6.2 第1课时排列与排列数-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

(2)列出每一个起点和终点情况，如图所示 广州 南京 天津 北京 北京·南京广州→天津南京→北京 天津→广州 天津 北京 广州 、南京 故符合题意的机票种类有： 图a 图b 北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南 另一种情形如图a所示，图中E,F分别是AB,AC的中点，K是AD 的三等分点中靠近A的分点，A,B,C到平面EFK(即平面a)的距 京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共 离是D到平面EFK距离的一半 12种. :EF可以是AB,AC的中点的连线，又可以是AB,BC的中点的连！对点训练 线，或AC,BC的中点的连线， 解由题意作树状图，如图. ∴.这种情形下的平面a有3×4=12个， 第三种情况，如图b所示，在A,B,C,D四点中，平面a两侧各种有 两点 容易看出：，点A到平面EFMN(平面a)的距离是B,C,D到该平面 ! 距离的2倍 就A,C与B,D分别位于平面a两侧的情形来看，就有A离平面a· 故所有的排列为abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda, 远，B离平面a远，C离平面α远，D离平面a远这四种情况. bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb, 又AC,BD异面，则这样的异面直线共有3对， 24个. ∴.平面a有4×3=12个， 题点三 综上分析，平面a有4十4十12十12=32个.] 5A+A6A6A63 6.2排列与组合 典例解（①）原式=A。A。4A一40N-0-2示 第一课时排列与排列数 (2)由排列数公式，原方程可化为 必备知识·自主梳理 3× 8！ 91 (一) 84×0 一定的顺序 4×9 即学即练 化简，得3=10x)(9一x 1.AD[选项A中兴趣小组与学科顺序有关，D项中两位数与位置顺： 即x2-19x十78=0，解得x=16或x=13. 序有关，都是排列.] 因为x≤8，所以原方程的解是x=6. 2.B[选派4人分别从事四种不同的工作，分四步进行，共有6×5×4！ 8！ 8 ×3=360种.] (3)由排列教公式，得8<6×0 (二) 6 1.个数A”2.n(n-1)(n-2)…(n-m十1)3.全部取出A” 化简，得1<(10x)(9-7) 4.n15.(1)1(2nl(3)nm n！ 即x2-19x十840， 所以7<x<12. 即学即练 又因为x∈N“,0≤x≤8,0≤x-2≤8， 1.D「爱大因数为14，共有6个连续正整数相乘，所以n=14,m=6,: 所以2x8且x∈N", 故14×13×12×11×10×9=A1.] 2.D[第一步，先排个位，有A种选择：第二步，排前四位，有A种 所以x=8. (4),n·n！=[(n十1）-1]·n！=(n十1)！-nl. 选择.由分步乘法计数原理知，有A}·A=72个.] .原式=(2！-1)十(3！-21)+(4！-3！)十…十[(n+1)1 关键能力·合作探究 n!]=(n+1)！-1. 题点一 典例解1)不是.加法运算满足交换律，所以选出的2个元素微加对点训练 法时，与两个对象的位置无关，故不是排列问题， 解(1)2A+7A 2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 (2)是，因为从一门进，从另一门出是有顺序的，故是排列问题 A8-A8 =8×7X6X5×4×3X2X1-9×8X7X6X万 (3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题。 =1. +芳-1表示焦点在：轴上的描圆，剥必有a>6,:6的 若方程 （2)因为2十1≥4所以≥3，N. x≥3， 大小关系一定： 由A+1=140A得x=3 在双曲线三1中·不管a>b还是a<6,方程 =1均 (3)21 nl=(n-1)月n! 表示焦点在x轴上的双曲线 对点训练 分+景+音+…+-=（后）+（你司）十 B[对于A,8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题， A错误：对于B,10个人互相通信，涉及到顺序问题，是排列问题，B· (分)+…+[m]-1- 正确：对于C,5个点中任取3点，不涉及顺序问题，不是排列问题，C! (4)因为A2=z(x-1)(x一2)，A经+1=(x+1)x,A2=x(x-1),所 错误：对于D,4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及！ 以原不等式可化为3x(x-1)(x-2)2x(x十1)十6.x(x-1),x 顺序，不是排列问题，D错误， 3,解得3≤x≤5，易知x∈N,所以原不等式的解集为{3,4,5}. 题点二 素养演练·提升技能 典例解(1)按三个位置依次安排，如图： 11.C[A2=12×11×10=1320,A0=10×9×8=720,故A2 ABABC A在首位A Ai0=1320-720=600.] A C ACB (2n)！ B A BAC 2.2[由A,=2A1得2-2·解释=5a=0合 B在首位B B C BC A 去)，所以10gm25=1og25-2.] CA CAB C在首位C■ :3.C[首先将程序B和C相绑在一起，再和除程序A之外的3个程 C B CB A 序进行全排列，最后将程序A排在第一步或最后一步，根据分步乘 故所有排列为ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA. 法计数原理得，共有A号AA2=2×24×2=96种编排方法.] 155 4.A[将“仁、义、礼、智、信”排成一排，无限制条件时有A种排法，！对点训练 其中“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的排法有AA种，故所求概！解(1)法一把同学作为研究对象. 率为A5A1 第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放 A=0故选A] 在5个位置上，有A种， 5.36[文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A号= 第二类：含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，有4种 12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12=36（种）选法.] 排法，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有 第二课时排列与排列数的应用 A种排法.根据分步乘法计数原理，含有甲时共有4×A种排法. 由分类加法计数原理，共有A十4×A=2160种排法， 关键能力·合作探究 题点一 法二把位置作为研究对象. 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种方法. 典例解(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个： 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在徐首位以外的其 元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A=7×6×5=210种！ 他4个位置上，有A种方法 不同的送法， 由分步乘法计数原理，可得共有A·A=2160种排法 (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据 法三间接法， 分步乘法计数原理，共有7×7×7=343种不同的送法. 即先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不 对点训练 满足条件的排列去掉 解分3类：第1类，用1面旗表示的信号有A种： 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A种：甲在首位的情况 第2类，用2面旗表示的信号有A种： 有A种，所以符合要求的排法有A一A=2160种 第3类，用3面旗表示的信号有A号种， (2)把位置作为研究对象，先满足特殊位置. 由分类加法计数原理，所求的信号种数是 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A A+A+A=3+3×2+3×2×1=15, 种方法 即一共可以表示15种不同的信号. 第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有 题点二 A种方法. 典例解(1)符合要求的四位偶数可分为三类： 根据分步乘法计数原理，共有A·A=1800种方法. 第一类：0在个位时有A个， (3)把位置作为研究对象 第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个，有A种，十位和： 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A 百位从余下的数字中选，有A号种，于是有AA?个， 种方法. 第三类：4在个位时，与第二类同理，也有AA个， 第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有 由分类加法计教数原理知，共有四位偶数： A种方法， A十AA号·2=156（个）. 根据分步乘法计数原理，共有A·A=1200种方法 (2)符合要求的数可分为两类： (4)用间接法. 第一类：个位上的数字是0的四位数有A个， 总的可能情况是A种，减去甲在首位的A种，再减去乙在未位的 第二类：个位上的数字是5的四位数有AA个， A种，注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次，所以还 故满足条件的四位数的个数共有 需补回一次A种，所以共有A一2A十A=1860种排法. A8十AA=108(个). :素养演练·提升技能 (3)符合要求的比1230大的四位数可分为四类： !1.A[根据题意，令f(x)=x3-2x=0,解得x=士2或x=0,即函 第一类：形如2☐☐☐，3☐☐☐，4☐☐☐，5☐口□，共AA2个； 数f(x)的零点为0W2,一√2，即P={0W2,-√2}，若x,∈P(i=1, 第二类：形如13☐□，14□☐，15□□，共有AA个： 2,3,4),且满足条件“x异十x号十x十x≤4”，则x1z2,江a的取法 第三类：形如124口，125☐，共有A2A}个： 中最多有两个取到士2，当12，江x1都取0时，有1种情况；当 第四类：形如123☐，共有A2个， 由分类加法计数原理知，无重复数字且比1230大的四位数共有： 工1，x2,x,1中仅有一个取到√2或√2时（其余取0），有8种情况： AA+AA号+A2A十A2=284(个). 当工1,2,2，x1中有两个同时取到√2或一√2时（其余取0），有12种 对点训练 情况：当1，x2,x3,x1中有两个分别取√2，一√2时（其余取0），有 解本题可分两类.第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置：A=12种情况.故满足条件的数组共有1十8十12十12=33个.] 第后类0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位夏上.所以2.AC[由题意联立{化， 上，所以五位数的个数为A=24: 得 {x2+y2=4, 十位位置上只能排1,3,7，有A=3种方法， 又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1,3,7 {红=反或{即直线y=x与 (y=√2y=-2, 被选作十位上的数字后余下的两个数字，有A=3种. 圆x2十y”=4的交，点坐标为（√2，√2）， 022 十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，有A=: (一√2，一√2)，如图所示， 6种. 当m一2或m≥2时，图面x2十y2≤4 x2+y2=4 根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为A·A· 被分成2块，此时不同的涂色方法有 A8=54. A=20种. 由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有24十54=78个 当一2<m≤一√2或√2≤m2时，图面x2十v2≤4被分成3块，此时 题点三 典例解(1)先考虑老师，有A种站法， 不同的涂色方法有A=60种. 当一√2<m<√2时，圆面x十y≤4被分成4块，此时不同的涂色方 再考虑其余6人，有A种站法， 法有A=120种. 故不同站法的种数为AA=2160. 故可能的涂色种数有20,60,120.故选A、B,C.] (2)2名女学生相邻而站，有A号种站法，将地们视为一个整体并与3.576[分步完成：第一步调换四条升腾之龙的相对位置，第二步润 其余5人全排列，有A:种站法， :换四条降沉之龙的相对位置，方法数为AA=576.] 所以不同站法的种数为AA=1440. !4.32[若“角”在两端，则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有 (3)先排老师和女学生，有A种站法，再在老师和女学生站位的空： AA号A=24种：若“角”在中间，则不可能出现宫、羽两音阶不相邻 (含两端)中插入男学生，每空一人，则插入方法有A种，所以不同： 且在角音阶的同侧的情况：若“角”在第二个或第四个位置，则有 站法的种数为AA=144. 2A号A号=8种，综上共有24十8=32种不同的音序.] (4)在7人全排列的所有站法中，4名男学生不考虑身高顺序的站法5.210[若1,3,5,7的顺序不定，则4个数字有A=24(种)排法，故 有A种，而从高到低顺序站有从左到右和从右到左2种，所以不同： 1,35,7的服序一定的排法只占会排列种数的故有方×A= 站法的种藏为2×=420. A 210(个)七位数符合条件，] 156数学选择性必修第三册 6.2排列与组合 第一课时 排列与排列数 【素养要求】通过学习排列的概念及排列数公式的应用与计算，发展数学抽象、逻辑推理及数学运算 素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)排列的概念 :2.排列数公式：A”= (m,n∈ 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元： N*,m≤n). 素，并按照 排成一列，叫做从n个不同：3.全排列 元素中取出m个元素的一个排列. 把n个不同的元素 的一个排列，叫做n [即学即练] 个元素的一个全排列，记作 1.(多选)下列问题中是排列问题的是 ( )4.阶乘 A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数： 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 学、物理兴趣小组 表示 B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动 :5.阶乘的相关结论 C.从a,b,c,d中选出3个字母 (1)规定：0！= D.从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组 (2)A7= (n∈N*). 成一个两位数 2.若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导： (3)排列数公式的另一种形式：A”= 购、保洁四种不同工作，则选派方案共有( ) (m,n∈N￥，m≤n) A.180种B.360种C.15种D.30种 [即学即练] 1.14×13×12×11×10×9等于 ( (二)排列数 1.排列数 A.A94 B.A C.A D.A 从n个不同元素中取出m(m≤)个元素的所有2.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数， 不同排列的 ,叫做从n个不同元素中取： 其中奇数的个数为 ( 出m个元素的排列数，用符号 表示 A.24 B.48 C.60 D.72 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一排列的概念 听课记录 [典例]判断下列问题是否是排列问题 (1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其 结果有多少种不同的可能？ (2)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买 物品后，再从另一个大门出来，不同的出入方式 有多少种？ (3)从集合M={1,2,…,9}中，任取两个元素作 为a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方 程心 。2十2=？可以得到多少个焦点在x轴上的 双曲线方程y a2=1? 第六章计数原理 /方法技巧/ 题点三排列数公式及其应用 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 [典例]根据要求完成下列各题. 凌换元素的位置 A3+Ag (1)计算：A。-A0 结果 有序 有 无 、有无变化 无序 (2)解方程：3A5=4A61; 非排列 (3)解不等式：A{<6A2 问题 (4)化简：1！+2·2！十3·3！+…十n·n!. 对点训练 听课记录 下列问题是排列问题的是 ( A.从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有 多少种不同的选取方法？ B.10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点 最多可确定多少条直线？ D.从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结 果共有多少种？ 题点二排列中的列举问题 [典例]写出下列问题的所有排列： /方法技巧/ (1)A,B,C三名同学照相留念，成“一”字形排： 排列数公式的形式及选择方法 队，共有多少种不同的排列方法？ 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式， (2)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应 另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排 该有多少种机票？ 列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对 听课记录 含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的 论证时，一般用阶乘式. 对点训练 计算下列各题. 2A8十7Ag (1) A-A /方法技巧/… (2)解方程：A2x+1=140A; 用树状图解决简单的排列问题是常见的解题方 法.它能很好地确定排列中各元素的先后顺序， 8分+员++…+a≥2且nN 利用树状图可具体地列出各种情况，避免排列 (4)解不等式：3A≤2A2+1十6A2. 的重复和遗漏 对点训练 写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有 排列. 数学选择性必修第三册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.A2-Ao的值是 ( 信”排成一排，则“仁”排在第一位，且“智、信”相 A.480B.520 C.600 D.1320 邻的概率为 () 2.若A8m=2A+1,则1ogn25的值为 1 3.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6 A.10 个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一 C.io D号 步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序： 5.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级 的编排方法共有 ( ) 学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人 A.24种B.48种C.96种D.144种 不能担任文娱委员，则不同的选法共有 4.“仁、义、礼、智、信”为儒家“五常”，由孔子提出 种.（用数字作答） “仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒 扩充为“仁、义、礼、智、信”.若将“仁、义、礼、智、温馨提示 请做课时分层检测（三） 第二课时排列与排列数的应用 【素养要求】通过计数原理和排列求解具体的实际问题，发展逻辑推理、数学运算和数学建模素养. 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一无限制条件的排列问题 对点训练 [典例](1)有7本不同的书，从中选3本送给3 名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直 (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每 的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或 人各1本，共有多少种不同的送法？ 3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以 听课记录 表示多少种不同的信号？ 题点二 组数问题 :…/方法技巧/ [典例门用0,1,2,3,4,5这六个数字：（最后运算 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数； 结果请以数字作答) 若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数. (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ 排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取： (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四 出m(n≤n)个元素”.即在排列问题中元素不能 位数？ 重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问 (3)能组成多少个无重复数字且比1230大的四 题中，元素可以重复选取. 位数？ 8