精品解析：山西运城市2026年高考考前适应性测试数学试题

运城市2026年高考考前适应性测试 高三数学试题 2026.04 本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上. 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的焦距为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【详解】双曲线的焦距为． 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式得到集合，再求并集即可． 【详解】由，解得或，则， 由，得，，解得，则， 所以． 3. 运城，因“盐运之城”而得名，它是一座因盐而建立起来的城市，史称“盐运专城”．甲、乙两名游客从运城的7个AAAA级旅游景区（含运城盐湖和鹳雀楼）中各选3个景区去旅游，则甲选了运城盐湖且乙未选鹳雀楼的选法共有（ ） A. 200种 B. 225种 C. 300种 D. 400种 【答案】C 【解析】 【详解】依题意甲选了运城盐湖，只需再从剩余的6个景区中选2个，选法数为：； 乙未选鹳雀楼，则乙从剩余的6个景区中选3个，选法数为：， 可得甲选了运城盐湖且乙未选鹳雀楼的选法共有种． 4. 若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切函数周期性求解，再结合“整体法”求解对称中心. 【详解】，， 令，得， 所以曲线的对称中心的坐标为． 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得函数的定义域为， 所以， 所以为增函数，因此， 所以函数的值域为，故C正确. 6. 设正数，分别是复数的实部、虚部，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法可得，再利用基本不等式可求的最小值. 【详解】依题意得， 因为，所以， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． 7. 已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设的右焦点为，因为点在的内部，所以． 由椭圆的定义知，所以， 则， 则的最大值为，所以， 又，所以，此时满足， 所以的离心率． 8. 若对恒成立，则当取得最小值时，（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】整理原不等式得，构造函数，求导分析单调性和零点，进而作出原函数简图并结合图象分析直线截距，再求解即可. 【详解】由，得． 设函数，则，则在上单调递增． 因为，， 所以存在唯一的零点，且． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，当时，． 作出的大致图象，如图所示，直线的斜率大于0，在轴上的截距为， 由图可知，的最小值为1，此时． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】依题意得， 则， 则，或， 则，或，则的值可以为、． 10. 已知一组数据由5个正整数组成，且这组数据中至少有1个8，则关于这组数据的描述可能是（ ） A. 中位数为3且平均数为5 B. 平均数为4且众数为4 C. 平均数为4且方差为3.2 D. 中位数为5且方差不小于7.2 【答案】ABD 【解析】 【分析】举出符合要求的例子可得A、B、D；利用平均数与方差定义计算可得C. 【详解】对A：若这组数据为2，3，3，8，9，则其中位数为3且平均数为5，故A正确； 对B：若这组数据为1，3，4，4，8，则其平均数为4且众数为4，B正确； 对C：若这组数据的平均数为4，且至少有1个8， 则要使得方差最小，这五个数为3，3，3，3，8， 此时这组数据的方差，故C错误； 对D：若这组数据为2，2，5，8，8，则其中位数为5， 平均数为，方差，故D正确． 11. 在空间直角坐标系中，已知正四面体的四个顶点的坐标为，，，，点在四面体外接球的球面上，且平面，点在四面体内切球的球面上，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的最大值是最小值的2倍 C. 四面体外接球的体积为 D. 当取得最小值时，点的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据外接球体积公式、勾股定理、空间向量坐标的线性表示等知识逐项计算判断即可. 【详解】四面体的直观图如图所示．设顶点在底面上的射影为，连接， 则平面，连接并延长，交于点，易得为的中点． 因为，所以，所以， 则，则，A正确． 设四面体外接球的球心为，则在上，设， 则，解得，所以四面体外接球的半径为3， 四面体外接球的体积为，C错误． 易得四面体内切球的半径，内切球的球心为， 则的最大值为，最小值为，B正确． 因为平面，所以， 又因为，所以， 解得或（舍去），． 当取得最小值时，，即， 得，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若为偶函数，则________． 【答案】3 【解析】 【详解】因为为偶函数，故， 即， 即， 所以，即，所以，则． 13. 已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________. 【答案】 【解析】 【详解】设该三棱台为正三棱台，且，， 设该三棱台的上、下底面的中心分别为，，则． 在平面中，过作，垂足为，则平面， 且，且该三棱台的侧棱与底面所成的角为． 因为，， 所以， 故． 14. 在中，，，，为边上一点，若与的内切圆的半径相等，设，则________（用表示）. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理求出，再根据内切圆半径公式列式得到，代入即可求出答案. 【详解】由余弦定理得，则， 设点到的距离为，因为与的内切圆的半径相等， 所以，则， 整理得， 则． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差为． （1）若，求数列的前项和； （2）若数列为递减数列，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助等差数列定义计算可得，再利用等比数列与等差数列求和公式计算即可得解； （2）令，作差可得，结合递减数列定义，分为奇数与为偶数讨论即可得. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以 ； 【小问2详解】 设，则， 当为奇数时，， 因为数列为递减数列，所以，得， 当为偶数时，， 因为数列为递减数列，所以，得； 故的取值范围是． 16. 将正方体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，且为的中点． （1）证明：平面． （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值，进而可求得其正弦值. 【小问1详解】 取的中点，连接，． 易证，且， 又为的中点，所以，且， 则四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设，则，，，，，，． 设平面的法向量为，则 令，得． 设平面的法向量为，则 令，得． 设二面角的平面角为， 则， 所以二面角的正弦值为． 17. 小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. （1）求小张周日打羽毛球的概率； （2）若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； （3）若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 【答案】（1）0.28 （2）0.352 （3）1.2． 