8.3.1&8.3.2 分类变量与列联表独立性检验-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

数学选择性必修 第三册 系，通过调查研究发现可选择函数模型y= 可求得y关于x的非线性经验回归方程为( cr+c来拟合y与x的关系，根据以下数据 A.y=100 0043+4.291B.2=100e0.048x-4.291 茶叶量x/克 2 5 C.y=e0.043x+4.291 D.y=e0.043x-4.291 ln(100y) 4.34 4.36 4.44 4.45 4.51 温馨提示 请做课时分层检测（十九） 8.3 列联表与独立性检验 8.3.1&8.3.2分类变量与列联表 独立性检验 【素养要求】通过学习2×2列联表并运用列联表进行独立性检验，发展数学抽象及数据分析素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.分类变量与列联表 则x2= (1)分类变量 (2)利用x2的取值推断分类变量X和Y是否 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机 的方法称为x独立性检验，读作“卡方 变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量 独立性检验”，简称独立性检验 称为分类变量.分类变量的取值可以用实数 表示 (3)x2独立性检验中几个常用的小概率值和相应 (2)列联表 的临界值 假设两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 为{x1,x2}和{y1y2},其2×2列联表为 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 X 合计 y1 y2 即学即练] a atb 判断正误 2 d c+d (1)分类变量中的变量与函数中的变量是同一 合计 a-c b+d a+b+c+d 概念 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分 类频数 (2)2×2列联表中的数据是两个分类变量的 2.独立性检验 频数 ( (1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽 (3)事件A和B的独立性检验无关，即两个事件 样数据列联表，如表所示。 互不影响， () (4)x2的大小是判断事件A和B是否相关的统 合计 Y=0 Y=1 计量 X=0 b a+b (5)若计算得x2=7.197,则认为两个变量间有关 X=1 c+d 系的出错概率不超过0.01 C (6)在2×2列联表中，若|ad-bc越小，则说明 合计 atc b+d n=a+b+c+d 两个分类变量之间关系越强， 62 第八章成对数据的统计分析 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一列联表与等高堆积条形图 :2.用等高堆积条形图粗略估计两个分类变量是否 [典例]为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是 相关.观察下列各图，其中两个分类变量相关关 否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕 系最强的是 ( ) 色素定性检查，结果如下： 8 8 尿液定性 分组 合计 阳性(Y=0)阴性(Y=1) 6542 病人组(X=0)》 29 7 36 0.0 对照组(X=1) 9 28 37 合计 38 35 73 ☐x2 ☐x2 试画出列联表的等高堆积条形图，分析铅中毒病 人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒 病人与尿棕色素为阳性是否有关系？ 8品 听课记录 题点二 独立性检验的计算 [典例门佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表 现，某市对此不断进行安全教育.交警统计2018 ~2021年通过某路口的开电瓶车出事故的50 人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系， 得到下表，根据小概率值α=0.05的独立性检 验，判断戴头盔与事故是否伤亡之间是否有关？ /方法技巧/… 参考公式： 列联表与等高堆积条形图的应用： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 (1)理解列联表的定义及表格中的数据之间的 Ta 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 关系 n(ad-bc)2 (2)等高堆积条形图两种颜色的高度的差别大： X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 其中n=a十b 小，差别越大，关联性越强， +c+d. 对点训练 不戴头盔 戴头盔 伤亡 2 3 1.某学校对高三学生作了一项调查，发现：在平时 不伤亡 13 27 的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332 听课记录 人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有 213人在考前心情紧张.作出等高堆积条形图，利 用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有 关系 63 数学选择性必修 第三册 …/方法技巧/ 题点三独立性检验的综合应用 独立性检验的一般方法： [典例]某网站的调查显示，健身操类、跑步类、拉 (1)根据题目信息，完善列联表. 