精品解析：广西柳州市柳江中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学试题 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部是（ ） A. 2i B. C. 2 D. 2. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，且，，则 D. ，，三个平面最多可将空间分割成个部分 6. 已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为的外接圆圆心，，，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. 与的夹角余弦值为 D. 向量在向量方向上的投影向量坐标为 10. 在中，设，则下列说法正确的是（  ） A. B. 边上的高是 C. 外接圆的周长是 D. 内切圆的面积是 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点，使得平面 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C. 三棱锥的体积为4 D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，且，则实数__________. 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，角A的平分线AD交BC于点D，，则的面积为______． 14. 已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 设复数，m为实数． （1）当m为何值时，z是纯虚数; （2）若，求的值; （3）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围. 16. 已知，向量与的夹角． （1）若，求k的值； （2）求. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，，求的面积． 18. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点． （1）证明：PB∥平面AEC； （2）在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论． 19. 已知、、分别为内角的对边，已知且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的值； （3）求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部是（ ） A. 2i B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出，进而得出虚部即可. 【详解】因为，所以， 所以复数的虚部为. 故选：C. 2. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，边长，，然后即可求三角形的周长． 【详解】 根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，， 底边长，高， 所以， 直角三角形的周长为． 故选：A． 3. 在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求得或，再结合三角形内角和及，即可求解． 【详解】由正弦定理得，，解得， 因为，所以或， 又因为，所以， 故选：A． 4. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】依题意，. 故选：B 5. 已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，且，，则 D. ，，三个平面最多可将空间分割成个部分 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，结合条件可得直线，可能平行，相交，异面，判断A，对于B，由条件可得或，由此判断B，结合面面平行判定定理判断C，通过空间平面位置关系判断D. 【详解】对于选项A，若，，则与可能相交、平行或异面，故选项A错误； 对于选项B，若，，则或，故选项B错误； 对于选项C，若，，且，，因为直线，未必相交，所以与不一定平行，故选项C错误； 对于选项D， 三个平面两两两平行时，可把空间分成4部分； 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图（1）； 三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成6部分，如图（2）； 三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成7部分，如图（3）； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成8部分，如图（4）； D正确， 故选：D. 6. 已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥表面积公式和扇形的弧长公式求得母线和半径长，进而求得圆锥的高，根据圆锥体积公式即可求得答案． 【详解】设该圆锥的底面半径为，母线为，则，， 解得， 则圆锥的高为， 因此该圆锥的体积， 故选：D 7. 如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在和中应用正弦定理求得BC与BD，然后在中应用余弦定理求得CD. 【详解】在中，由正弦定理得， 即，得， 在中，，是等边三角形，， 在中，，由余弦定理， ， 所以． 故选：C. 8. 已知为的外接圆圆心，，，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】得到，为等边三角形，，变形得到，当三点共线，即时，取得最大值，最大值为6. 【详解】因为为的外接圆圆心，， 所以， 因为，所以为等边三角形， 故， ， 当三点共线，即时，取得最大值， 最大值为. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. 与的夹角余弦值为 D. 向量在向量方向上的投影向量坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算、数量积的坐标表示，逐项求解判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，，，， 则，C正确； 对于D，向量在向量方向上的投影向量，D正确. 故选：ACD 10. 在中，设，则下列说法正确的是（  ） A. B. 边上的高是 C. 外接圆的周长是 D. 内切圆的面积是 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用数量积公式结合余弦定理判断A，应用面积公式计算判断B，根据正弦定理计算判断C，应用内切圆性质列式求解D. 【详解】对于A，，解得，故A正确， 对于B，是等腰三角形，底边上的高是4，由等面积法可知边上的高是，故B正确； 对于C，由余弦定理得，所以， 外接圆的周长是，故C正确； 对于D，内切圆的面积是，故D不正确. 故选：ABC. 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点，使得平面 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C. 三棱锥的体积为4 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，当为中点时，利用中位线的性质可证得，再证得线面平行；对于B，利用中位线的性质可证得，对边平行且不相等，可得到截面是梯形；对于C，利用等体积法可求得三棱锥的体积；对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，先求半径再求表面积即可. 【详解】 对于A，当为中点时，由中位线可得， 因为平面，平面，所以平面.故A错误； 对于B，由中位线可得，在正方体中，易证，所以， 又因为，所以截面为梯形，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以表面积，故D正确. 故选：BD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，且，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算可得的坐标，再根据向量垂直的坐标关系列方程可得实数的值. 【详解】因为，则， 因为，所以，则. 故答案为：6. 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，角A的平分线AD交BC于点D，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合面积关系可得，进而求的面积. 【详解】如图所示， 由题意可知：， 因为， 则， 即，解得， 所以的面积为. 故答案为：. 14. 已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】取正三棱锥的底面中心为，设外接球的球心为，先由三棱锥的体积求出正三棱锥的高，再由勾股定理求出球的半径，最后求出表面积即可. 【详解】设正三棱锥的底面中心为，外接球的球心为，显然球心在直线上. 设正三棱锥的高为，外接球的半径为， 由，可得正三角形的面积为， 所以，解得， 球心到底面的距离为，， 由，得，得， 所以外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 设复数，m为实数． （1）当m为何值时，z是纯虚数; （2）若，求的值; （3）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的相关概念列式求解； （2）根据复数的模长公式运算求解； （3）根据共轭复数的概念以及复数的几何意义列式求解. 【小问1详解】 若z是纯虚数，则，解得， 所以当时，z是纯虚数. 【小问2详解】 若，则， 所以. 【小问3详解】 因为复数，对应的点为， 若复数在复平面内对应的点在第三象限， 则，解得， 故实数m的取值范围为. 16. 已知，向量与的夹角． （1）若，求k的值； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解； （2）根据模长公式结合数量积的运算律运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 若，则， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，， 又，所以， 又，所以，故，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得，所以， 故． 18. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点． （1）证明：PB∥平面AEC； （2）在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：证明：连结BD，交AC于点O，连结EO. 因为四边形ABCD为矩形， 所以O为BD的中点． 又E为PD的中点，所以EO∥PB， 因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC， 所以PB∥平面AEC. （2）PC的中点G即为所求的点． 证明如下： 连结GE，FG. 因为E为PD的中点， 所以GE∥CD，GE＝CD. 又F为AB的中点，且四边形ABCD为矩形， 所以FA∥CD，FA＝CD， 所以FA＝GE，FA∥GE， 所以四边形AFGE为平行四边形， 所以FG∥AE. 又FG⊄平面AEC，AE⊂平面AEC， 所以FG∥平面AEC. 【解析】 【分析】（1）连结BD，交AC于点O，连结EO，证明EO∥PB，再由线面平行的判定定理即可证得PB∥平面AEC； （2）PC的中点G即为所求的点．连结GE，FG，证明四边形AFGE为平行四边形，即可得FG∥AE，即可证得FG∥平面AEC. 【详解】（1）略 （2）略 19. 已知、、分别为内角的对边，已知且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的值； （3）求周长的取值范围． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由三角恒等变换化简求解； （2）由面积公式得，再根据余弦定理求的值； （3）根据，，将周长化为三角函数求最值． 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得 ， 所以， ，则，所以，即， ，则，故，因此，． 【小问2详解】 由三角形的面积公式可得， ，由余弦定理可得： ， 即 因此． 【小问3详解】 由正弦定理可得， 故， 所以， 所以 ， ，所以，则，所以， 所以， 因此，的周长的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $