专题8.1 基本立体图形 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题8.1 基本立体图形 【知识梳理】 1 【考点1：棱柱】 5 【考点2：棱锥】 6 【考点3：棱台】 7 【考点4：圆柱】 8 【考点5：圆锥】 9 【考点6：圆台】 10 【考点7：球】 11 【考点8：简单组合体】 12 【知识梳理】 1．空间几何体的有关概念 (1)空间几何体的定义 对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间 图形就叫做空间几何体. 例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体. (2)定理的实质 多面体及其相关概念 ①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. ②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等. ③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等. ④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等. (3)旋转体及其相关概念 ①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭 的旋转面围成的几何体叫做旋转体. 图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的. ②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴. 2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台. 相关概念 (1)底面(底)：两个互相平行的面； (2)侧面：其余各面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：侧面与底面的公共顶点. (1)底面(底):多边形面； (2)侧面：有公共顶点的各个三角形面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：各侧面的公共顶点. (1)上底面：原棱锥的截面； (2)下底面：原棱锥的 底面 . (3)侧面：其余各面. (4)侧棱：相邻侧面的公共边； (5)顶点：侧面与底面的公共顶点. 图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' (或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C ) 棱台ABCD-A'B'C'D' 结构特征 (1)底面互相平行且全等； (2)侧面都是平行四边形； (3)侧棱都相等，且互相平行. (1)底面是多边形； (2)侧面都是三角形； (3)侧面有一个公共顶点. (1)上、下底面互相平行，且是相似图形； (2)各侧棱的延长线交于一点； (3)各侧面为梯形. 分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几 棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台. 3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部 分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 相关概念 (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 (5)顶点：母线的交点. (1)上底面：原圆锥的截面. (2)下底面：原圆锥的底面. (3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线. (4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面. (5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. (1)球心：半圆的圆心. (2)半径：连接球心和球面上任意一点 的线段. (3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段. 图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O 结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆. (2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等. (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面. (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点. (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面. (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点. (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴 的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合. (2)球的截面都是圆面. 棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体. 4．空间几何体结构特征的判断技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定. (2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可. 5．简单组合体的结构特征 (1)简单组合体的定义 由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成形式 ①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示. ②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示. (3)常见的几种组合体 ①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到. ②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到. ③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成. 6．正方体的截面形状的探究 通过尝试、归纳，有如下结论. (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四 边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是 正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 对应截面图形如图中各图形所示 【考点1：棱柱】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题中，正确的是（    ） A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 2．