专题10 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级下册

专题10 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 4 10 “瓜豆原理”的名称源自中国传统文化，其数学模型则源于现代几何学对动点轨迹规律的总结，“瓜豆原理”直接借用了中国古代农谚“种瓜得瓜，种豆得豆”的因果关联意象，强调从动点（豆）轨迹与主动点（瓜）轨迹的相似性：即主动点沿直线运动则从动点轨迹亦为直线；主动点沿圆周运动则从动点轨迹亦为圆。 21世纪初中数学教育者将此类主从联动轨迹问题命名为“瓜豆原理”，借农谚的通俗性帮助学生理解几何变换（旋转、位似）的抽象规律。典型案例包括动点最值、路径相似性证明等。如今瓜豆原理成为解决动点最值、路径证明等中考几何问题的核心工具，典型案例如求线段最小值、轨迹长度比例关系等。 （2025·广西南宁·三模）如图，正方形的边长为2，点E在边上运动，连接并绕点D逆时针旋转得到，点E运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：延长到，使，连接， ∵绕点D逆时针旋转得到，∴,， ∵四边形是正方形，∴∴， ∴，∴点在直线上运动，当时，最小， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴，∴， ∵∴当时，是等腰直角三角形， ∴．故答案为： （2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 【答案】B 【详解】解：过点作，交于，过点作垂足为， ∵矩形，∴，∴， ∴四边形和都是矩形，∴， 由旋转的性质得，，∴， ∴，∴，∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为，∵，，∴，故选：B． 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下方法进行确定： ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；②某动点所在与某直线所成夹角为定值时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；⑤若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．点从点向点运动的过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，取的中点，连接 ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，∴ 又∵，，∴；∴当点位于点处时，点位于点处， 当点在上时，如图所示，过点作于点，根据旋转可得， ∵，∴， 又∴∴， ∴∴∴，∴是等腰直角三角形，∴ 又∵，∴， ∴在线段上运动，∴当时，最小，∴故选：B． 例2（2025·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形，∴， ∵都是等边三角形，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴点Q在与过点F且与垂直的射线上运动，∵，∴， ∵，，∴点Q在射线上运动，∵，∴， ∵，∴． 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为3．故选D． 例3（25-26·福建·八年级期末）如图，在中，，，，D为AB上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（ ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【详解】解：如图，连接，，设交于点， ，为的中点，，点在线段的垂直平分线上， 为等边三角形，，点在线段的垂直平分线上， 为线段的垂直平分线，，， 点在射线上，当时，的值最小，如图所示，设点为垂足， ，，，， 则在和中，，．， ∵，，，∴，， ∴，解得：，∴故选：B． 例4（2025·江苏淮安·校考一模）如图，，C在延长线上，作平行四边形，连接，若，则周长的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，过点D作于点N，过点D作直线l，使得，作点B关于直线l的对称点，连接，设交于点， 四边形是平行四边形，，，，， ，，直线l与直线之间的距离为1， ，，， ，，即的最小值为， 即周长的最小值为．故答案为：． 例5（2025·广西河池·模拟预测）如图，在中，，，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：如图所示：当点与点重合时，点在点处，此时， 当点与点重合时，点在点处，此时， 为的中位线，，且， 点为的中点，为的中位线， ，，点在上运动，当时，的值最小， 在中，，，，，， ，，， 为的角平分线，，， ，即，的最小值为， ，，，， ，故选：B． 例6（24-25八年级下·浙江舟山·期中）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，如图所示： ， ∵四边形为平行四边形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴四边形为平行四边形，∴， ∵为等边三角形，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴当最小时，最小， ∵垂线段最短，∴当点与点重合时，最小，此时，∴最小值为，故答案为： ． 1．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：当点与点重合时，点在处，， 当点与点重合时，点在处，，且． 当点在上除点、的位置处时，有．由中位线定理可知：且． 点的运动轨迹是线段，当时，取得最小值． 矩形中，，，为的中点， 、、为等腰直角三角形，．，． ．．，即，的最小值为的长． 在等腰直角中，．的最小值是．故选：C． 2．（2025·浙江绍兴·三模）如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，，∴，，， ∵，∴，∵， ∴，，∴， 又∵，∴，∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值，故选：B． 3．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，在上截取，使得，连接，过点D作于点H．    ∵四边形是正方形，∴， ∴，∴， ∵，∴， 在和中，∴，∴， ∴点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小， ∵∴，∴的最小值为，故选：B． 4．（2025江苏连云港·校考一模）如图，在矩形中，，，点为边上的动点，连接，过点作，且，连接，则线段长度的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图：在取一点T使得，连接，在上取一点K，使得，连接 ∵∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴∴, ∵矩形中，，∴， ∵,∴，∴, 点F在射线上运动，当时，的值最小，最小值为．故答案为． 6．（25-26上·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接，则线段长的最小值为 .    【答案】 【详解】解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．，，是等边三角形，，， ，，是等边三角形，，， ，，， ，，点在射线上运动，    根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小， ，，，，，， ，四边形是平行四边形，，， ，，，的最小值为，故答案为：． 7．（2025·广东·校考一模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________． 【答案】5 【详解】解：如图，以AD为边作等边三角形△ADH，连接EH，∴HD＝AD＝AH＝10，∠HDA＝60°， ∵△DEF是等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠HDA，∴∠EDH＝∠FDA， 在△EDH和△FDA中，，∴△EDH≌△FDA（SAS），∴AF＝EH， ∴当EH⊥AB时，EH有最小值，即AF有最小值，   ∵∠EAH＝90°−∠HAD＝30°，EH⊥AB，∴EH＝AH＝5，∴AF的最小值为5，故答案为：5． 8．（25-26八年级下·绵阳·专题练习）如图，在矩形中，，，点E为边上的一个动点，连接，以为边向下方作等边，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图中，以为边向下作等边，连接，延长交的延长线于R． ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴点G在射线上运动， ∴当时，的值最小，最小值，故答案为：． 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在矩形中，，，点E是的中点，连结，点F是线段上一动点，连结，取中点G连结，则的最小值为 ．                         【答案】 【详解】解：取的中点，连接、，连接，， 是的中点，是的中位线，，， 四边形是矩形，，，，， 是的中点，，， 四边形是平行四边形，，，、、三点共线， 的运动轨迹在线段上，当时，的取得最小值， ，， ，解得：；故答案为：． 10．（2025·四川成都·二模）由两个大小相同的等边三角形拼成如图所示的四边形，其中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，在直线上方有一个动点P，且满足四边形的面积是的面积的6倍，则周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接交于，作于， ∵、是两个大小相同的等边三角形，∴，， ∴四边形为菱形，，∴，，， ∴，∵点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形，，∴四边形为矩形，∴， ∵四边形的面积是的面积的6倍，∴， ∴，即，∴，∴点在到的距离是的直线上运动， 由题意可得点到直线的距离为，作点关于直线的对称点为，连接交直线于， 由轴对称的性质可得：， ∴由两点之间，线段最短可得，，此时的值最小， 作于，则，， ∴，即的最小值为， ∴周长的最小值为，故答案为：． 11．（2025·广东广州·一模）如图，矩形中，，点在上，，点在线段边上运动（不与、重合），线段绕着点顺时针旋转得到，连接． （1）当时，则 ；（2）在运动的过程中，的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：（1）线段绕着点顺时针旋转得到，， 在矩形中，，；∴，， ，，即， 在中，；故答案为：． （2）过点作线段，使且， ，∵，， ∴点在垂直于的直线上， 如图，作交于点，则即为的最小值， 作交于点．则：四边形是矩形，，， ∴，在中．， ，；故的最小值为．故答案为：． 12．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点E作轴于点F，连接， ∵为等腰直角三角形，∴，，，∴． ∵四边形为正方形，∴，，∴， ∴，∴，∴，， ∴，∴，∴为等腰直角三角形， ∴，即平分，∴点E在的平分线所在的直线上运动， ∴当时，最小，如图． ∵，∴，∴．故答案为：． 13．（2025·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________． 【答案】4+2 【详解】解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H， ∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形， 又∵DE＝DG，∴△DEG也为等边三角形．∴DE＝GE， ∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'， 由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'， 所以EF＝EF'． 在△DEF和△GEF'中，，∴△DEF≌△GEF'（SAS）． ∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，则点F'的运动轨迹为射线GF'． 观察图形，可得A，E关于GF'对称，∴AF'＝EF'，∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE， 在Rt△BCH中，∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，∴， 在Rt△BEH中，BE＝＝＝2，∴BF'+EF'≥2， ∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2，故答案为：4+2． 14．（2025·四川成都·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，当AE取得最小值时，BD的长为 ． 【答案】 【详解】如图，取的中点，连接，过点作 ， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形，且点在射线上运动， 时，最短，此时是等腰直角三角形，则 故答案为： 15．（2025·辽宁营口·二模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接交于点，连接并延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，，∴， ∴，∴为等边三角形， ∴，∴， ∵是等边三角形，∴，， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∴当点在对角线上运动时，点在射线上运动， ∵，即平分， 又∵，∴，且是边上的中线，此时为的最小值， ∵，∴的最小值为．