伸运动类等健身项目在大众健康项目中是比较 (2)提出零假设：假设两个变量相互独立，并给 火热的，但是大多数人的健身科学类知识相对缺 出在问题中的解释. 乏，尤其是在健身指导方面.从某健身房随机抽 (3)根据列联表中的数据及计算公式x2= 取200名会员，对其平均每天健身时间进行调 n(ad-bc)2 查，如下表，健身之前他们的体重情况如柱状图 (a+b)(c+d)(a+c)(6+d)求出X2的值. (1)所示，该健身房的教练为他们制订了健身计 (4)根据需要确定两个分类变量有关系犯错误： 划，四个月后他们的体重情况如柱状图(2)所示 概率的上界值a,查表确定临界值x。 平均每天健 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80)[80,90 (5)当X≥xa时，我们就推断H0不成立，即认为 身时间/分钟 两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过α： 人数 36 44 40 10 (6)当X<x。时，我们没有充分证据推断H。不 百分比 百分比 50% 50% 成立，可以认为两个变量相互独立 40% 40% 30% 30% 20% 20% 对点训练 10% 10% [90,100)100,110)0110,120)体重/kg [80,90[90,100100,110)体重/kg 1.(多选)某机构通过抽样调查，利用2×2列联表： 柱状图(1) 柱状图(2) 和x统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算 (1)若这200名会员的平均体重减少不低于5kg,就 得x2=3.305,经查对临界值表知P(x2≥2.706) 认为该计划有效，根据上述柱状图，试问：该计划是 ≈0.10，P(x2≥3.841)≈0.05，现给出四个结论， 否有效？（每组数据用该组区间的中点值作代表） 其中正确的是 ( (2)请根据图中数据填写下面的2×2列联表，试 A.因为x2>2.706,故依据小概率值a=0.1的 问：依据小概率值α=0.010的独立性检验，判断 独立性检验，我们认为“患肺病与吸烟有关” 平均每天健身时间与会员健身前的体重是否 B.因为x2<3.841,故依据小概率值a=0.05的 有关？ 独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关” 平均每天健身时 平均每天健身时 C.因为x2>2.706,故依据小概率值a=0.1的独 合计 间低于60分钟 间不低于60分钟 立性检验，我们认为“患肺病与吸烟无关” 健身前体重低于 D.因为x2<3.841,故依据小概率值a=0.05的 100kg 独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关” 健身前体重不低 2.(多选)某研究所为了检验新开发的疫苗的预防 80 于100kg 作用，对1000名注射了疫苗的人与另外1000 合计 200 名未注射疫苗的人的一年的健康记录进行比较， (3)以这200名会员平均每天健身时间的频率， 并提出假设：这种疫苗不能起到预防该疾病的作： 代替该健身房1名会员平均每天健身时间发生 用，并计算出P(≥6.635)≈0.01，则下列说法 的概率，若在该健身房随机调查12名会员，则其 不正确的是 ( ) 中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最 A.这种疫苗能起到预防该疾病的作用的有效率！ 有可能（即概率最大）是多少？ 为1% n(ad-bc)2 B.若某人未使用该疫苗，则他在半年内有99%： 参考公式：X2=a+b)C十ac6+D,其 的可能性得该疾病 中n=a+b+c+d. C.依据小概率值α=0.01的独立性检验，认为这 参考数据： 种疫苗能起到预防该疾病的作用 P(x2≥xa) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为 这种疫苗能起到预防该疾病的作用 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 64 第八章成对数据的统计分析 听课记录 (1)根据以上数据完成以下2×2列联表： 喜爱运动 不喜爱运动 合计 男 10 16 女 6 14 合计 30 (2)根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的 概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动 有关？ 附表： a 0.10 0.05 0.010 /方法技巧/ 2.706 3.841 6.635 统计概率与独立性检验的综合应用： (1)根据柱状图进行平均值计算. (2)根据表格中的信息完善列联表. (3)根据x2计算公式计算值， (4)根据临界值表进行比对，做出判断. (5)利用二项分布计算概率求解不等式， 对点训练 学校举行运动会，为了搞好接待工作，组委会招 募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发 现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运 动，其余人不喜爱运动 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.假设有两个变量x与y的2×2列联表如下： 经计算X2=10,则下列选项正确的是（） y2 A.有99%的把握认为使用智能手机对学习有 a 6 影响 B.有99%的把握认为使用智能手机对学习无 对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系 影响 的可能性最大的一组为 ( C.有95%的把握认为使用智能手机对学习有 A.a=2,b=3,c=4,d=5 影响 B.a=5,b=3,c=3,d=4 D.有95%的把握认为使用智能手机对学习无 C.a=3,b=6,c=2,d=5 影响 D.a=5,b=3,c=4,d=3 3.对两个分类变量A,B的下列说法中正确的个 2.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机： 数为 () 对学习的影响.部分统计数据如下表： ①A与B无关，即A与B互不影响； 使用智能手机 不使用智能手机 总计 ②A与B关系越密切，则x的值就越大； 学习成绩优秀 4 8 12 ③x的大小是判定A与B是否相关的唯一 学习成绩不优秀 16 2 18 依据 总计 20 10 30 A.0 B.1 C.2 D.3 65 数学选择性必修 第三册 4.高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生 了解所学专业 不了解所学专业 合计 的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列： 男生 63 117 180 联表： 女生 42 82 124 优秀 及格 合计 合计 105 199 304 甲班 11 34 45 根据表中数据，则下列说法正确的是 乙班 8 37 45 (填序号) 合计 19 71 90 ①性别与了解所学专业有关； 则x2约为 ②性别与了解所学专业无关； A.0.600 B.0.828 C.2.712 D.6.004 ③女生比男生更了解所学专业 5.下表是某届某校本科志愿报名时，对其中304名 温馨提示 请做课时分层检测（二十） 学生进入高校时是否了解所学专业的调查表： 章末综合提升 一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 的两个变量之间是否具有线性相关性，体现了数 散点图 形结合思想. 成对数据 数值变量 相关性 样本性相关系数 2.在本章经验回归方程的求解中，相关系数的计算 y=bxta 一元线性回归 列差分析 等体现了函数与方程思想， 模型 误差分析 统计分析 决定系数 3.回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变 分类 独立性 量的相关关系，并用一个变量的变化去推测另一 2×2列 变量 联表 检验 判定依据x。 个变量的变化.如果两个变量非线性相关，我们 可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问 (二)把握数学思想和方法 题，体现了转化与化归的思想 1.本章在回归分析中，利用散点图可以判断所考查： 二、把握重点·常考题型集训 题型一经验回归方程及其应用 :3.流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性 l.为了研究某班学生的脚长x(单位：cm)和身高y: 呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾 (单位：cm)的关系，从该班随机抽取10名学生， 病.其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接 根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有 触与被污染物品的接触传播.流感每年在世界各 线性关系，设其经验回归方程为y=x十a.已知 地均有传播，在我国北方通常呈冬春流行，南方 之x=225,之：=160,6=4.该班某学生的脚 有冬春季和夏季两个流行高峰.儿童相对免疫力 低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被 长为24，据此估计其身高为 ( 传染.某幼儿园将去年春季该园患流感小朋友按 A.160 cm B.163 cm C.166 cm D.170 cm 照年龄与人数统计，得到如下数据： 2.已知表中数据y与x有较好的线性关系，通过计 算得到y关于x的经验回归方程为=1.05.x+ 年龄x 2 34 5 6 a,则相应于点(8,10)的残差e 患病人数y22 22171410 2 8 10 (1)求y关于x的经验回归方程： 10 12.5 (2)计算变量x,y的相关系数r(计算结果精确到 0.01),并回答是否可以认为该幼儿园去年春季 66题点三 对数可得1n(100y)=0.043.x-4.291,将x=3代入可得1n(100y) 典例解(1)由散点图知，成对样本数据散点在曲线附近， 0.043×3-4.291=一4.162≠4.42，所以选项B错误：对于C,v 因此利用D=a2十b2lgI模型更适合. e.018+1.21,两边同时取对数可得1ny=0.043.x十4.291，而表中所 (2)令W:=lgI:,先建立D关于W的经验回归方程 给数据为1n(100)的相关量，所以C错误；对于D,y=e.01r-1.291 两边同时取对数可知1ny=0.043.x一4.291，而表中所给数据为 由统计表格知.公(w,-0(D,-D1=5.1,5(w,-0=0.51, 1n(100y)的相关量，所以D错误.] 10 8.3列联表与独立性检验 (W,-W)(D,-D) 则6-1 5.1 8.3.1&8.3.2分类变量与列联表独立性检验 ∑(W,-W)2 0.57-10, 必备知识·自主梳理 n(ad-bc)2 .a=D-bW=45.7-10×(-11.5)=160.7, ;2.(1)a+b)(c+d0(a+c)(b+dD (2)独立 即学即练 '.D关于W的经验回归方程是D=10W十160.7， (1)×(2)/(3)×(4)W(5)√(6)× 故D关于声音能量的非线性经验回归方程是D=101gI十160.7. :关键能力·合作探究 对点训练 !