5.3.2 第2课时函数的最大(小)值-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

数学选择性必修第二册 第二课时 函数的最大（小）值 明学习目标 知结构体系 1.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最 课标 概念—最值与极值的区别 大值、最小值。 要求 函数的最 2.体会导数与函数最大（小）值的关系. 求闭区间上的最值 大（小）值 运用 含参数的最值问题 重点 重点：求函数的最大（小）值 由最值求参数问题 难点 难点：对导数与函数最值的关系的理解。 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 函数的最大（小）值 ③极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处 1.函数f(x)在区间[a,b]上的最值 取得.有极值的未必有最值，有最值的未必有极 (1)取得最值的条件：在区间[a,b]上函数y= 值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得 f(x)的图象是一条 的曲线 时必定是极值 (2)结论：函数y=∫(x)必有最大值和最小值，函 数的最值在 或 取得. 即时小练 2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤 :1.设在区间[a,b]上函数f(x)的图象是一条连续 (1)求函数y=f(x)在区间(a,b)上的 不断的曲线，且函数f(x)在区间(a,b)上可导， (2)将函数y=f(x)的 与端点处的函数 有以下三个命题： 值 进行比较，其中最大的一个是 ①若f(x)在[a,b们上有最大值，则这个最大值必 ,最小的一个是 是[a,b]上的极大值； 微点注解 ②若f(x)在[a,b们上有最小值，则这个最小值必 是[a,b]上的极小值； (1)对函数最大（小）值的认识 ③若f(x)在[a,b]上有最值，则最值必在x=a ①闭区间上的连续函数一定有最值，开区间上的 或x=b处取得： 连续函数不一定有最值.若有唯一的极值，则此 其中正确的命题共有 ( 极值必是函数的最值. ②函数的最大值和最小值是一个整体性概念. A.0个 B.1个 (2)函数最值与极值的区别与联系 C.2个 D.3个 ①函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，2.设M,m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和 函数的最大值和最小值是一个整体性概念. 最小值，若M=m,则f(x) () ②函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的 A.等于0B.小于0C.等于1 D.不确定 函数值得出的，函数的极值是比较极值，点附近的3.函数f(x)=2x-cosx在(-∞，十o∞)上( 函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值： A.无最值 B.有极值 只能有一个 C.有最大值 D.有最小值 60 第五章一元函数的导数及其应用 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一求闭区间上函数的最值 题点二含参数的函数的最值问题 [典例](1)求函数f(.x)= 2+sinx,x∈[0,2x]:[典例]已知a∈R,函数f(x)=x2(x-a),求 f(x)在区间[0,2]上的最大值. 的最值 (2)求函数/(x)=兰(e=271828…是自然对 数的底数)的最值. /方法技巧/ /方法技巧/ 含参数的函数最值问题的两类情况 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的 几点 函数的最值问题 (1)对函数进行准确求导，并检验f(x)=0的 (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进 根是否在给定区间内. 行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小 (2)研究函数的单调性，确定极值和端点函 于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在 数值. 已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若 (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值. 导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再 与端点值比较后确定最值。 对点训练 对点训练 已知a为实数，f(x)=(x2-4)(x-a).若f(-1) =0. 已知a为实数，求函数f(x)=-x3十3ax(0≤ (1)求a的值； x≤1)的最大值： (2)求函数f(x)在[一2,2]上的最大值和最： 小值. 61 数学选择性必修第二册 题点三由函数的最值求参数问题 对点训练 [典例]设函数f(x)=2x3-9.x2+12x十8c. 