4.3.1 第2课时等比数列的性质及应用-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

数学选择性必修第二册 /方法技巧/ 对点训练 判断一个数列{an}是等比数列的方法 1.(多选)设数列{am}为等比数列，则下列四个数列 (1)定义法：若数列{an}满足an+中1=q(q为常数 是等比数列的是 A.{a} B.{pan}(p为非零常数) C.{an·am+1} D.{am十am+1} 且不为零)或a”=g(n≥2，g为常数且不为 an-1 2.已知数列a,}的前n项和为S且S,=a,-) 零)，则数列{an}是等比数列. (n∈N*). (1)求a1,a2; (2)等比中项法：对于数列{an},若a品+1=am· (2)证明：数列{an}是等比数列. an+2且an≠0，则数列{am}是等比数列. (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为am= a1q”-1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知数列{an}是等比数列，Tm是其前n项之积，：4.数列{an}是等差数列，若a1十1，a3十3，a5十5构 若a5·a6=a7,则T7的值是 ( 成公比为g的等比数列，则q= A.1 B.2 C.3 D.4 :5.(2022·北京高考)已知数列{am}的各项均为正 2.(多选)已知数列{an}是公比为q的等比数列，bn 数，其前n项和Sm满足am·Sn=9(n=1,2,…). =am十4，若数列{bn}有连续4项在集合{一50， 给出下列四个结论： 20,22,40,85}中，则公比q的值可以是( ①{an}的第2项小于3；②{an}为等比数列； C.- n.- ⑧a,为递减数列：①1a,冲存在小于10的项。 3.(2022·全国乙卷)已知等比数列{am}的前3项 其中所有正确结论的序号是 和为168，a2-a5=42,则a6= ( 温馨提示 请做课时分层检测（七） A.14 B.12 C.6 D.3 第二课时 等比数列的性质及应用 明学习目标 知结构体系 1.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应 课标 的问题 等比数列的实际应用 要求 2.掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题。 等比数列 等比数列的性质 重点 重点：利用等比数列解应用题及等比数列的性质. 等比数列的综合问题 难点 难点：等比数列的实际应用. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.等比数列通项公式的推广 :2.等比数列项的运算性质 通项公式 通项公式的推厂 若m十n=p十q(m,n,p,q∈N),则am·am= an=ang"-1 a= (揭示首末两项的关系) (揭示任意两项之间的关系) (1)特别地，当m十n=2k(m,n,k∈N*)时，am· an=ak. 20 第四章数列 (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两： 项之积等于首末两项之积，即a1·am=a2·am-1 即时小练 =…=ak·Qm-k+1=… 1.若{an},{bn}都是等比数列，则下列数列仍是等 微点注解 比数列的是 ( 、 等比数列的常用结论 A.(anton B.(an-on (1)若{an}是公比为q的等比数列，则： C.anbn D.{am+5} ①{can}(c为任一非零常数)是公比为q的等比：2.在等比数列{an}中，若a1a1o是方程3.x2-2x-6 数列； =0的两根，则a4·a7= ( ②{|an|}是公比为|q的等比数列； A.-6 B.-2 C.2 ③{am}(m为常数，n∈N*)是公比为gm的等比： 数列. :3.在等比数列{an}中，a4=6,a8=18,则a20= (2)若{an},{bn}分别是公比为q1,q2的等比数列，则 数列{am·bn}是公比为q1·q2的等比数列. 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一等比数列的实际应用 对点训练 [典例门某人买了一辆价值13.5万元的新车，专 某制糖厂2014年制糖5万吨，如果从2014年 家预测这种车每年按10%的速度贬值， 起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到 (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的： 哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？ 价值； (结果保留到个位，lg6≈0.778，lg1.2≈0.079) (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概 能得到多少钱？ 题点二等比数列性质及其应用 [典例门已知{am}为等比数列 （1)诺a,}满足a,a4=,求a1a, (2)若am>0,a2a4十2a3a5+a4a6=25,求a3 十a5； (3)若am>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2十…+ log3a1o的值. /方法技巧/ 解等比数列应用题的步骤 审题 解决数列应用题的关键是读懂题意 建立模型 将实际问题转化为等比数列的问题 解模型 注意隐含条件，数列中n的值是正整数 还原 最后转化为实际问题作出回答 21 数学选择性必修第二册 …/方法技巧/ …/方法技巧/ 等比数列运算常用的两条思路 当三个数成等差数列时，可设这三个数分 (1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定 别为a-d,a,a十d;当三个数成等比数列时，可 a1,q,然后求其他； 设这三个数分别为g,a,ag;当四个数成等差数 (2)利用性质巧解，其中m十n=k十l=2s(m,n, k,l,s∈N*)am·a,=ak·a1=a2. 列时，可设这四个数分别为a一3d,a一d,a十d, a+3d;当四个数（同号）成等比数列时，可设这 对点训练 四个数分别为号，gag,ag 1.等比数列{an}中，若a12=4,a18=8,则a36等于 ( 对点训练 A.32 B.64 C.128 D.256 :1.在等差数列{an}中，公差d≠0，a2是a1与a4的 2.已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3: 等比中项.已知数列a1a3aa,…,a。…成 =5,a7a8ag=10,则a4a5a6= 等比数列，求数列{km}的通项公式km· 题点三等比数列的综合问题 [典例]有四个数，其中前三个数成等差数列，后 三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的 和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四 个数. :2.三个互不相等的数成等比数列，如适当排列这三 个数，又可成为等差数列，已知这三个数的积为 8,求这三个数. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知正项等比数列{am/,满足a2·a号·a2020= 5.(2022·全国甲卷)记Sn为数列{am}的前n项 16,则a1·a2·…·a1017= ( 和.已知2S+n=2a十1. A.41017B.21017 C.41018D.21018 n 2.等比数列{am}不具有单调性，且a5是a4和3a3: (1)证明：{an}是等差数列； 的等差中项，则数列{an}的公比q等于( (2)若a4,a7,ag成等比数列，求Sn的最小值. A.-1B.1 C.-2D.-3 3.已知等比数列{anm}满足a1一a3=一 8 7,a2-a4= 8,则使得aag…a,取得最小值的n为 4.若数列{an}满足1 an+1 an 2=0,则称{an}为“梦想 数列”，已知正项数列公}为梦想数列”，且十 b2+b3=1,则b6+b7+bg= 温馨提示 请做课时分层检测（八） 22.(an+2+3)(an+3)=(4an+12)(an+3)=(2an+6)2=(an+1十 由题意，得a1=13.5,a2=13.5(1-10%),a3=13.5(1 3)2,即an十3，an+1十3，an+2十3成等比数列， 10%)2,… ∴.数列{a,十3}是等比数列， 由等比数列的定义知，数列{an}是等比数列，首项a1=13.5,公比 对点训练 g=(1-10%)=0.9, 1.ABC[对于A,因为+ (+山）=g(常数)，所以{a}是等比 .an=a1·g-1=13.5×(0.9)m-1. a n年后车的价值为an+1=13.5×(0.9)万元. 数列：对于B,因为出=出=g(常数)，所以{(pa,是等比教列： (2)由(1)得a5=a1·g=13.5×0.91≈8.9（万元）， pan a 。用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元， 对子C.因为出-2-g(常教)，所以a,·a,1是等北对点训练 an·am+1 解记该糖厂每年制糖产量依次为a1,a2,a3,…,am,…则依题意 数列：对于D,an十an+1可能等于0，故数列{an十an+i}不一定是等比 数列，例如：an=(一1)”，] 可得a1=5, am=1.2(n≥2且n∈N*), n-1 2.解0)：a=51=3(a-10a1=- 1 从而am=5×1.2m-1>30, 故1.2m-1>6, 1 1 又a1ta=S,=3(a,-1)a,= 年1>o6-公器.85故 (a+1-D: （2)证明：S,=子(a,-15+1=号 即从2024年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨. !题点二 两式相减得a+1=3a+1一0，即a+1=一20 :[典例]解(1)等比数列{an}中，”aa1=2: 教列a,}是首项为一合公比为一合的等北数列 a=aa=aa4=,所以a1aia,=子 素养演练·提升技能 (2)由等比中项，化简条件得a号十2aga5十a=25 1.A[因为数列{an}是等比数列，设公比为g,由a5·a6=a,得a1g· 即(a3十a5)2=25, a1g=a1g,即a1g=1,即a1=1,由等比数列的性质可得，T7= .an>0,∴.ag十a5=5. a1a2aa1aa6a?=a=1.故选A.] (3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=agaw=a3ag=a1a7=9, 2.BD[,bn=am十4，∴.an=bn-4,,数列{bn}有连续四项在集合 ∴.log3a1十log3a2十…十loga10=log3(a1a2…a10） {一50，-20,22,40,85}中，∴.数列{am}有连续四项在集合{一54， 一24,18,36,81)中.又：数列{an}是公比为q的等比数列，·在集对点训练 -log;[(aia)(aza)(asas)(aa)(asas)]-loga95=10. 合{-54，一24,18,36,81}中，数列{an}的连续四项只能是一24,36， 1.B[设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质可知，a12a18, 54.81或81,51,36.-24g=% a24a0a6成等比数列，且=2=q,故a6=a1·g=8X2 3.D[设等比数列{an}的首项为a1,公比为g,由题意可· a12 得a1十ay十a3=168, =64. （a2-a5=42, 12.5√2[法一因为{an}是等比数列， (a1-96, 所以a1a7=ai,a2a8=a后，a3a=a6. 即a11+9十)168解得所以a,=a1g=3,故选D.] 所以a·a5·a6=(a1a?)·(a2ag）·(agag) 1a1q(1一q)=42, 9=2· =(a1a2a3）·(a7agag)=5X10=50. 4.1[设等差数列的公差为d,则a=a1十2d,a=a1+4d,(a1十 因为am>0, 24+3)P三(a+1)(a+4d+5),解得d=-1.g2i7 所以a1a5a6=5V2. 法二因为a1a2a3=(a1a3)a2=a2·ag=a2=5, 4-2+3-1.] a1十1 所以a2=5言 5.①③④[因为an·Sn=9,所以a1·S1=9,又an>0,所以a1=3, 因为arasan=(a7ag)a%=ag=10, a:·S,=a(a十a)=9,即ai+3a-9=0,得a=3+35_ 所以ag=10 9 同理a1aa6=a=(a)立=(a2as)=(53·10京)是=50青= 3(5-1）<3,所以①正确：当n≥2时，由S。=9,得S1a二 2 5w2.] 两式作发可得a=子品2.a-,≥2现万新法不务个银为对第四个为16流第二个 !题点三 anan-1 整理得9.4(m≥2)，若教列a,}为等比款列，则当w≥2时， 数为y,则第三个数为12一. an-1 9 根据题意，得2x十12， 9@三为常教，即教列(a从第2项起各项均为同一个常数，易知当 {(12-y)2=y(16-x). 9 即x=8y-12,① n=3时不成立，所以②不正确：因为an·Sn=an+1·Sn+1=9,所以 1(12y)2=16y-xy.② 3由教列{a}的各项均为正教，得>1，所以a,> 将①代入②，整理得y2一13y十36=0. an+l 解得y=4或y=9. an+1>0,所以③正确：对于④，若数列{an}的所有项均大于等于 当y=4时，x=0,这四个数分别为0,4,8,16： 当v=9时，x=15,这四个数分别为15,9,3,1. 100,取n>90000,由am≥100且am>an+1>0,得Sn>am≥900，所 故所求的四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1 以n·Sn>9,与已知矛盾，所以④正确，综上，所有正确结论的序号 法二 是①③④.] 设这四个数依次为a-d,a,a十d,Ca十dD（a≠0). 第二课时 等比数列的性质及应用 =16, 必备知识·自主梳理 根据题意，得 Sa-d+a+d) a 1.ang"m2.ap·ag （(a+(a+d)=12. 即时小练 解得三4或a=9, 1.C[两个等比数列的积构成的数列仍是等比数列.故选C.] (d=4 d=-6. 2.B [aia:-aiaio=3 6=-2.] 当a=4,d=4时，这四个数分别为0,4,8,16： 当a=9,d=一6时，这四个数分别为15,9,3,1. 3.486[由ag=a1·g,.g=3, 故所求的四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1， 又a20=a1·g16=6×(g)1=6×31=486.] 法三设这四个数依次为口-a, 关键能力·合作探究 g ,a,aq(a≠0). 题点一 2a-a十a=16, [典例]解(I)从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为a1,a2,: 根据题意，得 a3,…,an, 4+a=12. 144 4.3.2等比数列的前n项和公式 1g=2 19=3· 第一课时等比数列的前项和公式 当a=8,9=2时，这四个数分别为0,4,8,16； ! 必备知识·自主梳理 当a=3,g=号时，这四个数分别为1593,1 1.na1 a1(1-g) nay alanq 1-9 1-q 故所求的四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1. !即时小练 对点训练 1.解依题设得an=a1十(n-1)d,a=a1a1, :1.A[由S,=a[1-(-2)] 1-(-2) =44,得a1=4.] ,(a1十d)2=a1(a1十3d),整理得d=a1d. 2.C[数列{2”1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为 d≠0，∴.d=a1,得an=nd. .由已知得d,3d,k1d,k2d,…,knd,…是等比数列. 8w0-2”-1 又d≠0，∴数列13，k1,k2…,km…也是等比数列，首项为1，公比3.B[设等比数列为{an),由已知得a1=S=4十a,a2=S2-S1=12, 为g=是=3，由此得1=9. a3=S4-S2=48.a号=a1·a3,即144=(4+a)X48,…a=-1.] 等比数列{kn}的首项1=9，公比9=3， 420【由8=g得a,8,9s_25-20.] k,=9×g1=3+1(n=1,2,3,…),即得到数列{(k,}的通项公式关键能力·合作探究 9 为kn=3”+. 题点一 2.解设这三个数分别为号a,ag(g≠1， :[典例]解(1)由题意知11十g)=30. a1(1+g+g)=155, 则2·a·ag=8,解得a=2. 六这三个数分别为号，2,24 解得{5或/=180， 9=5 ①若2为等差中项，则4=2+2g,即g十g一2=0. 从而S=子×51子5 1×[1-()] 解得q=-2或q=1(舍去). 4 .这三个数分别为-1,2，一4. 11 @若2为等差中项，则2X2=2+2g,即g-2g+1=0解得g=1打 (2)法一 由题意痴∫21十ag=10, a1g3+a1g5=5,解得{1 1 (舍去). ③若2g为等差中项，则2X2g=2+2,即2g2-g1=0,解得g= 从而S=1g)31 1-9 2 合或9=1（合去）. 法二 尚(a十ag=a,十as得g2=号，从而g=之 .这三个数分别为一1,2，一4. 又a1+a3=a1(1+q)=10, 综上可知，这三个数分别为一1,2，一4. 素养演练·提升技能 所以a=8,从而S,=1二g2)_31 1-9 -2 1.B[在正项等比数列{a,}中，a2·a号·a2o20=16,因为a2·a2o20= (3)因为a2am-1=a1am=128, ai011,所以(a7a101)2=16,即a7a1o11=aiw=4,所以a0g=2,所以 之。。海话进时 所以a1,an是方程x2一66.x十128=0的两根. .2a5=a1十3a3, 从西化气 得2a9=a19+3a19,解得g=号或g=-1, 又S122-126,所以g=2浅g=2 1-9 又等比数列{an}不具有单调性，故g=-1,故选A.] 对点训练 !1.解当q=1时，由5S2=4S1知10a1=16a1,则a1=0,不合题意，故 8 3.3或4「设公比为9则g80=3a14=-80=2747 9≠1. a1-27ag=9a=3a,=1n=3或n=4时aa2…a, 当g≠1时，由5S,=45,知5a11-)_4a1(1-g) 1一g 1-9 取得最小值.] .5(1-9)=4(1-q). 2=0，可得 432[由题意可知，诺数列a,为“梦想数列”，则。2字 解得1十分=子，即g=士子 兰子所以“梦怒数别，是公北为子的等地数列，若正项数 2.C[由题意可得：当n=1时，a2=2a1十2，即a1q=2a1十2， 0 当n=2时，ag=2(a1十ag)+2,即a1g2=2(a1十a1g)+2, 列{公}为梦想数到，期=六所以会=2，即正项数列 ② 联立①②可得a1=2,9=3,则a1=a1q3=54. {bn}是公比为2的等比数列，因为b1十b2十b3=1,因此，b十b7十b81 故选：C,] =2(b1十b2十b3)=32.] !题点二 5.解(1)证明由巴知条件，得3，=a,号十号。 [典例]解析(1)由题意知，Sn,S2,一S,Sn一Sn,Sn一Sn成等比 数列，设公比为q,则Sm=Sn十(S2m一Sn)十(Sm一S2n)=2X(1十 当n=1时，a1=S1. 9十q2)=14,解得q=2,所以S1n-Sn=2g3=2×8=16,S1m=Sm十 当≥2时，=5，一S1=阳，一号+受 (S1m-S3m)=14+16=30. (n-1)a-1- (2)设数列为{an},其公比为9，项数为2n,则奇数项、偶数项分别组 成以g2为公比的等比数列，又a1=1,a2=q9≠1，所以 2 2 1-g =85, ① .(1-n)an=-n十1-(n-1)an-1. 等式两边同时除以1一，得an=1十an-1, 9(1-g）=170, @由@÷0，得g=2.所以号-85， .an-an-1=1. 1-g .数列{an}是公差为1的等差数列. 256,得n=4,故项数为8. (2)由(1)知数列{an}的公差为1. (3)由题意得a1=S1=1十t,a2=S2一S1=2,a3=Sg一S2=6, 由a号=aag,得(a1+6)2=(a1十3)(a1十8)， 解得a1=-12. 因为a,是等比数列，故a=a1a,即4=601十），解得1=一号，经 所以5=-12m+”2-250=合(2)g, 2 2 验运，当1=一子时，a,是等比数列.故1=子 所以当n=12或=13时，Sn取得最小值，最小值为一78. 答案(DB(2)28(3)-号 145