题点一 解(1)根据表中的数据画出散点图，如下： !典例解病人组中尿液为阳性和阴性的频率分别为： 29 1体重/kg 36 ≈0.8056 36≈0.1944. 60 50 对照组中尿液为阳性和阴性的频率分别为： 40 9 30 ≈0.2182和器≈0.7568 20 等高堆积条形图如图所示： 10 身高/cn I 0 20406080100120140160180 0.8 口阴性 由图可知，这些点分布在某条指数型函数曲线y=(12的周围，于 0.6 ☑阳性 是令x=lny,列表如下： 0.4 0.2 60 70 80 90 100 110 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 0铅中毒病人对照组 其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色 120 130 140 150 160 170 素为阳性的频率. 由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕色素为阳性的 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01 频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系， ·对点训练 作出散点图，如下： 1解作列联表如下： 4 性格 3队 考前心情 合计 内向 外向 2 紧张 332 213 545 020406080100120140160180元 不紧张 94 381 475 由表中数据可求得x与工之间的经验回归直线方程为 -=0.693十0.020x,则有y=e0,93+0.020x 合计 426 594 1020 (2)由(1)知，当x=168时，y=e.63+0020×1路≈57.57，所以在校男 相应的等高堆积条形图如图所示 生身高为168cm,预测他的体重约为57.57kg. 18 素养演练·提升技能 1,D[用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的大致走向判断， ☐性格外向 ☐性格内向 此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为y=a十 bin x.] 8 考前心 考前心 2.C[由题意得x=号(2+4+5+6+8)=5,5=号(30+40+50+ 情紧张情不紧张 60十70)=50，∴.样本中心点为(5,50).，经验回归直线y=7x十a 图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的 比例， 过样本中心点(5,50)，.50=7×5十a,解得a=15,∴经验回归方程 从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向占的比例比考前 为y=7x十15.当x=12时，销售额的预报值为99万元.故选C.] 心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前心情紧张与 3.0.29[对y=e.+r取对数，得lny=bz十0.38，所以lny与x为线性 性格类别有关. 相关关系.因为（川·边·为·…·%）=89.7，所以！2.D[在等高堆积条形图中，深色条的高度相差越大，相关性越强.] hy十h十h十…十n些=3.9，所以3.9=12b十0,38，所以典例解零假设为H。:或头盔与事故伤亡之间无关，根据列联表中 !题点二 23 b≈0.29.] 的数据计算得X=50X7X273×13》=4.6875>3.841,根据 4.C[样本点(r,1)的残差为1-2r一a,样本点(1，s)的残差为一a 10×40×20×30 小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断H。不成立，该推断犯错 2.依题意得1-2r一a=s-a-2,故s=-2r十3.] 误的概率不超过0.05，即戴头盔与否与伤亡之间是有关系的， 5.A[由表中数据可知-1+2++4什5=3,431+436+444+445+45对点训练 25 2 :1.AD[因为X=3.305,且3.305>2.706，由临界值表知，P(X≥2.706) =42对于A少-e0+11化简变形可得1Og=心，两边同时日 ≈0.10， 所以依据小概率值。=0.1的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有 取对数可得1n(100y)=0.043x十4.291，将x=3代入可得ln(100y): 关”，则A正确，C不正确： =0.043X3十4.291=4.42，与题中数据吻合；故选项A正确：对于！ 因为临界值3.841>3.305，则依据小概率值a=0.05的独立性检 B.=e0化简支衫可得10=e-,两边同时聚2.ABL西P(76,850.01可知CD正境，AB部不正确.] 验，认为“患肺病与吸烟无关”，即B不正确，D正确.] 174 题点三 章末综合提升 典例解(1)柱状图(1)中的体重平均值为95X0.3十105×0.5十！二、把握重点·常考题型集训 115×0.2=104(kg).柱状图(2)中的体重平均值为85×0.1十95×1.C[由已知x=22.5,y=160,.a=160一4×22.5=70，当x=24 0.4十105×0.5=99(kg).因为104一99=5，所以该计划有效. 时，y=4×24十70=166，故选C.] (2)2X2列联表如下： !2.-0.4[由题目数据表，知=6，=8.3，.8.3=1.05×6十a,得 a=2. 平均每天健身时 平均每天健身时 因此=1.05.x十2，当x=8,0=10.4,.相应于点(8,10)的残差e= 合计 间低于60分钟 间不低于60分钟 10-10.4=-0.4. 3.解 (1)由题意得，x=2+3+4+5十6=4， 健身前体重低 5 20 于100kg 40 22+22+17+14+10=17, 5 健身前体重不 80 2(x-x)(y一) 60 140 低于100kg 2(x,一x)2 2=1 合计 100 100 200 (-2)×5+(-1)×5+0×0+1×(-3)十2×(-7) X-200X40X8020×6012 (-2)2+(-1)2+02+12+2 100×100×60×140 9.524>6.635. =-3.2,a=y-6x=17+3.2×4=29.8, 依据小概率值《=0.010的独立性检验，认为平均每天健身时间与 故y关于x的经验回归方程为y=一3.2x十29.8. 会员健身前的体重是有关系的 -32 (3)由题意可知，该健身房每名会员平均每天的健身时间不低于70： (2).r 分钟的概率为品片 1 2(x-)2 V-) √/10×108 -16 设抽取的12人中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数为X,: ≈-0.97，.<0，说明x,y负相关。 3√/30 2一 剥X~B(12,)P(X=)=C()广() ,k=0,1,2,1 又|r|∈[0.75,1]，说明x,y相关性很强， 因此，可以认为该幼儿园去年春季流感人数与年龄负相关很强 …,12. 得PCX=)≥P(X=+1. 4B[由公式得X2=50X18×15-8X9) 26×24×27×23 ≈5.059>5.024=x0.025. ,P(X=k)≥P(X=k-1) .犯错误的概率不超过0.025.] (仔)广()）()()"。 :5.C[对于A,两个变量的2X2列联表中，对角线上数据的乘积之差 的绝对值越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大，所以A ()广()'(）() 正确；对于B,对分类变量X与Y的随机变量x来说，X越小，认为 “X与Y有关系”的犯错误的概率越大，所以B正确：对于C,由独立 化简得号<≤9，又kEN所以=， 性检验可知：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为秃顶与患心 脏病有关，不是说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病，所以 即12名会员中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可： C错误：对于D,依据小概率值α=0.01的独立性检验，认为吸烟与 能是3人 患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与 对点训练 患肺癌有关，所以D正确.] 解(1) 16.解(1)完成列联表如下： 喜爱运动 不喜爱运动 合计 是否满意 班别 合计 男 10 6 16 满意 不满意 女 6 8 14 甲班 39 6 45 合计 16 14 30 乙班 30 15 45 (2)零假设为H。:喜爱运动与性别无关，由已知数据可得 合计 69 21 90 X-30x10X86X6 零假设为H。:评价与班级没有关系 16×14×16×14 ≈1.1575，因为1.1575<2.706=z0.1, 由表中数据得 根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H。不成 立，因此可以以为H。成立，即认为性别与喜爱运动无关 X_90X(39×15-30X6) 45×45×69×21 素养演练·提升技能 =5.031>3.841=x6.05 l.B[根据y2的公式可知，当|ad一bc的值越大，两个变量有关的可！ 根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断H。不成立，即在犯 能性就越大，检验四个选项中所给的|ad-bc|的值. 错误的概率不超过5%的前提下，认为评价与班级有关. 7 A:ad-bc|=|10-12|=2, (2)抽样比==了，甲班选取2人，乙班选取5人， B:ad-bc|=|20-91=11, C:ad-bc=|15-121=3, 则P CiC+C6 C 7 D:lad-bc|=|15-12|=3, :7.解(1)由题意得随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3 显然B中ad一bc|的值最大.故选B.] 件为非优等品，现从抽取的6件合格产品中再任选2件，选中的2件 2.A[因为x2=10>6.635,所以有99%的把握认为使用智能手机对 学习有影响，故选A.] 均为优等品的概率为己20 C3 3.B[①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，的值的 (2)对y=cx两边取自然对数得lny=lnc十blnx,令u=lnx,o 大小只是用来检验A与B是否相互独立：③不正确，例如借助三维 lny,a=lnc,则o=bw十a,由所给统计量及最小二乘估计公式有b 柱形图、二维条形图等.故选B.] 4.A[根据列联表中的数据，可得x=0X1X3734X8 2u,心，-6u元 45×45×19×71 75.3-24.6×18.3÷6=0.5,a=- bu≈ 2u-6u2 101.4-24.62÷6 0.600.] 5.②[7=304X53X8212X)≈0.041<2.706=1，所以 180×124×105×199 18.3-0.5X24.6=1,由a=1nc得c=e,所以y关于x的回归方程 6 性别与了解所学专业无关，」 为y=er0 175