恒，故子弹射入木块瞬间子弹和木块的共同速度为 C．子弹和木块一起上升的过程中，子弹和木块组成的系统动量守恒 D．子弹和木块一起上升的最大高度为 三、解答题 12．如图所示，在光滑水平面上有一辆质量M=8 kg的平板小车，车上有一个质量m=1.9kg的木块（木块可视为质点），车与木块一起以v=1m/s的速度水平向右匀速行驶。一颗质量m0=0.1kg的子弹以v0=179m/s的初速度水平向左飞，瞬间击中木块并留在其中。已知木块与平板之间的动摩擦因数=0.54，（g=10m/s2）求： ①子弹射入木块后瞬间子弹和木块的共同速度； ②若是木块刚好不会从车上掉下，则小车的平板至少多长？ 13．如图所示，质量的物块静止在光滑水平地面上，质量的长木板静止在粗糙的水平地面上，长木板左端放着一质量的物块，长木板的左端紧挨着水平地面和的竖直衔接面，且长木板的上表面刚好与地面等高。已知地面和长木板间的动摩擦因数，物块和长木板间的动摩擦因数。现有一质量的子弹以水平向右的速度击中物块，并留在物块的内部（子弹射入物块的时间极短），之后物块（包括子弹）与物块发生一维弹性碰撞，物块始终未离开长木板，重力加速度为。求： (1)子弹射入物块的过程中系统损失的机械能； (2)物块和碰撞结束后的瞬间，它们的速度大小； (3)长木板在整个运动过程中所发生的位移大小。 14．如图所示．质量M=2kg的足够长的小平板车静止在光滑水平面上，车的一端静止着质量为的物体A（可视为质点）．一个质量为的子弹以500m/s的水平速度迅即射穿A后，速度变为100m/s，最后物体A静止在车上．若物体A与小车间的动摩擦因数 （g取．） （1）平板车最后的速度是多大? （2）全过程损失的机械能为多少? （3）A在平板车上滑行的距离为多少? 15．如图所示，一长为，质量为M（具体质量未知）的长方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一个质量为的小木块A。若长木板固定不动，给A水平向左大小为的初速度，最后A恰好没有滑离B板。若不固定长木板，以地面为参考系，同时给A和B以大小相等，方向相反的初速度，使A开始向左运动，B开始向右运动，A、B最终的运动状态与长木板的质量有关，，求 （1）A与B之间的滑动摩擦因数； （2）若长木板不固定，且长木板B的质量也为，求A、B分离时的速度大小； （3）若长木板不固定，试求M在不同取值范围时，整个过程中木块与木板因摩擦产生的内能。 16．装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击。通过对以下简化模型的计算可以粗略说明其原因。质量为2m、厚度为2d的钢板静止在水平光滑桌面上。质量为m的子弹以某一速度v0垂直射向该钢板，刚好能将钢板射穿。现把钢板分成厚度均为d、质量均为m的相同两块，间隔一段距离水平放置，如图所示。若子弹以相同的速度垂直射向第一块钢板，穿出后再射向第二块钢板。设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，且两块钢板不会发生碰撞，不计重力影响。 （1）子弹射穿质量为2m、厚度为2d的钢板后钢板的速度和此过程系统损失的机械能； （2）子弹射穿质量为m、厚度为d的第一块钢板后的速度； （3）子弹射入第二块钢板的深度。 17．如图所示，用不可伸长且长的细线悬挂一质量为的小木块，木块静止，现有一质量为的子弹，以的速度自左向右水平击中并射穿此木块，穿透后子弹的速度（设子弹穿过木块的时间和空气阻力忽略不计，细线不会断，g取）。求： （1）穿透后瞬间木块的速度大小为多少； （2）木块能摆到的最大高度； （3）穿透后瞬间细线的拉力多大； （4）子弹穿过木块过程中子弹和木块总的机械能守恒吗？若不守恒，则总共损失的机械能是多少。 18．如图所示1，在水平面上放着一质量为的小木块B（与地面无摩擦），在其正上方5a处有一固定悬点，在悬点和木块之间用一根长为10a的不可伸长的轻绳连接。有一质量的子弹以初速度水平射入木块并留在其中，轻绳绷紧后木块和子弹绕点在竖直面内刚好能到达最高点。忽略空气阻力，子弹进入木块并相对木块静止后整体可以看作质点，重力加速度为。