【解析】 【小问1详解】 设小张周日打羽毛球为事件， 根据题目可知，周日下雨的概率为， 周日晴天或阴天的概率为，小张在雨天打羽毛球的概率为，小张在晴天或阴天打羽毛球的概率为， 由全概率公式可得. 【小问2详解】 设晴天或阴天打乒乓球的人数为， 根据题目可知，小张晴天或阴天打乒乓球的概率为，小李晴天或阴天打乒乓球的概率为，小王晴天或阴天打乒乓球的概率为，小周晴天或阴天打乒乓球的概率为， ， ， ， 故. 【小问3详解】 根据题目可知，因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨天的情况下，小李打球的概率为， 小王雨天打球的概率为，小周雨天打球的概率为， 可能的取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 则． 18. （1）若，证明：． （2）若，，证明：． （3）若，，，求的取值范围． 【答案】（1）证明：设，则， 因为，所以恒成立，所以是增函数． ， 又，所以，因为是增函数，所以． （2）证明：因为是增函数，所以当时，． 设，，则． 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以． 由题意得， 即，则． （3）． 【解析】 【分析】（1）通过构造函数、因式分解或代换，将等式两边化为相同结构，从而推出. （2）将不等式转化为“左边最小值右边最大值”，从而对参数进行约束. （3）通过构造函数求单调性，满足左边函数的下确界大于等于右边函数的最小值即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， 由，得，因为是增函数，所以． ， 令，则，当时，单调递减，当时，单调递增， 所以． 令，设，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以． 由题意得，即，所以的取值范围为． 19. 在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为 ，点，，且向量与共线． （1）求 的方程． （2）已知动直线 与 交于两个不同的点． （ⅰ）若 过点且斜率小于0，证明：以为直径的圆被轴截得的弦长大于． （ⅱ）若 不经过点，且平分，求的外接圆圆心的轨迹方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：设 的方程为，代入， 得，． 设，，则，， 则． 设以为直径的圆为圆，且圆心的坐标为，则， 则圆心到轴的距离， 所以圆被轴截得的弦长为， 因为，所以，则 ，即以为直径的圆被轴截得的弦长大于4． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标表示，结合向量共线的条件即，求出，进而得到抛物线的方程； （2）（ⅰ）设直线方程与抛物线方程联立，用韦达定理表示出的横坐标和与积，即和，表示出半径，得出以为直径圆的弦长公式，结合的条件进行判断； （ⅱ）利用角平分线的性质，结合三角形外接圆的圆心为各边垂直平分线的交点的性质， 分别求出，，的直线方程，联立垂直平分线方程，得到圆心坐标的参数式， 消除参数即可得到圆心的轨迹方程，需注意排除原点. 【小问1详解】 解：（1）由题意知， 则，因为向量与共线，所以， 解得，故 的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因为平分，所以直线与关于直线对称， 又直线的方程为，且点关于直线对称的点为， 所以，即． 将，代入，得，因为，所以． 当直线 的斜率不存在时，，此时，重合，这显然不符合题意， 则直线 的斜率存在．设 的方程为，代入， 得，则，，解得． 由，得或，由平分，，都在 上，得均位于第一象限，则． 设外接圆的圆心为，线段的中点坐标为，则， 所以线段的垂直平分线的方程为， 整理得①． 同理可得线段的垂直平分线的方程为②． 由，及①②可得． 因为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 将代入上式得． 因为，所以，故的外接圆圆心的轨迹方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 运城市2026年高考考前适应性测试 高三数学试题 2026.04 本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上. 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的焦距为（ ） A. B. C. 6 D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 运城，因“盐运之城”而得名，它是一座因盐而建立起来的城市，史称“盐运专城”．甲、乙两名游客从运城的7个AAAA级旅游景区（含运城盐湖和鹳雀楼）中各选3个景区去旅游，则甲选了运城盐湖且乙未选鹳雀楼的选法共有（ ） A. 200种 B. 225种 C. 300种 D. 400种 4. 若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 设正数，分别是复数的实部、虚部，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 7. 已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若对恒成立，则当取得最小值时，（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知一组数据由5个正整数组成，且这组数据中至少有1个8，则关于这组数据的描述可能是（ ） A. 中位数为3且平均数为5 B. 平均数为4且众数为4 C. 平均数为4且方差为3.2 D. 中位数为5且方差不小于7.2 11. 在空间直角坐标系中，已知正四面体的四个顶点的坐标为，，，，点在四面体外接球的球面上，且平面，点在四面体内切球的球面上，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的最大值是最小值的2倍 C. 四面体外接球的体积为 D. 当取得最小值时，点的坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若为偶函数，则________． 13. 已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________. 14. 在中，，，，为边上一点，若与的内切圆的半径相等，设，则________（用表示）. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差为． （1）若，求数列的前项和； （2）若数列为递减数列，求的取值范围． 16. 将正方体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，且为的中点． （1）证明：平面． （2）求二面角的正弦值． 17. 小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. （1）求小张周日打羽毛球的概率； （2）若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； （3）若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 18. （1）若，证明：． （2）若，，证明：． （3）若，，，求的取值范围． 19. 在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为 ，点，，且向量与共线． （1）求 的方程． （2）已知动直线 与 交于两个不同的点． （ⅰ）若 过点且斜率小于0，证明：以为直径的圆被轴截得的弦长大于． （ⅱ）若 不经过点，且平分，求的外接圆圆心的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $