5.3.1 第1课时 函数的单调性与其导数 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教A版）

5.3.1 第1课时 函数的单调性与其导数 [课时跟踪检测] 1.函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图,函数y=f(x)的一个单调递减区间是 (　　) A.(x1,x3) B.(x2,x4) C.(x4,x6) D.(x5,x6) 解析:选B　由题图可知,当x∈(x1,x2),(x4,x6)时,f'(x)>0,当x∈(x2,x4)时,f'(x)<0,∴函数f(x)在(x2,x4)内单调递减,在(x1,x2),(x4,x6)内单调递增,∴函数y=f(x)的一个单调递减区间是(x2,x4). 2.函数f(x)=x-ln x的单调递增区间为 (　　) A.(0,1) B.(0,e) C.(1,+∞) D. 解析:选C　f(x)=x-ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-=,由f'(x)>0得x>1,所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞).故选C. 3.函数f(x)=2x3-ax2+7的单调递减区间是(0,2),则a= (　　) A.6 B.3 C.2 D.0 解析:选A　由f(x)=2x3-ax2+7,得f'(x)=6x2-2ax,由于f(x)的单调递减区间是(0,2),故x=0和x=2是f'(x)=6x2-2ax=0的两个根,故24-4a=0,故a=6.故选A. 4.命题甲:对任意x∈(a,b),有f'(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的.则甲是乙的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A　f(x)=x3在(-1,1)内是单调递增的,但f'(x)=3x2≥0(-1<x<1),故甲是乙的充分不必要条件,故选A. 5.[多选]下列函数在定义域上为增函数的是 (　　) A.f(x)=xln x B.f(x)=ln x+x C.f(x)=x-cos x D.f(x)=x2ex 解析:选BC　对于A,函数f(x)=xln x,可得f'(x)=ln x+1(x>0),当x>时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当0<x<时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以A不符合题意;对于B,函数f(x)=ln x+x,可得f'(x)=+1(x>0),当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故B符合;对于C,f(x)=x-cos x,则f'(x)=1+sin x≥0,且f'(x)不恒为0,故f(x)单调递增,故C符合;对于D,函数f(x)=x2ex,可得f'(x)=ex(2x+x2),当x>0或x<-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当-2<x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以D不符合题意.故选BC. 6.[多选]若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是 (　　) A.f(x)=2-x B.f(x)=x2+2 C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x 解析:选AB　设g(x)=exf(x),对于A,g(x)=ex·2-x=在定义域R上是增函数,故A正确;对于B,g(x)=(x2+2)ex,g'(x)=(x2+2x+2)ex=[(x+1)2+1]ex>0,所以g(x)在定义域R上是增函数,故B正确;对于C,g(x)=ex·3-x=在定义域R上是减函数,故C不正确;对于D,g(x)=excos x,则g'(x)=excos,g'(x)>0在定义域R上不恒成立,故D不正确. 7.已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则函数y= (　　) A.在区间(-1,2)内单调递减 B.在区间内单调递减 C.在区间(0,2)内单调递减 D.在区间(-1,1)内单调递减 解析:选B　由y=得y'==,由题中图象可知,当x<-时,f'(x)>f(x),所以y'=>0,则函数y=单调递增;当-<x<时,f'(x)<f(x),所以y'=<0,则函数y=单调递减;当<x<3时,f'(x)>f(x),所以y'=>0,则函数y=单调递增;当x>3时,f'(x)<f(x),所以y'=<0,则函数y=单调递减.故A、C、D错误,B正确.故选B. 8.“a<0”是“函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在(-∞,-3]上单调递增”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A　二次函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3的对称轴为x=-a-1,由函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在(-∞,-3]上单调递增可得-a-1≥-3,解得a≤2,所以a<0能推出a≤2,a≤2推不出a<0,所以“a<0”是“函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在(-∞,-3]上单调递增”的充分不必要条件.故选A. 9.(5分)函数f(x)=2x+2sin x的单调递增区间是　 　　.  解析:∵f'(x)=2+2cos x,cos x∈[-1,1],∴f'(x)≥0在R上恒成立,且不恒为0,∴函数的单调递增区间为(-∞,+∞). 答案:(-∞,+∞) 10.(5分)已知m是实数,函数f(x)=x2(x-m),若f'(-1)=-1,则函数f(x)的单调递减区间是　　　　.  解析:f'(x)=2x(x-m)+x2,因为f'(-1)=-1,所以-2(-1-m)+1=-1,解得m=-2.令f'(x)=2x(x+2)+x2<0,解得-<x<0,得函数f(x)的单调递减区间是. 答案: 11.(5分)已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是　　　.  解析:由f(x)的导函数f'(x)的图象,知f(x)在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,当x≤0时,由f(x)<1=f(-2),得-2<x≤0;当x>0时,由f(x)<1=f(4),得0<x<4.综上所述,f(x)<1的解集为(-2,4). 答案:(-2,4) 12.(5分)已知函数f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上有f'(x)>0,若f(-1)=0,则关于x的不等式xf(x)<0的解集是　　　　.  解析:因为在(0,+∞)上f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1)=0,且f(x)在(-∞,0)上单调递减,f(x)的草图如图所示,所以xf(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1). 答案:(-∞,-1)∪(0,1) 13.(10分)已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R,且f'(-1)=5. (1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(5分) (2)求函数f(x)的单调区间.(5分) 解:(1)由题设f'(x)=3x2-2ax, 则f'(-1)=3+2a=5⇒a=1, 所以f(x)=x3-x2且f'(x)=3x2-2x, 则f(1)=0,f'(1)=1, 所以在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1, 即x-y-1=0. (2)由(1)知f'(x)=x(3x-2), 当f'(x)>0时,x<0或x>, 当f'(x)<0时,0<x<. 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),,单调递减区间为. 14.(15分)已知函数f(x)=的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0. (1)求函数y=f(x)的解析式;(6分) (2)求函数f(x)的单调区间.(9分) 解:(1)因为f(x)的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0. 所以f'(-1)=-,且-1+2f(-1)+5=0, 即f(-1)=-2,即=-2,① 又f'(x)=, 所以=-.② 由①②得a=2,b=3. (因为b+1≠0,所以b=-1舍去) 所以所求函数的解析式是f(x)=. (2)由(1)知,f'(x)=. 令-2x2+12x+6=0, 解得x1=3-2,x2=3+2, 则当x<3-2或x>3+2时,f'(x)<0; 当3-2<x<3+2时,f'(x)>0. 故f(x)=的单调递增区间是(3-2,3+2),单调递减区间是(-∞,3-2)和(3+2,+∞). 15.(15分)已知函数f(x)=(k为常数,e为自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行. (1)求实数k的值;(5分) (2)求函数f(x)的单调区间.(10分) 解:(1)由f(x)=,可得f'(x)=. ∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行, ∴f'(1)=0,即=0,解得k=1. (2)由(1)知,f'(x)=(x>0),设h(x)=-ln x-1(x>0),则h'(x)=--<0. 可知h(x)在(0,+∞)上单调递减,由h(1)=0知, 当0<x<1时,h(x)>h(1)=0,故f'(x)>0; 当x>1时,h(x)<h(1)=0,故f'(x)<0. 综上,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $