7.3.2 离散型随机变量的方差-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教A版）

世五维课堂 所以B()=0×1+2×是1-p)+3X2p=是： 4 对于方案Ⅱ：记专为“从四个选项中选择两个选项的得 分”，则的所有可能取值为：0,4,6， P(E-0)=X(1)x ,C31 =40=1-pxC2S-1-, 所以E=0X(信+）+4X1-p)+6xP =2一p;要使唯独选择方案I最好， 3 则2-C立解得：号<p<1,故p的取值花周为 (0<<1 (合) 答案：(1)0.3072 20g,g@(合 7.3.2离散型随机变量的方差 1.B[由分布列的性质得x十y=0.5, 又E(X0=号，所以2z十3=号，解得x=日=名，所 以D(x)=(-日)×合+(2-)×日+ (8-)×号- 2.D[E(X1)=2E(X)-5=12-5=7,D(X1)=4D(X)= 4×0.5=2.] 3.A[抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得 一1分，则得分X的分布列为 X 1 -1 0.5 0.5 所以E(X)=1×0.5十（一1）×0.5=0， D(X)=(1-0)2×0.5+(-1-0)2×0.5=1.] 4.A[根据已知得东(i=1,2)服从两点分布，由两点分布 的均值和方差知E()=p:,D(后)=(1一p),因为0< A<A<合，所以E)=A<A=E(),D()-D() =1-p员-（p2-p)=(p1-p2)[1-（p1十p2)门，已知 <p2,p十p2<1,所以D(6)-D()<0,即D(6)< D(5).] 5,ABD[由X的分布列可知P(X=0)=子，所以A 正确； 根据离散型随机变量分布列的期望与方差的计算公式可 得，B0=(-1Dx+0x号+1x日=-， 3 ·2 数学·选择性必修第三册 所以D(x)=(-1+号)×合+(+号)×号 (1+号)×日-号，所以B正确，C不正确： 图为P(X=0)=号P(X=1D=号， 所以E(X)=子，所以D(X)=(0-号)X号+ (-号)广×号-号所以DE确故选ABD] 6.BC[依题意可得x十y=1,E(X)=2xy, 又2≤2-安所以B0≤号 2 当且仅当x=)=号时取等号，A错误，B正确： D(X)=(x-2xy)2y+(y-2xy)2x=(1-2y)2xy+(1 -2x)2y2x=[(1-2y)2x+(1-2x)2y]yzx=[(2x-1)2x +(1-2x)2y]yx=(1-2x)2(x+y)yx=(1-2x)2yx, 0<x<1,.-1<2x-1<1,.0<(2x-1)2<1, D(X)<,即D(X0<号E(X,C正确； D(X)=(1-2x)2z<c≤+2=1 4 4 当且仅当x=y=号时取等号.D错误。 故选BC.] 7.解析：依题意可知，X的可能取值为0,2,5,10，则 PX=0)=c(号)'=gPX=2)=c(合）广'= PX=)-c(合)广=号PX=1o)=G(合)广=合 所以E(X)=0X日+2+5+10X号-，又 BX)=02×日+2×g+5×+10×-1,所 以DX0=BX)-(BX0)P-2 答案 8.解析：由题意知 -a+c+日=0，解得b= 6 atet-1, c=4 省案：最 9,解析：“有放回摸取”，每次摸出一球是白球的概率为P= = 所以“有效回模两火，颜色不同”的概率为2X号× (一号)=专“不放回抽取”时，设摸出白球的个数为 6 参考答案 X,依题意得P(X=0)= =号P(X=1)-S- C 是P(X=-是- 所以B(X0=0X号+1×是+2X=号， 2 Dx)=(0-号)×号+(1-号)×是+(2-号)】 16 省案：号 10.解：1：E(7)=0×号+10×号+20×言+50×号+ 60×号-16. aD)=0-16×号+10-16×号+(20-16>× 言+(50-16)y×号+(80-16)×言=384， (2):Y=2n-E(n),.D(Y)=D(2n-E(7)= 22D(=4×384=1536. 11.解：(1)由分布列的性质，知 ++a=1, 故a= ,从而X的分布列为 1 0 1 3 4 4 (2)由①知a=子，所以X的均值E(X)=(-1)×之十 0×+1×}=-子.故X的方差D(X)= (-1+)×+(0+)×冬+(+)×号 11 16 (3)B)=4E(X)+3=4×(号)+3=2， D(Y)=16D(X)=11. 12.解：(1)X的取值为0,1,2,4. 5 5 P(X=0)=3X3-9 PX--PX-2-名-号， 1 1 P(X=4)=3X3=9 (2)X的分布列如下： X 0 1 2 P 5 1 1 9 9 所以E(X)=0X 5 +1× 9 2十4× 1 =1, ·2 课时作业色 D(x0=(0-1)×号+(1-1)×g+(2-1)×号+ 4-10×号-9 13.解析：(1)推荐的6名老师中任选3名去参加活动基本 事件总数n=C=20,这6名老师中，数学老师2名，英 语老师2名，化学老师2名，设事件A表示“选出的数 学老师人数多于英语老师人数，”A1表示“恰好选出1 名数学老师和2名化学老师”，A2表示“恰好选出2名 数学老师”，AA:互斥，且A=AUA,PA1)=CC =品-0PA)-S-选由数学老师人数 C 多于英语老师人数的概率为P=P(A)十P(A,)=O 1 (2)由于从6名老师中任选3名的结果为C,从6名老 师中任选3名，其中恰有m名数学老师的结果为 CCm(m=0,1,2),那么6名中任选3人，恰有m名 数学老师的概率为P(X=m)=CC 一，所以P(X=0) C 答-吉X=)-g=号pGX=2)-詈 C C B(X0=0X号+1号+2X号=1， DX0=(0-1×号+1-1)×号+(2-102×号 = 答案.1号 (2E0=1,D0=号 14.解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为 Y 5 10 P 0.8 0.2 8 12 P 0.20.5 0.3 E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6, D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4; E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8, D(Y2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2× 0.3=12. ②-n(赢)+p(.x）(赢)· DY,)+(0)DY)=7[+3X10 37 ● 巴五维课堂 门=0(42-60z+3X100). 所以当x=毁8-75时，1)取最小位8 7.4二项分布与超儿何分布 7.4.1二项分布 1.C[P(≤3)=P(=0)十P(=1)+P(5=2)+P(=3) =c×(2)'+c·(2)°+c·() +Cg (合)广-品故递c] 2.D[命中次数服从~B(100,0.8),所以命中次数的标 准差等于√100×0.8×(1-0.8)=4.] 3.B[由题意可知质点P在5次运动中向右移动2次，向 上移动3次，且每次移动是相互独立的，质点移动5次位 于点(2,3)的概率是P=C×(合)×（合）广故选B] 4.B[由S,=3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸 取白球，而每次提取红琅的概率为号，提取白球的概率 为号，则s=3的概率为G×(号)×（兮）广：故 选B.] 5.BCD[A,满足独立重复试验的条件，是二项分布；B,, 的取值是1,2,3，…，n,P(=k)=0.9×0.1-1(k=1,2, 3,…,),显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二 项分布；C,虽然是有放回地摸球，但随机变量的定义 是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红 球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义；D,n次试 验是不独立的，因此专不服从二项分布.] 6.CD[由X~B(20,0.3),所以E(X)=20×0.3=6,所 以A错误；P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.720,所以B 错误； 又D(X)=20×0.3×0.7=4.2,所以C正确； P(X=10)=C28×0.310×0.71°=C28×0.211°， 所以D正确. 7.解析：由题意可知，前三次取黑球，第四次为白球， 答案0 8.解析：甲最终以4比2获胜，即甲在第2,3,4,5局比赛中 胜3局，且第6局获胜，据此求出概率即可.甲最终以4 比2获胜，即甲在第2,3,4,5局比赛中胜3局，且第6局 获胜，事件甲最终以4比2获胜的概率为：()× 子×-品 答案：256 3 9.解析：由题可得一次活动中，甲发胜的概率为哥×号 4 ·28 数学·选择性必修第三册 则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C好X (号) x号+（号）-器 答案号别 10.解：由题意知，用X表示成功的人数，则X服从n=3, D=是的二项分布，于是有 P(x==C(子)广(-)】 ,k=0,1,2,3. 所以X的分布列为 X 0 2 27 27 64 6 64 11.解：(1)至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人 同时上网的概率，即P=1一C80.5一C60.55一C0.5 (2)至少4人同时上网的概率为 c0.5+c0.5+C0.5f=2>03. 至少5人同时上网的概率为 c0.59+c0.5=0<0.3 因此，至少5人同时上网的概率小于0.3. 12.解：(1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙 选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为 “A∩B十A∩B”,且事件A,B相互独立. .P(A∩B+A∩B)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =×2+(1-)×(0-合)号 (2)随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且~ B(4,) P(=)=c(2)广(-) =C(合)）广=012,3,40. ∴随机变量的分布列为 0 3 4 3 1 P 16 8 16 13.解：设事件A表示该地1位车主购买甲种保险，事件B 表示该地1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险，事 件C表示该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种，事件D表示该地1位车主甲、乙两种保险都不 购买. (1)由题意知P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=AUB, 8第七章随机变量及其分布 数课时 7.3.2 离 学作业 [基础过关] 1.已知随机变量X的分布列为 X 2 3 0.5 2 2 若E(X)= ,则D(X)等于 1 器 B. 64 2.如果X是离散型随机变量，E(X)=6, D(X)=0.5,X,=2X-5,那么E(X)和 D(X)分别是 ( A.E(X1)=12,D(X1)=1 B.E(X,)=7,D(X)=1 C.E(X)=12,D(X1)=2 D.E(X1)=7,D(X)=2 3.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分， 反面向上得一1分，则得分X的方差为 A.D(X)=1 B.D(X)三2 C.E(X0=2 D.E(X)=1 4.已知随机变量专：满足P(=1)=p:, P(=0)=1-p:,i=1,2.若0<p1<p2 <分则 ( A.E(6)<E(E2),D(6)<D(E2) B.E(5)<E(52),D(5)>D(52) C.E(ξ)>E(52),D(6)<D(2) D.E(5)>E(52),D(6)>D(52) ·181 课时作业乡 散型随机变量的方差 纠错空间 5.(多选)已知离散型随机变量X的分布列 如下表，则 X -1 0 1 P 1 1 1 2 3 6 APX=0)-号 B.E(X)=- 3 C.D(X)- 2 27 D.D(X2)= 9 6.(多选)已知随机变量X的分布列如下 表，则下列说法正确的是 ( X x 2 P y 方法总结 A存在xyE(0,1),E(X0>号 B对任意xE(0,1D,E(X≤号 C.对任意x,y∈(0,1)，D(X)≤E(X) D.存在，∈(0,1)，DX)> 7.阿尔法围棋(AlphaGo)是第一个击败人 类职业围棋选手的机器人，这是人工智 能算法的重要突破.现某公司研发出了 一款D级3段围棋机器人，并开展了一 项比赛，比赛规则为一人与机器人对弈 三次，若获胜一次，则可以获得2千元 奖金，若获胜两次，则可以获得5千元 奖金，若获胜三次，则可以获得1万元 奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知 某围横手每场比赛获胜的概率均为分， 记此人可获得的奖金为X千元，则 D(X)= 巴五维课堂 数学·选择性必修第三册 8.已知离散型随机变量X的分布列如下表， (2)计算X的方差； 空 若E(X)=0,D(X)=1,则a= 间 6= 纠错空间 X 0 2 P 1 a 12 (3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差. 9.一个口袋中装有大小相同的2个白球 和4个黑球.若采取放回抽样方式，从 中摸出两个球，则两球恰好颜色不同的 概率为 ,若采取不放回抽样方 式，从中摸出两个球，则摸出白球的个 数的方差为 10.已知？的分布列为 0 10 20 50 60 P 1 3 5 15 1 方法总结 (1)求)的方差； (2)设Y=2n-E(7),求D(Y). [能力提升] 12.有三张形状、大小、质地完全一样的卡 片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中 任意抽取一张，将其上数字记作x,然 后放回，再抽取一张，其上数字记作y, 令X=x·y. 求：(1)X所取各值的概率； 11.已知X的分布列如下. (2)随机变量X的数学期望与方差. X 0 a 2 (1)求X的分布列； ·188· 第七章随机变量及其分布 课时作业乡 13.为深入学习贯彻党的二十大精神，认 [素养培优] 真贯彻落实习近平总书记在二十大报 14.A,B两个投资项目的利润率分别为随 间 告中指出的“加快义务教育优质均衡 机变量X1和X2,根据市场分析，X] 纠错空间 发展和城乡一体化，优化区域教育资 和X2的分布列分别为 源配置”指示精神，促进城乡教育高质 X 5% 10% 量共同发展.某市第一中学打算从各 P 0.8 0.2 年级推荐的总共6名老师中任选3名 去参加“送教下乡”的活动.这6名老 X2 2% 8% 12% 师中，英语老师、化学老师、数学老师 ò 0.2 0.5 0.3 各2名. (1)求选出的数学老师人数多于英语 (1)在A,B两个项目上各投资100万 老师人数的概率； 元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投 (2)设X表示选出的3人中数学老师 资项目A和B所获得的利润，求方差 的人数，求X的均值与方差 D(Y),D(Y2); (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项 目，(100一x)万元投资B项目，f(x) 表示投资A项目所得利润的方差与投 资B项目所得利润的方差的和.求 方法总结 f(x)的最小值，并指出x为何值时， f(x)取到最小值. ·189·