故答案为：． 16．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）是等腰直角三角形，，在外有一点D，连接、． (1)如图1，与相交于点P， ，，，求的长度． (2)如图2，将线段绕点A逆时针旋转得线段，且点E恰好在的延长线上，过点A作交于点F、交于点G，连接，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，，，点H是直线上的一动点，连接．将绕点G顺时针旋转到，连接．点N是内部的一动点，请直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，，，， ， ，， ，在中， ，， ，； （2）证明：∵线段绕点A逆时针旋转得线段， ，，， ，，，， ，，，， ，，，，， ，，，是的中位线，， ，，，，∴，； （3）解：如图， 以为边，在上方作等边三角形，作平分，并延长至W，使，连接，，作于T，连接，，，， 绕点G顺时针旋转到，，， ，， ，，， ∴点M在与成的直线上运动，由（2）知，是的中位线， ，，， ，，∴点W、M、E共线， 是的垂直平分线，，，， 设，则，，， 在中，由勾股定理得，，∴， （舍去），， ∴当M在T处时，最小． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 4 10 “瓜豆原理”的名称源自中国传统文化，其数学模型则源于现代几何学对动点轨迹规律的总结，“瓜豆原理”直接借用了中国古代农谚“种瓜得瓜，种豆得豆”的因果关联意象，强调从动点（豆）轨迹与主动点（瓜）轨迹的相似性：即主动点沿直线运动则从动点轨迹亦为直线；主动点沿圆周运动则从动点轨迹亦为圆。 21世纪初中数学教育者将此类主从联动轨迹问题命名为“瓜豆原理”，借农谚的通俗性帮助学生理解几何变换（旋转、位似）的抽象规律。典型案例包括动点最值、路径相似性证明等。如今瓜豆原理成为解决动点最值、路径证明等中考几何问题的核心工具，典型案例如求线段最小值、轨迹长度比例关系等。 （2025·广西南宁·三模）如图，正方形的边长为2，点E在边上运动，连接并绕点D逆时针旋转得到，点E运动过程中，的最小值为 ． （2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下方法进行确定： ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；②某动点所在与某直线所成夹角为定值时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；⑤若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．点从点向点运动的过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2（2025·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．3 例3（25-26·福建·八年级期末）如图，在中，，，，D为AB上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（ ） A． B．6 C． D．9 例4（2025·江苏淮安·校考一模）如图，，C在延长线上，作平行四边形，连接，若，则周长的最小值是 ． 例5（2025·广西河池·模拟预测）如图，在中，，，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 例6（24-25八年级下·浙江舟山·期中）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ． 1．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 2．（2025·浙江绍兴·三模）如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 3．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 4．（2025江苏连云港·校考一模）如图，在矩形中，，，点为边上的动点，连接，过点作，且，连接，则线段长度的最小值为______． 6．（25-26上·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接，则线段长的最小值为 .    7．（2025·广东·校考一模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________． 8．（25-26八年级下·绵阳·专题练习）如图，在矩形中，，，点E为边上的一个动点，连接，以为边向下方作等边，连接，则的最小值是 ． 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在矩形中，，，点E是的中点，连结，点F是线段上一动点，连结，取中点G连结，则的最小值为 ．                         10．（2025·四川成都·二模）由两个大小相同的等边三角形拼成如图所示的四边形，其中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，在直线上方有一个动点P，且满足四边形的面积是的面积的6倍，则周长的最小值为 ． 11．（2025·广东广州·一模）如图，矩形中，，点在上，，点在线段边上运动（不与、重合），线段绕着点顺时针旋转得到，连接． （1）当时，则 ；（2）在运动的过程中，的最小值为 ． 12．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为 ． 13．（2025·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________． 14．（2025·四川成都·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，当AE取得最小值时，BD的长为 ． 15．（2025·辽宁营口·二模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，则的最小值为 ． 16．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）是等腰直角三角形，，在外有一点D，连接、． (1)如图1，与相交于点P， ，，，求的长度． (2)如图2，将线段绕点A逆时针旋转得线段，且点E恰好在的延长线上，过点A作交于点F、交于点G，连接，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，，，点H是直线上的一动点，连接．将绕点G顺时针旋转到，连接．点N是内部的一动点，请直接写出的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $