精品解析：广东省茂名市化州市第九中学2025-2026学年度第二学期九年级数学质检练习(一)

2025—2026学年度第二学期九年级数学质检练习（一） （范围：初中全部 时间：120分钟 满分：120分） 一、单项选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： 的相反数是 ． 2. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 语文的浪漫是诗歌里的乡愁与生机，物理的浪漫是公式描述星辰的诗意……数学的浪漫则在函数图象里，直线奔向远方，曲线温柔起伏．下列图象中是中心对称图形的是（ ）． A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰线 C. 笛卡尔叶形线 D. 星形线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据中心对称图形的概念，对四个图形逐一分析，再作出判断． 【详解】解：不是中心对称图形，故A不符合； 不是中心对称图形，故B不符合； 不是中心对称图形，故C不符合； 是中心对称图形，故D符合， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算性质，需根据二次根式的化简、乘方、加减、乘法法则逐一判断选项． 【详解】解：∵，∴A选项错误． ∵，∴B选项错误． ∵与是不同的最简二次根式，不能合并为，∴C选项错误． ∵，∴D选项正确． 5. 如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心O，点A，B，C均在圆弧上，经测量得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握其定理是解题的关键． 根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：由圆周角定理可知，， 解得．   故选：C ． 6. 如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（　　） A. A（4，30°） B. B（1，90°） C. D（ 4，240°） D. E（3，60°） 【答案】C 【解析】 【分析】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别写出坐标（5，30°），（2，90°），（4，240°），（3，300°），即可判断． 【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数， 由题意可知、、、的坐标可表示为：（5，30°），故A不正确； （2，90°），故B不正确； （4，240°），故C正确； （3，300°），故D不正确． 故选择：C． 【点睛】本题考查新定义坐标问题，仔细分析题中的C、F两例，掌握定义的含义，抓住表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数是解题关键． 7. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A 落在点 处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出，即可得到结果． 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴． 由折叠可得． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴中，． ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出 的度数是解决问题的关键． 8. 如图，为等边三角形，点B恰好在反比例函数的图象上，且轴于点，若点C的坐标为，则k的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征先求出值及三角形面积进行解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形，且轴于点A．点C的坐标为， ∴ ， ， ∴， ∴， ∵反比例函数图象上在第二象限， ∴． 故选：C． 9. 如图是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，构造直角三角形，准确理解相关概念是解题的关键．延长三角形玻璃破损的两条边，交于点C，过点A作于点D，先在 中，求出的长度，再在中，求出的长度． 【详解】解：如图，延长三角形玻璃破损的两条边，交于点C，过点A作于点D， ∵， ∴ ， 在 中， ∵ ，，， ∴， 在 中， ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 在中， ∵ ，，， ∴． 故选：C． 10. 如图所示，将“·”按照一定规律摆成下列4个图形，第1幅图形中“·”的个数为，第2幅图形中“·”的个数为，第3幅图形中“·”的个数为，…，以此类推，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，，，…，，代入后利用拆项法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案． 【详解】解：a2b+ab2=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 12. 如图，把 放大后得到 ，则 与 的相似比是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把 放大后得到 ，则 与 位似，从而得到 与 的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解决问题的关键． 【详解】解：把 放大后得到 ，则 与 位似， 与 的相似比为， 故答案为：． 13. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，将所求代数式变形后，整体代入计算求值． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴，即， 又∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得：， ∴． 14. 已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取 ，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取 ，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，在四边形中，对角线，交于点E，，，．若，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作 的平行线，交的延长线于点，设 ， 由平行可判定，则，从而可判断出 ．由等腰三角形的性质可得，，通过比值计算可得．在直角中，结合正弦函数的定义和勾股定理计算出．最后直角中，利用勾股定理构造方程并解出的值即可． 【详解】解：如图，过点作 的平行线，交的延长线于点， 设 ， ∵ ， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ， ∵ ，即， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 由勾股定理可得，， 在直角中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形相关的计算，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，添加平行线构造相似三角形是解题关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： （1） （2）解方程： 【答案】（1）7 （2）， 【解析】 【分析】（1）先利用负整数次幂、立方根、零次幂化简，然后再计算即可； （2）直接运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， ， 或 ， ， ． 17. 先化简，再求值：，其中 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，再把代入计算即可. 【详解】解：原式=(-)÷ = = = 当时，原式== 故答案为. 【点睛】本题考查了分式的化简求值. 掌握分式的混合运算法则是解题的关键. 18. 将矩形和矩形 按如图所示的方式交叉叠放在一起，交于点M，交于点N，点D在上，．求证：四边形 是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据题意得到，，推出四边形 是平行四边形，根据全等三角形的性质得到 ，根据菱形的判定定理得到结论． 【详解】证明：∵四边形和四边形 都是矩形，， ∴，，，， ∴四边形 是平行四边形． 在和中， ∴（AAS）． ∴ ． ∴四边形 是菱形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某校为了了解九年级学生的身体健康情况，从九年级随机抽取了若干名学生，测量他们的体重（均取整数，单位：kg），并将他们的体重进行整理，绘制了如下统计表与统计图： 已知组的具体体重为（单位： ）： ， ，，， ，， ， 组别 体重（ ） 频数（人） 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ，所抽取学生体重的中位数是 ； （2）所抽取学生平均体重为 ，小敏的体重是 ，小敏推测自己的体重在所抽取的学生中处于中下游水平，请问小敏的推测正确吗？请简单说明理由． （3）学校决定选出优秀运动达人带动同学们参加体育运动，若从3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）6；56 （2） 解：不正确． 因为小敏的体重是高于中位数 ， 所以小敏的体重在所抽取的学生中处于中上游水平， 故小敏的推测不正确； （3） 【解析】 【分析】（1）利用组的人数除以对应的百分数，求出总人数，然后用总人数减去其余各组人数即可求出的值，根据中位数的定义求解即可； （2）根据中位数判断即可； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：调查的总人数为 （人） ∴ ， 一共调查了人， 中位数是第人的体重， 又组人，组人，组人， 中位数在组， 组的具体体重为（单位：）： ， ，，， ，， ，， 中位数为 ； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将个男生分别用、、表示，个女生用表示， 画树状图如下： 由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中抽到名男生和名女生的结果数有种， 抽到名男生和名女生的概率是． 20. 近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． （1）求甲种光伏板的单价是多少？ （2）若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 【答案】（1）甲种光伏板的单价为700元 （2）一共有11种购买方案，购买甲种光伏板为180块，乙种光伏板为400块总费用最低，最低费用为486000元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，分式方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍，列出方程，解方程即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，列出不等式，解不等式组得出，设总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质，得出答案即可． 【小问1详解】 解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得： ， 经检验， 为原方程的根， 甲种光伏板的单价为700元． 【小问2详解】 解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得：， 解得， 为正整数， 满足条件的有11种取值，所以一共有11种购买方案， 设总费用为w元， 则， ， ∴w随的增大而增大. 越小，总费用越低， 当时，总费用最低， 即购买甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为400块总费用最低， 最低费用为元． 21. 综合与实践 【情境】如图是某校的一块等腰三角形劳动基地的示意图（），劳动基地原有一处水井，其位置在的中点处，现需在的中点处再修建一处水井，实践小组成员利用数学知识寻找点P的位置． 【操作】嘉嘉利用圆的知识想到如下方法：如图，利用圆规以点为圆心，的长为半径作，与交于点，点即所求，实际操作时可利用两端系有木棍的长绳代替圆规． （1）【证明】结合嘉嘉的方法，请说明为的中点． （2）【探究】用无刻度直尺和圆规过点作 ，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的基础上，证明为的切线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）连接 ，根据直径所对的圆周角为直角结合等腰三角形三线合一即可证得； （2）以点为圆心，任意长为半径画弧与相交于两点，再分别以该两点为圆心，大于两点距离一半长为半径画弧，两弧相交于一点，过点与该点作射线，与相交于点； （3）连接 ，则，结合，根据等边对等角等量代换可证得，即可证得，再根据平行线的性质证明即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接 ． 为直径， ． ， ， 为的中点； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 证明：如图，连接 ，则， ． ， ， ， ． ， ， 又是半径， 为的切线． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. （1）如图①，在中，，以为边作菱形 ，点刚好落在边上．求证： ． （2）在（1）的条件下，若 ，求的长． 问题解决 （3）如图②，在菱形中，为对角线的中点，分别在，的延长线上取点和点，使 与交于点 ．若菱形的边长为5，，求菱形的面积． 【答案】 （1）证明：如图1．连接．设与相交于点． 四边形 为菱形， ． ， ． ． （2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用及三角形面积的计算，解题的关键是利用菱形的对角线性质构造相似三角形，结合角度关系和边长条件进行推导． （1）连接菱形对角线AF，利用菱形对角线平分且垂直的性质得 ， ；再通过同角的余角相等，证得 ，从而推出 ． （2）由菱形性质得 ，结合 求出 ；利用 得到 ；最后在 中，由勾股定理计算． （3）由 推出，结合 及面积比得，求出 ；取CF中点，构造相似三角形 ，求出、；最后根据菱形面积公式 计算得面积为20． 【详解】（1）略 （2）由（1）得 ， ， ， ． 四边形 是菱形， ， ， ， ． （3） ， ． ， ． ，菱形的边长为5， ． 如图2，取 的中点，连接 ，可得 ． 是菱形的对角线的中点， ． ， ， ，即 ，解得， ． ． 23. 如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作 轴交直线l于点C，以为直径作 ，当 与y轴相切时，求点D的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，把 向上平移，使圆心落在x轴上，得到，过点作轴，交直线l于点F，连接，问在上是否存在一点P，使 的面积最大？若存在，求出 面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，最大值为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，则，根据 与y轴相切圆的直径等于点D横坐标的2倍列方程求解即可； （3）先求出，，，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大．证明求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：把和代入，得 ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵轴， ∴， ∴． ∵ 与y轴相切， ∴， 解得，（舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：∵ ， ∴， ∵以为直径作 ，， ∴， ∵把 向上平移，使圆心落在x轴上，得到， ∴， ∵过点作轴， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴． 如图2，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大． ∵，与y轴相切， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期九年级数学质检练习（一） （范围：初中全部 时间：120分钟 满分：120分） 一、单项选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 语文的浪漫是诗歌里的乡愁与生机，物理的浪漫是公式描述星辰的诗意……数学的浪漫则在函数图象里，直线奔向远方，曲线温柔起伏．下列图象中是中心对称图形的是（ ）． A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰线 C. 笛卡尔叶形线 D. 星形线 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心O，点A，B，C均在圆弧上，经测量得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（　　） A. A（4，30°） B. B（1，90°） C. D（ 4，240°） D. E（3，60°） 7. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A 落在点 处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为等边三角形，点B恰好在反比例函数的图象上，且轴于点，若点C的坐标为，则k的值为 （ ） A. B. C. D. 9. 如图是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，将“·”按照一定规律摆成下列4个图形，第1幅图形中“·”的个数为，第2幅图形中“·”的个数为，第3幅图形中“·”的个数为，…，以此类推，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 12. 如图，把 放大后得到 ，则 与 的相似比是_____． 13. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 14. 已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 15. 如图，在四边形中，对角线，交于点E，，，．若，，则的长为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： （1） （2）解方程： 17. 先化简，再求值：，其中 18. 将矩形和矩形 按如图所示的方式交叉叠放在一起，交于点M，交于点N，点D在上，．求证：四边形 是菱形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某校为了了解九年级学生的身体健康情况，从九年级随机抽取了若干名学生，测量他们的体重（均取整数，单位：kg），并将他们的体重进行整理，绘制了如下统计表与统计图： 已知组的具体体重为（单位： ）： ， ，，， ，， ， 组别 体重（ ） 频数（人） 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ，所抽取学生体重的中位数是 ； （2）所抽取学生平均体重为 ，小敏的体重是 ，小敏推测自己的体重在所抽取的学生中处于中下游水平，请问小敏的推测正确吗？请简单说明理由． （3）学校决定选出优秀运动达人带动同学们参加体育运动，若从3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 20. 近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． （1）求甲种光伏板的单价是多少？ （2）若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 21. 综合与实践 【情境】如图是某校的一块等腰三角形劳动基地的示意图（），劳动基地原有一处水井，其位置在的中点处，现需在的中点处再修建一处水井，实践小组成员利用数学知识寻找点P的位置． 【操作】嘉嘉利用圆的知识想到如下方法：如图，利用圆规以点为圆心，的长为半径作，与交于点，点即所求，实际操作时可利用两端系有木棍的长绳代替圆规． （1）【证明】结合嘉嘉的方法，请说明为的中点． （2）【探究】用无刻度直尺和圆规过点作 ，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的基础上，证明为的切线． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. （1）如图①，在中，，以为边作菱形 ，点刚好落在边上．求证： ． （2）在（1）的条件下，若 ，求的长． 问题解决 （3）如图②，在菱形中，为对角线的中点，分别在，的延长线上取点和点，使 与交于点．若菱形的边长为5，，求菱形的面积． 23. 如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作 轴交直线l于点C，以为直径作 ，当 与y轴相切时，求点D的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，把 向上平移，使圆心落在x轴上，得到，过点作轴，交直线l于点F，连接，问在上是否存在一点P，使 的面积最大？若存在，求出 面积的最大值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $