专题17 截面、交线的问题 训练-2026届高考数学三轮冲刺

专题17　截面、交线的问题 题型01 作截面图形的问题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）正方体的截面可能是什么形状的图形？ 2．（25-26高二上·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 3．（24-25高一下·辽宁大连·期末）（多选）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东佛山·模拟预测）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，过点作正方体的截面，则截面的形状为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 5．（24-25高一下·湖南张家界·期中）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为____________. 6．（24-25高一下·福建南平·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，过点作交于点． (1)若是的中点，过点作一个截面，使得该截面与平面平行，请画出截面，并写出作图过程（无需证明）； (2)证明：平面； (3)求二面角的余弦值． 题型02 截面周长与面积的问题 7．（25-26高三下·江苏连云港·月考）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为____ 8．（2025高三·全国·竞赛）在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，点在棱上．若平面与底面所成角的余弦值为，则平面截正方体所得截面多边形的周长为_____． 9．（25-26高三上·湖南长沙·期末）（多选）如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．平面 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 10．（25-26高三上·湖南长沙·月考）（多选）如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，为上一点，且，则下列结论正确的有（   ） A．正三棱台的高为 B．点的轨迹长度为 C．高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内 D．过点，，的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 11．（25-26高三·全国·二轮复习）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（   ）    A．存在点Q，使四点共面 B．不存在点Q，使平面 C．当Q为中点时，过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积为 D．经过四点的球的表面积为 12．（2026·四川绵阳·模拟预测）（多选）在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当点为棱的中点时，直线与直线平行 C．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D．过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 13．（2026·重庆九龙坡·一模）已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·辽宁大连·模拟预测）在三棱锥中，底面ABC，，，，点D满足，三棱锥的外接球为球O，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 题型03 交线的问题 15．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在边长为12的正方体 中，，分别为线段，上的点，且满足 ，，平面与正方体各表面的交线所围成多边形为______边形；该多边形的周长为_________ 16．（2025·湖南·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与底面夹角的余弦值； (3)求平面与四棱锥表面的交线围成的图形的周长． 17．（2026·山东枣庄·二模）如图，以正四面体的四个顶点为球心，以棱长为半径分别作四个球，它们的公共部分形成的几何体叫做“勒洛四面体”．若正四面体的棱长为4，则（    ） A．此“勒洛四面体”外接球的体积是 B．此“勒洛四面体”的内切球的半径是 C．此“勒洛四面体”表面上交线弧的长度为 D．过三点的截面面积是 18．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）如图，四边形是圆柱的轴截面，，分别在母线，上，过，两点且垂直于平面的平面与圆柱表面的交线是椭圆，椭圆面积公式为，其中分别是椭圆的半长轴、半短轴的长若，,,则的值为___________． 19．（24-25高一下·安徽·月考）已知正三棱锥中，，为底面正三角形的中心，以为球心，半径作一个球，则球面与正三棱锥的表面相交的所有交线的总长为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高三上·辽宁·月考）（多选）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（   ） A．的长度为 B．的长度为 C．的长度为 D．的长度为 21．（25-26高三上·河南郑州·月考）如图，正六棱柱的所有棱长均为1，以为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线的总长度为（   ） A． B． C． D． 22．（2025·河北石家庄·二模）已知正方体的棱长为，连接正方体各个面的中心得到一个八面体，以正方体的中心为球心作一个半径为的球，则该球的球面与八面体各面的交线的总长为（    ） A． B． C． D． 强化训练 1．（25-26高三下·云南昆明·月考）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·北京·开学考试）在棱长为4的正方体中，点为棱的中点，点在底面内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（   ） A．点的轨迹是一条线段，且其长度为 B．过三点的截面面积为18 C．沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为 D．在棱上不存在点，使得平面 3．（25-26高三上·河北沧州·月考）在直四棱柱中，底面为菱形，为等边三角形，，若该直四棱柱的体积为，则以为球心，表面积为的球面与侧面的交线长度为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）在四棱柱中，平面，四边形是平行四边形，且，以为球心，半径为2的球面与侧面的交线的长度为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·甘肃·一模）（多选）如图所示，轴截面为正三角形的圆锥，底面圆半径为是底面的两条直径，母线与该圆锥内切球分别切于点.则下列说法正确的是（    ） A． B．圆锥与球的交线的轨迹长为 C．若，则 D．平面截球的截面面积的最小值为 6．（24-25高三下·山东烟台·月考）（多选）已知正方体的棱长为，为棱的中点，则（    ） A．直线与所成的角为 B．平面 C．过点且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为 D．以为球心，为半径的球面与侧面的交线的长度为 7．（2026·四川宜宾·一模）（多选）已知正三棱台，上底面边长为2，下底面ABC边长为6，侧棱长为4，点在侧面内（包含边界）运动，且，Q为上一点，且，则下列说法正确的是（   ） A．正三棱台的高为 B．高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内 C．点P的轨迹长度为 D．过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 8．（24-25高三上·福建厦门·期中）（多选）如图，棱长为的正方体中，点、分别是棱、的中点，则（    ） A．平面平面 B．直线平面 C． D．过、、三点的平面截正方体的截面面积为 9．（24-25高一下·山东菏泽·期末）（多选）如图，正方体的棱长为2，点，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列说法正确的有（    ） A．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是四边形 B．存在点，使得平面 C．的最小值为 D．若，则点轨迹的长度为 10．（2026·甘肃·二模）圆锥的母线长为2，底面半径为1，过圆锥顶点和底面圆周上任意两点作圆锥的截面，当底面圆心到截面的距离为时，重心的轨迹所围成图形的面积是__________. 11．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______． 12．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知正三棱柱的各棱长均为分别为棱的中点，经过作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为__________. 13．（2026·重庆·模拟预测）直径为2的球与一个正方体的各个面相切，过正方体的一条棱作一平面，该平面被正方体截得的长方形面积为，则球被截面截得的圆的面积为______. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17　截面、交线的问题 题型01 作截面图形的问题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）正方体的截面可能是什么形状的图形？ 【答案】答案见解析 【分析】根据正方体的结构特征分情况解答即可. 【详解】①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形； ②截面三角形是锐角三角形； ③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行； ④截面可以是五边形； ⑤截面可以是六边形； ⑥截面六边形可以是等角（均为）的六边形．特别地，可以是正六边形． 截面图形举例 2．（25-26高二上·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】采用截面扩展法找出截面与各条棱的交点，即可得到截面形状. 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，. 则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. 3．（24-25高一下·辽宁大连·期末）（多选）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正方体及外接球的特征判断即可. 【详解】当截面平行于正方体的一个侧面时得C， 当截面过正方体的体对角线时得B， 当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A， 但无论如何都不能截出D． 4．（2025·广东佛山·模拟预测）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，过点作正方体的截面，则截面的形状为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，取的中点，的中点，的中点，证明都在平面内，由此可得结论. 【详解】因为多面体 正方体，所以，，， 如图：以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以为平面的一个法向量， 取的中点，的中点，的中点， 可得，，， 所以，，， 因为，，， 所以点都在平面内， 连接， 所以过点的正方体的截面为六边形， 故选：A. 5．（24-25高一下·湖南张家界·期中）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为____________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，作出平面截正四棱锥所得的截面，再借助余弦定理、三角形面积公式求解作答. 【详解】在正四棱锥中，连接，则，是正三角形，由的中点为E，得， 而，则，在中，， ，令平面与直线交于，连，则， ，即点在棱上，同理平面与棱相交，令交点为，连， 于是四边形为平面截正四棱锥所得的截面，由对称性知， 在中，，而， 在中，，由余弦定理得， 在中，，， 所以所得截面面积. 故答案为： 6．（24-25高一下·福建南平·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，过点作交于点． (1)若是的中点，过点作一个截面，使得该截面与平面平行，请画出截面，并写出作图过程（无需证明）； (2)证明：平面； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）过点M，分别在平面PBC，平面PDC做EB，ED平行线，可得截面； （2）由平面，可得，结合，可得平面，据此可得，然后结合，可完成证明； （3）由（2）可得即为二面角的平面角，然后由题目信息结合原先定理可得答案. 【详解】（1）如图，取的中点的中点，连接， 则截面与平面平行． （2）因为平面，平面，所以． 在矩形中，平面，平面， 故平面． 又平面，故． 在中，，是的中点，所以，又，平面，平面，故平面， 而平面，于是． 因为平面，平面， 所以平面； （3）由（2）知平面，于是， 所以即为二面角的平面角． 在中，，故，从而． 在中，，故，从而． 又在中，，故由余弦定理得， ， 所以二面角的余弦值为． 题型02 截面周长与面积的问题 7．（25-26高三下·江苏连云港·月考）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为____ 【答案】 【分析】由题意，可得正方体的内切球球心为正方体中心，内切球半径，法一：连接，相交于点，连接，先证明平面，可得到平面的距离等于点到平面的距离，再利用等体积法求得，进而求出截面圆半径，进而求解即可；法二：建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用点面距离公式求解到平面的距离，进而求出截面圆半径，进而求解即可. 【详解】由题意，正方体的内切球球心为正方体中心，内切球半径. 法一：连接，相交于点，则点为的中点，连接. 可得，因为平面，平面， 所以平面，在上， 则到平面的距离等于点到平面的距离，设为， ，， 由，得，则， 则截面圆半径，所以截面面积； 法二：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 则到平面的距离， 所以截面圆半径，所以截面面积. 8．（2025高三·全国·竞赛）在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，点在棱上．若平面与底面所成角的余弦值为，则平面截正方体所得截面多边形的周长为_____． 【答案】/ 【分析】由题意可得平面，根据线面平行的性质，有，由线面垂直的判定与性质定理可得平面与底面所成角为，设，结合可解得，从而，即三点共线，即截面多边形为，进而可求其周长. 【详解】如图，，因为平面，平面，故平面， 设平面平面，点在棱上，则有， 设平面，， 过点作于点，则易得底面， 设，则， 因为为的中点，易得，且，则平面， ，故平面与底面所成角为， 因为，，所以四边形为等腰梯形， 因为，且为的中点，则为的中点， 因为，易得四边形为矩形， 因为为的中点，底面，则为的中点，进而有为的中点， 则，则，，即， 在中，，解得， 从而，即三点共线，即截面多边形为， ， 所以截面多边形的周长为：. 故答案为：. 9．（25-26高三上·湖南长沙·期末）（多选）如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．平面 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据等积变换可求三棱锥的体积；对于选项B，可用反证法说明；对于选项C，可通过建立空间直角坐标系求出外接球的半径，从而得出表面积；对于选项D，作出过三点确定的平面与正方体相交形成的截面，进而求得截面的周长. 【详解】对于A，三棱锥的体积，故A正确； 对于B，因为，所以与不垂直， 所以与平面不可能垂直，故B错误； 对于C，坐标法：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设外接球的球心为，则 ， ， ， 求得，故C正确； 对于D，如图，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形为的中点（平行则四点共面）， 等腰梯形的周长为，D正确. 故选：ACD 10．（25-26高三上·湖南长沙·月考）（多选）如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，为上一点，且，则下列结论正确的有（   ） A．正三棱台的高为 B．点的轨迹长度为 C．高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内 D．过点，，的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 【答案】BCD 【分析】延长正三棱台的侧棱相交于点，根据题意可得三棱锥为正四面体，设为等边三角形的中心，再求出正四面体的高，进而得到正三棱台的高即可判断A；由与平面所成角的正切值为，得到，则点在等边三角形的内切圆上，再求周长即可判断B；根据三棱台的高及上底面内切圆的半径即可判断C；设正四面体的内切球的半径为，利用等体积法得到，再结合题意可知过点，，的平面正好过该内切球的球心，进而得到截面面积即可判断D． 【详解】如图，延长正三棱台的侧棱相交于点，由题意可知，. 在等腰梯形中，因为，，，所以， 即为等边三角形，所以三棱锥为正四面体，且. 对于A，设为等边三角形的中心， 由正四面体的性质可知，侧面，且， 即点到底面的距离为， 又因为，，所以正三棱台的高为，故A错误； 对于B，因为与平面所成角的正切值为， 所以，解得， 且等边三角形的内切圆的半径为，可知点在等边三角形的内切圆上， 又，， 故该圆与相切，所以点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，因为正三棱台的高为，的内切圆的半径为，且， 所以高为、底面半径为的圆柱可以放进该棱台内，故C正确； 对于D，设正四面体的内切球的半径为， 由等体积法可得，解得， 因为，所以该棱台内最大的球即正四面体的内切球， 又因为，，，所以为的中点，过点，，的平面正好过该内切球的球心， 所以截面面积为，故D正确． 故选：BCD． 11．（25-26高三·全国·二轮复习）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（   ）    A．存在点Q，使四点共面 B．不存在点Q，使平面 C．当Q为中点时，过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积为 D．经过四点的球的表面积为 【答案】ACD 【分析】当与重合时，说明判断A；当为的中点时，证明平面判断B；作出截面图形即可判断C；利用割补法求得经过四点的球的半径，即可求得球的表面积判断D. 【详解】对于A，当与重合时，连接，由， 则四边形为平行四边形，，又，故， 因此四点共面，A正确；    对于B，当为的中点时，，而四边形为平行四边形，则， 故，平面，平面，则平面，B错误； 对于C，当Q为中点时，取的中点，连接，此时过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面为正六边形，故其面积为，C正确；    对于D，设分别为的中点，则为长宽高分别为2，2，1的长方体， 经过四点的球即为长方体的外接球，    因此该外接球的直径满足：， 所以经过四点的球的表面积为，D正确. 故选：ACD 12．（2026·四川绵阳·模拟预测）（多选）在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当点为棱的中点时，直线与直线平行 C．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D．过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】以正方体顶点为原点建立空间直角坐标系，得到顶点的坐标和中点的坐标，然后利用空间向量数量积的坐标运算求得异面直线与所成角的余弦值，判断A选项；求得与的坐标，根据平行向量的坐标关系判断直线与直线是否平行，判断B选项；由题可得点的运动轨迹，然后求得点在侧面内运动路径长，判断C选项；由空间向量投影求得球心到直线的距离，即可求得球心到过直线的平面的最大距离，从而求得截面圆的半径，然后得到其面积，判断D选项. 【详解】以正方体顶点为原点，建立如图空间直角坐标系，则. 则. 对于A，， 所以，故A正确. 对于B，若点为棱的中点，则，所以. 因为，所以不存在实数，使得，所以B错误. 对于C，因为，所以点在以点为球心的球面上. 又点是正方体侧面上的动点（含边界），所以点在侧面内运动轨迹是球的球面与侧面的交线. 因为侧面，且， 所以点在侧面内运动轨迹是以为圆心的圆与侧面内的交线，即圆心角为的圆弧，且半径为. 所以其路径长为.所以C正确. 对于D，易得正方体的内切球球心为正方体的中心，所以，半径为1. 所以，所以球心到直线的距离为， 所以球心到过直线的平面的最大距离为，此时截面圆的面积最小. 截面圆半径为，所以此时的截面圆面积为.所以D正确. 故选：ACD. 13．（2026·重庆九龙坡·一模）已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，的中点，得到为菱形，故有过点的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形，根据题意求出的长度，取的中点，连接，根据勾股定理求出的长度，故菱形的面积为，代入数值得解. 【详解】取的中点，的中点，连接，，，， 取的中点，连接，取的中点，连接， 分别是，，，的中点，是正方形， 且，且， 且，为平行四边形，且， 而且，则，为平行四边形， ，四点共面，又，为菱形， 平面， 过点的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形， ，，则， 故菱形的面积为. 故选：A 14．（2025·辽宁大连·模拟预测）在三棱锥中，底面ABC，，，，点D满足，三棱锥的外接球为球O，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥补成长方体并建立空间直角坐标系，设、外接球半径为R，求出各点及球心坐标，分析截面圆的面积差从而求出h、R，代入球的表面积公式即可得解. 【详解】设，因为在三棱锥中，底面ABC，，所以将其补为一个长方体（长为4，宽为3，高为h），三棱锥与该长方体共外接球，球心O为长方体体对角线中点，设外接球半径为R， 以A为坐标原点，AB、AC、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ， ， 过D作求O的截面，最大截面为：过球心O，半径为R，面积为， 最小截面为：与OD垂直，半径为，面积为. 因为过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为， 所以，解得， 则，外接球表面积为：. 故选：D 题型03 交线的问题 15．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在边长为12的正方体 中，，分别为线段，上的点，且满足 ，，平面与正方体各表面的交线所围成多边形为______边形；该多边形的周长为_________ 【答案】 五 【分析】过点在平面内作，分别交，的延长线于两点，，连接，分别交，于，，连接各平面上的交点，即可得到平面与正方体各表面的交线所围成多边形；通过三角形相似以及勾股定理可以求出五边形各边边长，即可求出该多边形的周长. 【详解】如图，连接，，，过点在平面内作，分别交，的延长线于，，连接，分别交，于，，连接，，，，所以五边形为平面与正方体各表面的交线所围成多边形， 过点作，过点作，所以， 由正方体，知， 因为，，所以， 所以为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点， 所以，因为，所以根据勾股定理可得：， 因为，为对角线，所以， 又因为，所以为等腰直角三角形，所以， 同理，又因为，，所以， 所以与相似，因为，所以， 所以，同理与相似，所以， 所以，所以根据勾股定理可得：，， 所以五边形周长为. 故答案为：五；. 16．（2025·湖南·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与底面夹角的余弦值； (3)求平面与四棱锥表面的交线围成的图形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，可得，利用线面平行的判定定理，即可证得； （2）首先建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量利用坐标运算，即可求出平面与底面所成角的余弦值； （3）利用图形的对称性，设交点Q，利用坐标运算求向量的模，即可求得平面与四棱锥表面的交线围成的图形的周长. 【详解】（1）如图，连接， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）因为底面，又平面， 所以， 又底面为正方形，则， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，分别为，的中点． 则，，， 所以，．     设平面的一个法向量为， 所以， 令，则，，所以．     因为平面的一个法向量为，     所以， 所以平面与底面夹角的余弦值为． （3）平面与棱交于一点， 由（2），设交点，则，， 又，所以， 则，所以， 又，， 则，即， 所以平面与四棱锥表面的交线围成的图形的周长为． 17．（2026·山东枣庄·二模）如图，以正四面体的四个顶点为球心，以棱长为半径分别作四个球，它们的公共部分形成的几何体叫做“勒洛四面体”．若正四面体的棱长为4，则（    ） A．此“勒洛四面体”外接球的体积是 B．此“勒洛四面体”的内切球的半径是 C．此“勒洛四面体”表面上交线弧的长度为 D．过三点的截面面积是 【答案】D 【分析】根据勒洛四面体的结构特征，结合外接球、内切球、余弦定理、扇形面积、空间几何体的截面与相关知识，依次分析各选项即可得. 【详解】对A：此“勒洛四面体”外接球即为正四面体的外接球， 在正四面体中，为的中心， 是正四面体外接球的球心， 连接、、，由正四面体的性质可知在上， 因为，所以， 则. 因为， 即，解得， 即外接球半径为， 故外接球的体积，故A错误； 对B：由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心， 由外接球半径， 则内切球的半径为，故B错误； 对C：如图，取中点， 在中，，， 设为弧上任意一点，根据“勒洛四面体”的对称性， 弧在平面上，且平面. 所以， 所以该弧是以的中点为圆心，以为半径的圆弧， 设圆心角为，则，可知， 所以弧长不等于，故C错误； 对D：过三点截得的截面如图所示： 其面积为，则D正确. 18．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）如图，四边形是圆柱的轴截面，，分别在母线，上，过，两点且垂直于平面的平面与圆柱表面的交线是椭圆，椭圆面积公式为，其中分别是椭圆的半长轴、半短轴的长若，,,则的值为___________． 【答案】 【分析】理解题意，分析判断椭圆的短半轴长即圆柱底面半径，而长半轴即，通过作于点，解三角形求出，即可求得答案. 【详解】由圆柱截面的性质得出椭圆的短半轴长为圆柱底面半径，即， 依题意，椭圆的长半轴即，过点作的垂线交于点， ，，， 则，，则， 故，则. 故答案为： . 19．（24-25高一下·安徽·月考）已知正三棱锥中，，为底面正三角形的中心，以为球心，半径作一个球，则球面与正三棱锥的表面相交的所有交线的总长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正三棱锥的性质找出相关线段的垂直关系，确定一些关键线段的长度；然后分别求出球与正三棱锥不同面相交所得圆弧的半径和圆心角；最后根据弧长公式计算各段圆弧的长度，进而求出球面与正三棱锥表面相交所得到曲线的总长度. 【详解】因为正三棱锥，如图1，设中点为，连接. 