求： (1)子弹的初速度大小；从子弹开始射入木块到轻绳绷紧的过程中，系统机械能的损失。 (2)如图所示2，若再用M、N两个钉子固定于相距的两点。M的正下方用同样的轻绳一端固定在M上，另一端连接位于M正下方放置于水平地面的小木块B，M到地面的距离为10a。质量为2m的小木块A，沿水平方向与B发生弹性碰撞，碰撞时间极短。A与地面间摩擦因数为，重力加速度为，忽略空气阻力和钉子直径，不计绳被钉子阻挡和绳断裂时的机械能损失。 ①若碰后，B在竖直面内做圆周运动，且能经过圆周运动最高点，求B碰后瞬间速度的最小值； ②若改变A碰前瞬间的速度，碰后A运动到点停止，B在竖直面圆周运动旋转2圈，经过M正下方时细绳子断开，B也来到点，求B碰后瞬间的速度大小； 试卷第6页，共7页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 《1.5.3 子弹打木块模型及其应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D D D A D BD BD 题号 11 答案 BD 1．A 【详解】设子弹的初速度为v0，与木块的共同速度为v，则由动量守恒定律有 mv0=（M＋m）v 系统产生的内能 Q=fd=mv02－（m＋M）v2 木块得到的动能为 Ek1=fs=Mv2 其中， f为子弹与木块间的摩擦力， d为子弹在木块内运动的位移， s为木块相对于地面运动的位移，变形可得 Q=Ek1>Ek1=5J 故选A。 2．C 【详解】A．子弹穿过物块，满足动量守恒，则有 解得木块的质量为，故A错误； B．子弹穿过木块的过程中，根据能量守恒可得系统损失的动能为，故B错误； C．系统损失的动能转化成了摩擦生热，即 解得，故C正确； D．对于木块，由动量定理可得 解得，故D错误。 故选C。 3．A 【详解】物块m与长木板M共速时，根据动量守恒定律有 解得 根据能量守恒，有 解得 将长木板等分为六块后，以木块为参考系，设物块$m$离开第1块时的相对速度为，离开第2块时的相对速度为，离开第3块时的相对速度为，离开第4块时的相对速度为，根据运动学公式有，，， 以上等式左、右相加得 联立解得。 故选A。 4．D 【分析】以子弹与木块组成的系统为研究对象，满足动量守恒定律，分别对子弹和木块列动能定理表达式，再对木块列动量定理表达式，联立可求解。 【详解】子弹穿过木块过程，对子弹和木块的系统，外力之和为零动量守恒，有：， 设子弹穿过木块的过程所受阻力为f，对子弹由动能定理：，由动量定理：， 对木块由动能定理：，由动量定理：， 联立解得：；故选D. 【点睛】子弹穿过木块的过程，子弹与木块组成的系统动量守恒，由动量守恒定律与动量定理可以正确解题，解题时注意研究对象、研究过程的选择。 5．D 【详解】子弹第一次打入木板A的过程中，由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 子弹打入木板B的过程中，由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 联立解得 子弹第二次打木板A的过程中，由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 联立解得 可得 故选D。 6．D 【详解】由题意可知子弹射入木块过程中子弹做匀减速直线运动，而木块做匀加速直线运动，作出子弹和木块的v-t图像如图所示。无论子弹最终留在木块中（红色图线），还是从木块中射出（蓝色图线），根据v-t图像与坐标轴所围面积表示位移可知，子弹射入木块的最大深度d（即子弹与木块的相对位移大小）一定大于木块做匀加速运动的位移x，设子弹与木块之间的作用力大小为f，根据功能关系可知 根据动能定理可知木块获得的动能为 故选D。 7．A 【分析】对两颗子弹和木块组成的系统而言，合外力为零，总动量守恒，可求出当两颗子弹均相对于木块静止时木块的速度．先以左侧的子弹和木块组成的系统研究，由动量守恒和能量守恒得到d1与子弹速度、质量和木块的关系，再对两颗子弹和木块系统为研究，用同样的方法研究d2，再比较它们的大小． 【详解】设子弹射入木块前的速度大小为v0，子弹的质量为M，子弹受到的阻力大小为f．当两颗子弹均相对于木块静止时，由动量守恒得:，得，即当两颗子弹均相对于木块静止时，木块的速度为零，即静止．先对左侧射入木块的子弹和木块组成的系统研究，则有，由能量守恒得：①,再对两颗子弹和木块系统为研究，得②, 由①②对比得，d1＜d2．故A正确,BCD错误．故选A． 【点睛】本题运用动量守恒和能量守恒相结合分析子弹与木块相对位移大小的关系，是常用的基本思路． 8．D 【详解】A、根据动量守恒定律可得，可知两种情况下木块和子弹的共同速度相同，两颗子弹速度变化相同，故A错误； B、两滑块的动量变化相同，受到的冲量相同，由，射入A中的深度是射入B中深度的两倍，射入滑块A中时平均阻力对子弹是射入滑块B中时的倍，故B错误； C、射入滑块A中时阻力对子弹做功与射入滑块B中时阻力对子弹做功相等，故C错误； D、由，两个过程中系统产生的热量相同，故D正确； 故选D． 9．BD 【详解】AB．以木块和子弹A、B组成的系统为研究对象，取水平向右为正方向，由动量守恒定律可得 则有 即子弹A的初动量与子弹B的初动量大小相等，由于木块始终保持静止，木块受合力是零，可知两子弹对木块的作用力大小相等，由牛顿第三定律可知，两子弹受木块的阻力大小相等，设为Ff，子弹射入木块的深度为d，由动能定理，对子弹A有 可得 对子弹B有 可得 由于 则有两子弹初动能的关系为 由动能公式可得， 解得 即子弹B的质量是子弹A的质量的3倍；由于 可得 即子弹A的初速度大小是子弹B的初速度大小的3倍，故A错误，B正确； C．若子弹A向右射入木块，子弹A与木块组成的系统动量守恒，子弹A与木块相对静止时有共同的速度，由能量守恒定律可知，系统减少的机械能 可得 子弹B再向左射入木块，由于子弹A、B与木块组成的系统动量守恒，由以上分析可知 则有系统的初动量是零，由动量守恒定律可知，最后A、B与木块都静止，子弹B射入木块运动中，由能量守恒定律可知，系统减少的机械能 可得 由以上分析可知，故C错误； D．若子弹B向左射入木块，子弹B与木块组成的系统动量守恒，子弹B与木块相对静止时有共同的速度，由能量守恒定律可知，系统减少的机械能 可得 子弹A再向右射入木块，由于子弹A、B与木块组成的系统动量守恒，由以上分析可知 则有系统的初动量是零，由动量守恒定律可知，最后A、B与木块都静止，子弹A射入木块运动中，由能量守恒定律可知，系统减少的机械能 可得 由以上分析可知，故D正确。 故选BD。 10．BD 【详解】A．子弹留在木块以后的过程中，子弹和木块竖直方向有分加速度，则系统竖直方向的合外力不为零，则系统动量不守恒，故A错误； B．设子弹质量为，木块质量为，滑块质量为，子弹击中木块过程子弹与木块组成的系统在水平方向动量守恒，子弹击中木块后，子弹、木块、滑块组成的系统水平方向动量守恒，当子弹和木块摆到最高点时三者具有相同的速度，且速度方向水平，有 代入数据解得 ， 故子弹和木块摆到最高点时速度不为零，B正确； D．子弹进入木块后只有重力做功，系统机械能守恒可得 代入数据解得 h＝0.625m 故D正确； C．只要轻绳与杆之间的夹角为锐角，轻绳拉力对滑块做正功，滑块就会加速，所以当轻绳再次竖直时滑块速度最大，设此时滑块速度为，子弹和木块速度为，系统在水平方向动量守恒，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 代入数据解得 即滑块的最大速度为5m/s，故C错误。 故选BD。 11．BD 【详解】A．子弹射入木块的瞬间系统动量守恒，但机械能不守恒，有部分机械能转化为系统内能，之后子弹在木块中与木块一起上升，该过程只有重力做功，机械能守恒但总机械能小于子弹射入木块前的动能，故A错误； B．规定向右为正方向，由子弹射入木块瞬间系统动量守恒可得 得 故B正确； C．子弹和木块一起上升的过程中，合外力不为零，所以系统动量不守恒，故C错误； D．子弹在木块中与木块一起上升的过程中，根据机械能守恒得 得 故D正确。 故选BD。 12．①；② 【详解】①设子弹射入木块后的共同速度为，以水平向左为正，则由动量守恒有 ②它们恰好不从小车上掉下，则它们滑到平板车最左端时与小车具有共同速度，则由动量守恒有 由能量守恒定律有 代入数据可得小车的平板的长度为 13．(1)396J (2)A的速度大小为0，B的速度大小为2m/s (3) 【详解】（1）当子弹击中物块的过程中，子弹和物块组成的系统动量守恒有 可得 由系统能量守恒有得 解得子弹击中物块的过程中损失的机械能为 （2）子弹、物块和物块发生弹性正碰，碰撞过程中系统的动量守恒 系统的机械能守恒，有 解得， 即子弹和A静止在水平地面上，B的速度大小为，方向水平向右； （3）当滑块与长木板共速时，长木板的速度达到最大，设此时两者的速度均为，以向右为正方向，由对长木板动量定理有 对滑块有 解得， 滑块与长木板发生相对运动过程中，长木板发生的位移为 滑块与长木板共速后，两者视为一个整体，由动能定理可得 解得 则整个过程中长木板运动的距离为 14．（1）；（2）2392J；（3）0.8m 【详解】（1）研究子弹、物体打击过程．动量守恒有 代入数据得 同理分析M和系统自子弹穿m后直至相对静止有： 代入数据得平板车最后速度为 也可全过程研究三者组成的系统．根据动量守恒求平板车最后的速度． （2）根据能量转化和守恒得：系统损失的动能即为全程损失的机械能 所以 （3）同理．经分析可知．物体和平板车损失的机械能全转化为系统发热．假设A在平板车上滑行距离为s，则有 所以代入数据得 15．（1）0.2；（2），；（3）见解析 【详解】（1）根据动能定理 解得 （2）设A、B分离时的速度大小分别为、，取向左为正，则根据动量守恒 根据能量守恒有 解得 （3）取向左为正，若A恰好没有滑离B板，令达到的共同速度$v$，则根据动量守恒有 根据能量守恒有 解得 故当时，A最终能与B达到共速，一起向左匀速直线运动，摩擦产生的内能为 解得 当时，A会从B上滑落，摩擦产生的内能为 16．（1），；（2）；（3） 【详解】（1）设子弹初速度为v0，射入厚度为2d的钢板后，最终钢板和子弹的共同速度为v，由动量守恒得 解得 此过程中动能的损失为 解得 （2）分成两块钢板后，设子弹穿过第一块钢板时子弹和钢板的速度分别为v1和v2（v1>v2），由动量守恒得 根据能量守恒得 由（1）问可知 联立解得，， （3）子弹以速度v1垂直射向第二块钢板在第二块钢板中进入深度d0，共同速度为v3，由系统动量守恒得 摩擦力做功等于系统动能的减少，则 联立化简得 17．（1）2m/s；（2）0.2m；（3）7N；（4）不守恒，损失449J 【详解】（1）设子弹穿过木块后，木块的速度为，根据动量守恒定律有 解得 （2）子弹穿过木块后，木块向上摆动到最高处的过程中，设上升的最大高度为h，根据机械能守恒定律有 解得 h=0.2m （3）根据牛顿运动定律有 解得 F=7N （4）子弹穿过木块过程中子弹和木块总的机械能不守恒。损失的机械能为 18．(1)； (2)①；② 【详解】（1）设子弹的初速度大小为，射入小木块后的共同速度为，根据动量守恒定律可得 解得 设轻绳绷紧时小木块速度方向与轻绳的夹角为，则有 由于木块向右运动，则轻绳绷紧时小木块速度方向与轻绳的夹角为 轻绳绷紧时，沿轻绳方向的速度为0，垂直轻绳方向的速度 由于轻绳绷紧后木块和子弹刚好能到达最高点，则有 解得 从轻绳绷紧到最高点，由机械能守恒可得 联立解得 子弹射入时损失的机械能 轻绳绷紧时损失的机械能 则整个过程损失的机械能 （2）①碰后B能在竖直面内做圆周运动，轨迹半径为10a，设碰后B的最小速度大小为vB，最高点速度大小为，在最高点时由牛顿第二定律可得 B从最低点到最高点由动能定理可得 联立解得 ②A和B碰撞过程中动量守恒，设碰前A的速度大小为，碰后A的速度大小为，碰后B的速度大小为，根据动量守恒，则有 根据能量守恒则有 碰后A减速到0，根据动能定理可得 碰后B做两周圆周运动，绳子在MN间缠绕2圈，缩短4a，在M点正下方时，离M点6a，离地面4a，此时速度大小为，由功能关系可得 B随后做平抛运动，则有， 联立解得 答案第8页，共10页 答案第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $