4.3.1 第1课时等比数列的概念及通项公式-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

数学 选择性必修第二册 4.3.1等比数列的概念 第一课时等比数列的概念及通项公式 明学习目标 知结构体系 课标 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念。 等比数列的概念 要求 2.掌握等比数列通项公式的意义。 等比数列及 等比中项 重点 重点：理解等比数列概念及等比数列通项公式的应用. 通项公式 难点 难点：等比数列通项公式的应用. 等比数列通项公式 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)等比数列的概念 即时小练 1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与：1.（多选）下列数列为等比数列的有 它的 一项的 都等于 常数，那么 A.2,22,3×22 这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列 11111 B. (a≠0) 的 ,公比通常用字母q表示(q≠0). a'a2'as'ai'a 微点注解 C.s-1,(s-1)2,(s-1)3,(s-1)4,(s-1)5 D.1,1,1,1,1 等比数列定义的理解 2.2+√3和2一√5的等比中项是 ( (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每： A.1 B.-1 C.±1 D.2 一项均不能为零，因此g也不可能为零. (二)等比数列的通项公式 (2)2+中均为同一常数，由此体现了公比的意义， 以a1为首项，g为公比的等比数列{an}的通项公 an 同时应注意分子、分母次序不能颠倒. 式是an= (q≠0) (3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3： 微点注解 项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一 个常数，那么这个数列不是等比数列： (1)等比数列的通项公式a,=a1g”-1共涉及a1,q, 2.等比中项 n,an四个量，已知其中三个量可求得第四个量 (1)条件：如果a,G,b成等比数列. (2)等比数列与指数函数的关系 (2)结论：那么G叫做a与b的等比中项 (3)满足的关系式是 等比数列的通项公式可整理为an=·g,而y 9 微点注解 41·g(g≠1)是一个不为0的常数与指数 等比中项与等差中项的异同 函数q的乘积，从图象上看，表示数列 对比项 等差中项 等比中项 侣·}中的各项的点是函贷y=号·g的图 定义式 A-a=b-A Gb a G 象上的孤立点」 公式 A=a+b 即时小练 2 G=士√ab a与b的等差中项 a与b的等比中项有两个， 1.在等比数列{an}中，a1=8,a4=64,则a3等于( 个数 唯一 且互为相反数 A.16 B.16或-16 任意两个数a与b 只有当ab>0时，a与b才 C.32 D.32或-32 备注 都有等差中项 有实数等比中项 2.在等比数列{an}中，a4=27,q=-3,则a7= 18 第四章数列 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一等比数列的通项公式及应用 题点二等比中项及应用 [典例](1)在等比数列{an}中，a=2,g=2an 1 1 [典例门(1)4与9的等比中项为 (2)一1和一9的等比中项为 一立则项数为 ( /方法技巧/ A.3 B.4 C.5 D.6 (1)由等比中项的定义可知G=么>G2=ab> a G (2)已知等比数列{an}为递增数列，且a号=a1o, G=土ab,所以只有a,b同号时，a,b的等比中 2(an十an十2)=5an十1，则数列{an}的通项公式为 项有两个，异号时，没有等比中项」 an= (2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有 /方法技巧/ 穷数列的未项除外)都是它的前一项和后一项 a1和q的求法通常有以下两种方法 的等比中项. (1)根据已知条件，建立关于a1,q的方程组，求 (3)a,G,b成等比数列等价于G2=ab(ab>0): 出a1,q后再求am,这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系，直接求出g后， 对点训练 再求a1,最后求am,这种方法带有一定的技巧 性，能简化运算. 1.若1a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则号的 值为 对点训练 2.在等差数列{an}中，公差d≠0，且a3是a1和ag 1.已知等比数列{am}满足a1=3,且4a1,2a2,a3成 的等比中项，则1十ag十a9= 等差数列，则此数列的公比等于 a2+a4十a10 A.1 B.2 题点三等比数列的判定或证明 C.-2 D.-1 2.在等比数列{an}中： [典例]在数列{am}中，若am>0,且an+1=2an十3 (1)a1=1,a4=8,求an; (n∈N).求证：数列{am十3}是等比数列. (2)a2十a5=18,a3十a6=9,am=1,求n. 19 数学选择性必修第二册 /方法技巧/ 对点训练 判断一个数列{an}是等比数列的方法 1.(多选)设数列{am}为等比数列，则下列四个数列 (1)定义法：若数列{an}满足an+中1=q(q为常数 是等比数列的是 A.{a} B.{pan}(p为非零常数) C.{an·am+1} D.{am十am+1} 且不为零)或a”=g(n≥2，g为常数且不为 an-1 2.已知数列a,}的前n项和为S且S,=a,-) 零)，则数列{an}是等比数列. (n∈N*). (1)求a1,a2; (2)等比中项法：对于数列{an},若a品+1=am· (2)证明：数列{an}是等比数列. an+2且an≠0，则数列{am}是等比数列. (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为am= a1q”-1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知数列{an}是等比数列，Tm是其前n项之积，：4.数列{an}是等差数列，若a1十1，a3十3，a5十5构 若a5·a6=a7,则T7的值是 ( 成公比为g的等比数列，则q= A.1 B.2 C.3 D.4 :5.(2022·北京高考)已知数列{am}的各项均为正 2.(多选)已知数列{an}是公比为q的等比数列，bn 数，其前n项和Sm满足am·Sn=9(n=1,2,…). =am十4，若数列{bn}有连续4项在集合{一50， 给出下列四个结论： 20,22,40,85}中，则公比q的值可以是( ①{an}的第2项小于3；②{an}为等比数列； C.- n.- ⑧a,为递减数列：①1a,冲存在小于10的项。 3.(2022·全国乙卷)已知等比数列{am}的前3项 其中所有正确结论的序号是 和为168，a2-a5=42,则a6= ( 温馨提示 请做课时分层检测（七） A.14 B.12 C.6 D.3 第二课时 等比数列的性质及应用 明学习目标 知结构体系 1.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应 课标 的问题 等比数列的实际应用 要求 2.掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题。 等比数列 等比数列的性质 重点 重点：利用等比数列解应用题及等比数列的性质. 等比数列的综合问题 难点 难点：等比数列的实际应用. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.等比数列通项公式的推广 :2.等比数列项的运算性质 通项公式 通项公式的推厂 若m十n=p十q(m,n,p,q∈N),则am·am= an=ang"-1 a= (揭示首末两项的关系) (揭示任意两项之间的关系) (1)特别地，当m十n=2k(m,n,k∈N*)时，am· an=ak. 20当n≥8时，则an<0,可得Tn=la1十lag|十…十|an|=(a1十a2十！ …十a)-(ag十…+an) ÷品≤<警k∈Z,则=01.2…，32，共38个数.且这毫数 =S,-(Sn-S,)=2S,-Sn=2(14×7-72)-(14n-n2)=n2-14n: 构成以8为首项，15为公差的等差数列，.这33个数的和为33×8 +98: +33X32×15=8184.] 等上所选：工-{”8S 2 4.3.1等比数列的概念 对点训练 第一课时等比数列的概念及通项公式 解a1=S1= 号×1+29×1=101， !必备知识·自主梳理 (一) 当≥2时=51=(+）[ a+即时膝比同-个公比名G= 3 29m-1]=一+104. 1BD号≠3 ,所以A不是等比数列： 22 :a1=101也适合上式， B是首项为日，公比为口的等比教列： .数列{an}的通项公式为an=-3n十104(n∈N*). C中，当s=1时，数列为0,0,0,0,0，所以不是等比数列： 由a,=一3m十10≥0，得a≤9 D显然是等比数列，] 郑备8时：.20高4件千a1=+a++a=8 即当n≤34时，an>0:当n≥35时，an<0. 12.C[设2十√5和2-√3的等比中项为a,则a2=(2十√5)(2-√3)= 1,即a=土1.] 号r+295 2n. 1a1g”-1 ②当n≥35时， :即时小练 Tn=|a1+a2|+…+lag1+|a35|+…+an 11.C[由a1=a1g,得q3=8,即q=2, =2(a1十a2十…十a31)-(a1十a2十…十an) =2S31-Sm 所以a4=2=32.] g =2(- ×3+2×4）(+2）25+ 2.-729[a=a1g-1=27X(-3)3=-729.] 关键能力·合作探究 3502. 题点一 [典例]解析1)周为a,=a91,所以之×（位）=立即 -1 号+2a31且nEN, ..T= 2n+3502,n≥35且n∈N“. (合)广=（侵）解得=5 素养演练·提升技能 (2)设等比数列{an}的公比为q, Sm+2(n-1) 1.A [a= 由2(an十a+2)=5a+1,得2g2-5q十2=0，解得g=2或g=之， 言2时88受+0- 由a=a10=a19>0,得a1>0,又数列{an}递增，所以q=2.a a10,即(a1g)2=a1q°，解得a1=q=2,所以数列(a,}的通项公式为 :n10S-5,-1=2m-1 an=2". 答案(1)C(2)2 ∴.(n-1)Sn-nSn-1=2n(n-1), :对点训练 受-2子- 1.B[设等比数列{an}的公比为q,因为4a1,2a2aa成等差数列，所 以4a1q=4a1十a1q,即g-4g十4=0，解得q=2.] 数列{侣}是以1为省项2为公发的等装数列， 2.解(1)因为a1=a192, 所以8=q,所以q=2, :.S=1+2(m-1）=2m-15.=2m2-1,n5,-2m2=2n2-2 所以an=a1q”-1=2m-1 -2n2=2n3-3n2. 2)周为a十a=a19+a1g=18,① (a3十a6=a1q2+a1g5=9,② 令y=2x3-3x2,x≥1，则y=6x2-6x=6x(x-1)≥0，且y'不恒为 0, 由号得9子从西4=32 数列{nS一2n2}是一个递增数列，.当n=1时，nS。-2n°有最小 又an=1, 值2-3=-1.故选A] 2.B[依题意可得，他从第一天开始每天跑步的路程（单位：千米）依 所以32×（合） =1, 次成等差数列，且首项为8，公差为0.5，设经过”天后他完成健身！ 即2i-n=2°，故n=6. 计划，别8n+0。×号>≥20，整理得m+31n一80≥0，周为通题 2 :[典例]解析(1)由题意，得4与9的等比中项为士√4×⑨=土6. 数f(x)=x2+31x-800在[1，十∞)上为增函数，且f(16)<0, (2)1和-9的等比中项为士√（一9）×(-1)=土3. f(17)>0,所以n≥17.故选B.] 3.B[每个月开道5G基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数对点训练 答案(1)士6(2)士3 ”D×1=50,化商整理得，+9n一860=0，解得m25.17或1.士1[1.a,3成等盖数列a=1生=2.1,64成等比敦列， 列，设预计我国累计开通500万个5G基站需要n个月，则70十5n十 2 2 n≈一34.17（舍负），所以预计我国累计开通500万个5G基站需要{ =1×4.b=士2分=主2士1.] 26个月，也就是到2023年2月.故选B.] 4.4042[S22<S20o,S2<S22,4202g+a2g1<0,a22g2.16 [由题意知，ag是a1和ag的等比中项，∴.a号-a1a..(a1十 >0, .S1012 4042(a1十a1012=2021(a222十a2021)<0,S1oB= 20=aa+,g号a=d中影-是] :题点三 4043(a,十a1=4043×am>0,“当S,<0时，m的最大值是[典侧们证明，法（定义法）：a,>0,a,十3>0. 2 又an+1=2an十3， 4042.] 5.8184[由题意知，a=3m十2=5n十3，m,n∈N“.若k∈Z,则当m 2+t3_2a,+3+3_2a,t3》=2 an十3 am十3 am十3 =5k时，n不存在；当m=5k十1时，n不存在，当m=5k十2时，n= ,数列{an十3}是首项为a1十3，公比为2的等比数列. 3k十1，满足题意；当m-5k十3时，n不存在；当m=5k十4时，n不： 法二（等比中项法）：am>0,.am十3>0. 存在，故a=15k+8∈[1,500]， 又"an+1=2a,十3，…an+2=4a,十9. 143 .(an+2+3)(an+3)=(4an+12)(an+3)=(2an+6)2=(an+1十 由题意，得a1=13.5,a2=13.5(1-10%),a3=13.5(1 3)2,即an十3，an+1十3，an+2十3成等比数列， 10%)2,… ∴.数列{a,十3}是等比数列， 由等比数列的定义知，数列{an}是等比数列，首项a1=13.5,公比 对点训练 g=(1-10%)=0.9, 1.ABC[对于A,因为+ (+山）=g(常数)，所以{a}是等比 .an=a1·g-1=13.5×(0.9)m-1. a n年后车的价值为an+1=13.5×(0.9)万元. 数列：对于B,因为出=出=g(常数)，所以{(pa,是等比教列： (2)由(1)得a5=a1·g=13.5×0.91≈8.9（万元）， pan a 。用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元， 对子C.因为出-2-g(常教)，所以a,·a,1是等北对点训练 an·am+1 解记该糖厂每年制糖产量依次为a1,a2,a3,…,am,…则依题意 数列：对于D,an十an+1可能等于0，故数列{an十an+i}不一定是等比 数列，例如：an=(一1)”，] 可得a1=5, am=1.2(n≥2且n∈N*), n-1 2.解0)：a=51=3(a-10a1=- 1 从而am=5×1.2m-1>30, 故1.2m-1>6, 1 1 又a1ta=S,=3(a,-1)a,= 年1>o6-公器.85故 (a+1-D: （2)证明：S,=子(a,-15+1=号 即从2024年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨. !题点二 两式相减得a+1=3a+1一0，即a+1=一20 :[典例]解(1)等比数列{an}中，”aa1=2: 教列a,}是首项为一合公比为一合的等北数列 a=aa=aa4=,所以a1aia,=子 素养演练·提升技能 (2)由等比中项，化简条件得a号十2aga5十a=25 1.A[因为数列{an}是等比数列，设公比为g,由a5·a6=a,得a1g· 即(a3十a5)2=25, a1g=a1g,即a1g=1,即a1=1,由等比数列的性质可得，T7= .an>0,∴.ag十a5=5. a1a2aa1aa6a?=a=1.故选A.] (3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=agaw=a3ag=a1a7=9, 2.BD[,bn=am十4，∴.an=bn-4,,数列{bn}有连续四项在集合 ∴.log3a1十log3a2十…十loga10=log3(a1a2…a10） {一50，-20,22,40,85}中，∴.数列{am}有连续四项在集合{一54， 一24,18,36,81)中.又：数列{an}是公比为q的等比数列，·在集对点训练 -log;[(aia)(aza)(asas)(aa)(asas)]-loga95=10. 合{-54，一24,18,36,81}中，数列{an}的连续四项只能是一24,36， 1.B[设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质可知，a12a18, 54.81或81,51,36.-24g=% a24a0a6成等比数列，且=2=q,故a6=a1·g=8X2 3.D[设等比数列{an}的首项为a1,公比为g,由题意可· a12 得a1十ay十a3=168, =64. （a2-a5=42, 12.5√2[法一因为{an}是等比数列， (a1-96, 所以a1a7=ai,a2a8=a后，a3a=a6. 即a11+9十)168解得所以a,=a1g=3,故选D.] 所以a·a5·a6=(a1a?)·(a2ag）·(agag) 1a1q(1一q)=42, 9=2· =(a1a2a3）·(a7agag)=5X10=50. 4.1[设等差数列的公差为d,则a=a1十2d,a=a1+4d,(a1十 因为am>0, 24+3)P三(a+1)(a+4d+5),解得d=-1.g2i7 所以a1a5a6=5V2. 法二因为a1a2a3=(a1a3)a2=a2·ag=a2=5, 4-2+3-1.] a1十1 所以a2=5言 5.①③④[因为an·Sn=9,所以a1·S1=9,又an>0,所以a1=3, 因为arasan=(a7ag)a%=ag=10, a:·S,=a(a十a)=9,即ai+3a-9=0,得a=3+35_ 所以ag=10 9 同理a1aa6=a=(a)立=(a2as)=(53·10京)是=50青= 3(5-1）<3,所以①正确：当n≥2时，由S。=9,得S1a二 2 5w2.] 两式作发可得a=子品2.a-,≥2现万新法不务个银为对第四个为16流第二个 !题点三 anan-1 整理得9.4(m≥2)，若教列a,}为等比款列，则当w≥2时， 数为y,则第三个数为12一. an-1 9 根据题意，得2x十12， 9@三为常教，即教列(a从第2项起各项均为同一个常数，易知当 {(12-y)2=y(16-x). 9 即x=8y-12,① n=3时不成立，所以②不正确：因为an·Sn=an+1·Sn+1=9,所以 1(12y)2=16y-xy.② 3由教列{a}的各项均为正教，得>1，所以a,> 将①代入②，整理得y2一13y十36=0. an+l 解得y=4或y=9. an+1>0,所以③正确：对于④，若数列{an}的所有项均大于等于 当y=4时，x=0,这四个数分别为0,4,8,16： 当v=9时，x=15,这四个数分别为15,9,3,1. 100,取n>90000,由am≥100且am>an+1>0,得Sn>am≥900，所 故所求的四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1 以n·Sn>9,与已知矛盾，所以④正确，综上，所有正确结论的序号 法二 是①③④.] 设这四个数依次为a-d,a,a十d,Ca十dD（a≠0). 第二课时 等比数列的性质及应用 =16, 必备知识·自主梳理 根据题意，得 Sa-d+a+d) a 1.ang"m2.ap·ag （(a+(a+d)=12. 即时小练 解得三4或a=9, 1.C[两个等比数列的积构成的数列仍是等比数列.故选C.] (d=4 d=-6. 2.B [aia:-aiaio=3 6=-2.] 当a=4,d=4时，这四个数分别为0,4,8,16： 当a=9,d=一6时，这四个数分别为15,9,3,1. 3.486[由ag=a1·g,.g=3, 故所求的四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1， 又a20=a1·g16=6×(g)1=6×31=486.] 法三设这四个数依次为口-a, 关键能力·合作探究 g ,a,aq(a≠0). 题点一 2a-a十a=16, [典例]解(I)从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为a1,a2,: 根据题意，得 a3,…,an, 4+a=12. 144