根据正三棱锥的性质，顶点在底面上的射影在底面三角形的中心，且等腰三角形三线合一， 所以，（是侧面等腰三角形的高，是底面正三角形ABC边AB上的高）. 过作，交于，由于，，，可得平面， 又平面，所以，而，且都在平面内，所以平面. 已知为线段CH上靠近的三等分点，，，那么. 在中，可得. 根据三角形面积公式，可得，则，故， 如图2，球与的交线为以为圆心，以为半径的圆在内部的三段圆弧. 因为正三棱锥底面是正三角形，其中心到三边的距离相等， 所以每段圆弧所对的圆心角为，每段弧长为，三段弧长之和为.   如图3，球与的交线为以为圆心，以为半径的圆在内部的一段圆弧. 若，由题设易知为等腰直角三角形，则， 所以是等腰直角三角形，则， 所以且，故且， 所以，可得，结合对称性易得，且，则， 所以在内部的弧线为以为半径的圆弧的四分之三，其弧长为.   因为有三段球与交线的圆弧和三段球与交线的圆弧（正三棱锥有三个侧面和一个底面）， 所以球面与正三棱锥的表面相交所得到的曲线的长为.   故选：A. 20．（24-25高三上·辽宁·月考）（多选）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（   ） A．的长度为 B．的长度为 C．的长度为 D．的长度为 【答案】AD 【分析】做出截面，确定线段，，由平行线分线段成比例，相似三角形的性质以及勾股定理即可得解. 【详解】如图所示， 连接并延长交的延长线于，连接并延长交于点， 交的延长线于点，连接，交于点，连接， 则即为，即为， 由，得，所以，， 由，得，则， 所以，故C错误，D项正确； 由，得， 又易知，得，所以， 所以，故A项正确，B项错， 故选：AD. 21．（25-26高三上·河南郑州·月考）如图，正六棱柱的所有棱长均为1，以为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线的总长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定球面与六棱柱各面的交线的形状，再求交线的总长度. 【详解】如图： 连接，，，，，，. 因为正六棱柱的所有棱长均为1， 所以，. 又，，平面，， 所以平面. 同理平面. 所以以为球心，以2为半径的球面与侧面，侧面，侧面，侧面，底面均无交线， 与侧面的交线是以为圆心，1为半径的圆弧， 与侧面的交线是以为圆心，1为半径的圆弧， 与上底面的交线是以为圆心，以为半径的圆弧. 所以交线总长度为：. 故选：B 22．（2025·河北石家庄·二模）已知正方体的棱长为，连接正方体各个面的中心得到一个八面体，以正方体的中心为球心作一个半径为的球，则该球的球面与八面体各面的交线的总长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图形，求解正方体的中心与正八面体面的距离，然后求解求与正八面体的截面圆半径，求解各个平面与球面的交线、推出结果. 【详解】如图所示，为的中点，为正方体的中心，过作的垂线交于点，正八面体的棱长为2，即，故，，，则， 设球与正八面体的截面圆半径为，如图所示，则， 由于，，所以，则，平面与球的交线所对应的圆心角恰为，则该球的球面与八面体各面的交线的总长为 故选：B 强化训练 1．（25-26高三下·云南昆明·月考）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定四点共面，进而计算结果即可. 【详解】取线段的中点为，的中点为，，如图， 因为正方体中，分别是棱的中点， 所以，所以四点共面. 由正方体的棱长为2，可得，， 所得截面周长为， 故选：B. 2．（25-26高三下·北京·开学考试）在棱长为4的正方体中，点为棱的中点，点在底面内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（   ） A．点的轨迹是一条线段，且其长度为 B．过三点的截面面积为18 C．沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为 D．在棱上不存在点，使得平面 【答案】C 【分析】根据题意，取分别为的中点，连接，可得平面平面，所以，可判断A；由于，所以过三点的截面为等腰梯形，求其面积判断B；先求，间接法判断C；假设存在点，使得平面，则，利用平面向量数量积运算确定点，判断D. 【详解】对于A，取分别为的中点，连接， 根据中位线定理得， 又平面，平面，所以平面， 同理平面， 又，平面，所以平面平面， 又易得且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面 所以平面平面， 因为直线平面，所以平面， 所以，又，点的轨迹是一条线段，且其长度为，故A正确； 对于B，由A可得， 所以过三点的截面为等腰梯形， 又， 所以等腰梯形的高为， 所以截面面积为，故B正确； 对于C，， 所以平面切割正方体得到较大的多面体体积为，C错误； 对于D，假设存在点，使得平面， 因为平面，则， 在正方形中，如图建立平面直角坐标系， 则， 设，则， 所以，得，显然不成立，D正确. 3．（25-26高三上·河北沧州·月考）在直四棱柱中，底面为菱形，为等边三角形，，若该直四棱柱的体积为，则以为球心，表面积为的球面与侧面的交线长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用柱体的体积公式求出的值，取的中点，连接，证明出平面，分析可知在侧面中，以为圆心的圆弧与棱、的交点分别为、，求出的长以及的大小，结合扇形的弧长公式可得结果. 【详解】依题意，设， ，解得， 如图，取的中点，连接， 因为是边长为的正三角形，所以， 且， 以为球心的球的半径为，则该球的表面积为，解得， 因为平面，平面，故， 又因为，，、平面，故平面， 在侧面中，以为圆心的圆弧与棱、的交点分别为、， 则其半径，则即为所求的交线， 因为，，故，则， 同理可得，故， 又因为，所以的长度为， 故选：D. 4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）在四棱柱中，平面，四边形是平行四边形，且，以为球心，半径为2的球面与侧面的交线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取，连接，可证平面，从而可得交线为以为圆心，半径为1的一段圆弧，最后由弧长公式可求交线的长度. 【详解】如图，取，连接， 因为在四棱柱中，平面， 可得四棱柱的四个侧面均为矩形，所以， 因为，所以以为球心，半径为2的球面与直线相切. 在四棱柱-中，底面为平行四边形，， 根据余弦定理可得，， 所以，故，故， 因为平面平面，所以， 而平面，所以平面， 而平面，故， 故， 所以和是球面与侧面的相交轨迹上的其中两个交点， 所以点和在以为圆心，半径为1的圆上，因为， 所以的长度为， 所以球面与侧面的交线为，且交线的长度为. 故选：A. 5．（2026·甘肃·一模）（多选）如图所示，轴截面为正三角形的圆锥，底面圆半径为是底面的两条直径，母线与该圆锥内切球分别切于点.则下列说法正确的是（    ） A． B．圆锥与球的交线的轨迹长为 C．若，则 D．平面截球的截面面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据圆锥轴截面是正三角形且底面半径为，可以计算圆锥的高、母线长，再利用轴截面的几何关系求内切球半径，进而可计算球和圆锥的体积比，可以判断选项A；先确定圆锥与球的交线是一个圆，通过分析球心到圆锥轴截面的距离、球半径，求出交线圆的半径，再计算其周长，可以判断选项B；根据题意可得，再结合三余弦定理，可以判断选项C；当球心到平面的距离最大时截面圆半径最小，进而得到最小面积，可以判断选项D. 【详解】对于A，画出圆锥的轴截面如图（1）所示.连接，则必过球心， 因为轴截面为正三角形且底面圆半径为， 所以， 所以， 故A正确； 对于B，如图（2），易知，圆锥与球的交线的轨迹为， 因为，所以在中， 可得，求得半径， 故轨迹长为错误； 对于C，根据三余弦定理可知， ， 故C正确； 对于D，当绕着旋转时，平面恒过定直线，若要使得平面截球的截面面积最小，只需球心到平面的距离达到最大， 如图（3）过作直线的垂线，垂足为到平面的最大距离为， 又因为在中，，所以截面半径的最小值为， 所以平面截球的截面面积的最小值为，故D正确. 6．（24-25高三下·山东烟台·月考）（多选）已知正方体的棱长为，为棱的中点，则（    ） A．直线与所成的角为 B．平面 C．过点且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为 D．以为球心，为半径的球面与侧面的交线的长度为 【答案】BCD 【分析】对于A，构造线线角后利用解直角三角形可得的值，故可求判断A的正误；对于B，利用线面垂直判断平面，故可判断B的正误；对于C，作出截面图形后求出其面积从而判断其正误；对于D，判断出交线的形状后可求其长度，故可判断D的正误. 【详解】对于A，在正方体中，， 故直线与所成的角即为直线与所成的角，即， 在中，，则不为，A错误； 对于B，连接，则，又平面，平面， 所以，，，平面，故平面， 平面，故，同理可证， ，，平面，故平面，B正确； 对于C，由可知平面， 故过点且与垂直的平面截正方体所得截面与平面平行， 设，，，，的中点为，，，，，依次连接，，，，，， 可得六边形为正六边形， 而，平面，平面，故平面， 同理可证平面，，，面， 故面平面， 即过点且与垂直的平面截正方体所得截面即为六边形，边长为， 其面积为，C正确；    对于D，过点作的垂线，垂足为，则为的中点，且平面， 设以为球心，为半径的球面与侧面的交线上的点为，则， 平面，故，且， 则以为球心，为半径的球面与侧面的交线为平面上以为圆心， 以为半径的圆弧，，分别为圆弧与的交点，如图：    由于，故，则交线长度为，D正确， 故选：BCD. 7．（2026·四川宜宾·一模）（多选）已知正三棱台，上底面边长为2，下底面ABC边长为6，侧棱长为4，点在侧面内（包含边界）运动，且，Q为上一点，且，则下列说法正确的是（   ） A．正三棱台的高为 B．高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内 C．点P的轨迹长度为 D．过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 【答案】ABD 【分析】延长正三棱台侧棱相交于点，分析可知三棱锥为正四面体，对于A：根据正四面体的高以及棱台的性质分析求解；对于B，根据三棱台的高及上底面内切圆的半径即可判断；由得到，进而根据等边三角形的内切圆半径为求得点的轨迹，再求轨迹长度判断C；设正四面体的内切球的半径为，利用等体积法得到，再结合题意可知过点，，的平面正好过该内切球的球心，进而得到截面面积即可判断D． 【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，由题意可知：， 在等腰梯形中，因为，，，则. 即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且. 对于A：设为等边的中心， 由正四面体的性质可知：侧面，且， 即点到底面的距离为， 又因为，，所以正三棱台的高为，故A正确； 对于B，设的内切圆的半径为，则根据等面积法有：，解得， 因为正三棱台的高为，的内切圆的半径为，且， 所以高为、底面半径为的圆柱可以放进该棱台内，故B正确； 对于C，由A选项知，侧面，且， 因为点在侧面内（包含边界）运动，且 所以， 因为等边三角形的内切圆的半径为， 又，， 所以，点在侧面内的轨迹为弧和， 而,故，故为等边三角形， 所以，所以点的轨迹长度为，故C错误； 对于D，设正四面体的内切球的半径为， 由等体积法可得，解得， 因为，所以该棱台内最大的球即正四面体的内切球， 又因为，，， 所以为的中点，过点，，的平面正好过该内切球的球心， 所以截面面积为，故D正确． 8．（24-25高三上·福建厦门·期中）（多选）如图，棱长为的正方体中，点、分别是棱、的中点，则（    ） A．平面平面 B．直线平面 C． D．过、、三点的平面截正方体的截面面积为 【答案】AC 【分析】对于A，通过平面得到，同理得到，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证；对于B，求出平面的一个法向量的坐标，利用法向量与向量的数量积是否为来判断即可证明；对于C，正四面体中，求出高，近一步即可求出；对于D，首先得到截面图象，求出面积即可. 【详解】对于A，连接， 在正方体中，平面，平面，则， 又在正方形中，， 因为，、平面，所以平面， 又平面　所以，同理可证：， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则、、、、、， ，，，， 设平面的一个法向量为， 所以，取，可得， 所以，故与平面不平行，B错； 对于C，点到平面的距离为， 易知是边长为的等边三角形，故， 故三棱锥的体积，C对； 对于D，因为、分别为、的中点，所以， 又因为，，故四边形为平行四边形，所以， 所以，故梯形即为所求截面， 易知点、，，， 所以点到直线的距离为， 又因为，， 故梯形的面积为，故D错误. 故选：AC. 9．（24-25高一下·山东菏泽·期末）（多选）如图，正方体的棱长为2，点，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列说法正确的有（    ） A．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是四边形 B．存在点，使得平面 C．的最小值为 D．若，则点轨迹的长度为 【答案】BC 【分析】对于A，利用正方体的截面作法，作出截面即可判断；对于B，取的中点为点，证明平面平面，在上取点，即得平面；对于C，通过作点关于平面的对称点，将转化为，结合图形，当三点共线时即得的最小值；对于D，以为直径作半圆，当点为半圆上的点时，证明平面时，即可得到，从而确定轨迹为半圆，求其弧长即得. 【详解】 对于A，如图，设直线与直线分别交于点， 连接交于点，连接交于点， 故过，，三点的平面截正方体所得截面图形是五边形，故A错误； 对于B，如图，取的中点为，连接，因点，分别是，的中点，则， 因平面，平面，则平面， 又，同法可得平面， 因平面，故平面平面， 取点，则平面，则平面，故B正确； 对于C，如图，作出点关于平面的对称点，连接，交平面于点， 因此时，则即为最小值， 取的中点，连接，易得，则，故C正确； 对于D，如图，以为直径作半圆，当点为半圆上的点时，， 因平面， 平面，则， 又平面，故平面， 又平面，故，即点的轨迹为半圆，其弧长为，故D错误. 故选：BC. 10．（2026·甘肃·二模）圆锥的母线长为2，底面半径为1，过圆锥顶点和底面圆周上任意两点作圆锥的截面，当底面圆心到截面的距离为时，重心的轨迹所围成图形的面积是__________. 【答案】 【分析】先利用线面垂直关系确定点在底面上的投影的位置，求出的长度，再结合三角形重心的性质得到的长度，最后通过作垂线确定点的轨迹为圆并计算其面积. 【详解】如图，设为中点，连接，作平面，连接， 又平面，则， 又，所以， 所以，又，所以， 所以，所以垂足必在上，由题意可知，则， ， 由于为等腰三角形， 所以重心在底边的中线靠近点的三等分点处， ， 作，垂足为， 则， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，其面积为. 11．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______． 【答案】 【分析】取的中点的中点的中点，连接，由面面平行的性质定理，即得截面多边形，分析可得多边形为正六边形，求出边长后计算面积即可. 【详解】 取的中点的中点的中点，连接， 则正六边形为对应的截面，又正六边形的边长为， 所以截面的面积为：. 故答案为：. 12．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知正三棱柱的各棱长均为分别为棱的中点，经过作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为__________. 【答案】 【分析】因为已知正三棱柱各棱长，所以可先确定底面正三角形外接圆的圆心，结合正三棱柱的高确定外接球的球心位置，再计算球心到的距离. 因为截面面积最小的情况是截面与球心和截面圆的圆心的连线垂直，此时截面圆的半径最小，所以求出球心到的距离，利用勾股定理计算最小截面圆的半径,即可求得答案. 【详解】正三棱柱的外接球的球心为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接， 设外接球的半径为，为正三角形，其外接圆半径为 则下底面外接圆的半径为， 在中，，则， 在中，，，， 作于，由于，则F为的中点， 则过的平面垂直时截面圆的面积最小， 则，截面圆的半径为， 所以截面圆的面积最小值为. 13．（2026·重庆·模拟预测）直径为2的球与一个正方体的各个面相切，过正方体的一条棱作一平面，该平面被正方体截得的长方形面积为，则球被截面截得的圆的面积为______. 【答案】 【分析】先利用球与正方体相切的条件得出正方体的棱长为2，再通过长方形面积求出截面的边长，最后结合球的半径和球心到截面的距离，算出截面圆的半径，进而得到面积. 【详解】因为球与正方体的各个面相切，且直径为2，所以正方体的棱长等于球的直径，即棱长， 如图，设过正方体的一条棱作一平面，分别与交于点, 因为该平面被正方体截得的长方形面积为，所以，即， 所以， 即是的中点，同理也是的中点， 如图建立空间直角坐标系，则， 所以 设平面的法向量为， 则，故可取， 又因为，则球心到平面的距离为， 所以球被截面截得的圆的半径 ， 所以球被截面截得的圆的面积. 【点睛】利用球与正方体相切，确定正方体的棱长，结合截面形状和面积求出球心到截面的距离，这是解决问题的关键. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $