6.2 第2课时排列与排列数的庄用-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

4.A[将“仁、义、礼、智、信”排成一排，无限制条件时有A种排法，！对点训练 其中“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的排法有AA种，故所求概！解(1)法一把同学作为研究对象. 率为A5A1 第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放 A=0故选A] 在5个位置上，有A种， 5.36[文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A号= 第二类：含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，有4种 12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12=36（种）选法.] 排法，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有 第二课时排列与排列数的应用 A种排法.根据分步乘法计数原理，含有甲时共有4×A种排法. 由分类加法计数原理，共有A十4×A=2160种排法， 关键能力·合作探究 题点一 法二把位置作为研究对象. 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种方法. 典例解(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个： 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在徐首位以外的其 元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A=7×6×5=210种！ 他4个位置上，有A种方法 不同的送法， 由分步乘法计数原理，可得共有A·A=2160种排法 (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据 法三间接法， 分步乘法计数原理，共有7×7×7=343种不同的送法. 即先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不 对点训练 满足条件的排列去掉 解分3类：第1类，用1面旗表示的信号有A种： 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A种：甲在首位的情况 第2类，用2面旗表示的信号有A种： 有A种，所以符合要求的排法有A一A=2160种 第3类，用3面旗表示的信号有A号种， (2)把位置作为研究对象，先满足特殊位置. 由分类加法计数原理，所求的信号种数是 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A A+A+A=3+3×2+3×2×1=15, 种方法 即一共可以表示15种不同的信号. 第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有 题点二 A种方法. 典例解(1)符合要求的四位偶数可分为三类： 根据分步乘法计数原理，共有A·A=1800种方法. 第一类：0在个位时有A个， (3)把位置作为研究对象 第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个，有A种，十位和： 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A 百位从余下的数字中选，有A号种，于是有AA?个， 种方法. 第三类：4在个位时，与第二类同理，也有AA个， 第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有 由分类加法计教数原理知，共有四位偶数： A种方法， A十AA号·2=156（个）. 根据分步乘法计数原理，共有A·A=1200种方法 (2)符合要求的数可分为两类： (4)用间接法. 第一类：个位上的数字是0的四位数有A个， 总的可能情况是A种，减去甲在首位的A种，再减去乙在未位的 第二类：个位上的数字是5的四位数有AA个， A种，注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次，所以还 故满足条件的四位数的个数共有 需补回一次A种，所以共有A一2A十A=1860种排法. A8十AA=108(个). :素养演练·提升技能 (3)符合要求的比1230大的四位数可分为四类： !1.A[根据题意，令f(x)=x3-2x=0,解得x=士2或x=0,即函 第一类：形如2☐☐☐，3☐☐☐，4☐☐☐，5☐口□，共AA2个； 数f(x)的零点为0W2,一√2，即P={0W2,-√2}，若x,∈P(i=1, 第二类：形如13☐□，14□☐，15□□，共有AA个： 2,3,4),且满足条件“x异十x号十x十x≤4”，则x1z2,江a的取法 第三类：形如124口，125☐，共有A2A}个： 中最多有两个取到士2，当12，江x1都取0时，有1种情况；当 第四类：形如123☐，共有A2个， 由分类加法计数原理知，无重复数字且比1230大的四位数共有： 工1，x2,x,1中仅有一个取到√2或√2时（其余取0），有8种情况： AA+AA号+A2A十A2=284(个). 当工1,2,2，x1中有两个同时取到√2或一√2时（其余取0），有12种 对点训练 情况：当1，x2,x3,x1中有两个分别取√2，一√2时（其余取0），有 解本题可分两类.第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置：A=12种情况.故满足条件的数组共有1十8十12十12=33个.] 第后类0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位夏上.所以2.AC[由题意联立{化， 上，所以五位数的个数为A=24: 得 {x2+y2=4, 十位位置上只能排1,3,7，有A=3种方法， 又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1,3,7 {红=反或{即直线y=x与 (y=√2y=-2, 被选作十位上的数字后余下的两个数字，有A=3种. 圆x2十y”=4的交，点坐标为（√2，√2）， 022 十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，有A=: (一√2，一√2)，如图所示， 6种. 当m一2或m≥2时，图面x2十y2≤4 x2+y2=4 根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为A·A· 被分成2块，此时不同的涂色方法有 A8=54. A=20种. 由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有24十54=78个 当一2<m≤一√2或√2≤m2时，图面x2十v2≤4被分成3块，此时 题点三 典例解(1)先考虑老师，有A种站法， 不同的涂色方法有A=60种. 当一√2<m<√2时，圆面x十y≤4被分成4块，此时不同的涂色方 再考虑其余6人，有A种站法， 法有A=120种. 故不同站法的种数为AA=2160. 故可能的涂色种数有20,60,120.故选A、B,C.] (2)2名女学生相邻而站，有A号种站法，将地们视为一个整体并与3.576[分步完成：第一步调换四条升腾之龙的相对位置，第二步润 其余5人全排列，有A:种站法， :换四条降沉之龙的相对位置，方法数为AA=576.] 所以不同站法的种数为AA=1440. !4.32[若“角”在两端，则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有 (3)先排老师和女学生，有A种站法，再在老师和女学生站位的空： AA号A=24种：若“角”在中间，则不可能出现宫、羽两音阶不相邻 (含两端)中插入男学生，每空一人，则插入方法有A种，所以不同： 且在角音阶的同侧的情况：若“角”在第二个或第四个位置，则有 站法的种数为AA=144. 2A号A号=8种，综上共有24十8=32种不同的音序.] (4)在7人全排列的所有站法中，4名男学生不考虑身高顺序的站法5.210[若1,3,5,7的顺序不定，则4个数字有A=24(种)排法，故 有A种，而从高到低顺序站有从左到右和从右到左2种，所以不同： 1,35,7的服序一定的排法只占会排列种数的故有方×A= 站法的种藏为2×=420. A 210(个)七位数符合条件，] 156数学选择性必修第三册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.A2-Ao的值是 ( 信”排成一排，则“仁”排在第一位，且“智、信”相 A.480B.520 C.600 D.1320 邻的概率为 () 2.若A8m=2A+1,则1ogn25的值为 1 3.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6 A.10 个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一 C.io D号 步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序： 5.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级 的编排方法共有 ( ) 学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人 A.24种B.48种C.96种D.144种 不能担任文娱委员，则不同的选法共有 4.“仁、义、礼、智、信”为儒家“五常”，由孔子提出 种.（用数字作答） “仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒 扩充为“仁、义、礼、智、信”.若将“仁、义、礼、智、温馨提示 请做课时分层检测（三） 第二课时排列与排列数的应用 【素养要求】通过计数原理和排列求解具体的实际问题，发展逻辑推理、数学运算和数学建模素养. 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一无限制条件的排列问题 对点训练 [典例](1)有7本不同的书，从中选3本送给3 名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直 (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每 的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或 人各1本，共有多少种不同的送法？ 3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以 听课记录 表示多少种不同的信号？ 题点二 组数问题 :…/方法技巧/ [典例门用0,1,2,3,4,5这六个数字：（最后运算 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数； 结果请以数字作答) 若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数. (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ 排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取： (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四 出m(n≤n)个元素”.即在排列问题中元素不能 位数？ 重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问 (3)能组成多少个无重复数字且比1230大的四 题中，元素可以重复选取. 位数？ 8 第六章计数原理 听课记录 题点三 排队问题 [典例]7名师生站成一排照相留念，其中有1名 老师，4名男学生，2名女学生.分别求满足下列 情况的不同站法的种数。 (1)老师必须站在中间或两端； (2)2名女学生必须相邻而站； (3)4名男学生互不相邻； (4)若4名男学生身高都不相等，按从高到低的 顺序站 听课记录 :…/方法技巧/ 数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项 (1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位 子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主 要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位 子不排某些对象，解决该类排列问题的方法主 要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先 满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到： 另一个位子的元素个数时，应分类讨论 (2)常用方法：直接法、间接法. (3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中 的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意 特殊元素“0”的处理 对点训练 用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重 复数字且5不在十位位置上的五位数， /方法技巧/ 1.“捆绑法”解决相邻问题 解决相邻问题一般用“捆绑法”.将n个不同 的元素排成一列，其中(k≤)个元素排在相 邻的位置上，求不同排法的种数的方法如下： (1)将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整 体；(2)把这个整体当成一个元素与其他元素 一起排列，有A牛}种排法；(3)“松绑”，即 将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，其排 列方法有A种；(4)由分步乘法计数原理知， 符合条件的排法有A”}·A种. 数学选择性必修第三册 2.“插空法”解决不相邻问题 对点训练 解决不相邻问题通常用“插空法”.将n个不 同的元素排成一列，其中当n为奇数时， 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5 名同学排成一列，求解下列问题. <”士；当n为得数时<)个元素互不相 (1)甲不在首位的排法有多少种？ 邻，求不同排法的种数的方法如下：(1)将没 (2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？ 有不相邻要求的(n一k)个元素排成一排，其 (3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多 排列方法有A?二种；(2)将要求两两不相邻： 少种？ (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多 的k个元素插入(n一k+1)个空隙中，相当于 少种？ 从(n一k十1)个空隙中选出及个分别分配给 两两不相邻的个元素，其排列方法有： A+1种；(3)根据分步乘法计数原理知，符 合条件的排法有A”二A6+1种. 3.“定序”问题 在排列问题中，某些元素在题意中已排定了 顺序，对这些元素进行排列时，不再考虑其顺： 序.在具体的计算过程中，可采用“除阶乘法” 解决，即n个元素的全排列中有m(m≤n)个 元素的顺序固定，则满足题意的排法有 A” 种 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知函数f(x)=x3-2x的零点构成集合P,若： 壁模型，为了增加模型的种类但又不改变升腾之 x:∈P(i=1,2,3,4)(x1,x2,x3,x4可以相等)， 龙居阳位和降沉之龙的位置，只能调换四条升腾 则满足条件“x?十x号十x号十x≤4”的数组(x1, 之龙的相对位置和四条降沉之龙的相对位置，则 x2,x3,x4)的个数为 ( ) 不同的雕刻模型有 种（用数字作答）. A.33 B.29 C.27 D.21 2.(多选)直线x=m,y=x将圆面x2十y2≤4分成 若干块，现有5种颜色给这若干块涂色，且任意： 4.五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音 两块不同色，则可能的涂色种数有 不全”.中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、 A.20 B.60 C.120 D.240 徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个 3.九龙壁是中国古代建筑的特色，雕刻在帝王贵族 出入的宫殿或者王府的正门对面，是权力的象 音阶的音序，要求宫、羽两音阶不相邻且在角音 阶的同侧，可排成 种不同的音序 征，做工十分精美，艺术和历史价值很高.九龙壁 中九条蟠龙各居神态，正中间即第五条为正居之 5.用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数， 若1,3,5,7的顺序一定，则有 个七位数 龙，两侧分别是降沉之龙和升腾之龙间隔排开，： 其中升腾之龙位居阳位，即第1,3,7,9位，降沉 符合条件. 之龙位居第2,4,6,8位.某工匠自己雕刻一九龙温馨提示 请做课时分层检测（四） 10