4.3.2 第1课时等比数列的前项和公式-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第四章数列 4.3.2等比数列的前n项和公式 第一课时等比数列的前项和公式 明学习目标 知结构体系 课标 1.探索并掌握等比数列的前项和公式. 前n项和公式的推导 要求 2.理解等比数列的通项公式与前项和公式的关系. 等比数列前n项和 前n项和公式的应用 重点 重点：等比数列前n项和公式及应用. 前n项和性质及应用 难点 难点：等比数列前n项和. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.等比数列的前n项和公式 :2.等比数列的前n项和的性质 (q1) 等比数列0，中，若项数为2m,则3 首项、公比、项数 等比数列 (q≠1) 前n项和 项数为2n十1，则>奇a1一g 公式 (g=1) 首项、末项、公比 (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn, (q≠1) S2m一Sn,S3m一S2m,…成等比数列（其中Sn, S2m一Sn,S3m一S2m,…均不为0)， 微点注解 (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn=Ag” A(A≠0，q≠0，n∈N),则数列{an}为等比数 (1)一般地，使用等比数列求和公式时需注意： 列，即Sn=Ag”-A(A≠0，g≠0，g≠1，n∈N*) ①一定不要忽略q=1的情况. 台数列{an》为等比数列， ②知道首项a1、公比q和项数n,可以用 即时小练 Q一g,知道首尾两项a1,a和公比q:可以 1-q 1.等比数列{am}中，公比q=-2,S5=44,则a1的 月号 值为 A.4 B.-4 C.2 D.-2 ③在通项公式和前n项和公式中共出现了五个： :2.数列{2-1}的前99项和为 ( 量：a1,n,q,an,Sm知道其中任意三个，可求其余 A.2100-1 B.1-2100 两个 C.299-1 D.1-299 (2)两种思想：关于等比数列前n项和公式的基3.已知等比数列的前n项和S,=4十Q,则a=( 本运算，多运用方程的思想，解决两个基本量：首 A.-4 B.-1 C.0 D.1 项a1和公比q,从而求出通项公式.同时此类问4.对于等比数列{an},a1=5,q=2,Sm=35,则an= 题在求解中经常使用整体代换的思想。 23 数学 选择性必修第二册 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 ;2.(2023·天津卷)已知{am}为等比数列，Sm为数列 题点一等比数列前n项和的基本运算 {an}的前n项和，an十1=2Sn十2，则a4的值为 [典例]在等比数列{an}中， ( (1)S2=30,S3=155,求Sm; A.3 B.18 C.54 D.152 (2a1+a6=10a4十a=子，求S: 题点二 等比数列前n项和性质及应用 (3)a1+am=66,a2am-1=128,Sm=126,求q. :[典例](1)各项均为正数的等比数列{am}的前n 项和为Sn,若Sm=2,S3m=14,则S4m=（ A.80 B.30 C.26 D.16 (2)一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇 数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的 公比为 ,项数为 (3)若{an}是等比数列，且前n项和为Sn=31十t, 则= [拓展] 在本例(1)中，若把条件换为“Sn=2,S2m=6”, 求S4m· :…/方法技巧/ 等比数列前n项和的运算技巧 (1)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对 公比q=1或q≠1进行判断，若两种情况都有 可能，则要分类讨论. (2)在等比数列{an}的五个量a1,q,ann,Sn中， a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系 不明显时，均可以用a1与q列方程组求解. 对点训练 /方法技巧/ 1.已知数列{am}是首项为a1,公比为g的等比数 结合等比数列前n项和的性质解题 列，其前n项和为Sn,且有5S2=4S4,求公比q (1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和的 的值. 性质是基础. (2)运用方程思想、整体思想是解题的关键」 对点训练 一个项数为偶数的等比数列{an,全部各项之和 为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列 的通项公式 24 第四章数列 题点三等差、等比数列的综合问题 对点训练 [典例]设{am}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈ 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=2, N);{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和： b2=4,an=2l0g2bn:nE N*. 为Tn(n∈N*),已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+ (1)求数列{an},{bn}的通项公式； a5,b5=a4+2a6 (2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到 (1)求Sn和Tm; 大的顺序构成数列{cn},记数列{cm}的前n项和 (2)若Sn+(T1+T2+…+Tm)=am+4bn,求正： 为Sm,求S100: 整数n的值. /方法技巧/ 等差、等比数列的综合问题的解题技巧 (1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本 量之间的关系，利用方程思想、通项公式和前 项和公式求解.求解时，应“瞄准目标”，灵活应 用数列的有关性质，简化运算过程.求解过程中 注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分 类讨论. (2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可 以相互转化的，即{an}为等差数列台{aam}(a> 0且a≠1)为等比数列；{an}为正项等比数列台 {loga an}(a>0且a≠1)为等差数列， 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.在等比数列{an}中，对任意n∈N*,a1十a2十…4.等比数列{am}的前n项和为Sn,S5=2,S10=6, 十an=2m-1,则a好十a号十…十a2等于 ( ) 则a16十a17十a18十a19十a20等于 ( A.(2m-1)2 B.(2”-1)2 3 A.8 B.12 C.16 D.24 C.4”-1 D.”1 3 5.设数列a的前u项和为5点（哥水u∈ 2.设等比数列{a,}的前n项和为S,已知ミ=3，则 2a2-a4的值是 ) N*)均在直线y=x十2 上.若bn=3a,+,则数列 A.0B.1 C.2 D.3 {bn}的前n项和Tn= 3.(2021·全国甲卷)记Sm为等比数列{an}的前n 项和.若S2=4,S4=6,则S6= 温馨提示 请做课时分层检测（九） A.7 B.8 C.9 D.10 254.3.2等比数列的前n项和公式 1g=2 19=3· 第一课时等比数列的前项和公式 当a=8,9=2时，这四个数分别为0,4,8,16； ! 必备知识·自主梳理 当a=3,g=号时，这四个数分别为1593,1 1.na1 a1(1-g) nay alanq 1-9 1-q 故所求的四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1. !即时小练 对点训练 1.解依题设得an=a1十(n-1)d,a=a1a1, :1.A[由S,=a[1-(-2)] 1-(-2) =44,得a1=4.] ,(a1十d)2=a1(a1十3d),整理得d=a1d. 2.C[数列{2”1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为 d≠0，∴.d=a1,得an=nd. .由已知得d,3d,k1d,k2d,…,knd,…是等比数列. 8w0-2”-1 又d≠0，∴数列13，k1,k2…,km…也是等比数列，首项为1，公比3.B[设等比数列为{an),由已知得a1=S=4十a,a2=S2-S1=12, 为g=是=3，由此得1=9. a3=S4-S2=48.a号=a1·a3,即144=(4+a)X48,…a=-1.] 等比数列{kn}的首项1=9，公比9=3， 420【由8=g得a,8,9s_25-20.] k,=9×g1=3+1(n=1,2,3,…),即得到数列{(k,}的通项公式关键能力·合作探究 9 为kn=3”+. 题点一 2.解设这三个数分别为号a,ag(g≠1， :[典例]解(1)由题意知11十g)=30. a1(1+g+g)=155, 则2·a·ag=8,解得a=2. 六这三个数分别为号，2,24 解得{5或/=180， 9=5 ①若2为等差中项，则4=2+2g,即g十g一2=0. 从而S=子×51子5 1×[1-()] 解得q=-2或q=1(舍去). 4 .这三个数分别为-1,2，一4. 11 @若2为等差中项，则2X2=2+2g,即g-2g+1=0解得g=1打 (2)法一 由题意痴∫21十ag=10, a1g3+a1g5=5,解得{1 1 (舍去). ③若2g为等差中项，则2X2g=2+2,即2g2-g1=0,解得g= 从而S=1g)31 1-9 2 合或9=1（合去）. 法二 尚(a十ag=a,十as得g2=号，从而g=之 .这三个数分别为一1,2，一4. 又a1+a3=a1(1+q)=10, 综上可知，这三个数分别为一1,2，一4. 素养演练·提升技能 所以a=8,从而S,=1二g2)_31 1-9 -2 1.B[在正项等比数列{a,}中，a2·a号·a2o20=16,因为a2·a2o20= (3)因为a2am-1=a1am=128, ai011,所以(a7a101)2=16,即a7a1o11=aiw=4,所以a0g=2,所以 之。。海话进时 所以a1,an是方程x2一66.x十128=0的两根. .2a5=a1十3a3, 从西化气 得2a9=a19+3a19,解得g=号或g=-1, 又S122-126,所以g=2浅g=2 1-9 又等比数列{an}不具有单调性，故g=-1,故选A.] 对点训练 !1.解当q=1时，由5S2=4S1知10a1=16a1,则a1=0,不合题意，故 8 3.3或4「设公比为9则g80=3a14=-80=2747 9≠1. a1-27ag=9a=3a,=1n=3或n=4时aa2…a, 当g≠1时，由5S,=45,知5a11-)_4a1(1-g) 1一g 1-9 取得最小值.] .5(1-9)=4(1-q). 2=0，可得 432[由题意可知，诺数列a,为“梦想数列”，则。2字 解得1十分=子，即g=士子 兰子所以“梦怒数别，是公北为子的等地数列，若正项数 2.C[由题意可得：当n=1时，a2=2a1十2，即a1q=2a1十2， 0 当n=2时，ag=2(a1十ag)+2,即a1g2=2(a1十a1g)+2, 列{公}为梦想数到，期=六所以会=2，即正项数列 ② 联立①②可得a1=2,9=3,则a1=a1q3=54. {bn}是公比为2的等比数列，因为b1十b2十b3=1,因此，b十b7十b81 故选：C,] =2(b1十b2十b3)=32.] !题点二 5.解(1)证明由巴知条件，得3，=a,号十号。 [典例]解析(1)由题意知，Sn,S2,一S,Sn一Sn,Sn一Sn成等比 数列，设公比为q,则Sm=Sn十(S2m一Sn)十(Sm一S2n)=2X(1十 当n=1时，a1=S1. 9十q2)=14,解得q=2,所以S1n-Sn=2g3=2×8=16,S1m=Sm十 当≥2时，=5，一S1=阳，一号+受 (S1m-S3m)=14+16=30. (n-1)a-1- (2)设数列为{an},其公比为9，项数为2n,则奇数项、偶数项分别组 成以g2为公比的等比数列，又a1=1,a2=q9≠1，所以 2 2 1-g =85, ① .(1-n)an=-n十1-(n-1)an-1. 等式两边同时除以1一，得an=1十an-1, 9(1-g）=170, @由@÷0，得g=2.所以号-85， .an-an-1=1. 1-g .数列{an}是公差为1的等差数列. 256,得n=4,故项数为8. (2)由(1)知数列{an}的公差为1. (3)由题意得a1=S1=1十t,a2=S2一S1=2,a3=Sg一S2=6, 由a号=aag,得(a1+6)2=(a1十3)(a1十8)， 解得a1=-12. 因为a,是等比数列，故a=a1a,即4=601十），解得1=一号，经 所以5=-12m+”2-250=合(2)g, 2 2 验运，当1=一子时，a,是等比数列.故1=子 所以当n=12或=13时，Sn取得最小值，最小值为一78. 答案(DB(2)28(3)-号 145 [拓展] 解设软列6的公比为，首项为，则S,5一3,53…599[依题意得三三n十分，即S,=十当≥2时 8 成等比数列，Sn=2,S2n-Sn=4,故g=2. 所以Sn= 11一g)=2,故得一g 1-g 。2即g-2 3 s.-411g2）_0-g1=-2×1-16)=30. 当=1时a=5=合=2m，所以=2ma 1-9 1-9 -=32=9,可知{bn}为等比 对点训练 N),则6，=3。+片=3，由1-3+ 32m 解设数列{an}的首项为a1,公比为q, 数列，6=32x1=9,故T,=9(1g92_99.] 所有奇数项、偶数项之和分别记作S专，S偏， 一9 8 由题意可知，S海十S偏=4S编，即S专=3S福 第二课时等比数列的前项和的应用 因为数列{a,}的项数为偶数，所以有g一3了 :关键能力·合作探究 !题点一 又因为a1·a19·a192=64,所以a·g=64,即a1=12, [典例们解析(1)设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1=1,a2 -2 故所求通项公式为an=12X ()=4×（号）】 a1=8a%a2=82,…,an-an-1=8”-1,所以an=1十8十82+…十 8-1 8”,一，故题图@中光抢掉78→73个正方形 () (2)由(1)知，第n个图形共挖掉了8”一个正方形.由于原正方形的 题点三 [典例]解(1)设等比数列{b,}的公比为g(g>0).由b=1,b= 边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1× ()广+8x b十2，可得g°-9一2=0.因为9>0，可得9=2，故bn=2”-1,所以 1—2” T,=2=2”-1.设等差数列{a,}的公差为d.由6=a十a,可 ()+×（传）++8x(传）产 [()] 得a1十3d=4①.由b5=a1十2a6,可得3a1十13d=16②.联立 1-8 ①②解得a1=1,d=1,故a,=n,所以Sn=nn十1 2 1- 2)1),有7+T十…+T,=(2+22+…+2”)-n=20?） (受 1-2 答案78(28,1-（号) 7 1-n-2.由S十(T十T2十…十T)=4十46，可得22十！[ 2 2+1-n-2=n十2m+1,整理得n2一3n-4=0,解得n=4或n=-1(舍 解由本例解法，设被挖掉的正方形面积之和为S,则Sn=1一 去).所以n的值为4， 对点训练 (号）”，由于一直继续下去，即n无限增大时，（号）”无限趋近于 解(1)设等差数列{an}的公差为d.因为b2=4,所以a2=2log2b2 0,此时被挖掉的正方形面积之和趋近于1. =4,所以d=a2一a1=2,所以am=2十(n-1)X2=2n.又am= :对点训练 B[观察题图可知后一个三角形的面积是前一个三角形面积的 2og2b,即2n=2log2bn,所以n=log2bn,所以bn=2”. (2)由(1)bn=2"=2·2m-1=agm-1,即bn是数列{an}中的第2m-1 ,设第n个三角形的面积为a,剥数列{a,}是首项为a=小，公北 项，设数列{an}的前n项和为Pn,数列{bn}的前n项和为Qn,因为： b,=a2i=a1,b%=ag=a12%,所以数列{cn}的前100项是由数列： 为子的等比数列,=4x(）=（宁）》 ,·第2020个 {an}的前107项去掉数列{bn}的前7项后构成的，所以S1= 2018 P17-Q,=107×(2+2142-28 1-2=11302. 三角形的面积为a2020= 4)=] !题点二 素养演练·提升技能 [典例]解法一设小华每期付款工元，第k个月未付款后的欠款 1.D[,a1十a2+…十an=2m-1,∴a1=2-1=1. 本利为A。元，则： ,a1十a2=1十a2=22-1=3,.a2=2,.{an}的公比为2.∴.{a}的 A2=5000×(1+0.008)2-x=5000×1.0082-x, 公比为4，省项为=1，+时十…+2-i1P号2.] A1=A2(1+0.008)2-x=5000×1.0081-1.0082x-x, 1-4 …, 2.A[设等比数列(a,}的首项为a1,公比为qg≠1)，1g) A12=5000×1.00812-(1.008°+1.0088+…+1.0082+1)x=0, 1-9 解得x= 5000×1.00812 3×442g2=2,2a-a4=2a,-aeg=2a,-2a=0.故 1+1.0082+1.008+…+1.00810 1-9 5000×1.00812 1-(1.0082)6 ≈883.5. 选A.] 3.A[法一设等比数列{an}的公比为q,则由等比数列的前n项和！ 1-1.0082 公式得 故小华每期付款金额约为883.5元. 1S=112=4.① 法二设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为A 1一q 元，则： @÷①得1+可=号，解得g=之代入 A2=x: s,=12）=6.@ A1=A2(1+0.008)2+x=x(1+1.0082): 1-9 A;=A1(1+0.008)2+x=x(1+1.0082+1.0081): @得，8，所以5109：g鬥=8X 1-q A12=x(1+1.0082+1.0081+1.008+1.0088+1.0081). （1-日）=，故递A 年底付清欠款，.A2=5000×1.00812, 即5000×1.00812=x(1+1.0082+1.0081+.+1.00818), 法二等比数列{an}的前n项和有如下的性质：S2,S1一S2,S； 51，…成等比数列，且公比g-3、5=之：期s一5=(5，S)· 5000×1.00812 六1=1+1.0082+.008+…+1.0080≈883.5. 故小华每期付款金颜约为883.5元. g=6-0×令-1.所以5，=+(S,一S)+(S,-S)=4+2+1=对点训练 解(1)设今年有学生b人， 7.故选A.] 则10年后学生人数为b(1十4.9%)10≈1.05b. 4.C[设等比数列{an}的公比为q,因为Sn-S,=gSn,所以S1o一 由题设可知，1年后的设备数量为a×(1十10%)一x=1.1a一x. S=qS5,所以6-2=2g,所以g=2,所以a16十a17十a18十a18十 2年后的设备数量为(1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x ax=aiq!s+aql5+a3ql5 +aql5+asq!s=ql5 (a +az+as +a+i x=1.1a-x(1+1.1). a5)=g15S5=23×2=16.] 146