已知函数h(.x)=x3+3x2-9x十1在区间[k,2] (1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立， 上的最大值是28，求k的取值范围. 求c的取值范围； (2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)<c2成立， 求c的取值范围. :…/方法技巧/ (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见 的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接 求含参函数的最值即可 (2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和 “不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参 数的范围能否取得“=”。 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1,函数y=x-sin∈[，x]的最大值是（ 数f(x)=2-x-er,若对任意的x∈（一∞， 十∞)，恒有fK(x)=f(x),则 () A.元-1 A含-1 A.K的最大值为2B.K的最小值为2 C.K的最大值为1D.K的最小值为1 C.π D.元+1 2.函数f()(x>0)的导函数为(x),若xf()5.在①f(x)的一个极值点为0，②曲线y=f(x)在 十f(x)=ex,且f(1)=e,则 ( 点(1，f(1)处的切线与直线x+(e-1)y-1=0 A.f(x)的最小值为e 垂直，③f(一x)一∫(x)为奇函数这三个条件中 B.(x)的最大值为e 任选一个，补充在下面的问题中，并解答。 已知函数f(x)=ex十ax-1,且 ,求 C的最小值为日 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值. D.f(.x)的最大值为 3.若函数y=x+多2+m在[-2,1门上的最大值 为号：则m等于 ( A.0 B.1 C.2 n号 4.设函数y=f(x)在（一∞，十∞）内有定义，对于给定： 的正数K,定义函数fK(x)= Ifx),fx)≤K, 取函温馨提示 请做课时分层检测（二十一） K,f(x)>K. 62函数f(x)在x=1处取得极大值 综上可知，m的取值范围是（一∞，一）. 21nx十1和h(x)=a的图象有交点，所以方程2lnx十1-a=0 题点三 有解，所以根据函数的单调性和极值的关系可得，函数f(x)=(x 解(1)fx)=2x2一z+ a)2nx既有极大值又有极小值.] [典例] 3.AC[因为f(x)=x3-x十1，所以f(x)=3x2-1,令f(x)= “(x)=2++4)x2k.要使f)无极值，只需f(x)≥0 e 3x-1=0,得x=±9由f(x)=32-1>0,得x>我< 或f(x)0恒成立即可」 e>0,∴f'(x)与g(x)=-2x2+(k十4)x-2k同号.g(x)的二 5:由f()=3x2-1<0,得-5<<5.所以f(x)=x 次项系数为一2，∴.只能满足g(x)≤0恒成立，令△=(k十4)-16k (k-4)0(△为方程g(x)=0的根的判别式)，解得k=4,.当k=41 十1在（停+）小(0，)上单湖港路，在（号）内 时，函数f(x)无极值 单调递减，所以f(x)有两个极值点，故A正确：因为f(x)的极小值 (2)由(1)知k≠4，令f(x)=0,得x=2或x=2 9 ①当会<2，即k<4时，随着x的变化，f(x),f(x)的变化情况知 十1=一5<0，所以函数f(x)在R上有且只有一个零点，故B错误： 下表 因为函数g(x)=工3一x的图象向上平移一个单位长度得函数f(红) o, (会2】 =x3一x十1的图象，函数g(x)=x3一x的图象关于原点(0,0)中心 2 (2,十∞) 对称且g(0)=0,所以点(0,1)是曲线f(x)=x3-x十1的对称中 心，故C正确：假设直线v=2x是曲线y=f(x)的切线，切点为(x0, '(x 0 ),则f(x0)=3x号-1=2，解得x0=士1，若x0=1,则切点坐标为 f(x) 单调递减 极小值 单调递增极大值单调递减 (1,1),但点(1,1)不在直线y=2x上，若x0=-1,则切点坐标为 (一1,1)，但点（一1,1）不在直线y=2x上，所以假设不成立，故D错 令f( =0,得2· k k 误.故选A、C.] .k=0,满足k4」 4.20 (2,十∞)(0,2)[f(x)的定义域为(0，十∞)，f(x)= ②当>2，即k>4时，随着工的变化，f(x),f(x)的变化情况如下表. 2 ae- 子由题设知，f(2)=0.所以a=20从而f(x)=20e (-0∞，2) 2 (22 2 (径+∞) hx1f)=e-当0<<2时f(x)<0:当>2时. f'(x) f(x)>0.所以f(x)在(0,2)内单调递减，在(2，十o∞)上单调 0 0 递增，」 f(.x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 5.解(1)因为f(x)=[ax2-(3a十1)x+3a十2]e, 令f(2)=0,得2×22-2k十k=0, 所以f(x)=[ax2-(a+1)x十1]e,f(2)=(2a-1)e .k=8,满足k>4. 由题设知f(2)=0,即(2a-)e=0,解得a= 综上，当k=0或k=8时，f(x)有极小值0 对点训练 (2)由(1)得f(x)=[a.x2-(a+1)x+1]e=(ax-1)(x-1)e,若 1.D「若a<一1，，f'(x)=a(x十1)(x-a),.f(x)在(-∞，a)上单 调递减，在(a,一1)上单调递增，∴.f(x)在x=a处取得极小值，与题 a>1,则当x(日1)时，fx)<0:当x∈(1，十∞)时f(x)> 意不符：若一1<a<0,则f(x)在(-1，a)内单调递增，在(a,十∞) 0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a1,则当x∈(0,1)时， 上单调递减，从而在x=a处取得极大值.若a>0,则f(x)在（一1， ax一1≤x一1<0，所以f(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点. a)上单调递减，在(a,十∞)上单调递增，从而在x=a处取得极小！ 综上可知，a的取值范围是(1，十∞). 值，与题意矛盾，故选D.门 第二课时函数的最大（小）值 2CD[函教f()=alhr+女+号的定又线为0，十o∞)，未导得必备知设不息主梳理 :1.(1)连续不断(2)极值点区间端点2.(1)极值(2)各极值 :f(a),f(b)最大值最小值 !即时小练 因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f(x)在(0，十∞)上·1.A[由于函数的最值可能在区间[，b们的端点处取得，也可能在区 有两个变号零点，而a≠0， 间(a,b)内取得，故当在区间(a,b)内取得时，最值必是相应的极值， 因此方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正根x1,x2, 而当最值在区间端点处取得时，其最值一定不是极值，因此命题① 「△=b2十8ac>0 ②③都不正确.] 12.A[因为M=m,所以f(x)为常数函数，故f(x)=0,故选A.] 十=片>0，即有十8c>0,ab>0,a<0,是然abc<3.A「f=2十n>0恒成主，所以f）在 a 1x2= 2c>0 递增，无极值，也无最值。] 关键能力·合作探究 0,即bc<0,A错误，BCD正确. 题点 故选BCD.] 素养演练·提升技能 :[典例] 解(1)f(x)= 十c0sx,令f'(x)=0,由x∈[0,2π]，解 1.A[因为f(x)=nx-a,所以fx)= -a(x>0), 得x= 2匹或x= 4π 又因为函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为x十y十b=0, 当x变化时，f(.x),f(x)的变化情况如下表 所以f(1)=-a=-b-1,f(1)=1一a=一1，解得a=2,b=1. 所以f(x)=1-2=1-2z 0, 2x 4不 x 当0<号时，f)>0,f)单调递增，当>号时，f()<0fx) f(x) 0 0 单调递减，故f(x)在x=之处取得极大值，极大值为f(宁)】 单调 单调 n分-1=-h2-1.] f(x) + 2π √3 单调 元 递增 2 递减 3 2 递增 2.C[由题意得，f(x)=2(x-a)nx+a =(x-a) 由表可知，当x=0时，f(x)有最小值f(0)=0:当x=2π时，f(x)有 (21n+1-是)）x>0),令f)=0.得x=a成2h+1- 最大值f(2π)=元. (2)由题意知f(x)的定义域为R 0.作出gx)=2nx十1和h(x)=是的图象（图略），易知g(x)= f(x)=(1-2x)e2r,令f(x)=0,解得x= 2 159 当x<子时，f(x)>0,f()单调运增： 当xr变化时，h'(x),(x)的变化情况如下表： 0,-3) 3 (-3,1) 1 (1,十∞) 当>时，f(x)<0,f(x)单涧递减. h'(x) 0 0 故画数)的最大位为f(侵)宁1，无最小位， h(x) 28 4 对点训练 ∴.当x=一3时，h(x)取极大值28： 解(1)：f(x)=2x(x-a)十(x2-4), 当=1时，h(x)取极小值一4， f(-1)=-2(-1-a)+(1-4)=0,a=2 而h(2)=3<h(-3)=28, .如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k≤一3. 2)f(x)=2z(r-合)+(r-4)=0,解得x=-1或x= 4 ∴.k的取值范围为（一∞，一3]， ·素养演练·提升技能 故f在[-2.-1门上为增通数：在[-1，专]上为减画数，在1C[因为-1-ox,当x∈[受小时>0，别函数在区同 [号2]上为增函教， [受，]上为增函教，所以y的最大值为y=一n=元] 又f-2)=0,-1)=号f(告)号，r2)=0, 12.A[设g(x)=xf(x)一e,所以g'(x)=f(x)十xf(x)-e=0,所 :画数)在[=2,2]上的最大值为号最小值为碧。 以g(x)=xf(x)-e为常数函数.因为g(1)=1×f(1)-e=0,所 题点二 以g)=f()-e=g1)=0,所以f)=兰f) [典例]解f(x)=3.x2-2ax (x,1卫.当0<<1时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x>1时， 令了()=0，解得=0，号 ,T f'(x)>0,f(x）单调递增，故f(x)在x=1处取得最小值f(1)=e.] 1)当号<0，即a<0时， 13.C「y'=3x2+3x=3.x(x+1). 易知当-1<x<0时，y<0, f(x)在[0,2]上单调递增， 当一2x<-1或0x1时，y>0, 从而f(x)mmx=f(2)=8-4a. (2)当号≥2，即a≥3时， 所以函数y=十号2十m在(-2，-1).(0,1)上单调递增，在 f(x)在[0,2]上单调递减 (一1,0)上单调递减，又当x=-1时y=m十号， 从而f(x）m4x=f(0)=0. : (8)当0<号<2，即0<a<3时，f)在[0，号]上单洞递减，在 当=1时y=m叶 所以最大值为m十号-号，解得m=2.] 9 [学，2]小上单洞递增，由子当a=2时，f2)=f0)=0, :4,D[由题意，即有f(x)K恒成立，又f(x)=ex一1，所以x∈ (8-4a,0<a≤2. 从而f(x)mx{0,2<a<3, (一∞，0)时，f(x)>0:x∈(0，十∞)时，f(x)<0.所以当x=0时， f(2)max =1.所以K≥1.] 有送一22 15.解选择①，f(x)=e+a, f(x)的一个极值点为0，.f(0)=0,即e°十a=0,解得a=一1. 对点训练 解f'(x)=-3x2+3a=-3(x2-a). ∴f(x)=e-x-1,f(x)=e-1,当x∈[-1,0)时，f'(x)<0,函 若a0,则f‘(x)0,函数f(x)单调递减，所以当x=0时，有最大 数f(x)单调递减，当x∈(0,1]时，f(x)>0,函数f(x)单调递增， 值f(0)=0. 又f0)=0,f(-1D=是f)=e-2.e-2>函教f(x在 e 若a>0,则令f'(x)=0,解得x=士√a. [一1,1]上的景大值为e一2，最小值为0. :x∈0,1]，则只考虑x=a的情况. 选择②，：f(x)=e十a,曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线 ①若0√a<1,即0<a<1, 的斜率为e十a. 则当x=√a时，f(x)有最大值f(√a)=2aa.(如下表所示) 又直线十(e-1)y-1=0的斜率为广e (0,wa) a (√a,1) =-1,解得a=一1. f'(x) + .(eta)·1-e 以下同选择①. f(x)0 单调递增 2aJa 单调递减 3a-1 选择③，由已知得f(-x)一f(x)=ex一a.x一1-e一a=ex-e ②若√a≥1，即a1时，则当0≤x≤1时，f'(x)≥0，函数f(x)在 a.x-(a十1)，令F(x)=e-e-ax-(a+1),:F(x)为奇函 数，∴.F(0)=-(a十1)=0，，a=一1.以下同选择①. [0,1]上单调递增，则当x=1时，f(x)有最大值f(1)=3a-1. 综上可知，当a≤0,2=0时，f(x)有最大值0：当0<a<1z一后时，关键能力·合作探究 第三课时利用导数解决函数的相关问题 f(z)有最大值2aa:当a≥1，x=1时，f(x)有最大值3a-1. 、 题点一 题点三 [典例]解(1)：f(x)=6.x2-18.x十12=6(x-1)·(x-2). [典例] 解(1)周为x=5时y=1,所以号十10=11a=2 .当x∈(0,1)时，f(x)0:当x∈(1,2)时，f(x)<0:当x∈(2， 2 3)时，f(x)>0. (2)由1)知，该商品每日的销售量y=3十10(x-6), .当x=1时，f(x)取极大值f(1)=5十8c. 所以商场每日销售该商品所获得的利润 又f(3)=9+8c>f(1), .x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)=9+8c. f)=-3》[马+10c-61 ,对任意的x∈[0,3]，有f(x)c2恒成立， =2十10(x-3)(x-6)2,其中3<x<6, ∴.9十8c<c2,即c<-1或c>9. 从而，f(.x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)·(x-6), ∴.c的取值范围为(-∞，一1)U(9,十∞). 于是，当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： (2)由(1)知f(x)<f(3)=9十8c, .9十8c≤c2,即c-1或c≥9， (3,4) 4 (4,6) ,.c的取值范围为（一∞，-1]U[9,十∞）. f(x) 0 对点训练 解h(.x)=x3十3x2-9x十1， f(x) 极大值42 ∴.h'(x)=3x2+6x-9. 由上表可得，x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最 令h'(x)=0,得x1=-3,x2=1, 大值点， 160