（25-26高一下·全国·课后作业）在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 3．（2026高三·全国·专题练习）已知长方体的三条面对角线的长分别为5，4，，则的取值范围为______. 4．（25-26高二上·北京怀柔·期中）如图，正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的侧棱长为__________. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要多长？ 【考点2：棱锥】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）一个正三棱锥的侧棱和底面边长都是4，则该正三棱锥的高为________． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 3．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知正四棱锥的侧棱长，M为SA中点，从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A．6 B． C． D． 5．（多选）（20-21高一下·浙江丽水·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．棱锥的各个侧面都是三角形 B．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 C．棱锥的侧棱平行 D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 【考点3：棱台】 1．（25-26高一·全国·课后作业）一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（    ） A．前，程 B．你，前 C．似，棉 D．程，锦 2．（25-26高一下·全国·课后作业）下列几何体是棱台的是（   ） A．B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·随堂练习）已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为___________． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列三个命题，其中不正确的是________． ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． 5．（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似地视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型（如图2）、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为_________．       【考点4：圆柱】 1．（25-26高二·上海·假期作业）下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的个数为（   ） ①一个八棱柱有10个面；    ②任意面体都可以分割成个棱锥； ③棱台侧棱的延长线必交于一点；    ④矩形旋转一周一定形成一个圆柱． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 4．（24-25高二下·河北石家庄·期末）若圆柱的底面半径为2，轴截面的对角线长为5，则这个圆柱侧面展开图的对角线长为_____________. 5．（2026高一·全国·专题练习）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为______. 【考点5：圆锥】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列说法：（1）以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（2）以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（3）经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；（4）圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径.其中正确说法的序号是___________. 2．（2026·陕西榆林·一模）一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高三上·安徽·期中）已知某圆锥的轴截面是钝角三角形，记该钝角三角形的腰长为，若过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26高一下·重庆·月考）如图几何体是圆锥的一部分，其中．从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高一下·黑龙江·期中）下列命题中不正确的是（    ） A．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 C．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥 D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 【考点6：圆台】 1．（24-25高一下·广西钦州·期末）下列说法正确的是（    ） A．有两个平面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．底面是正六边形的棱锥是正六棱锥 C．棱台的所有侧棱的延长线交于同一个点 D．绕直角梯形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆台 2．（25-26高一下·福建厦门·月考）下列结论正确的是（   ） A．用一个平面去截一个圆台，得到的截面可能是平行四边形 B．有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ） A．    是棱台 B．是圆台 C．   是棱锥 D．   不是棱柱 4．（2026高三上·广东深圳·专题练习）圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16．已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ）    A．16 B． C． D． 5．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【考点7：球】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是有（    ） ①空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球； ②空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面； ③球的对称轴有无数条，对称中心也有无数个； ④用平面截球，随着平面角度不同，截面可能不是圆面． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2026·吉林·模拟预测）已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）①空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球；②空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面；③球的对称轴有无数条，对称中心也有无数个；④用平面截球，随着平面角度不同，截面可能不是圆面.上述四种说法中正确的个数是__________. 4．（25-26高二上·上海·期末）地球可近似视为半径为的球体.已知我国的冰城哈尔滨市与意大利的都灵市的地理坐标分别约为北纬、东经和北纬、东经.若将两地视为同一纬度圈上的两点，则它们在该纬度圈上所对应的劣弧长度为________.（用含的式子表示） 5．（25-26高二上·上海·期中）动点在棱长为的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为___________． 【考点8：简单组合体】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体是（    ） A．一个圆台 B．一个圆柱 C．一个圆柱和一个圆锥的简单组合体 D．一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图是由下列哪个平面图形绕轴旋转而成的组合体（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京朝阳·期中）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的棱长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川·期中）如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为，A，B，C是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则（    ）    A． B． C．2 D． 5．（25-26高二上·山西晋中·开学考试）在世界环保意识日益强化，石油资源日渐枯竭的今天，以氢气做动力源的研究已成为一大课题．当年马自达坚持下来的转子发动机（如图1）从结构上讲是最适合燃烧氢气，而且最“干净”，因为氢燃烧完后排出的是水蒸气，对环境没有任何污染．马自达公司改制了RX-7型跑车的转子发动机，使它可以用氢做燃料．以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图2）被称为“勒洛四面体”，它表面上任意两点间的距离最大值与正四面体棱长相等，能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．转子发动机的设计正是利用了这一原理．转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出的优点．另外，由于转子引擎的轴向运动特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速．若正四面体ABCD的棱长为2，将对应的勒洛四面体ABCD放进一个正方体纸盒中，若该勒洛四面体可以在纸盒内任意转动，则该纸盒棱长的最小值为__________；若在勒洛四面体ABCD内放一个小正方体零件，该零件可以在勒洛四面体ABCD内任意转动，则该零件棱长的最大值为__________． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 基本立体图形 【知识梳理】 1 【考点1：棱柱】 5 【考点2：棱锥】 8 【考点3：棱台】 11 【考点4：圆柱】 14 【考点5：圆锥】 17 【考点6：圆台】 20 【考点7：球】 23 【考点8：简单组合体】 25 【知识梳理】 1．空间几何体的有关概念 (1)空间几何体的定义 对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间 图形就叫做空间几何体. 例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体. (2)定理的实质 多面体及其相关概念 ①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. ②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等. ③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等. ④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等. (3)旋转体及其相关概念 ①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭 的旋转面围成的几何体叫做旋转体. 图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的. ②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴. 2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台. 相关概念 (1)底面(底)：两个互相平行的面； (2)侧面：其余各面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：侧面与底面的公共顶点. (1)底面(底):多边形面； (2)侧面：有公共顶点的各个三角形面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：各侧面的公共顶点. (1)上底面：原棱锥的截面； (2)下底面：原棱锥的 底面 . (3)侧面：其余各面. (4)侧棱：相邻侧面的公共边； (5)顶点：侧面与底面的公共顶点. 图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' (或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C ) 棱台ABCD-A'B'C'D' 结构特征 (1)底面互相平行且全等； (2)侧面都是平行四边形； (3)侧棱都相等，且互相平行. (1)底面是多边形； (2)侧面都是三角形； (3)侧面有一个公共顶点. (1)上、下底面互相平行，且是相似图形； (2)各侧棱的延长线交于一点； (3)各侧面为梯形. 分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几 棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台. 3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部 分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 相关概念 (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 (5)顶点：母线的交点. (1)上底面：原圆锥的截面. (2)下底面：原圆锥的底面. (3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线. (4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面. (5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. (1)球心：半圆的圆心. (2)半径：连接球心和球面上任意一点 的线段. (3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段. 图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O 结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆. (2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等. (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面. (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点. (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面. (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点. (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴 的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合. (2)球的截面都是圆面. 棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体. 4．空间几何体结构特征的判断技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定. (2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可. 5．简单组合体的结构特征 (1)简单组合体的定义 由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成形式 ①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示. ②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示. (3)常见的几种组合体 ①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到. ②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到. ③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成. 6．正方体的截面形状的探究 通过尝试、归纳，有如下结论. (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四 边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是 正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 对应截面图形如图中各图形所示 【考点1：棱柱】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题中，正确的是（    ） A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 【答案】D 【分析】用棱柱的特点判断AD，利用举例法判断BC. 【详解】对于A，不符合棱柱的侧棱平行的特点，故A错误； 对于B选项，如图（1），构造四棱柱，令四边形是梯形， 可知平面平面，但这两个面不能作为棱柱的底面，故B错误； 选项C中，如图（2），底面可以是平行四边形，故C错误； 对于D，说明了棱柱的特点，故D正确. 故选：D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】D 【分析】作出图形，在五棱柱中，找出一个端点为的对角线，即可得解. 【详解】如下图所示： 在五棱柱中， 若对角线的一个端点为，则满足条件的对角线为、， 同理可知，有一个端点分别为、、、的对角线各有两条， 综上所述，一个五棱柱的对角线共有条. 故选：D. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知长方体的三条面对角线的长分别为5，4，，则的取值范围为______. 【答案】. 【分析】利用长方体对角线长度不能小于棱长的性质建立不等式组可得 【详解】如图5，设，则有， 所以 ，所以， 所以， 所以,即. 故答案为：. 4．（25-26高二上·北京怀柔·期中）如图，正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的侧棱长为__________. 【答案】2 【分析】侧棱垂直于底面，使用勾股定理即可. 【详解】 由正六边形的性质可知， 由正六棱柱的性质可知，侧棱垂直于底面，因此有平面, 又平面, 故 设侧棱长为,运用勾股定理，有, 计算得. 故答案为：. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要多长？ 【答案】10cm． 【详解】将长方体展开，连接， 因为，，． 根据两点之间线段最短，得所用细线最短需要10cm． 【考点2：棱锥】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）一个正三棱锥的侧棱和底面边长都是4，则该正三棱锥的高为________． 【答案】/ 【分析】先求出底面正三角形的外接圆半径，再利用侧棱、外接圆半径和高构成的直角三角形，通过勾股定理求出正三棱锥的高. 【详解】设底面正三角形的边长为，正三角形的外接圆半径（中心到顶点的距离）公式为 ，代入得：， 正三棱锥的高、侧棱长与底面外接圆半径构成直角三角形（侧棱为斜边），根据勾股定理：， 综上，该正三棱锥的高为. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 【答案】B 【分析】结合图形以及四棱锥的结构特征即可判断. 【详解】剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'. 故选：B. 3．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知正四棱锥的侧棱长，M为SA中点，从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正四棱锥沿展开，再结合等边三角形性质求解即可. 【详解】如图所示，将正四棱锥沿展开，由可知， 由，为中点，为中点,可知， 所以为等边三角形，即， 故从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为， 故选：A. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形求两点距离即得答案. 【详解】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点之间线段最短.，蚂蚁爬行的最短的路线为线段， 由可得，， 由余弦定理，， 从而最短距离为. 5．（多选）（20-21高一下·浙江丽水·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．棱锥的各个侧面都是三角形 B．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 C．棱锥的侧棱平行 D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 【答案】AB 【分析】由棱锥的定义和结构特点可判断A，C；由四面体的特点可判断B；举反例可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由棱锥的定义可知：棱锥的各个侧面都是三角形，故选项A正确； 对于B：四面体是由四个三角形围成的封闭图形，所以四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，故选项B正确； 对于C：棱锥的侧棱相交于一点，故选项C不正确； 对于D：如图几何体是由两个四棱锥组成的几何体，满足有一个面是多边形，其余各面是三角形，但不是棱锥，故选项D不正确； 故选：AB.    【考点3：棱台】 1．（25-26高一·全国·课后作业）一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（    ） A．前，程 B．你，前 C．似，棉 D．程，锦 【答案】A 【解析】可把展开图折叠起来变成一个四棱台，可知结论，也可从两个面中间是否隔一个面来确定． 【详解】因为“祝”字面和“前”字面中间隔着“你”字面，所以“祝”字面和“前”字面相对，同理“你”字面和“程”字面中间隔着“前”字面，所以“你”字面和“程”字面相对， 故选：A. 【点睛】本题考查多面体的表面展开图．考查学生的空间想象能力． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）下列几何体是棱台的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，叫做棱台，只有D是棱台 3．（25-26高一下·全国·随堂练习）已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为___________． 【答案】4 【分析】根据几何图形，利用勾股定理求出下底面的边长. 【详解】设该正四棱台下底面的边长为，则， 解得. 故答案为：4. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列三个命题，其中不正确的是________． ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． 【答案】①②③ 【分析】由棱台的几何性质进行求解． 【详解】必须用一个平行底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故①不正确； 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体并不能说明各条侧棱是否交于一点，故不能判定②正确； 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台， 如图所示： 故③不正确． 5．（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似地视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型（如图2）、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为_________．       【答案】 【分析】连接，，由正四棱台的性质得和的长，过作，过作，得，，最后在直角三角形中，由勾股定理得到结果. 【详解】由为正四棱台，，，， 连接，得，， 过作，过作， 所以，， 在直角三角形中，， 所以正四棱台的高. 故答案为：. 【考点4：圆柱】 1．（25-26高二·上海·假期作业）下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【答案】D 【分析】根据母线的性质判断A，通过举反例判断B、C，通过圆柱的概念即可判断D. 【详解】对于A，根据圆柱的定义和性质，圆柱的母线与底面垂直，A错误； 对于B，当两个截面与底面不平行时，截得的平面不是一个圆柱体，B错误； 对于C，直线绕定直线旋转有也可能形成一个锥面，C错误； 对于D，以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱，D正确. 故选：D 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的个数为（   ） ①一个八棱柱有10个面；    ②任意面体都可以分割成个棱锥； ③棱台侧棱的延长线必交于一点；    ④矩形旋转一周一定形成一个圆柱． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的几何性质，结合圆柱的定义逐一判断即可. 【详解】①：八棱柱有2个底面和8个侧面，共个面，正确； ②：在面体内取一点，将该点与各面连接，可分割成个棱锥，正确； ③：棱台由棱锥截得，其侧棱延长线必交于一点（原棱锥的顶点），正确； ④：矩形需绕一边旋转一周才形成圆柱，若绕对角线等旋转则不成立，错误． 故选：C 3．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 【答案】A 【分析】利用侧面展开图，结合勾股定理即可求解最短路径长. 【详解】 通过圆柱侧面展开图，可知最短路径为侧面展开图中的直角三角形的斜边， 即 故选：A. 4．（24-25高二下·河北石家庄·期末）若圆柱的底面半径为2，轴截面的对角线长为5，则这个圆柱侧面展开图的对角线长为_____________. 【答案】 【分析】根据勾股定理及圆柱与圆柱侧面展开图的关系即可求解. 【详解】因为圆柱的底面半径为2， 所以圆柱的底面直径为4， 又因为轴截面的对角线长为5， 所以圆柱的高为， 所以圆柱的侧面展开图的长为，宽为3， 所以这个圆柱侧面展开图的对角线长为. 故答案为：. 5．（2026高一·全国·专题练习）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】将三角形展开到与三角形共面，分析可知，当共线时取等号，结合余弦定理运算求解. 【详解】由题意知，且，则. 将三角形展开到与三角形共面，记为三角形， 可知共线，则. 可得，当共线时取等号. 又因为， 所以在中，由余弦定理得， 即，所以的最小值为. 【考点5：圆锥】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列说法：（1）以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（2）以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（3）经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；（4）圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径.其中正确说法的序号是___________. 【答案】（2）（3）（4） 【分析】根据圆锥的定义及几何特征，逐一分析即可得出答案. 【详解】解：（1）不正确，因为当直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥； （2）正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥； （3）正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形； （4）正确，如图所示，圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍（即直径）. 2．（2026·陕西榆林·一模）一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用圆锥的高与母线、半径的关系，求出母线长和底面半径，进而得到轴截面周长为6. 【详解】设圆锥的母线长为，则底面半径为， 侧面积，解得， 则，故圆锥轴截面的周长为． 3．（25-26高三上·安徽·期中）已知某圆锥的轴截面是钝角三角形，记该钝角三角形的腰长为，若过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】画图，的面积可表示为，根据三角函数性质可得当时，截面面积取得最大值，即可得到结果. 【详解】如图，是圆锥的轴截面，依题意可得， 过该圆锥顶点的任意截面的面积可表示为， 易知当时，截面面积取得最大值，所以，解得．    故选：B 4．（25-26高一下·重庆·月考）如图几何体是圆锥的一部分，其中．从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将侧面展开为平面，求出对应圆心角及弧长，再利用余弦定理计算两点间线段长度即可. 【详解】圆锥高底面，已知，， 由勾股定理得母线长 ， 底面中劣弧的长度为，占底面圆周的， 圆的周长为，则几何体所在的圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为， 所以侧面展开图中的弧的长为， 设圆心角，由弧长公式得 ， 由余弦定理， 得，则从点出发沿曲面运动到点的最短路线的距离是. 5．（多选）（24-25高一下·黑龙江·期中）下列命题中不正确的是（    ） A．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 C．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥 D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 【答案】BCD 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台及圆锥的定义即可判断. 【详解】对于A，四面体为三棱锥，每个面都是三角形，所以每个面可以作为底面， 故A正确； 对于B，用不平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 截面与底面的部分组成的几何体不叫棱台，故B错误； 对于C，若以直角三角形的斜边为旋转轴， 其余两边旋转形成的曲面所围成几何体不叫圆锥. 故C错误； 对于D，如图所示，是由两个相同形状的三棱柱 叠放在一起形成的几何体，这个几何体就不是棱柱. 故D错误； 故选：BCD. 【考点6：圆台】 1．（24-25高一下·广西钦州·期末）下列说法正确的是（    ） A．有两个平面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．底面是正六边形的棱锥是正六棱锥 C．棱台的所有侧棱的延长线交于同一个点 D．绕直角梯形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆台 【答案】C 【分析】根据多面体和旋转体的定义，性质，即可判断选项. 【详解】棱台有两个平面平行，其余各面都是梯形，则A错误； 底面是正六边形，且所有侧棱相等的棱锥是正六棱锥，则B错误； 由棱台的定义可知棱台的所有侧棱的延长线交于同一个点，则C正确； 绕直角梯形的直角腰所在直线旋转一周得到的几何体是圆台，则D错误. 故选：C 2．（25-26高一下·福建厦门·月考）下列结论正确的是（   ） A．用一个平面去截一个圆台，得到的截面可能是平行四边形 B．有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 【答案】C 【分析】根据截面性质可判断A，根据棱台、棱柱、圆台的定义可判断BCD. 【详解】对于A：用一个平面去截一个圆台，截面一定与圆台侧面相交，当交线是母线时显然 对边不平行，当交线不是母线时，一定不是直线，更不会平行，说明两组对边分别平 行的截面不可能，故A错误； 对于B：根据棱台定义知两个面不仅要平行、相似，各条侧棱所在直线要交于一点，故B错误； 对于C：根据棱柱的定义可知：C正确； 对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故D错误； 故选：C. 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ） A．    是棱台 B．是圆台 C．   是棱锥 D．   不是棱柱 【答案】C 【分析】利用空间几何体的结构特征判断. 【详解】A.不是由棱锥截来的，故不是棱台，故错误； B.不是圆锥截来的，故不是圆台，故错误； C.符合棱锥的结构特征，故正确； D.符合棱柱的结构特征，故错误. 故选：C 4．（2026高三上·广东深圳·专题练习）圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16．已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ）    A．16 B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆台沿着母线剪开后展开得到平面图形，根据题意即可求出两个扇形的半径以及圆心角，最后根据最短路径的意义求出即可. 【详解】将圆台沿着母线剪开后展开得到平面图形如图， 分别设小扇形和大扇形的半径为，圆心角为， 则由题意可知，弧长为，弧长为，， 则，得，则， 因为该圆台某条母线的中点，则， 因为等腰直角三角形，且腰长为，则， 故该质点运动的最短路径长为. 故选：B    5．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据弧长公式求出圆台的上下底面半径，再结合圆台的母线长，利用勾股定理求出圆台的高. 【详解】设小扇形的半径为，则大扇形的半径为， 设圆台的上下底面半径分别为，，则，， 所以，所以， 所以圆台的高为. 故选：D 【考点7：球】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是有（    ） ①空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球； ②空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面； ③球的对称轴有无数条，对称中心也有无数个； ④用平面截球，随着平面角度不同，截面可能不是圆面． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据球、球面的定义和性质判断即可. 【详解】对于①，球的定义既包括球面又包括球里的部分，故①错误； 对于②，根据球面的定义，空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面，故②正确； 对于③，球是一个特殊的空间几何体，根据其性质可知，其对称中心只有球心一个，故③错误； 对于④，根据球的性质，平面截球的任何截面都是圆，故④错误； 故选：B. 2．（2026·吉林·模拟预测）已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出圆锥底面圆的半径，并由题意联立方程组求出；再由勾股定理解出圆锥内切球的半径即可. 【详解】 设圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，由题意知：， 两式相除解得，； 所以圆锥的顶角为，轴截面为等边三角形，圆锥的高， 设圆锥的内切圆半径为，，解得. 故选：D. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）①空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球；②空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面；③球的对称轴有无数条，对称中心也有无数个；④用平面截球，随着平面角度不同，截面可能不是圆面.上述四种说法中正确的个数是__________. 【答案】1 【分析】结合球面和球的定义判断①②，结合球的性质判断③，根据球的截面的性质判断④. 【详解】空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面，①错误，②正确， 球的对称轴有无数条，球的对称中心只有一个，就是球的球心，③错误； 用平面截球，平面角度不同时，截面都是圆面，④错误； 所以正确的说法只有②，正确的说法的个数为， 故答案为：. 4．（25-26高二上·上海·期末）地球可近似视为半径为的球体.已知我国的冰城哈尔滨市与意大利的都灵市的地理坐标分别约为北纬、东经和北纬、东经.若将两地视为同一纬度圈上的两点，则它们在该纬度圈上所对应的劣弧长度为________.（用含的式子表示） 【答案】 【分析】计算出这两个城市所在圆的半径，以及两地位置的经度差，结合扇形的弧长公式可得结果. 【详解】地球的半径为，我国的冰城哈尔滨市与意大利的都灵市都在北纬， 这两个城市所在圆的半径为， 这两个城市位置的经度差为， 故它们在该纬度圈上所对应的劣弧长度为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·上海·期中）动点在棱长为的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为___________． 【答案】/ 【分析】先将问题转化为“球与正方体表面所形成的交线总长度”，分析交线的类型，然后根据扇形的弧长公式完成计算. 【详解】将问题转化为“以为球心半径为的球，与正方体各表面所形成的交线长度之和”， 因为，所以正方体的各个面根据与球心的位置关系可分为两类， 第一类：平面，平面，平面为过球心的截面，截痕为大圆弧，半径为，如图所示， 因为，所以， 所以，所以圆心角为； 第二类：平面，平面，平面是与球心距离为的截面， 截痕为小圆弧，半径为，圆心角为， 所以曲线的长度为， 故答案为：. 【考点8：简单组合体】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体是（    ） A．一个圆台 B．一个圆柱 C．一个圆柱和一个圆锥的简单组合体 D．一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体 【答案】D 【分析】根据旋转体的概念，结合空间想象能力，可得问题的答案. 【详解】绕直角梯形较短的底边所在的直线旋转一周，得到的几何体是一个圆柱中挖去一个圆锥. 故选：D 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图是由下列哪个平面图形绕轴旋转而成的组合体（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台， 因此应该是由上半部分为直角三角形，下半部分为直角梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D正确. 3．（24-25高一下·北京朝阳·期中）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用多面体棱长与正方体的棱长的关系列方程即可求解 【详解】如图，设该半正多面体的棱长为，则， 延长与交于点，延长交正方体棱于， 由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形， ∴，∴ ∴，即该半正多面体棱长为. 故选：B 4．（24-25高二上·四川·期中）如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为，A，B，C是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】过点B，C作垂直于正四棱锥底面的截面，根据题意，结合勾股定理和三角形相似，求解即可. 【详解】过点B，C作垂直于正四棱锥底面的截面，如图所示， 由题意可得， 因为正四棱锥的底面边长为6，所以，， 的长度为正四棱柱底面正方形对角线的长度，即，， 因为，所以，， 因为，所以，. 故选：C 5．（25-26高二上·山西晋中·开学考试）在世界环保意识日益强化，石油资源日渐枯竭的今天，以氢气做动力源的研究已成为一大课题．当年马自达坚持下来的转子发动机（如图1）从结构上讲是最适合燃烧氢气，而且最“干净”，因为氢燃烧完后排出的是水蒸气，对环境没有任何污染．马自达公司改制了RX-7型跑车的转子发动机，使它可以用氢做燃料．以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图2）被称为“勒洛四面体”，它表面上任意两点间的距离最大值与正四面体棱长相等，能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．转子发动机的设计正是利用了这一原理．转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出的优点．另外，由于转子引擎的轴向运动特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速．若正四面体ABCD的棱长为2，将对应的勒洛四面体ABCD放进一个正方体纸盒中，若该勒洛四面体可以在纸盒内任意转动，则该纸盒棱长的最小值为__________；若在勒洛四面体ABCD内放一个小正方体零件，该零件可以在勒洛四面体ABCD内任意转动，则该零件棱长的最大值为__________． 【答案】 2 【分析】由题意可得能容纳勒洛四面体的最小正方体的内切球直径应为2，则可求出该纸盒棱长的最小值；当小正方体的棱长最大时，为勒洛四面体内切球的内接正方体，然后利用正四面体的性质可求得该零件棱长的最大值. 【详解】因为勒洛四面体表面上任意两点间的距离最大值为2， 因此能容纳勒洛四面体的最小正方体的内切球直径应为2， 故能容纳勒洛四面体的纸盒的棱长最小值为2； 因为小正方体可以在勒洛四面体内任意转动， 所以小正方体的棱长最大时，为勒洛四面体内切球的内接正方体． 记此时勒洛四面体的内切球半径为，则小正方体的外接球半径为， 设小正方体的棱长为，则，解得， 由对称性可知，勒洛四面体内切球球心为正四面体的外接球球心， 由正四面体的结论可知，正四面体的外接球半径为， 故勒洛四面体内切球半径为， 故小正方体棱长最大值为． 故答案为：2； 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $