专题07 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级下册

专题07 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.直角三角形斜边中线模型 6 模型2.中位线模型 9 模型3.中点四边形模型 13 18 直角三角形斜边中线模型的核心定理最早可能隐含于毕达哥拉斯学派对直角三角形的研究中，但未明确提出“斜边中点模型”的完整概念‌。《周髀算经》记载了勾股定理特例，虽未直接描述斜边中线性质，但为模型构建奠定基础‌。直到20世纪教材体系化过程中，该定理被明确表述为：“直角三角形斜边中线等于斜边一半”。模型历经古希腊的演绎证明与中国实用几何传统结合，形成今日标准化教学模型。‌因直角三角形斜边中线模型常与中位线、三线合一结合使用，戏称其为“三兄弟模型”。 20世纪初，德国数学家克莱因在《初等几何学》中首次将“连接三角形两边中点的线段”定义为“中位线”（Median Line），并严格证明其性质：‌平行于第三边且长度为第三边的一半。中位线模型从古典几何的隐性规律发展为现代数学教育的高效工具，体现了数学抽象性与应用性的深度统一。 20世纪60年代，教育工作者将三角形中位线性质迁移至四边形场景，发现‌任意四边形的中点连线必形成平行四边形。这一规律被命名为“中点四边形稳定性定理”。 （2025广东·模拟预测）如图，四边形中，，，，以，为邻边作，连接，则线段长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【详解】解：连接交于点，取的中点，连接，，， ∵，，∴， ∵，∴，，∴是的中位线，∴， ∵，，∴， ∴，∴，故选：A． （2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【详解】如图：连接，交于点O，因为、、、分别是四边形边的中点， ∴，；，；，；， ． ∵，∴，∴四边形是菱形． ∴，，∴， ∵四边形面积为，，∴，解得 ．∴ 在中 ．故选：B． 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 3）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 图1 图2 4）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 5）顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 6）顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 7）顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 8）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 模型1.直角三角形斜边中线模型 例1（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【详解】在中，，是中点，∴， ∵，∴，∵沿方向向右平移至，∴，故选：B． 例2（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，菱形的对角线交于点O，过点A作于点E，连接，若，则的长为 （   ）    A． B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O，∴， 在中，由勾股定理得，∴， ∵，为的中点，∴，故选：D． 例3（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于(    ) A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：，分别为，边的中点，，， ，为边的中点，，故选：B． 例4（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，，，于点，于点，为的中点，为的中点，则的长为（   ） A．6 B． C． D．8 【答案】B 【详解】解：连接，∵，∴F是中点， ∵，∴，∴， 同理：，∴， ∵M为的中点，∴， ∴．故选：B． 例5（2025·江苏镇江·校考一模）如图，已知， M、N分别是中点，若，则    【答案】 【详解】解：连接、，    ，是的中点，， ， 是等腰直角三角形，，是的中点，， 故答案为：． 例6（25-26上·山东·九年级专题练习）如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，取的中点，连接、、． ∵，∴．在中，． ∵，∴当、、三点共线时，可以取得最大值， 最大值．故选：B． 模型2.中位线模型 例1（2025·青海·中考真题）如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵，分别为，的中点，∴，∴， ∵四边形是菱形，∴菱形的面积为，故答案为：． 例2（2025·浙江杭州·二模）是的边的中点，平分于点，且，则的周长等于 ． 【答案】35 【详解】解：延长线段交于，∵平分，∴， 在和中，，∴，∴， 又∵是的边的中点，∴， ∴的周长是．故答案为：35． 例3（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，点G在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，M、N分别是的中点，连接．若，则 ．    【答案】/ 【详解】解：如图：连接，∵四边形是正方形，∴，    ∵四边形是正方形，∴，∴， 在中，，∵M、N分别是的中点， ∴是的中位线，∴．故答案为：． 例4（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．    【答案】 【详解】如图所示，连接，    ∵M，N分别是的中点，∴是的中位线，∴， ∵四边形是正方形，∴，∴， ∴当最大时，最大，此时最大， ∵点E是上的动点，∴当点E和点C重合时，最大，即的长度， ∴此时，∴，∴的最大值为．故答案为：． 例5（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，猜想：，；（3）证明见解析，6； 【详解】解：（1）已知：在中，分别是的中点，求证：： 证明：如图所示，过点C作交延长线与F， ∵分别是的中点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴四边形是平行四边形， ∴，∴； （2）如图所示，延长交延长线于M，则把延剪开后放置到的位置，即为所求；猜想：，； （3）连接并延长，交延长线于点， ，．是的中点，． ，．，． 点是的中点，又点是的中点，是的中位线， ，．． ，，．，． ∵，，∴。 模型3.中点四边形模型 例1（24-25八年级下·山东威海·阶段练习）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述：①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是 （只填代号） 【答案】①④/④① 【详解】解：如图，连接，， ，，，分别是四边形各边的中点， ，四边形是平行四边形；（①正确） 若四边形是矩形，＝，＝，＝，＝， 四边形是菱形；（②错误）若四边形是菱形，， ∵，，四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误） 四边形是正方形，＝，， ＝，＝，＝，四边形是菱形； ，，，， 四边形是正方形．（④正确）正确的是①④．故答案为：①④． 例2（2025·云南昆明·校考二模）如图，在任意四边形中，，，，分别是，，，上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当，，，是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当，，，是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当，，，不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当，，，不是各边中点时，四边形不可能为菱形 【答案】D 【详解】解：A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点时，连接AC、BD，如图，则由三角形的中位线定理可得：EH=BD，EH∥BD；FG=BD，FG∥BD，所以EH=FG，EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形； 当AC＝BD时，∵EH=BD，EF=AC，∴EF=EH，故四边形EFGH为菱形，故A正确； B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，如上图，由三角形的中位线定理可得：EH∥BD，EF∥AC，所以EH⊥EF，故平行四边形EFGH为矩形，故B正确； C．如图所示，若EF∥HG，EF＝HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故C正确； D．如图所示，若EF＝FG＝GH＝HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故D错误；故选：D． 例3（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图，点A、B、C为平面内不在同一条直线上的三个点，点D为平面内一点，线段、、、的中点分别为M、N、P、Q，连接M、N、P、Q组成的凸四边形中，下列叙述正确的是： ． ①存在无数个这样的凸四边形为平行四边形；②这样的凸四边形不可能是菱形； ③仅存在一个这样的凸四边形是矩形；④恰好存在两个这样的凸四边形是正方形． 【答案】①②④ 【详解】解：连接、，，，，的中点分别为，，，， ，，，，，， ，，，， ①当与不平行时，如图1， ，，中点四边形是平行四边形， 故存在无数个中点四边形是平行四边形，故符合题意； ②当且与不平行时，如图2， ，，，， 中点四边形是菱形；故存在无数个中点四边形是菱形，故①符合题意； ③当，不重合）时，如图3， ，，，，中点四边形是矩形； 故存在无数个中点四边形是矩形，故③不符合题意； ④当，时，如图4， ，，，， ，，中点四边形是正方形； 故存在两个中点四边形是正方形；故④符合题意． 综上：正确的有①②④．故答案为：①②④． 例4（24-25下·浙江·八年级校考期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________． A．平行四边形            B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论； 问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， （1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC=2，求AB+CD的最小值． 【答案】概念理解：D；性质探究：①，②；问题解决：见解析；拓展应用：（1），理由见解析；（2） 【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直，故选：D； 性质探究：①AC=BD，②AC⊥BD； 理由如下：如图1， ∵四边形ABCD是“中方四边形”，∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， ∴∠FEH=90°，EF=EH，EHBD，EH=BD，EF∥AC，EF=AC， ∴AC⊥BD，AC=BD，故答案为：AC⊥BD，AC=BD； 问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K， ∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L， ∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线， ∴MNBG，MN=BG，RLBG，RL=BG，RNCE，RN=CE，MLCE，ML=CE， ∴MNRL，MN=RL，RNMLCE，RN=ML，∴四边形MNRL是平行四边形， ∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°， 又∵∠BAC=∠BAC， ∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAG， 在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE=BG，∠AEC=∠ABG， 又∵RL=BG，RN=CE，∴RL=RN，∴▱MNRL是菱形，∵∠EAB=90°，∴∠AEP+∠APE=90°． 又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，∴∠ABG+∠BPK=90°，∴∠BKP=90°， 又∵MNBG，MLCE，∴∠LMN=90°， ∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用：（1）MN=AC，理由如下： 如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME， ∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， ∴四边形ENFM是正方形，∴FM=FN，∠MFN=90°，∴MN===FM， ∵M，F分别是AB，BC的中点，∴FM=AC，∴MN=AC； （2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME， 连接BD交AC于O，连接OM、ON， 当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长， ∴2（OM+ON） 2MN，由性质探究②知：AC⊥BD， 又∵M，N分别是AB，CD的中点，∴AB=2OM，CD=2ON， ∴2（OM+ON）=AB+CD，∴AB+CD2MN，由拓展应用（1）知：MN=AC； 又∵AC=2，∴MN=，∴AB+CD的最小值为2． 1．（24-25八年级下·北京·期末）如图， 菱形的对角线交于点O， 点M为的中点，连接，若，，则的长为（     ） A． B．4 C．5 D．3 【答案】A 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ，， 点为的中点，.故选：． 2．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：连接交于点O， ∵M，N，P，Q是各边中点，， ，∴四边一定为平行四边形，④说法正确； 时，四边形不一定为正方形，①说法错误； 时，四边形为菱形，②说法正确； 时，，四边形为矩形，③说法正确；故选：C． 3．（2025·河北保定·二模）如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， 平分，，，，， 是中点，是中点，是的中位线，．故选：D． 4．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形面积的 【答案】C 【详解】解：连接，设交于点， 点，，，分别是，，，边上的中点， ，， A. 四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； B. 四边形的内角和等于于四边形的内角和，都为360°，故该选项不正确，不符合题意； C. 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故该选项正确，符合题意； D. 四边形的面积等于四边形面积的，故该选项不正确，不符合题意；故选C 5．（24-25下·浙江宁波·八年级校考期中）分别顺次连接①等腰梯形；②矩形；③菱形；④对角线相等的四边形“各边中点所构成的四边形”中，为菱形的是（    ） A．① B．② C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：如图，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，连接AC，BD，∵点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点， ∴，， ∴，∴四边形EFGH是平行四边形，∴连接任意四边形的四边中点都是平行四边形， 当四边形ABCD是等腰梯形时，AC=BD，∴EH=EF，此时四边形EFGH是菱形； 当四边形ABCD是矩形时，AC=BD，∴EH=EF，此时四边形EFGH是菱形； 当四边形ABCD是菱形时，AC⊥BD，∴EH⊥EF，此时四边形EFGH是矩形； 当四边形ABCD的对角线相等时，AC=BD，∴EH=EF，此时四边形EFGH是菱形； ∴符合条件的有：①②④．故选：D 6．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为 ． 【答案】10 【详解】解：∵E、F分别为BC、AC的中点，∴AB＝2EF＝20， ∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴，故答案为：10． 7．（2025·陕西咸阳·校考二模）如图，点为正方形的边的中点，连接，点，，分别为，，上的点，连接，，取，，的中点，，连接，已知正方形的边长为4，若，则的长为 ．    【答案】 【详解】解：过点作于点，如图：      ∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∴四边形为矩形，∴，∴， ∵，，∵， ∴，，∴， 在和中，，∴，  ∴， 在中，，∴， ∵点，分别是线段，的中点，∴是的中位线， ∴，即．故答案为：． 8．（25-26上·四川成都·九年级校考期中）如图，四边形中，，，连接．是的中点，连接．若，则的面积为 ．    【答案】 【详解】解：，是的中点，， ，，， ，， ， ，故答案为：． 9．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形为菱形，∴，， ∵，∴，∴． ∵，∴， ∴（负值已舍去），∴，∴， ∴，∴，CO＝3（舍去）． ∵AE⊥BC，，∴．故答案为：． 10．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，中，，分别是，的中点，平分，交于点，若，，，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：∵D、E分别是、的中点，∴，，，∴， ∵平分，∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 11．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，取中点H，连接与，过点E作交于I， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，， ∵，∴，，∴， 由勾股定理可知，∴（负值舍去）， 由勾股定理可知，∴（负值舍去），， ∵H是中点，∴，∵四边形是平行四边形，∴， ∵F是的中点，H为中点，∴为的中位线，∴，， ∵E是中点，∴，∴，∵∴四边形为平行四边形， ∴，故答案为：． 12．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则 ． 【答案】5 【详解】∵在中，，、、分别为、、的中点，，则根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AC＝10．根据题意判断DE为中位线，根据三角形中位线的性质，得DE∥AC且DE=AC，可得DE=5．故答案为DE=5 13．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，中，点，分别是边，的中点，的角平分线交于点，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵点、分别为边、的中点， ∴，，，∴， ∵平分，∴，∴， ∴，故答案为：． 14．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于点N，，，，则 ． 【答案】2 【详解】解：∵，分别是，的中点，，∴， ∵，，∴，∴．故答案为：2． 15．（24-25八年级下·山东威海·期中）如图，在中，，D，F分别是，的中点，于点E，连接，，，，若，，则的周长是 ． 【答案】 【详解】解：∵，F是的中点，∴， ∵在中，， ∴， ∵，∴， ，D，F分别是，的中点， ∴，，， ∴的周长是，故答案为：． 16．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，已知，点分别为的中点，，．求的长． 【答案】5 【详解】解：如图，连接， ，点是的中点，， ，同理可得，， ∵点是中点，，，． 17．（2025·山东潍坊·二模）我们学过直角三角形的性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【定理证明】（1）如图1，中，，D是的中点，连接．请证明直角三角形的性质定理2； 【定理应用】（2）如图2，在，，点D是上一点，过点D作，连接并取其中点F，连接．求证：； 【综合探究】（3）如图3，在（2）的基础上将图2中绕顶点A旋转至，连接，取其中点F，连接，．请判断与是否相等？并说明理由． 【答案】（1）见解析，（2）见解析，（3），见解析 【详解】证明：（1）延长至点E，使得，连接．∵点D是的中点，∴， 在和中，∴， ∴，，， 又∵，∴，∴， ∴在和中，∴，∴， ∵，∴． （2）∵，∴，即是直角三角形， 又∵点F是的中点，∴，同理，在中有，∴． （3）成立 理由如下：取的中点G，和的中点H，连接，，，， ∵点F是中点，点G是的中点，点H是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，，∴， ∵在（2）的基础上将图2中绕顶点A旋转至，， ∴，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，即， ∵，，，， ∴，，∴，∴． 18．（2025·山西大同校考二模）小明在学习矩形性质之后，对直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明思路做了深入的思考与总结．阅读小明的笔记，并完成相应任务． 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，在中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：要证明等于的一半，可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到点，使得，连接，只需通过证明三角形全等即可证明． 证明：延长到点，使得，连接，如图2所示． …… 【问题解决】请根据小明的分析过程，在不添加其他辅助线的情况下，完成该定理的证明； 【问题再探】如图3，在中，于点，是边的中线，垂直平分，若，则的度数为________； 【拓展提升】如图4，，是的两条高，，分别是，的中点，若，，试求线段的长． 【答案】[问题解决]证明见解析；[问题再探]；[拓展提升]． 【详解】[问题解决]证明：是的中线，． ，，．，． 在中，，． ，，．． ，．即证“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． [问题再探]解：如图，连接，，，， ， 是边的中线，，， ，， 垂直平分，，， ，， ，故答案为：； [拓展提升]解：如图所示，连接，， 于点，．在中，，为的中点， ．同理可得．． 为的中点，，． 在中，，． 19．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图， 在中，分别是边上的高，点 M 是的中点， 连接.(1)求证：为等腰三角形；(2)直接写出与之间的数量关系： .    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）∵，∴， ∵点M是的中点，∴，，∴，∴为等腰三角形； （2），理由：∵，∴， ∴，， ∴ =2(∠ABC+∠ACB)-180°， ∵，∴，∴， ∴，即：，故答案为：． 20．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 【答案】（1）④；（2）；（3）见解析 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直，故答案为：④； （2）解：；理由如下：如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴是正方形且E、F、G、H分别是的中点， ∴，，，， ∴，故答案为：，； （3）证明：如图2，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴，，， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形，∴， ∴，即， ∴，∴， ∴，∴平行四边形是菱形，∵，∴． 又∵∴，∴， 又∵，∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.直角三角形斜边中线模型 6 模型2.中位线模型 9 模型3.中点四边形模型 13 18 直角三角形斜边中线模型的核心定理最早可能隐含于毕达哥拉斯学派对直角三角形的研究中，但未明确提出“斜边中点模型”的完整概念‌。《周髀算经》记载了勾股定理特例，虽未直接描述斜边中线性质，但为模型构建奠定基础‌。直到20世纪教材体系化过程中，该定理被明确表述为：“直角三角形斜边中线等于斜边一半”。模型历经古希腊的演绎证明与中国实用几何传统结合，形成今日标准化教学模型。‌因直角三角形斜边中线模型常与中位线、三线合一结合使用，戏称其为“三兄弟模型”。 20世纪初，德国数学家克莱因在《初等几何学》中首次将“连接三角形两边中点的线段”定义为“中位线”（Median Line），并严格证明其性质：‌平行于第三边且长度为第三边的一半。中位线模型从古典几何的隐性规律发展为现代数学教育的高效工具，体现了数学抽象性与应用性的深度统一。 20世纪60年代，教育工作者将三角形中位线性质迁移至四边形场景，发现‌任意四边形的中点连线必形成平行四边形。这一规律被命名为“中点四边形稳定性定理”。 （2025广东·模拟预测）如图，四边形中，，，，以，为邻边作，连接，则线段长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 （2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 3）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 图1 图2 4）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 5）顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 6）顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 7）顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 8）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 模型1.直角三角形斜边中线模型 例1（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 例2（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，菱形的对角线交于点O，过点A作于点E，连接，若，则的长为 （   ）    A． B．2 C． D．3 例3（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于(    ) A． B． C． D．无法确定 例4（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，，，于点，于点，为的中点，为的中点，则的长为（   ） A．6 B． C． D．8 例5（2025·江苏镇江·校考一模）如图，已知， M、N分别是中点，若，则    例6（25-26上·山东·九年级专题练习）如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是（　　） A． B． C． D． 模型2.中位线模型 例1（2025·青海·中考真题）如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为 ． 例2（2025·浙江杭州·二模）是的边的中点，平分于点，且，则的周长等于 ． 例3（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，点G在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，M、N分别是的中点，连接．若，则 ．    例4（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．    例5（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 模型3.中点四边形模型 例1（24-25八年级下·山东威海·阶段练习）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述：①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是 （只填代号） 例2（2025·云南昆明·校考二模）如图，在任意四边形中，，，，分别是，，，上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当，，，是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当，，，是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当，，，不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当，，，不是各边中点时，四边形不可能为菱形 例3（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图，点A、B、C为平面内不在同一条直线上的三个点，点D为平面内一点，线段、、、的中点分别为M、N、P、Q，连接M、N、P、Q组成的凸四边形中，下列叙述正确的是： ． ①存在无数个这样的凸四边形为平行四边形；②这样的凸四边形不可能是菱形； ③仅存在一个这样的凸四边形是矩形；④恰好存在两个这样的凸四边形是正方形． 例4（24-25下·浙江·八年级校考期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________． A．平行四边形            B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论； 问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， （1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC=2，求AB+CD的最小值． 1．（24-25八年级下·北京·期末）如图， 菱形的对角线交于点O， 点M为的中点，连接，若，，则的长为（     ） A． B．4 C．5 D．3 2．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（  ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·河北保定·二模）如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形面积的 5．（24-25下·浙江宁波·八年级校考期中）分别顺次连接①等腰梯形；②矩形；③菱形；④对角线相等的四边形“各边中点所构成的四边形”中，为菱形的是（    ） A．① B．② C．①②③ D．①②④ 6．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为 ． 7．（2025·陕西咸阳·校考二模）如图，点为正方形的边的中点，连接，点，，分别为，，上的点，连接，，取，，的中点，，连接，已知正方形的边长为4，若，则的长为 ．    8．（25-26上·四川成都·九年级校考期中）如图，四边形中，，，连接．是的中点，连接．若，则的面积为 ．    9．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ． 10．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，中，，分别是，的中点，平分，交于点，若，，，则的长是 ． 11．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，，，则 ． 12．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则 ． 13．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，中，点，分别是边，的中点，的角平分线交于点，，，则的长为 ． 14．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于点N，，，，则 ． 15．（24-25八年级下·山东威海·期中）如图，在中，，D，F分别是，的中点，于点E，连接，，，，若，，则的周长是 ． 16．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，已知，点分别为的中点，，．求的长． 17．（2025·山东潍坊·二模）我们学过直角三角形的性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【定理证明】（1）如图1，中，，D是的中点，连接．请证明直角三角形的性质定理2； 【定理应用】（2）如图2，在，，点D是上一点，过点D作，连接并取其中点F，连接．求证：； 【综合探究】（3）如图3，在（2）的基础上将图2中绕顶点A旋转至，连接，取其中点F，连接，．请判断与是否相等？并说明理由． 18．（2025·山西大同校考二模）小明在学习矩形性质之后，对直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明思路做了深入的思考与总结．阅读小明的笔记，并完成相应任务． 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，在中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：要证明等于的一半，可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到点，使得，连接，只需通过证明三角形全等即可证明． 证明：延长到点，使得，连接，如图2所示．…… 【问题解决】请根据小明的分析过程，在不添加其他辅助线的情况下，完成该定理的证明； 【问题再探】如图3，在中，于点，是边的中线，垂直平分，若，则的度数为________； 【拓展提升】如图4，，是的两条高，，分别是，的中点，若，，试求线段的长． 19．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图， 在中，分别是边上的高，点 M 是的中点， 连接.(1)求证：为等腰三角形；(2)直接写出与之间的数量关系： .    20．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $