专题09 函数与几何综合探究（复习讲义）（广东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09 函数与几何综合探究 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 题型一一次函数与几何图形的综合 题型二反比例函数与几何图形的综合 真题动向 题型三二次函数与三角形的综合探究 题型四二次函数与四边形的综合探究 题型五函数与圆的综合探究 题型六函数背景下的动点、存在性问题 知识1一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质 知识2平面直角坐标系中的坐标运算 必备知识 知识3三角形、四边形、圆的核心性质与判定 知识4数形结合思想与分类讨论方法 知识5函数与几何结合的线段、面积、最值计算 预测1一次函数交点问题[广州2025年第6题/广东省卷高频测 预测2反比例函数k的几何意义与面积综合[三地填空必考) 预测3二次函数与特殊三角形综合[深圳、广州压轴选择] 预测4二次函数与特殊四边形存在性探究[广州2025年第25题/省卷压轴 命题预测 预测5函数与圆的综合[深圳压轴题涉及] 预测6函数背景下线段周长问题【三年必考 预测7函数与几何结合的面积最值计算[省卷、广州解答题 预测8函数与相似三角形的综合应用【三地压轴核心考点) 预测9函数与几何综合的新定义探究题[广州、深圳压轴创新考] 01 析·考情目标 命题形式： 命题 选择题、填空题及解答题 考察能力： 透视 运算能力、抽象能力、推理能力、几何直观、模型思想、数形结合、分类讨论 考点 广东省卷 广州倦 深圳卷 热考 2024:T16（反比例函数与 2024:T12（反比例函数 2025:T23(反比例函数 角度 反比例函数 矩形平移、面积、最值) 与菱形、三角函数) 与几何综合 与矩形、等腰直角三角 1/41 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 形、中外比点新定义) 2024:T23（反比例函数 与矩形折叠、圆、取值 范围) 2025:无 2024:T23（二次函数与线2025：T18（二次函数与 2024:T25（二次函数与 段比、直线旋转、交点、面 圆、切线、菱形) 二次函数与 三角形周长比、直线旋 积最值) 2024:T19(二次函数与 几何综合 转、面积恒成立) 2025:T25（二次函数与平 新定义—抛物线开口 行四边形、动点最值，但更 大小、平移) 偏几何，二次函数为背景) 2025:T8（一次函数图 2025:T6(一次函数平移与 2025:T17(一次函数与 象识别一电动车续 线段交点) 采购方案，实际应用) 航，实际应用，非几何 一次函数与 2024:无 2024:T17(（一次函数与 综合) 几何综合 购物车长度，实际应用) 2024:T10(（一次函数与 一元一次不等式，图象 判断) 2025:T23(中外比点 2024:T23（二次函数与几 2024:T19(地物线开口 反比例函数与矩 何新定义 涉及周长 大小 二次函数新定 函数与几何 形、等腰直角三角形) 比、旋转) 义) 新定义探究 2024:无 2025:T20(双等四边形 几何新定义，无函 数，故不列入) 1.考情预测 。根据近两年广东省内中考的趋势，2026年的中考中，“函数与几何综合探究”板块是压 轴题的核心，常以解答题最后一题（第23-25题）出现，综合性强，难度大。 反比例函数：常与矩形、菱形、三角形等几何图形结合，考查面积、坐标关系、参数求 解，有时引入新定义（如中外比点），需要较强的代数运算和几何推理能力。 命题 二次函数：是重中之重，常与三角形（全等、相似、周长、面积）、四边形（平行四边 形、矩形)、圆（切线、弦）等结合，考查存在性、最值、平移旋转后的交点问题，以 预测 及恒成立问题。 一次函数：较少单独作为压轴，但常与反比例或二次函数结合，考查交点、围成图形面 积等。 新定义：近年趋势，给出新的几何或代数定义，要求理解并综合运用函数与几何知识进 行探究，考查学习能力和迁移能力。 2.备考建议 2/41 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 。熟练掌握各类函数（一次、反比例、二次）的图象性质、解析式求法，特别是二次函数 的顶点式、交点式、一般式之间的转化。 ·强化函数与几何的综合训练，能熟练地将几何条件（如平行、垂直、中点、角平分线、 等腰、相似等)转化为坐标或方程关系 掌握常见题型：①存在性问题（是否存在点使三角形为等腰/直角/相似等）；②最值问 题（面积最值、线段和最值，利用二次函数顶点或几何模型）：③动点问题（分类讨论， 确定临界位置)；④新定义问题（阅读理解，转化为熟悉模型）。 ·提高代数运算能力，特别是含参方程的求解、根与系数关系的运用（韦达定理）。 ·注重数形结合，画出草图帮助分析，利用几何直观简化计算。 ● 积累常见几何模型（如一线三直角、手拉手、将军饮马、胡不归等）在函数背景下的应 用。 02 筑·专题框架 函数：一次、反比例、二次函数 一、 结合载体O 几何：三角形、四边形、圆 求函数解析式 图象交点问题 面积计算（割补、铅锤法） 二、核心考点O 特殊图形存在性 线段/周长/面积最值 相似、垂直、平行判定 数形结合 参数设点法 三、思想方法O 分类讨论 方程与函数思想 求解析式 设动点坐标 四、 解题步骤O 几何条件代数化 求解+验证取舍 距离/中点公式 五、常用工具O 勾股定理、相似 三角函数、斜率 3/41 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 03 攻·重难考点 题 动 向 ●●● ◆题型一一次函数与几何图形的综合 点方法 1.先求函数解析式，联立方程求交点，确定关键点坐标。 2.用坐标差表示线段长度，割补法计算图形面积。 3.结合平行、垂直、等腰条件列方程求解。 1.(2024·广东深圳·中考真题)如图7，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0,2)， 直线AC的解析式为y=。x-l,则tanA的值是 .2 B 2.(2024·广东广州·中考真题)如图，在平面直角坐标系x0中，直线：y=)x+4分别与x轴，y轴相 交于A、B两点，点P(x,y)为直线I在第二象限的点 B O (1)求A、B两点的坐标； (2)设△PA0的面积为S,求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围； 4/41 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)作△PAO的外接圆⊙C,延长PC交⊙C于点Q,当△PO2的面积最小时，求OC的半径. ◆题型二反比例函数与几何图形的综合 点方法 1.核心性质：图象上任意点满足y=k,可快速求k。 2。过点作坐标轴垂线，三角形面积恒为些。 3.联立一次函数求交点，利用对称性简化计算。 3.(2024·广东广州·中考真题)如图，平面直角坐标系x0y中，矩形0ABC的顶点B在函数y=《(x>0)的 图象上，AL,O),C(0,2).将线段AB沿x轴正方向平移得线段AB(点A平移后的对应点为)，AB交函 数y=(>0)的图象于点D,过点D作DE上y轴于点E,则下列结论： \B B C D E▣ OA A ①k=2; ②△OBD的面积等于四边形ABDA'的面积； ③A'E的最小值是√2； ④∠B'BD=∠BB'O. 其中正确的结论有. (填写所有正确结论的序号) 4.（(2024·广东深圳·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，四边形40CB为菱形，tam∠40C= 3,且 点A落在反比例函数y=3上，点B落在反比例函数y=《(k≠0)上，则k= B 5.(2023·广东深圳·中考真题)如图，Rta0AB与Rt△0BC位于平面直角坐标系中， 5/41 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LA0B=LB0C=30°，BA10A,CB10B,若AB=5,反比例函数y=(k≠0)恰好经过点C,则k AJ 0 6.(2025·广东·中考真题)定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时， 则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点， (1)如图，点P是线段MN的中外比点，MP>PN,MN=2,求PN的长. M ) (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比.（保留作图痕迹，不写作法） B (3)如图，动点B在第一象限内，反比例函数y=《(k>0,x>0)的图象分别与矩形04BC的边AB,BC相交 于点D,E,与对角线OB相交于点F,当aODE是等腰直角三角形时，探究点D,E,F是否分别为AB ,BC,OB的中外比点，并证明. B 0 A末 7.(2024·广东·中考真题)【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B,D是直线y=axa>0)上第一象限内的两个动点(OD>OB),以线段 BD为对角线作矩形ABCD,AD∥x轴.反比例函数y=的图象经过点A. 【构建联系】 (1)求证：函数y=一的图象必经过点C (2)如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E落在y轴上，且点B的坐标为1,2)时， 求k的值. 【深入探究】 6/41 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E,A重合时，连接AC交BD于点P.以 点0为圆心，AC长为半径作⊙0.若OP=32,当⊙0与ABC的边有交点时，求k的取值范围. (E D B 图1 图2 图3 ◆题型三二次函数与三角形的综合探究 点方法 1.确定解析式与定点，设动点为(x,ax2+bx+C 2.等腰用距离相等，直角用勾股定理或垂直判定。 3. 按顶点分类讨论，舍去超出范围的解。 8.(2024·广东湛江·中考真题)如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D(-1,-4),与y轴交于点C(0,-3), 与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧） (1)求抛物线的解析式： (2)连接AC,CD,AD,试证明△ACD为直角三角形： (3)若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F,使以A,B,E,F为顶点的四边形为平行四边 形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由. 9.(2024·广东·中考真题)如图，抛物线y=3+5x+bx+e与X轴交于A,B两点，点A,B分别位于 6 原点的左、右两侧，B0=3A0=3,过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C,D, BC=3CD. 7/41 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A (1)求b,c的值； (2)求直线BD的函数解析式； (3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上，当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所 有满足条件的点Q的坐标. 10.(2023·广东梅州·中考真题)(2013年广东梅州10分)如图，己知抛物线y=2x2-2与x轴交于A,B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. E D C (1)写出以A,B,C为顶点的三角形面积； (2)过点E(0,6)且与x轴平行的直线11与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一 边，抛物线上的任一点P为另一顶点作平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标； (3)过点D(m,0)(其中m>1)且与x轴垂直的直线l2上有一点Q(点Q在第一象限)，使得以Q,D,B 为顶点的三角形和以B,C,0为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）. ◆题型四二次函数与四边形的综合探究 点方法 1.平行四边形用中点坐标公式（对角线互相平分）。 2.矩形加垂直、菱形加邻边相等，正方形两者兼备。 3.结合坐标与对称性，快速列方程求点坐标。 8/41 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.(2023·广东广州·中考真题)已知点Pm,m)在函数y=-2(x<0)的图象上. (1)若m=-2,求n的值； (2)抛物线y=(x-m)(x-)与x轴交于两点M,N(M在N的左边)，与y轴交于点G,记抛物线的顶点为E. ①m为何值时，点E到达最高处： ②设aGMN的外接圆圆心为C,OC与y轴的另一个交点为F,当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为平 行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由. 12.(2025·广东·中考真题)己知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,0)，且对任意实数x,都有 4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6. (1)求该二次函数的解析式： (2)若(1)中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A,与y轴交点为C;点M是(1)中二次函数图象上 的动点，问在x轴上是否存在点N,使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出所有 满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. 13.(2024广东·中考宾题)如图，抛物线-+？+1与y维交于A点，过点A的直线与抛物线交于 另一点B,过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3,O). (1)求直线AB的函数关系式： (2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PV⊥x轴，交直线AB于点 M,交抛物线于点N设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t 的取值范围； (3)设在(2)的条件下（不考虑点P与点O,点C重合的情况），连接CM,BW,当t为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由 B 题型五函数与圆的综合探究 点方法 1.点在圆上一到圆心距离等于半径，列方程求解。 2.切线问题：连半径得垂直，用d=r判定切线。 9/41 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.联立函数与圆方程，用判别式判断交点个数。 14.(2025·广东广州)【数学定义】在平面直角坐标系x0y中，对于己知点P,M,N,给出如下定义： 若点P恰好在以MN为直径的圆上，且满足PM=PN,则称点P为点M与点N的“圆生点”. 【问题背景】如图1，在平面直角坐标系x0y中，直线y=-x+4与x轴，y轴分别交于点A,B. 图1 图2 备用图 备用图 【初步探究】 (1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 (2)若已知坐标系中一点的坐标为1，-2)，则该点与点A的“圆生点”的坐标是 【问题解决】 (3)如图2，作AC⊥x轴，作BC⊥y轴，AC与BC相交于点C,点D在射线AB上，点E在y轴上，若点 D恰好是点C与点E的“圆生点”，设BD=n,△CDE的面积为S,请求出S关于的关系式： (4)若以y轴上的一点M(0,m)为圆心，2为半径作⊙M,点F为y轴上的动点，在⊙M上存在点G,使得 点F恰好为点A与点G的“圆生点”，请直接写出m的取值范围. 15.(2025·广东湛江)【阅读与探究】 我们定义：如果两个三角形有一条公共边，且这条公共边所对的同侧的角相等，那么这两个三角形有公共 的外接圆（如图1)，简记为：共边同侧对角等，四点共圆. 几何语言：如图1.：∠C=∠D. .A、B、C、D四点共圆 D 图1 【定义运用】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的边AD在x轴上，对角线AC,BD交于点F,且 CF·FA=DF.FB. 求证：A、B、C、D四点共圆： (2)在(1)的条件下，如图3，作四边形ABCD的外接圆⊙0'，延长BC交x轴于点E,若 10/41 专题09 函数与几何综合探究 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 一次函数与几何图形的综合 题型二 反比例函数与几何图形的综合 题型三 二次函数与三角形的综合探究 题型四 二次函数与四边形的综合探究 题型五 函数与圆的综合探究 题型六 函数背景下的动点、存在性问题 必备知识 知识1 一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质 知识2 平面直角坐标系中的坐标运算 知识3 三角形、四边形、圆的核心性质与判定 知识4 数形结合思想与分类讨论方法 知识5 函数与几何结合的线段、面积、最值计算 命题预测 预测1 一次函数交点问题 [广州2025年第6题/广东省卷高频] 预测2 反比例函数k的几何意义与面积综合 [三地填空必考] 预测3 二次函数与特殊三角形综合 [深圳、广州压轴选择] 预测4 二次函数与特殊四边形存在性探究 [广州2025年第25题/省卷压轴] 预测5 函数与圆的综合 [深圳压轴题涉及] 预测6 函数背景下线段周长问题 [三年必考] 预测7 函数与几何结合的面积最值计算 [省卷、广州解答题] 预测8 函数与相似三角形的综合应用 [三地压轴核心考点] 预测9 函数与几何综合的新定义探究题 [广州、深圳压轴创新考] 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题 考察能力： 运算能力、抽象能力、推理能力、几何直观、模型思想、数形结合、分类讨论 热考角度 考点 广东省卷 广州卷 深圳卷 反比例函数与几何综合 2025：T23（反比例函数与矩形、等腰直角三角形、中外比点新定义） 2024：T23（反比例函数与矩形折叠、圆、取值范围） 2024：T16（反比例函数与矩形平移、面积、最值） 2024：T12（反比例函数与菱形、三角函数） 二次函数与几何综合 2025：无 2024：T25（二次函数与三角形周长比、直线旋转、面积恒成立） 2024：T23（二次函数与线段比、直线旋转、交点、面积最值） 2025：T25（二次函数与平行四边形、动点最值，但更偏几何，二次函数为背景） 2025：T18（二次函数与圆、切线、菱形） 2024：T19（二次函数与新定义——抛物线开口大小、平移） 一次函数与几何综合 2025：T8（一次函数图象识别——电动车续航，实际应用，非几何综合） 2024：T10（一次函数与一元一次不等式，图象判断） 2025：T6（一次函数平移与线段交点） 2024：无 2025：T17（一次函数与采购方案，实际应用） 2024：T17（一次函数与购物车长度，实际应用） 函数与几何新定义探究 2025：T23（中外比点——反比例函数与矩形、等腰直角三角形）2024：无 2024：T23（二次函数与几何新定义——涉及周长比、旋转） 2024：T19（抛物线开口大小——二次函数新定义） 2025：T20（双等四边形——几何新定义，无函数，故不列入） 命题预测 1. 考情预测 · 根据近两年广东省内中考的趋势，2026年的中考中，“函数与几何综合探究”板块是压轴题的核心，常以解答题最后一题（第23-25题）出现，综合性强，难度大。 · 反比例函数：常与矩形、菱形、三角形等几何图形结合，考查面积、坐标关系、参数求解，有时引入新定义（如中外比点），需要较强的代数运算和几何推理能力。 · 二次函数：是重中之重，常与三角形（全等、相似、周长、面积）、四边形（平行四边形、矩形）、圆（切线、弦）等结合，考查存在性、最值、平移旋转后的交点问题，以及恒成立问题。 · 一次函数：较少单独作为压轴，但常与反比例或二次函数结合，考查交点、围成图形面积等。 · 新定义：近年趋势，给出新的几何或代数定义，要求理解并综合运用函数与几何知识进行探究，考查学习能力和迁移能力。 2. 备考建议 · 熟练掌握各类函数（一次、反比例、二次）的图象性质、解析式求法，特别是二次函数的顶点式、交点式、一般式之间的转化。 · 强化函数与几何的综合训练，能熟练地将几何条件（如平行、垂直、中点、角平分线、等腰、相似等）转化为坐标或方程关系。 · 掌握常见题型：①存在性问题（是否存在点使三角形为等腰/直角/相似等）；②最值问题（面积最值、线段和最值，利用二次函数顶点或几何模型）；③动点问题（分类讨论，确定临界位置）；④新定义问题（阅读理解，转化为熟悉模型）。 · 提高代数运算能力，特别是含参方程的求解、根与系数关系的运用（韦达定理）。 · 注重数形结合，画出草图帮助分析，利用几何直观简化计算。 · 积累常见几何模型（如一线三直角、手拉手、将军饮马、胡不归等）在函数背景下的应用。 题型一 一次函数与几何图形的综合 1. 先求函数解析式，联立方程求交点，确定关键点坐标。 1. 用坐标差表示线段长度，割补法计算图形面积。 1. 结合平行、垂直、等腰条件列方程求解。 1．（2024·广东深圳·中考真题）如图7，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2,0），点B的坐标为（0,2），直线AC的解析式为，则tanA的值是_________． 【答案】 【分析】根据三角形内心的特点知∠ABO=∠CBO，根据点C、点B的坐标得出OB=OC，∠OBC=45°，∠ABC=90°可知△ABC为直角三角形，BC=2，设A点坐标为（x，x-1），根据两点间距离公式及勾股定理得出x的值，即可求得AB长；在Rt△ABC中，即根据正切函数的定义求tanA的值即可． 【详解】根据三角形内心的特点知∠ABO=∠CBO， ∵已知点C、点B的坐标， ∴OB=OC，∠OBC=45°，∠ABC=90°， ∴△ABC为直角三角形，BC=2， ∵点A在直线AC上，设A点坐标为（x，x-1），x<0 设直线AB与x轴交于点D. 则=-2-x 解得：x=-6， ∴AB=6 在Rt△ABC中，． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了三角形内心、两点间距离公式、勾股定理和三角函数的定义，综合性较强，难度较大． 2．（2024·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点为直线在第二象限的点 （1）求A、B两点的坐标； （2）设的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围； （3）作的外接圆，延长PC交于点Q，当的面积最小时，求的半径． 【答案】（1）A（-8，0），B（0，4）；（2），-8＜＜0；（3）4． 【分析】（1）根据一次函数的图像与性质即可求出A、B两点的坐标； （2）利用三角形面积公式及点的坐标特点即可求出结果； （3）根据圆周角性质可得，．由等角的三角函数关系可推出，再根据三角形面积公式得，由此得结论当最小时，的面积最小，最后利用圆的性质可得有最小值，且为的直径，进而求得结果． 【详解】解：（1）当时，，解得， ∴A（-8，0）． 当时，， ∴B（0，4）． （2）∵A（-8,0）， ∴． 点P在直线上， ∴， ∴． ∵点P在第二象限， ∴＞0，且＜0． 解得-8＜＜0； （3）∵B（0，4）， ∴． ∵为的外接圆， ∴，． ∴． 设，则． ∴． ∴当最小时，的面积最小． ∴当时，有最小值，且为的直径． ∴． 即的半径为4． 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质、三角形面积计算及圆的相关性质等知识，熟练掌握一次函数的图像与性质、三角形面积计算及圆的相关性质是解题的关键． 题型二 反比例函数与几何图形的综合 1. 核心性质：图象上任意点满足 ，可快速求 。 2. 过点作坐标轴垂线，三角形面积恒为 。 3. 联立一次函数求交点，利用对称性简化计算。 3．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】由，可得，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设，可得的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，，四边形是矩形； ∴， ∴，故①符合题意； 如图，连接，，，与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意； 如图，连接， ∵轴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小，则最小， 设， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③不符合题意； 如图，设平移距离为， ∴， ∵反比例函数为，四边形为矩形， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________．    【答案】8 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图，    ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍），则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：8． 5．（2023·广东深圳·中考真题）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______． 【答案】 【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：    ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 6．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点，证明过程见解析 【分析】（1）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解； （2）①作线段的垂直平分线，交于点；②过点作，且；③连接；④以点为圆心，为半径，画弧，交于点；⑤以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点． 设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点； （3）当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得，设点，则，根据点、在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得、、、、、的值，即可求证．设直线的函数解析式为，利用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立方程组，求得点的坐标，即可求证；②当，同理可证点，，分别为，，的中外比点；③当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意，得：，即， 整理，得：，解得：，， ， 舍去， ． （2）解：如图所示，点为所求． 设， 根据题意，得：，， ， ，， ，， ， 点为线段的中外比点． （3）解：当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，理由如下： 第一种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， ，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第二种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． 综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 7．（2024·广东·中考真题）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）设，则，用含的代数式表示出，再代入验证即可得解； （2）先由点B的坐标和k表示出，再由折叠性质得出，如图，过点D作轴，过点B作轴，证出，由比值关系可求出，最后由即可得解； （3）当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围． 【详解】（1）设，则， ∵轴， ∴D点的纵坐标为， ∴将代入中得：得， ∴， ∴， ∴， ∴将代入中得出， ∴函数的图象必经过点C； （2）∵点在直线上， ∴， ∴， ∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， ∵函数的图象经过点A，C， ∴，， ∴， ∴， ∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E， ∴，， ∴， 如图，过点D作轴，过点B作轴， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴，， ∴， 由图知，， ∴， ∴； （3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形，， ∴，，， ∵轴， ∴直线为一，三象限的夹角平分线， ∴， 当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∵以点O为圆心，长为半径作，， ∴， ∴， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H， ∵, ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴, ∴当与的边有交点时，k的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 题型三 二次函数与三角形的综合探究 1. 确定解析式与定点，设动点为 。 2. 等腰用距离相等，直角用勾股定理或垂直判定。 3. 按顶点分类讨论，舍去超出范围的解。 8．（2024·广东湛江·中考真题）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于两点（点在点的左侧）． （）求抛物线的解析式； （）连接，试证明为直角三角形； （）若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；（）证明见解析；（）存在，点的坐标为或或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，再利用两点间距离公式求出的长，进而根据勾股定理的逆定理即可求证； （）由点坐标可得，再分为平行四边形的一边和对角线解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理及其逆定理，二次函数的几何应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键 【详解】（）解：把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （）证明：把代入，得， 解得或， ∴，， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形； （）存在，理由如下： ∵，， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴点的横坐标为， 当为平行四边形的一边时，，如图， ∴的横坐标为或， ∴的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时，如图， ∵平行四边形的对角线互相平分， ∴点必在对称轴上，此时点与点重合， ∴； 综上，所有满足条件的点的坐标为或或． 9．（2024·广东·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，． （1）求，的值； （2）求直线的函数解析式； （3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）；  （2）  （3），，， 【分析】（1）根据，得出，，将A，B代入得出关于b，c的二元一次方程组求解即可； （2）根据二次函数是，，，得出的横坐标为，代入抛物线解析式求出，设得解析式为：，将B，D代入求解即可； （3）由题意得tan∠ABD=，tan∠ADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n<0，Q（x，0）且x<3，分①当△PBQ∽△ABD时，②当△PQB∽△ABD时，③当△PQB∽△DAB时，④当△PQB∽△ABD时四种情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴将A，B代入得， 解得， ∴，； （2）∵二次函数是，，， ∴的横坐标为， 代入抛物线解析式得 ∴， 设得解析式为： 将B，D代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （3）由题意得tan∠ABD=，tan∠ADB=1， 由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n<0，Q（x，0）且x<3， ①当△PBQ∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=， 解得n=， tan∠PQB=tan∠ADB即， 解得x=1-， 此时Q的坐标为（1-，0）； ②当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ADB即=1， 解得n=-2， tan∠QPB=tan∠ABD即=， 解得x=1-， 此时Q的坐标为（1-，0）； ③当△PQB∽△DAB时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=， 解得n=， tan∠PQB=tan∠DAB即， 解得x=-1， 此时Q的坐标为（-1，0）； ④当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=1， 解得n=-2， tan∠PQB=tan∠DAB即， 解得x=5-， Q的坐标为（5-，0）； 综上：Q的坐标可能为，，，． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握知识点灵活运用是解题关键． 10．（2023·广东梅州·中考真题）（2013年广东梅州10分）如图，已知抛物线y=2x2﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积； （2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l1与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点作平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标； （3）过点D（m，0）（其中m＞1）且与x轴垂直的直线l2上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）． 【答案】解：（1）∵y=2x2﹣2，∴当y=0时，2x2﹣2=0，x=±1． ∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），AB=2． 又当x=0时，y=﹣2，∴点C的坐标为（0，﹣2），OC=2． ∴S△ABC=AB•OC=×2×2=2． （2）将y=6代入y=2x2﹣2，得2x2﹣2=6，x=±2， ∴点M的坐标为（﹣2，6），点N的坐标为（2，6），MN=4． ∵平行四边形的面积为8，∴MN边上的高为：8÷4=2． ∴P点纵坐标为6±2． ①当P点纵坐标为6+2=8时，2x2﹣2=8，x=±． ∴点P的坐标为（，8）或（，8）． ②当P点纵坐标为6﹣2=4时，2x2﹣2=4，x=±， ∴点P的坐标为（，4）或（，4）． 综上所述，当平行四边形的面积为8时，点P的坐标为（，8）或（，8）或（，4）或（，4）． （3）∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣2），∴OB=1，OC=2． ∵∠QDB=∠BOC=90°， ∴以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况： ①OB与BD边是对应边时，△OBC∽△DBQ，则，即， 解得DQ=2（m﹣1）=2m﹣2． ②OB与QD边是对应边时，△OBC∽△DQB，则，即， 解得． 综上所述，线段QD的长为2m﹣2或． 【详解】（1）在二次函数的解析式y=2x2﹣2中，令y=0，求出x=±1，得到AB=2，令x=0时，求出y=﹣2，得到OC=2，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积． （2）先将y=6代入y=2x2﹣2，求出x=±2，得到点M与点N的坐标，则MN=4，再由平行四边形的面积公式得到MN边上的高为2，则P点纵坐标为8或4．分两种情况讨论：①当P点纵坐标为8时，将y=8代入y=2x2﹣2，求出x的值，得到点P的坐标；②当P点纵坐标为4时，将y=4代入y=2x2﹣2，求出x的值，得到点P的坐标． （3）由于∠QDB=∠BOC=90°，所以以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①OB与BD边是对应边，②OB与QD边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式计算求出QD的长度即可． 考点：二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积公式，平行四边形的判定，相似三角形的判定，分类思想的应用． 题型四 二次函数与四边形的综合探究 1. 平行四边形用中点坐标公式（对角线互相平分）。 2. 矩形加垂直、菱形加邻边相等，正方形两者兼备。 3. 结合坐标与对称性，快速列方程求点坐标。 11．（2023·广东广州·中考真题）已知点在函数的图象上． (1)若，求n的值； (2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E． ①m为何值时，点E到达最高处； ②设的外接圆圆心为C，与y轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值为1； (2)①；②假设存在，顶点E的坐标为，或． 【分析】（1）把代入得，即可求解； （2）①，得，即可求解； ②求出直线的表达式为：，得到点的坐标为；由垂径定理知，点在的中垂线上，则；由四边形为平行四边形，则，求出，进而求解． 【详解】（1）解：把代入得； 故的值为1； （2）解：①在中，令，则， 解得或， ，， 点在函数的图象上， ， 令，得， 即当，且， 则，解得：（正值已舍去）， 即时，点到达最高处； ②假设存在，理由： 对于，当时，，即点， 由①得，，，，对称轴为直线， 由点、的坐标知，， 作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点， 则， 则直线的表达式为：． 当时，， 则点的坐标为． 由垂径定理知，点在的中垂线上，则． 四边形为平行四边形， 则， 解得：， 即，且， 则， ∴顶点E的坐标为，或． 【点睛】本题为反比例函数和二次函数综合运用题，涉及到一次函数基本知识、解直角三角形、平行四边形的性质、圆的基本知识，其中（3），数据处理是解题的难点． 12．（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象过点，且对任意实数x，都有． （1）求该二次函数的解析式； （2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，或或或 【分析】（1）令，解得，可得函数 必过 ，再结合 必过 得出，，即可得到，再根据，可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方，可得，有两个相等的实数根，再根据，可解得的值，即可求出二次函数解析式． （2）结合（1）求出点C的坐标，设，①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：（1）令，解得， 当时，， ∴ 必过 ， 又∵ 必过 ， ∴， ∴， 即， 即可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方 ∴， 有两个相等的实数根 ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． （2）由（1）可知：，，设， ①当为对角线时， ∴，解得（舍），， ∴，即． ②当为对角线时， ∴，解得（舍）， ∴，即． ③当为对角线时， ∴，解得， ∴或， ∴． 综上所述：N点坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形的存在性问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键． 13．（2024·广东·中考真题）如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0). （1）求直线AB的函数关系式； （2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由 【答案】（1）；（2） （0≤t≤3）；（3）t=1或2时；四边形BCMN为平行四边形；t=1时，平行四边形BCMN是菱形，t=2时，平行四边形BCMN不是菱形，理由见解析. 【分析】（1）由A、B在抛物线上，可求出A、B点的坐标，从而用待定系数法求出直线AB的函数关系式． （2）用t表示P、M、N 的坐标，由等式得到函数关系式． （3）由平行四边形对边相等的性质得到等式，求出t．再讨论邻边是否相等． 【详解】解：（1）x=0时，y=1， ∴点A的坐标为：（0，1）， ∵BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）， ∴点B的横坐标为3， 当x=3时，y=， ∴点B的坐标为（3，）， 设直线AB的函数关系式为y=kx+b， ， 解得，， 则直线AB的函数关系式 （2）当x=t时，y=t+1， ∴点M的坐标为（t，t+1）， 当x=t时， ∴点N的坐标为 （0≤t≤3）； （3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC， ∴， 解得t1=1，t2=2， ∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形， ①当t=1时，MP=，PC=2， ∴MC==MN，此时四边形BCMN为菱形， ②当t=2时，MP=2，PC=1， ∴MC=≠MN，此时四边形BCMN不是菱形． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、菱形的判定，正确求出二次函数的解析式、利用配方法把一般式化为顶点式、求出函数的最值是解题的关键，注意菱形的判定定理的灵活运用． 题型五 函数与圆的综合探究 1. 点在圆上 ⇔ 到圆心距离等于半径，列方程求解。 2. 切线问题：连半径得垂直，用 判定切线。 3. 联立函数与圆方程，用判别式判断交点个数。 14．（2025·广东广州）【数学定义】在平面直角坐标系中，对于已知点，，，给出如下定义：若点恰好在以为直径的圆上，且满足，则称点为点与点的“圆生点”． 【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，． 【初步探究】 (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)若已知坐标系中一点的坐标为，则该点与点的“圆生点”的坐标是________； 【问题解决】 (3)如图2，作轴，作轴，与相交于点，点在射线上，点在轴上，若点恰好是点与点的“圆生点”，设，的面积为，请求出关于的关系式； (4)若以轴上的一点为圆心，2为半径作，点为轴上的动点，在上存在点，使得点恰好为点与点的“圆生点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）将、代入进行求解即可； （2）设，令，点是点与点的“圆生点”，则、，结合勾股定理，列出方程组，解方程组即可； （3）当点D在点B右侧时，如图，过D作于点H，证明四边形为正方形，进而得到，利用勾股定理求出的表达式，进而得到；当点D在点B左侧时，如图，过D作交延长线于点I，同理求出的表达式，利用求解即可； （4）综上所述，的取值范围为或． 分情况讨论：当在上方或当G在AF下方时，点F是点A与点G的“圆生点”，过点向作垂线，易得到点在或上，利用点是的切点，得到，据此求解的取值范围． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得， 点的坐标为， 将代入得： ， 则点的坐标为； （2）解：令，点是点与点的“圆生点”，设， 、， 、， ， 整理得， 在中，由勾股定理得：， ， ， 解得或， 当时，， 当时，， 综上所述，点坐标为或； （3）解：当点D在点B右侧时，如图，过D作于点H， 、， 四边形为正方形， ， 在中，， 由（1）可得， ， 在中，由勾股定理得： ， 点D恰好是点C与点E的“圆生点”， 、， ； 当点D在点B左侧时，如图，过D作交延长线于点I， 同理可得， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 综上所述，S关于n的关系式为或； （4）解：如图，当在上方时，点F是点A与点G的“圆生点”， 过点G作轴于点K， 、， 、， ， 在和中， ， ， 、， 设， 、， ，即点G在直线上， ∴直线与y轴交于点，与轴交于点， ， ， 过点B作轴， ， ， 当与相切于点G时，， 即， 解得或， 如图， 的取值范围为； 当G在AF下方时，作点关于轴的对称点，则， 过点G作轴于点，同理证得， 、， 设， 、， ，即点G在直线上， 同理可得：当与相切于点G时，， 即， 解得或， 的取值范围为， 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合、等腰直角三角形的性质、圆周角定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理、数形结合和分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． 15．（2025·广东湛江）【阅读与探究】 我们定义：如果两个三角形有一条公共边，且这条公共边所对的同侧的角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆（如图1），简记为：共边同侧对角等，四点共圆． 几何语言：如图1．． 、B、C、D四点共圆 【定义运用】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，对角线，交于点F，且． 求证：A、B、C、D四点共圆； （2）在（1）的条件下，如图3，作四边形的外接圆，延长交x轴于点E，若，设，，求y关于x的函数关系式； 【深入探究】 （3）如图4，在平面直角坐标系中，以x轴上的线段为直径作，且的半径为，点，点G是x轴上方劣弧上的一个动点，连接，点N在上，点H在上，且，，连接，，反比例函数的图象经过点G，若，当的值最小时，求k的值． 【答案】（1）见详解；（2）；（3） 【分析】（1）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可得证； （2）过作交于，由余弦函数得，由三角形的外角性质得，由等腰三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； （3）延长至，使得，连接、，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，作轴交于，轴交于，当、、三点共线时，的值最小，此时，由三角函数及勾股定理，，，由相似三角形的判定方法，由勾股定理得，，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， A、B、C、D四点共圆； （2）如图，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， y关于x的函数关系式； （3）延长至，使得，连接、， ， , ， ， ， ， ， ， ， 如图，作轴交于，轴交于， 当、、三点共线时，的值最小， 此时， 即， ， ， ， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ； 故k的值为． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，相似形三角形的判定及性质，三角函数，勾股定理等，掌握圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，相似形三角形的判定及性质，能构建相似三角形找出取得最小值的条件，并能熟练利用三角函数，勾股定理进行求解是解题的关键． 16．（2024·广东深圳）如图1，直线l： 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点 以点A为圆心，AC长为半径作 交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交 于点F.   (1)求直线l的函数表达式和的值； (2)如图2，连结CE，当 时，   ①求证：∽ ； ②求点E的坐标； 【答案】(1) (2)①见解析，② 【分析】（1）利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论； （2）①先判断出 ，进而得出 ，即可得出结论； ②设出 ， ，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论． 【详解】（1）解： 直线l： 与x轴交于点 ，    ， ， 直线l的函数表达式 ， ， ， ， ∴在 中， ； （2）解：①如图2，连接DF， ，    ， ， ， ， 四边形CEFD是 的圆内接四边形， ， ， ， ∽ ， ②过点E作 于M， 由①知， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， 由 知， ∽ ， ， ， ， ， ， 舍 或 ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法、正弦的定义式、相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、等弦对等弧的性质、一元二次方程的应用等是解题关键． 题型六 函数背景下的动点、存在性问题 1. 假设存在，设动点坐标，将几何条件转为代数式。 2. 建立方程或函数求最值，严格限定自变量范围。 3. 分类讨论（对应关系、位置），避免漏解，最后验证。 17．（2024·广东广州·中考真题）已知直线：经过点（0，7）和点（1，6）． (1)求直线的解析式； (2)若点P（，）在直线上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下 ①求的取值范围； ②设抛物线G与直线的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q' 也在G上时，求G在≤≤的图象的最高点的坐标． 【答案】(1)直线解析式为：； (2)①m＜10，且m≠0；②最高点的坐标为（-2，9）或（2，5） 【分析】（1）根据待定系数法求出解析式即可； （2）①设G的顶点式，根据点P在直线上得出G的关系式，根据题意得出点（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，进而得出点P必须位于直线的上方，可求m的取值范围，然后结合点P不能在轴上得出答案； ②先根据点Q，点的对称，得QQ'=1，可表示点Q和的坐标，再将点的坐标的代入关系式，求出a，再将点（0，-3）代入可求出m的值，然后分两种情况结合取值范围，求出函数最大值时，最高点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点（0，7）和点（1，6）， ∴， 解得， ∴直线解析式为：； （2）解：①设G：（）， ∵点P（，）在直线上， ∴； ∴G：（） ∵（0，-3）不在直线上， ∴（0，-3）不能成为抛物线G的顶点， 而以P为顶点的抛物线G开口向下，且经过（0，-3）， ∴点P必须位于直线的上方， 则，， 另一方面，点P不能在轴上， ∴， ∴所求取值范围为：，且 ； ②如图，QQ'关于直线对称，且QQ'=1， ∴点Q横坐标为， 而点Q在上，∴Q（，），Q'（，）； ∵Q'（，）在G：上， ∴， ， ∴ G：，或． ∵抛物线G过点（0，-3）， ∴， 即， ， ； 当时，抛物线G为，对称轴为直线， 对应区间为-2≤≤-1，整个区间在对称轴的右侧， 此时，函数值随着的增大而减小，如图， ∴当取区间左端点时，达最大值9，最高点坐标为（-2，9）； 当时，对应区间为≤≤，最高点为顶点P（2，5），如图， ∴G在指定区间图象最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数的关系式，求二次函数的极值等．解题的关键是掌握当时，顶点在直线与轴的交点（0，7），此时抛物线不可能过点（0，-3），因此，可能会被忽视． 18．（2023·广东·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），点为抛物线的顶点.点在轴的正半轴上，交轴于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好旋转到点，连接.       （1）求点、、的坐标； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）如图2，过顶点作轴于点，点是抛物线上一动点，过点作轴，点为垂足，使得与相似（不含全等）. ①求出一个满足以上条件的点的横坐标； ②直接回答这样的点共有几个？ 【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）①点P的横坐标为，，，②点P共有3个. 【分析】(1)令y=0，可得关于x的方程，解方程求得x的值即可求得A、B两点的坐标，对解析式配方可得顶点D的坐标； (2)由，CO⊥AF，可得OF=OA=1，如图2，易得，由此可得，继而证明为等边三角形，推导可得，再由，，可得，问题得证； (3)①设点的坐标为，分三种情况：点在点左侧，点在点右侧，点在之间，分别讨论即可得； ②由①的结果即可得. 【详解】(1)令， 解得或， 故，， 配方得，故； (2)∵，CO⊥AF， ∴OF=OA=1， 如图，DD1⊥轴，∴DD1//CO， ∴， ∴， 即， ∴， ∴CF==2， ∴， 即为等边三角形， ∴∠AFC=∠ACF=60°， ∵∠ECF=∠ACF， ∴， ∴， ∵CF：DF=OF：FD1=1：2， ∴DF=4，∴CD=6， 又∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； (3)①设点的坐标为， (ⅰ)当点在点左侧时， 因为与相似， 则1)， 即， ∴(舍)，x2=-11； 2)， 即， ∴(舍)，； (ⅱ)当点在点右侧时， 因为与相似， 则3)， 即， ∴(舍)，(舍)； 4)， 即， ∴(舍)，(舍)； (ⅲ)当点在之间时， ∵与相似， 则5)， 即， ∴(舍)，(舍)； 6)， 即， ∴(舍)，； 综上所述，点的横坐标为，，； ②由①可得这样的点P共有3个. 【点睛】本题考查的是函数与几何综合题，涉及了等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论并画出符合题意的图形是解题的关键. 19．（2024·广东梅州·中考真题）如图，已知抛物线y＝x2－x－3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧)，与y轴的交点为C. (1)直接写出A、D、C三点的坐标； (2)若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标； (3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A点坐标为(4，0)，D点坐标为(－2，0)，C点坐标为(0，－3)；（2）或或；（3）在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为(－2，0)或(6，6)． 【分析】（1）令y=0，解方程可得到A点和D点坐标；令x=0，求出y=-3，可确定C点坐标； （2）根据两个同底三角形面积相等得出它们的高相等，即纵坐标绝对值相等，得出点M的纵坐标为：，分别代入函数解析式求解即可； （3）分BC为梯形的底边和BA为梯形的底和CA为梯形的底三种情况讨论，求出另一底边的解析式即可. 【详解】解：（1）在中令， 解得， ∴A(4，0) 、D(－2，0). 在中令，得， ∴C(0，－3)； （2）过点C做轴的平行线，交抛物线与点，做点C关于轴的对称点,过点做轴的平行线，交抛物线与点,如下图所示： ∵△MAD的面积与△CAD的面积相等，且它们是等底三角形， ∴点M的纵坐标绝对值跟点C的纵坐标绝对值相等， ∵点C的纵坐标绝对值为：， ∴点M的纵坐标绝对值为：， ∴点M的纵坐标为：， 当点M的纵坐标为时，则， 解得：或（即点C，舍去）， ∴点的坐标为：， 当点M的纵坐标为时，则， 解得： ∴点的坐标为：，点的坐标为：， ∴点M的坐标为：或或； （3）存在，分两种情况： ①如图，当BC为梯形的底时，点P与D重合时，四边形ADCB是梯形，此时点P为(－2，0). ②如图，当BA为梯形的底时，过点C作CP//AB，与抛物线交于点P， ∵点C，B关于抛物线对称，∴B(2，－3) 设直线AB的解析式为，则，解得. ∴直线AB的解析式为. ∵CP//AB， ∴可设直线CP的解析式为. ∵点C在直线CP上， ∴. ∴直线CP的解析式为. 联立， 解得， ∴P(6，6). ③当AC为梯形的底时，过点B作BP//AC，与抛物线交于点P， 设直线AC的解析式为，则，解得. ∴直线AC的解析式为. ∵BP//AC， ∴可设直线CP的解析式为. ∵点B在直线CP上， ∴. ∴直线CP的解析式为. 联立， 解得（舍去），（舍去） 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形，点P的坐标为(－2，0)或(6，6). 知识1 一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质 一次函数 图象：直线；过、 ： 随 增大而增大；： 随 增大而减小 交 正半轴； 为正比例函数 反比例函数 图象：双曲线，关于原点对称 ：一、三象限，同支内递减 ：二、四象限，同支内递增 永远不与坐标轴相交 二次函数 图象：抛物线，轴对称图形 开口向上，顶点最小； 开口向下，顶点最大 对称轴：；顶点 对称轴左侧、右侧增减性相反 知识2 平面直角坐标系中的坐标运算 两点距离： 中点坐标： 水平距离：；竖直距离： 平行：；垂直： 坐标符号：一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-) 知识3 三角形、四边形、圆的核心性质与判定 三角形 全等：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 相似：AA、SAS(成比例+夹角)、SSS(成比例)；面积比=相似比平方 等腰：等边对等角、三线合一；直角：勾股、斜边中线=斜边一半 四边形 平行四边形：对边平行且相等、对角线互相平分 矩形：直角+对角线相等；菱形：四边相等+对角线垂直 正方形：矩形+菱形，对角线相等垂直平分 圆 垂径定理：垂直弦的直径平分弦及弧 圆周角：同弧所对圆周角=圆心角一半；直径对直角 切线：过半径外端且垂直；切线⊥过切点半径 外心(垂直平分线交点，到三顶点等距)；内心(角平分线交点，到三边等距) 知识4 数形结合思想与分类讨论方法 数形结合 以形助数：看图判符号、交点、增减、范围 以数解形：坐标算长度、角度、面积、判定图形 函数⇌图象；方程⇌交点；不等式⇌上下位置 分类讨论（不重不漏） 等腰：按顶角顶点分 直角：按直角顶点分 平行四边形：按对角线分 动点：在线段上/延长线、不同象限分 步骤：定标准→画图形→列方程→检验舍去不合理解 知识5 函数与几何结合的线段、面积、最值计算 线段长 坐标法：、、两点距离公式 函数交点：联立解析式求坐标再算长度 面积 规则图形：底×高、割补法 坐标系斜三角形：铅垂高法 水平宽铅垂高 最值 几何最值：垂线段最短、两点之间线段最短、将军饮马(对称化折为直) 代数最值：一次函数→端点最值；二次函数→顶点最值(注意定义域) 通用：转化为函数→求极值→检验范围是否有效 命题预测1：一次函数交点问题 [广州2025年第6题/广东省卷高频] 1．（2026·广东珠海·一模）若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则m的值为（   ） A． B． C．± D． 【答案】C 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积为2列方程求解，即可得到的值． 【详解】解：当时，，则直线与y轴交点为， 当时，，则直线与x轴交点为 ∵直线与两坐标轴围成的三角形面积为 ∴， 解得． 2．（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数图像开口向下得出，再根据对称轴在轴右侧推出，最后结合一次函数的特征，判断图像即可． 【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下， ∴， ∵从图中可知对称轴在轴右侧， ∴根据对称轴公式，得， ∵， ∴ ， 分析一次函数的图像： ，说明直线从左上到右下； ，说明直线与轴交于正半轴； 故符合这两个特征的是选项C． 3．（2024·广东江门·二模）一次函数的图象沿轴向下平移2个单位，那么所得图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减自变量，上加下减常数项”是解答本题的关键． 根据函数图象平移规则，沿y轴向下平移时，函数解析式中的常数项减少平移单位数． 【详解】解：一次函数的图象沿轴向下平移2个单位， 那么所得图象的函数解析式是． 故选：C． 23．（2026·广东茂名·一模）在“桥梁设计”项目式学习中，某数学小组需要分析一种桥拱截面轮廓线的力学特性．该轮廓线对应的函数关系为（单位：米），其中表示距桥面基准线的垂直高度．小组将工程问题抽象为数学问题进行以下探究： (1)列表（完成以下表格）： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 12 5 0 5 12 ．．． ．．． 12 5 3 4 0 5 12 ．．． (2)描点并画出该桥拱截面轮廓线的图象； (3)根据图象完成以下问题： （i）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点，，则不等式的解集是___________； （ii）设函数的图象与轴交于两点（位于的右侧），与轴交于点． ①求直线的解析式； ②探究应用：将直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有3个交点，求此时的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)（i）或（ii）①直线的解析式为；② 【分析】（1）把分别代入和，求出和的值，再填表即可； （2）根据表格中的数据描点，连线可得函数的图象； （3）（i）根据函数图象可得出不等式的解集； （ii）①运用待定系数法求出的解析式即可； ②画出函数图象，当直线平移时发现，直线与二次函数有三个交点时，直线与相切时可得结论． 【详解】（1）解：当时，； 所以，． 当时， 所以，． 补全表格如下： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 12 5 ０ 0 5 12 ．．． ．．． 12 5 ０ 3 4 3 0 5 12 ．．． （2）解：描点，连线如图： （3）解：（i）由图象得： 不等式的解集为：或； （ii）①根据题意得，， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， 所以，直线的解析式为； ②当时，函数解析式为， 当直线沿轴平移个单位后与函数图象相切时，与函数的图象恰好有3个交点， 平移后的直线解析式为， 联立方程得， 整理得， ∵平移后的直线与函数图象相切， ∴方程有相等的实数根， ∴， 解得：． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．求： (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积． (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】(1) (2)，6 (3)，或 【分析】（1）先将B点坐标代入反比例函数中求出m的值，然后将点A点坐标代入可求出A点坐标，接下来结合A与B坐标，利用待定系数法即可求出一次函数解析式. （2）首先令，求出C点坐标，进而将分成两个三角形分别计算面积再加和即可； （3）观察图象可知A点到原点之间与B点的右边区域符合要求，据此写出答案. 【详解】（1）解：∵的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴代入，得，， 解得， ∴， ∴，，代入，得， 解得， ∴ （2）解：由（1）知，，直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴由图象看出，当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围是，或 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的性质，三角形面积公式，函数与不等式的关系，分类讨论，是解题关键． 5．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是正方形，顶点，点B在y轴正半轴上，点C在第二象限，的顶点，． (1)如图1，求点B，C的坐标； (2)将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点A，O，B，C的对应点分别为，，，． 设，正方形与重合部分的面积为S． ①如图2，当时，正方形与重合部分为五边形，直线分别与y轴，交于点E，F，与交于点H，试用含t的式子表示S； ②若平移后重合部分的面积为，则t的值是 ．（请直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；②或6 【分析】（1）根据正方形的性质以及坐标与图形即可解答； （2）①求得是等腰直角三角形，得到，再利用即可求解； ②分当和时两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：由，得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，． （2）解：①∵，，， ∴，， 由平移知，四边形是正方形，得，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时， ． ②当时，依题意，得，解得或（舍去）；当时，点与点N重合，此时， ∴， ∴， 依题意，得，解得或（舍去）， 综上，t的值是或6． 故答案为：或6． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，平移的性质，图形的面积，一次函数的性质等知识，根据题意分别画出图形，通过面积的和差关系求出S关于t的函数表达式是解题的关键． 命题预测2：反比例函数k的几何意义与面积综合 [三地填空必考] 1．（2026·广东珠海·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是4，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】求出点E的坐标为，点F的坐标为，根据进行计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ∵点的坐标为， ∴，， 则点E的坐标为，点F的坐标为， ∴ ， 解得，， ∵反比例函数的图象经过第二象限， ∴． 2．（2026·广东东莞·一模）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且，连接OA、OB，则的面积是__________． 【答案】 【分析】作轴于点，轴于点，则，可得，设，则，根据计算即可． 【详解】解：作轴于点，轴于点，则， ∵， ∴， 设，则， 根据题意可得，， ∴ ． 3．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，延长交图象另一支曲线于点，轴且满足．若的面积为8，则____． 【答案】 6 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数图象的中心对称性可得点的坐标，由轴可知边上的高，根据等腰三角形的性质及 可得的度数，进而确定与的数量关系，利用三角形面积公式求出的值，最后根据求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，其中， ∵点在反比例函数的图象上，即， 又∵反比例函数图象关于原点中心对称，且直线过原点， ∴点与点关于原点对称， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的横坐标为，且轴， ∴点到直线的距离， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∵轴， ∴直线与轴的夹角为， ∴直线与轴的夹角为， ∴，即， ∵，， ∴， 过点作于点，如图， ∵， ∴ ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即，则有， ∴ ． 4．（2026·广东深圳·一模）如图，矩形的边分别落在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，若反比例函数（）的图象经过的中点D且与边交于点E，连接，若的面积为3，则k的值为__________． 【答案】 【分析】设，，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，结合三角形的面积列出方程进行求解即可. 【详解】解：设，则， ∵反比例函数（）的图象经过的中点D且与边交于点E，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为6， ∴， ∴， 由图象可知，， ∴. 5．（2026·广东深圳·一模）如图，过反比例函数图象上一点作垂直于轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，连接交于点，连接，若的面积为，则________． 【答案】 【分析】过点作于点，根据的几何意义结合已知可得，进而证明，得出，进而根据的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵点在 ∴ 又∵的面积为， ∴ ∴ ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点在 ∴ 6．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，的延长线交轴于点，连接交双曲线于点，连接，若，则的面积是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，综合运用以上知识点是解题的关键；连接，作 轴于点，轴于点，轴于点，设 ，证明，可得，，进而求得，证明可得，则，即可得解． 【详解】如图，连接，作 轴于点，轴于点，轴于点， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 把代入得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， 又， ． 故答案为：． 7．（2026·广东东莞·模拟预测）反比例函数和一次函数的图象交于点A和点B，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，AC与BD的延长线交于点E． (1)如图1，当时，当的面积为4时，求k的值； (2)如图2，当b为任意值时，连接，猜想与有什么位置关系，并说明理由； (3)当时，在图1中，延长交反比例函数在第一象限的图象于点M，过点M作轴于点N，过点A作轴于点P，交的延长线于点Q，求证：点C、点M分别为线段和的黄金分割点． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）结合反比例函数和正比例函数的交点，得出点与点关于原点对称，，证明，利用相似三角形的性质得出，即可求出的值； （2）设，表示出相关点的坐标，然后表示出相关线段的长度，利用锐角三角函数得出，利用平行线的判定定理即可得出结论； （3）令，则，求出线段的解析式为，联立解析式求出交点坐标，然后分别求出相关线段的长度，求其比值判定是否为黄金分割点即可． 【详解】（1）解：当时，反比例函数和一次函数的图象交于点A和点B， ∴点与点关于原点对称， ∴， 又∵轴C，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，且双曲线位于第一、三象限， ∴； （2）解：，理由如下： 设， ∵轴C，轴，且AC与BD的延长线交于点E， ∴，， ∴，，， ∴， ， ∴， ∴； （3）证明：如图所示， 令，则， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴， 联立， 解得（负值已舍）， ∴， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， ∴点C为线段的黄金分割点； ∵轴，， ∴直线的解析式为， ∵点Q为和的延长线交点， ∴， ∴， ∴， ∴点M为线段的黄金分割点． 8．（2025·广东湛江·二模）反比例函数在第一象限的图象如图所示，过点作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点M，的面积为2． (1)求反比例函数的解析式； (2)设点B的坐标为，其中．若以为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求t的值． 【答案】(1)； (2)4或． 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象和性质等知识．关键在于结合图形找点的坐标． （1）根据的面积为2，可求出点的坐标，即可求解． （2）分情况讨论即可． 【详解】（1）解：的面积为2，反比例函数的图象经过第一象限， ， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：设正方形为， 当顶点在反比例函数的图象上时，点与点重合，即． 把代入，得， 点的坐标为， ， ； 当顶点在反比例函数的图象上时，， 点的坐标为， ． 整理，得， 解得，（舍去）， 综上所述，的值为4或． 命题预测3：二次函数与特殊三角形综合 [深圳、广州压轴选择] 1．（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与一次函数的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）先得出平移后的函数表达式，将交点问题转换为方程根的问题，由即可求解； （3）设点的坐标为，用表示、、的长度，对的斜边进行分类讨论，结合勾股定理得出方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，，代入 ， 得，解得， 故抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 当时，， 故点的坐标为． （2）解：假设平移后的函数表达式为， 假设直线所在的函数表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线所在的函数表达式为， 由于平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点， 即方程仅有一个实数解， 整理得， 故， 解得． （3）解：假设点的坐标为， ∵，，， ∴，，， 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 故点的坐标为或． 2．（2024·广东汕头·一模）如图，在直角坐标系中，抛物线的顶点为，经过原点，且与x轴交于另一点A． (1)求这个二次函数的解析式，并把它化成一般式； (2)若在第一象限内的抛物线上有一点B，使的面积等于6，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，在此抛物线上是否存在点P，使为以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，再将原点坐标代入求得的值，即可得出了抛物线的解析式； （2）过点B作轴于点D，根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了的长，根据的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标； （3）根据B点坐标由勾股定理可求，分两种情况讨论：当时；当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴ ∴这个二次函数的解析式为：； （2）解：假设存在点B，过点B作轴于点D， ∵的面积等于6， ∴， 当， ， 解得：或3， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点B的坐标为：； （3）解：∵点B的坐标为：， ∴， ∴， 分以下两种情况讨论： 当时，过作轴于， ∴， ∴， ∴， 设P点横坐标为：x，则纵坐标为：，则，， 即， 解得或（舍去）， ∴在抛物线上存在一点； 当时，则， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 令， 解得，， 将代入，得， ∴在抛物线上存在一点； 综上所述：抛物线上是否存在点P，使为以为直角边的直角三角形，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键． 3．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系． (3)连接、，当为何值时？ (4)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)，且 (3)或 (4)存在，点的坐标为或 【分析】（1）直线与抛物线交于、两点，可得点和点坐标，再求出点、的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）根据题意将的面积和的面积表示出来，令，即可解出的值； （4）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点，则点、点． ∵，， ∴点的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为； ∵、点， ∴， 故； ∵直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ∴， 故，且． （3）解：∵， 解得，， ∴点的坐标为． 如图，过点作轴的平行线，交于点， 设点，则点， ∴． 解得或． （4）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， ∴点． ②当时，如图： 此时，则点、关于抛物线的对称轴对称， 点在抛物线上， 由抛物线的对称性可知，点在抛物线上， 又点在直线上， 点与点重合，此时纵坐标为3， ∴点． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，同理可得， 解得（舍去），． 故点． 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等、图形的面积计算等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键． 4．（2025·广东广州·二模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点．则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是______（填序号） (2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值； (3)若将函数的图象绕y轴上一点M旋转，M在下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标． 【答案】(1)③ (2)b的值为或或或0 (3)M不存在 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、新定义、等腰三角形的定义、根的判别式、旋转的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据“平衡点”的定义进行判断即可； （2）根据题意表示出点B，再分三种情况，分别利用勾股定理列方程即可解答； （3）根据题意求出抛物线的顶点，利用根的判别式即可解答． 【详解】（1）解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在中，令得，方程无解， ∴的图象上不存在“平衡点”； 同理可得，的图象上不存在“平衡点”， 的图象上存在“平衡点”． 故答案为：③． （2）解：在中，令，得， 解得或， ∵， ∴； 在中，令，得， 解得， ∴， 当A的坐标为时，C的坐标为， ∴，，， 当，则， 解得； 若，则， 解得或； 若，则， 解得或（此时A，B重合，舍去）； ∴b的值为或或或0． （3）解：设， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∵点关于的对称点为， ∵旋转后的抛物线解析式为， 在中，令，得， ∴， ∵旋转后的图象上恰有1个“平衡点”， ∴方程有两个相等实数根， ∴，即， 解得：， ∴M的坐标为， ∵， ∴M不存在． 5．（2025·广东广州·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，一次函数经过点、、．点是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点，连接． (1)求二次函数和一次函数的解析式； (2)当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)连接，连接交于点，记面积为，面积为，在点运动的过程中，判断是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)的最大值为：． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，过点作于点，由题意可得，轴，从而可得的纵坐标为2，进而得出，求解即可； （3）证明，如图，过作轴交于，而直线轴，可得轴，则，证明，可得，求解，，可得，最后由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为，即． 当，， ∴， 一次函数过点和， 代入，得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：依题意，可设，则， 过点作于点， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴，轴， ∴的纵坐标为2， ∴， 即有， 解得：（舍去）或， ∴． （3）解：∵面积为，面积为， ∴， 如图，过作轴交于，而直线轴， ∴轴，则， ∴， ∴， ∵，直线为， ∴，，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是直线上方二次函数图象上的一个动点， ∴， 而，则有最大值， 当时，的最大值为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 6．（2025·广东云浮·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． (3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 【答案】(1) (2)2 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、两点坐标距离公式等知识，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）先求得点B坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先由待定系数法可得直线的函数解析式为为，而D是中点，有，过点P作轴交于点Q，设，则，即得，则，由二次函数性质可得面积的最大值是2； （3）设，分当时、当时、当时三种情况，结合两点坐标距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的面积为8， ∴，解得， ∴， 将，代入得： ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线为，将代入得：，解得， 直线为， ，，D是中点， ， 过点P作轴交于点Q，如图： 设，则， ， ， ，， 时，有最大值，最大值为2； 即面积的最大值是2； （3）解：由得抛物线的对称轴为直线， 根据题意，设， ∴，，， 若是等腰三角形，分三种情况： 当时，， 则，解得，不合题意，舍去； 当时，， 则，解得，此时； 当时，， 则，解得或， 此时或， 综上，满足条件的点P的坐标为或或． 命题预测4：二次函数与特殊四边形存在性探究 [广州2025年第25题/省卷压轴] 1．（2025·广东深圳·二模）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标； ②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点坐标是或；②存在，点的坐标为，， 【分析】（1）将点A、B、C，代入即可求得抛物线的表达式； （2）①求出直线的表达式为，过作垂直交于和点，可证得，所以，设，则，，，，即可解决问题． ②根据等腰直角三角形的性质求得的点坐标为，分为边和为对角线两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把， ，代入得∶ ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）①设直线的解析式为， 把，代入得∶ ， 解得 直线的表达式为． 过作轴交于， 过作轴交于， ∴， ， ， ， 设， 则， ， ， ∴当时，， ， ， ， 或， 点的坐标为或． ②存在，理由如下： 过点作于，如图， 的对称轴为直线， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ，， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标为， 当为边时， 四边形为平行四边形， ，轴， 点的横坐标与点的横坐标同为， 当时，， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 根据对称性当时， ， ∴时，四边形也是平行四边形． 当为对角线时，如图， 四边形为平行四边形， ，轴， 同理求得：点的坐标为， ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为时，点的坐标为或，时，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及平行四边形的性质． 2．（2024·广东广州·模拟预测）已知抛物线∶，抛物线的顶点为． (1)求抛物线顶点的纵坐标；（用含的式子表示） (2)若抛物线与轴交于位于原点异侧的两点和，且，若两点间的距离不大于6． ①求抛物线的顶点的纵坐标的取值范围； ②若抛物线与轴交于点C，的外接圆与轴交于点D，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①顶点的纵坐标的取值范围为． ②存在，的值为． 【分析】本题考查了抛物线顶点公式、二次函数与坐标轴交点关系、韦达定理、圆的对称性及平行四边形判定（对边平行且相等或对角线中点重合），解题的关键是准确确定、、、 坐标，结合的取值范围（）验证方程解的有效性． （1）用抛物线顶点纵坐标公式直接计算； （2）①由“原点异侧”得，结合求范围，再代入顶点纵坐标表达式求范围； （2）②利用圆的对称性定、坐标，用“对角线中点重合”列方程，筛选出符合范围的解． 【详解】（1）解：对于抛物线，顶点纵坐标公式为 已知，，，代入得： 故答案为：． （2）①解：∵抛物线与轴交于原点异侧的两点、， ∴，即，得； ∴，则， 代入得： ∵， ∴，即，解得； 结合，得 ∵，且 在上随增大而减小， 当时，； 当时，； 故顶点的纵坐标的取值范围为． ②解：点：抛物线与轴交点，令，得，故； 点：外接圆的圆心，、在轴上，故的横坐标为中点横坐标，设； 由（半径相等），得， 化简得，故； 点：与轴的另一交点，轴上、的中点纵坐标等于的纵坐标，即（为的纵坐标），解得，故； 点：抛物线顶点，故 四边形的对角线为与，若为平行四边形，则两对角线中点坐标相等． 中点横坐标：DP与CQ的中点横坐标均为，已相等； 中点纵坐标相等： 两边同乘消分母： 展开并化简：， 即 用求根公式（，，）， 得： 当时，，故，满足； 当时，，不满足，舍去． 故存在四边形为平行四边形，的值为． 答：存在，的值为． 3．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴与抛物线交于点M ． (1)求抛物线的解析式； (2)直线与轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)设直线与轴的交点是D，在线段上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线于点F，试判断的形状，并说明理由； 【答案】(1) (2)存在， (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出顶点，从而可得直线的表达式是，进而可得，，求出得出，再由平行四边形的性质即可得解； （3）由等腰直角三角形的性质可得．，由图并结合圆周角定理可得，，即可得解． 【详解】（1）解：根据题意，设函数为：， 把代入得：， 抛物线对应的函数表达式为； （2）解：存在． 如图：连接、， ∵， 顶点， 设直线的表达式为， 将，代入表达式可得， 解得：，                       ∴直线的表达式是．       在中，令，得，解得． ∴， ∵， 在中，令，得，解得，， ， ． ， 四边形为平行四边形，此时； （3）解：是等腰直角三角形．                理由：在中，令，得，令，得． 直线与坐标轴的交点是，． ， ． 点， ． ．      由图并结合圆周角定理可得，． ，且．                是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—特殊的四边形问题，二次函数综合—特殊的三角形问题，圆周角定理，一次函数与几何综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 4．（2024·广东·模拟预测）已知抛物线，且无论取何值，抛物线都会经过一个定点． (1)求定点的坐标． (2)连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在二次函数的图象上，求的值． (3)在（2）的条件下，点为抛物线的对称轴上一点，点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据“无论取何值，抛物线都会经过一个定点”，由可得的系数等于，可得结论； （2）如图，过点作轴于点，作轴于点，得，，根据旋转的性质得，，证明，得，，继而得到，再根据函数图象上点的坐标特征即可求出的值； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据矩形的对角线相等且互相平分列出方程组求解即可。 【详解】（1）解：∵， 又∵无论取何值，抛物线都会经过一个定点， ∴， 解得：， ∴， ∴定点的坐标为； （2）如图，过点作轴于点，作轴于点， ∴， ∵， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得：， 即的值为； （3）存在，理由： 当时， 该抛物线的解析式为，对称轴为（如上图）， 设，， ∵，， ∴， 当为对角线时，则： ， 解得：， 此时点的坐标为或； 当为对角线时，则： ， 解得：， 此时点的坐标为； 当为对角线时，则： ， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，当点的坐标为或或或时，以，，，为顶点的四边形是矩形 【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，两点间的距离，方程组的应用等知识点，解题的关键是学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 5．（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图，抛物线交x轴于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，交y轴正半轴于点C，且，点P是抛物线对称轴上一动点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P的纵坐标为1，请判断的形状，并说明理由； (3)已知点D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形．理由见解析 (3)存在，点Q的坐标为或或． 【分析】（1）先求得，推出，，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，过点C作直线的垂线，垂足为M，设直线与x轴的交点为N，证明，即可推出是等腰直角三角形； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中， 令，得． ∴， ∴． 又， ∴，． ∴，， 将，代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：是等腰直角三角形． 理由如下： 抛物线的对称轴为直线． ∴， 如图，过点C作直线的垂线，垂足为M，设直线与x轴的交点为N，    ∴． ∵，，， ∴，，，． 在和中，， ∴， ∴，． 又， ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形； （3）解：设点P的坐标为，点Q的坐标为， ∵，对称轴为直线，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得： ①当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； ②当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； ③当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； 综上，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及平行四边形的性质是解题的关键． 6．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知轴上一点，在轴上有一动点，过点作轴，的垂直平分线交于点 ．在点的位置发生变化时，点 的位置也随之改变． (1)试猜想点的运动轨迹是什么曲线?设点，求出关于的关系式； (2)直线与轴的夹角为且与曲线交于第三象限的点 ，求的坐标； (3)在（）的条件下，第三象限内是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点 的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)关于的关系式为； (2)； (3)或． 【分析】（）由垂直平分，则，又，，从而代入即可求解； （）由题意得，，则有，故有，则，设解析式为，则有，解得：，然后联立得，然后解方程并检验即可； （）分当，时，则，由（）得，所以；当，时，则，由（）得，所以． 【详解】（1）解：如图， ∵垂直平分， ∴， ∵点，轴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于的关系式为； （2）解：如图， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设解析式为， 则有，解得：， ∴解析式为， 联立得， 解得：或（舍去）， ∴； （3）解：如图， 当，时， ∴， 由（）得， ∴； 当，时， ∴， 由（）得， ∴； 综上可知：或． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，两点间的距离，二次函数和一次函数的性质，平行四边形的性质，解方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 7．（2025·广东韶关·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线是常数交于、两点，点在轴上，点在轴上．设抛物线与轴的另一个交点为点． (1)求该抛物线的解析式； (2)是抛物线上一动点不与点、重合， ①如图，若点在直线上方，连接交于点，求的最大值； ②如图，若点在轴的上方，连接，以为边作正方形，随着点的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点或恰好落在轴上，直接写出对应的点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点坐标为，， 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，解题的关键是正确进行分类讨论． （1）利用直线解析式求出点、的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）①作交于点，证，得比例线段，则取最大值时，求得的最大值； ②点在轴上时，过点作轴于，根据正方形的性质可证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用二次函数解析式求解即可；点在轴上时，作轴于，作轴于，同理可证得，可得，则点的横纵坐标互为相反数，可求出点坐标；点在轴上时，作轴于，作轴于，同理可证得，可得，则点的横纵坐标相等，可求出点坐标． 【详解】（1）解：直线与坐标轴交于、两点， 当时，，时，， ，， 把，两点的坐标代入解析式得，， 解得，， 抛物线的解析式为 ； （2）①如图，作交于点， ， ， 为定值， 当取最大值时，有最大值， 设，其中，则， ， 且对称轴是直线， 当时，有最大值， 此时，； ②点， ， （i）如图2，点在轴上时，过点作轴于， 在正方形中，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 点的纵坐标为， ， 解得，， ∴，， （ii）如图，点在轴上时，作轴于，作轴于， 同理可证得， ， 点的横纵坐标互为相反数， ∴， 解得：(舍去)，， ∴， 如图，点在轴上时，作轴于，作轴于， 同理可证得 ， 点的横纵坐标相等， ， 解得，舍去， ， 综合以上可得点坐标为，，． 8．（2025·广东广州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是轴上的动点，直线与抛物线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)G点坐标为或 (3)Q点坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角函数值的定义，正方形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意求出，可得，则点或，分别求直线与抛物线的交点即可； （3）根据正方形的性质和抛物线的对称性可知Q点横坐标为2，，设，则，，再由，得到，解得或，当与时，；当与时，． 【详解】（1）解：将点，代入中， ∴， 解得， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵轴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或， 当时，设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 当时，同理可得直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 综上所述：G点坐标为或； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴关于直线对称， ∵线段为对角线作正方形， ∴轴，且P、Q点在对称轴上， ∴Q点横坐标为2，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得或， 当与时，； 当与时，． 综上所述：Q点坐标为或． 命题预测5：函数与圆的综合 [深圳压轴题涉及] 1．（2025·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，，，分别以点，为圆心，1为半径作，，点，分别在，上，点在直线上，连接，．则的最小值为___________． 【答案】 【分析】作关于直线对称的，点关于直线对称的，连接，连接，可知当、、、四点共线时，有最小值，进而求解． 【详解】解：如图，作关于直线对称的，点关于直线对称的，连接， 则有， 连接，可知当、、、四点共线时，有最小值； 如图， 对于直线，当时，；当时，； ∴，， 设，则有，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的最小值为． 2．（20-21九年级上·福建龙岩·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 令，则， 故点， ∵， ∴， 设圆的半径为，则，    ∵点Q、O分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， 则此时最大， 此时， 故答案为：． 3．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点. (1)求双曲线的解析式： (2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值 (3)求线段OQ长度的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求出点A的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）由题意得平移后的直线解析式为，如图所示，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，先证明O、C、D三点共线，求出OD=DH，OH的长即为m的值，据此求解即可； （2）如图所示，连接PB，PC，BC，证明OQ是△PAB的中位线，把求OQ的最大值转化成求PB的最大值，即转化成求圆外一点到圆上一点距离的最大值，由此求解即可． 【详解】（1）解：∵点A（1，a）在直线y=x上， ∴a=1， ∴点A的坐标为（1，1）， ∴把点A坐标代入到反比例函数解析式得， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由题意得平移后的直线解析式为， 如图所示，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E， ∴点H的坐标为（0，m） ∴OH=m， ∵点C（-2，2）， ∴CE=OE=2， ∴∠COE=45°， ∴∠DOH=45°， 同理可证∠BOE=45°， ∴∠BOC=90° ，即OC⊥AB， ∵直线与直线AB平行， ∴OC与直线垂直， 又∵直线与圆C相切于点C， ∴CD与直线垂直， ∴C、O、D三点共线， ∵圆C的半径为1， ∴， ∵∠ODH=90°，∠DOH=45°， ∴∠DHO=45°， ∴， ∴， ∴ 同理当切点D在圆O上方时可以求得， 综上所述，若平移后的直线与⊙C相切，或； （3）解：如图所示，连接PB，PC，BC， 由对称性可知A、B关于原点对称，即O是AB的中点， ∴点B的坐标为（-1，-1）， ∵Q是AP的中点， ∴OQ是△APB的中位线， ∴， ∴要想OQ最大，则PB最大， ∵， ∴当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC， ∵点C（-2，2），点B（-1，-1）， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆与函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形中位线定理，熟知相关知识，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 4．如图，抛物线的图象与x轴交于点、与y轴交于点C，顶点为D．以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点． (1)试用含a的代数式表示c； (2)若恒成立，求出此时该抛物线解析式； (3)在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长． 【答案】(1) (2) (3)点Q在以中点为圆心的半圆上运动，点Q的路径长为 【分析】（1）根据点点、可得该函数的解析式为，展开括号即可进行解答； （2）根据点Q为的中点，且，可得点D在上，进而得出点D的坐标，即可求解； （3）根据题意得，则点Q在以为直径的圆上运动，求出点P与点A和点B重合时点Q的坐标，进而得出轴，，则点Q在以中点为圆心的半圆上运动，再根据圆的周长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与x轴交于点、， ∴该函数的解析式为， ∴． （2）解：连接， ∵P是半圆上一点，点Q为的中点，且， ∴点D在上， ∴， ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为：； （3）解：∵， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， ∵、，， ∴当点P与点B重合时，，即， 当点P与点A重合时，，即， ∴轴，， ∴点Q在以中点为圆心的半圆上运动， 点Q的路径长为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与圆的综合，解题的关键是掌握垂径定理，用待定系数法求解二次函数表达式的方法，点的运动轨迹，点与圆的位置关系． 5．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，过点的抛物线与直线交于另一点，且点的横坐标为1 （1）该抛物线的解析式为　 　； （2）如图1，为抛物线上位于直线上方的一动点（不与、重合），过作轴，交 轴于，连接，为中点，连接，过 作交直线于，若点的横坐标为 ，点的横坐标为，求与的函数关系式；在此条件下，如图2，连接并延长，交 轴于，连接，求为何值时，． （3）如图3，将直线绕点顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点，点为线段上的一动点（不与 、重合），以点为圆心、以为半径的圆弧与线段交于点，以点 为圆心、以为半径的圆弧与线段交于点，连接．在点 运动的过程中，四边形的面积有最大值还是有最小值？请求出该值． 【答案】（1）；（2）；；（3）存在最小值， 【分析】（1）先求出点、的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线解析式； （2）过点作轴于，于，先证明、、三点在以为圆心为半径的上，再证明，然后得到，，再设，通过建立关于的方程，解方程即可； （3）设，四边形的面积为，过作，垂足为，利用三角函数和三角形面积关系即可得到结论． 【详解】解：（1）直线与轴交于点， 令，则， 点为， 直线经过点，点的横坐标为1， 点的纵坐标为：， 点为：， 把点、代入，得： ， 解得：， 抛物线解析式为． （2）如图1，过点作轴于，于， 设直线与轴交于点， 当时，， ， ， ， ， ， ， 、、三点在以为圆心为半径的上， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，，， ， ，． 如图2，连接并延长，交轴于，连接， ，， ， 为中点，即， ， ， 解得， 时，． （3）四边形的面积有最小值． 设，四边形的面积为， 是抛物线对称轴上一点， ． 直线绕点旋转， ， 是等边三角形， ，， ，， 如图3，过作，垂足为， 则， ， ． 在点运动的过程中，四边形的面积有最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，三角函数、三角形面积、二次函数的图像和性质、旋转的性质等重要知识点，解题时必须认真审题，熟练运用相关知识，运用数形结合、方程思想和转化思想思考问题和解决问题． 6．如图1，经过点B(1，0)的抛物线与y轴交于点C，其顶点为点G，过点C作y轴的垂线交抛物线对称轴于点D，线段CO上有一动点M，连接DM、DG． （1）求抛物线的表达式； （2）求的最小值以及相应的点M的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，以点A(﹣2，0)为圆心，以AM长为半径作圆交x轴正半轴于点E．在y轴正半轴上有一动点P，直线PF与⊙A相切于点F，连接EF交y轴于点N，当PF∥BM时，求PN的长． 【答案】（1）；（2）最小值，M(0，)；（3） ． 【分析】（1）将点B的坐标代入解析式即可求出a的值，即可确定函数解析式； （2）过点O作直线l与x轴夹角为α，且，α＝45°，过点M作MH⊥直线l于H，推出，则当D、M、H共线时，的值最小，最后求出DH的长即可解答； （3）连接BM，延长FA交y轴于J．想办法求出FJ，根据tan∠FPJ＝tan∠OMB，可得＝，由此构建方程求出PF，再证明PN＝PF即可解决问题． 【详解】解：（1）∵抛物线，经过点B(1，0)， ∴0＝4a﹣， ∴a＝ ∴． （2）如图1：过点O作直线l与x轴夹角为α，且，α＝45°，过点M作MH⊥直线l于H， 则有， ∴， ∴， ∴， ∴当D，M，H共线时，的值最小， ∵D(﹣1，﹣)，直线l的解析式为y＝﹣x， ∴直线DH的解析式为y＝x﹣， 由，解得， ∴H(，﹣)，M(0，)， ∴DH＝＝， ∵DG＝﹣+＝， ∴的最小值==． （3）如图2中，连接BM，延长FA交y轴于J． ∵A(﹣2，0)，M(0，﹣)， ∴AM＝AF＝＝， ∵B(1，0)， ∴直线BM的解析式为y＝x﹣， ∵PF是⊙A的切线， ∴PF⊥AF， ∵PF∥BM， ∴AF⊥BM， ∴直线AF的解析式为y＝﹣x﹣， ∴J(0，﹣)， ∴AJ＝＝， ∴FJ＝AF+AJ＝， ∵PF∥BM， ∴∠FPJ＝∠OMB， ∴tan∠FPJ＝tan∠OMB， ∴＝， ∴＝， ∴PF＝， ∵AF＝AE， ∴∠AFE＝∠AEF， ∵∠AFE+∠PFN＝90°，∠AEN+∠ONE＝90°，∠PNF＝∠ENO， ∴∠PFN＝∠PNF， ∴PN＝PF＝ ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、一次函数的性质、垂线段最短，解直角三角形等知识，正确利用垂线段最短解决最值问题是解答本题的关键． 命题预测6：函数背景下线段周长问题 [三年必考] 1．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图像交轴于点，与轴交于点．其中． (1)求该抛物线的解析式与顶点坐标． (2)点为中点，是轴下方抛物线上的一个动点，连接，，，，问是否存在点，使得．若存在，求点的坐标；若不存在，请给出理由． (3)如图2，点关于点的对称点为为线段上一点，连接，为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2)点为或； (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数面积综合，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）不妨设，那么，那么，不妨设抛物线为，代入，即可求得，从而得到抛物线的解析式，然后再求得其顶点即可； （2）先求得，然后设交轴于点，不妨设，设直线为，代入，，求得直线的表达式，然后求得直线与轴的交点，然后利用列出方程求得答案； （3）先利用待定系数法求得直线为，不妨设，过点作于，过点作于点，先证明，通过对应边成比例，表示出点坐标，然后找的点的轨迹方程为，当的值最小时，即取得最小值，那么作点关于的对称点，连接交于点，当点与点重合时，取得最小值，且最小值为，此时，然后求得直线的表达式，联立直线与求得点坐标，最后利用勾股定理求得长度． 【详解】（1）解：不妨设，那么， ， 不妨设抛物线为，代入， ， 或（舍去）， ， ， 顶点坐标为； （2）解：设交轴于点，如图所示： 由（1）可知，， ， ， ， 点为中点， ， 不妨设，设直线为，代入，，得到， ， 直线为， 当时，， ， ， ， ， 或， 当时，，此时点为； 当时，，此时点为； 综上，点为或； （3）解：设直线为代入，那么有 ，解得， 直线为， 点关于点的对称点为， ， ， 不妨设，过点作于，过点作于点，如图所示： ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 点永远在上运动， 设交轴于点，交轴于点，连接、，如图， 当时，；当时，； 即， 为等腰直角三角形， ， ， ， 当的值最小时，即取得最小值， 那么作点关于的对称点，连接交于点，如图， 根据对称可知，，，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 当点与点重合时，取得最小值，且最小值为，此时， 设直线为，代入，， 那么有，解得， 直线为， 联立直线与，有， 解得， ， 过点作轴，如图所示： ，， ， ． 故． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线交x轴于点，，交y轴于点C，，点E是线段上一动点，作交线段于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，延长线段交抛物线第一象限的部分于点G，点D是边中点，当四边形为平行四边形时，求出G点坐标； (3)如图2，M为射线上一点，且，将射线绕点E逆时针旋转，交直线于点N，连接，P为的中点，连接，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，最小值为 【分析】（1）用待定系数法进行解答即可； （2）根据已知P点的横坐标为m，可得点P和D的坐标，用m的代数式表示和，根据相似三角形的两种情况，由两直角边对应成比例，列出m的方程即可； （3）证明点P在直线上运动，再利用轴对称的性质解决最短问题即可． 【详解】（1）解：∵点， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， 把点代入抛物线中得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：如图1中，连接． ∵，， ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 把点G的坐标代入，得到，， 解得或， ∴或． （3）解：存在．如图，过点M作于T，过点N作于J，过点P作于H，连接．设，则． ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点P的运动轨迹是直线， 作点A关于直线是对称点，连接交直线于，连接，此时的值最小， 最小值． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数，二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，两点的距离公式，二次函数的最值等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用轴对称解决最短问题． 3．（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1)； (2)周长的最大值为，此时点P的坐标为； (3)存在，坐标为或． 【分析】（）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （）设，则，；求出，，可得，即可知是等腰直角三角形，故，有，根据二次函数性质可得答案； （）当在轴上方时，延长，交于，求出，设新抛物线函数表达式为，把代入可解得新抛物线函数表达式为，可得，而直线函数表达式为，设，根据，，得，即，解得m得，故直线函数表达式为，联立，即可解得；当在轴下方时，设关于x轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，同理可解得 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：设， 轴，H在直线上， ， ； 在中，令得，令得， ，， ， ， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 的周长的最大值为，此时点P的坐标为． （3）解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下： 当在轴上方时，延长，交于，如图： 在中，令得或， ， 由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， 新抛物线函数表达式为， 把代入得：， 解得舍去或， 新抛物线函数表达式为， 在中，令得或， ， 由，可得直线函数表达式为， 设， ，， ， ， ， ， 解得， ， 由，可得直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点， 由，得直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，待定系数法求解析式，等腰直角三角形判定与性质，二次函数图象与几何变换等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 4．（2025·广东东莞·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点，是线段上的动点点在点的右侧，且，是否存在这样的点、使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)动直线：与抛物线交于、两点，以为直径的圆与上方的抛物线始终交于一定点，请求定点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，此题计算量较大，准确地计算是解题的关键． （1）根据正切的定义求得，进而得出的坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，根据，得到方程，求出的值即可求点坐标； （3）设，，由，可得，，设为直径的圆的圆心为，则，则，设，根据，可得，由是定点，可知，即可求点坐标． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 将，，代入， ∴， 解得， ∴； （2）存在这样的点、使得，理由如下： 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设， ∵， ∴， 解得(舍)或， ∴； （3）设，， ， 整理得， ∴，， 设为直径的圆的圆心为，则， 如图，过点作，轴， ∴， ∴， 设， ， ， 整理得， 是定点， ， ． 5．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标； (3)点D是线段上一点，且的面积是12． ①求点D的坐标； ②将线段绕点O逆时针旋转得到，旋转角为，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)①；②的最小值 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）分两种情况：点在上方和点在下方分别进行解答即可； （3）①根据求出即可得到答案；②在轴上取一点使得，连接，在上取一点使得．证明，得到．得到，此时最小（两点间线段最短，共线时），即可求出答案即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点，与轴交于点， ，解得． 抛物线的表达式为； （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴， ①当点在上方时，如图2， ， ∵点的纵坐标相等， 点的纵坐标为4，令，则， 解得：（舍）或， ； ②当点在下方时，如图3， 设交轴于点， ， ． 设， ， 在中，， ， 解得：， ， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． ． ， 解得：（舍），， ． 综上：点的坐标为或． （3）解：①， ， ， ， ②如图，在轴上取一点使得，连接，在上取一点使得． ， ， ， 又， ， ． ． ， 此时最小（两点间线段最短，共线时）， 的最小值． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法求函数解析式、勾股定理等知识，分情况讨论是关键． 命题预测7：函数与几何结合的面积最值计算 [省卷、广州解答题] 1．（2024·广东·模拟预测）如图所示，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点坐标，过点且垂直轴的直线交抛物线于点．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用三角形的面积求参数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 连接，假设，根据二次函数图象和性质表示出相关点的坐标，利用等面积法，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由点坐标，得， 当时，，即， 假设， ∴， ， ， ∴ 即， 整理得， 将代入得， ， 解得或， ∵点位于正半轴， ∴， 解得， ∴符合题意， 故选：A． 2．（2026·广东广州·一模）已知抛物线，点，纵坐标为的点在抛物线上，且，过点作直线交抛物线于点，． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②10 【分析】（1）设，则，然后利用两点距离公式得到关于a的一元二次方程，解方程即可； （2）①设，，利用待定系数法表示出直线的函数表达式为，设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，分别与抛物线联立，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到，，，从而求得，即可解答； ②根据①中所求，可得，，然后利用完全平方公式的变形求得，，接着根据面积公式可求得面积和，即可利用二次根式的性质求得最小值． 【详解】（1）解：根据题意，设，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）①证明：根据题意，设，，直线的函数表达式为， 则， 解得， ∴， ∵过点作直线交抛物线于点，． ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴； ∵，直线交抛物线于点， ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， ∴对于直线，当时，， ∴直线过定点； ②解：由①可得，，；，， 直线过定点，如图： ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴与面积和的最小值为10． 3．（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 【答案】(1)； (2)点为线段中点 (3)直线过线段中点，证明见解析 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数有关面积的问题，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． （1）设点，结合题意求出点，得到的值，再联立二次函数和一次函数得到交点坐标，根据三角形面积公式，得到面积关于的二次函数，求解即可； （2）由（1）得出点的坐标，再求出点的中点坐标，比较即可得出关系； （3）设抛物线解析式为，直线，点，求出点，得到为关于的二次函数，再根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴ ∵直线与抛物线交于两点， ∴， 解得：，， 当时，；当时，， ∴，． ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大为， ∵把代入点中， ∴点； （2）由（1）得，当时，有最大值， ∴将代入点得：点， ∵，， 点的中点坐标为点，即点， ∴点和点重合， ∴当面积最大时，点为线段的中点； （3）猜想：当直线过线段中点时（或），最大． 证明：设抛物线解析式为：，直线：， 直线与抛物线交于两点，设， ∴则方程的解为：，， ∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴，即为关于的二次函数， ∵当时，，， 由二次函数对称性知，当时，有最大值， ∵ ∴当时，有最大值， ∴，即点为线段中点． ∴当直线过线段中点时（或），最大． 4．（2025·广东清远·三模）如图，经过，两点的抛物线交轴正半轴于点，以点为圆心，长为半径作交轴另一点于点，交轴正半轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)过点作的切线与抛物线交于点，若点的纵坐标为，四边形的面积为（A、E、F不共线） ①求与的函数关系式； ②若和相似，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】（1）根据同圆的半径相等可得点B的坐标，由勾股定理可得点D的坐标； （2）①先确定点F的坐标为，根据交点式设抛物线的解析式为：，将点F的坐标代入可得，最后根据面积差即可解答； ②分两种情况：如图2，或，列比例式可得t的值，代入①中的函数关系式计算即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （2）解：①∵是的切线， ∴， ∵经过，两点的抛物线交y轴正半轴于点E， ∴设抛物线的解析式为：， 把点F的坐标代入得：， ， ∴， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴ ； ②在中，，， 分两种情况： （i）如图2，， ∴， ∴， ∴， ∴； （ii）当时， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，四边形的面积为或． 【点睛】本题考查圆，二次函数综合应用，涉及待定系数法，圆的切线的性质，多边形的面积，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是利用分类讨论的思想解决相似三角形的问题． 5．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图1，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交直线于点G，求面积的最大值； (3)如图2，点M在线段上（点M不与点O重合），点M、N关于原点对称，射线分别与抛物线交于P、Q两点，连接，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别令，，即可求解； （2）由题意得可推出是等腰直角三角形，，求出直线的解析式；设，则，可得，根据 即可求解； （3）设，则，分别求出直线和的解析式，与抛物线方程联立可得，；据此即可求解； 【详解】（1）解：令，则； 令，则，解得； ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为 ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， ∴当最大时，的面积最大； 当时，有最大值，的面积有最大值； （3）解：设，则， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴， 同理可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，重点涉及了二次函数与面积问题，设点，由点的坐标表示线段的长度，进而表示图形的面积是解题关键． 命题预测8：函数与相似三角形的综合应用 [三地压轴核心考点] 1．（2025·广东珠海·一模）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上． （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 【答案】（1）双曲线的解析式为；抛物线的解析式为；点在双曲线上；（2）见解析；（3）点的坐标为或 【分析】（1）待定系数法先求出k的值，即可得到反比例的函数解析式，再将，代入中，解方程组即可得到抛物线的解析式；进而得到点D的坐标，分别作轴，轴，分别交轴于、两点，证明，得到点Q的坐标，即可判断； （2）证明，即可得到结论； （3）分与重叠部分是点，与重叠部分是点，两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）把代入中， ∴ ∴双曲线的解析式为 把，代入中，可得方程组 ， 解得 ∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线 ∴ 点在双曲线上，理由如下： 分别作轴，轴，分别交轴于、两点，如图 ∴ ∵把点绕点顺时针旋转得到的对应点 ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴ ∴，， ∴ ∴点在双曲线上． （2）∵双曲线与抛物线对称轴交于点， ∴， ∴ ∵，抛物线对称轴为直线，、关于对称轴对称， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ （3）①当与重叠部分是点时，如图 分别作轴，轴，分别交轴于、两点 ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， 点的坐标为． ②当与重叠部分是点时，如图 ∴点在线段上 ∵抛物线解析式为， ∴ ∵， 设的解析式为， 把和代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴设的坐标为 ∵， ∴ 解得，（舍去） ∴点的坐标为． 综上：点的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并综合应用有关性质进行求解． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，抛物线过，两点，且交轴于另一点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点为第一象限内抛物线上一点，且点的横坐标为，请用含的代数式表示点到直线的距离； (3)抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点到直线的距离 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（）求出直线的解析式，进而得到点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （）过点作轴的平行线交于点，作于点，由平行线的性质可得，进而得到，设，则，可得，再根据锐角三角函数的定义解答即可求解； （）当点在轴上方时，则点，，为顶点的三角形与全等，可得；当点在轴下方时，分和两种情况，利用相似三角形和二次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：把代入，得， ∴ 把代入得，， ∴， ∴一次函数， 把代入，得， ∴ ∴， 把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴的平行线交于点，作于点， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下： ①当点在轴上方时，则点，，为顶点的三角形与全等， 此时点与点关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； ②当点在轴下方时， （）当时，，则， 由勾股定理得，， 又∵， ∴， 过点作轴于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ，，，， ∴， ，， ∴， ∴点的横坐标为， ∵点在抛物线上， ， 根据点的对称性，当点在第三象限时，符合条件的点， ∴点的坐标为：或； （Ⅱ）当时，如图， 则直线， ∴可设直线的表达式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立函数解析式，得， 解得或（不合，舍去） ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，为顶点的三角形与不相似，故舍去， 同理的对称点同样不合； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，二次函数的几何应用，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等，理解题意是解题的关键． 3．（2025·广东珠海·三模）如图，已知抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，当点P在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点D，若，求k的最大值； (3)已知M是直线上一动点，将点M绕着点O旋转得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）把点A，B，C的坐标代入，解出a，b，c即可； （2）过点P作轴，交于点F，过点B作轴，交于点E，设直线的解析式为，求出的解析式，根据点B的坐标，求出点E的坐标，根据相似三角形的判定和性质，则，推出，根据，利用二次函数的性质即可； （3）分两种情况讨论：当点M绕点O顺时针旋转得到点Q，过点Q作轴交于点T，过点M作轴交于点K，得到，，，设点，则，，得到点；当点M绕点O顺时针旋转得到点Q，过点Q作轴交于点T，过点M作轴交于点K，同理求出代入函数解析式即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点P作轴，交于点F，过点B作轴，交于点E， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设点，且， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，， ∴点， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，k有最大值， ∴k的最大值为； （3）解：分以下两种情况讨论： 当点M绕点O顺时针旋转得到点Q，过点Q作轴交于点T，过点M作轴交于点K， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点M在直线上， ∴设点， ∴，，，， ∴点， ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得，， ∴点或； 当点M绕点O逆时针旋转得到点Q，过点Q作轴交于点T，过点M作轴交于点K， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点M在直线上， ∴设点， ∴，，，， ∴点， ∴， 解得，， ∴点或； 综上所述，点M的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，主要考查二次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线是解题的关键． 4．（2025·广东揭阳·三模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与轴交于点，顶点是点D，交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)以为直径作，判断与的位置关系，并说明理由； (3)若抛物线对称轴上存在点，使得与相似，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)与相切，见解析； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查的是待定系数法求抛物线解析式，判定直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质；掌握切线的判定方法，作出合适的辅助线以及熟记相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）将点坐标代入表达式，求解即可； （2）先求出抛物线的顶点坐标，后过点作轴于点，证明即可； （3）由于相似三角形对应点尚不明确，所以分两种情况讨论，再根据相似三角形的性质即可求出坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，， 解得 抛物线的解析式为． （2）与相切， 理由：如图（1），令， 解得，． ， ， 又 ， ， 过点作轴于点． 抛物线的对称轴为直线，顶点． ， ， ， 又为直径， 与相切． （3）如图（2）：设抛物线对称轴与轴交于点，则． ，且点在抛物线对称轴上． 若与相似，则分以下两种情况： 当时，点与点重合， 当时，如图（2）， ， ， ． 点的坐标为或． 5．（2025·广东东莞·模拟预测）【问题情境】如图，抛物线的顶点为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点的坐标为． 【知识技能】（1）求抛物线的解析式； （2）若点为直线上方抛物线上一点，请选择以下任意一个问题作答： 选择1：求面积的最大值； 选择2：连接交直线于点，求的最大值； 【拓展探究】（3）过点作交抛物线于点（异于点），在轴上求一点，使得和相似． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）选择1：面积的最大值为；选择2：的最大值； （3）当或时，和相似． 【分析】本题考查的是二次函数与图形的综合应用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，三角形相似的判定综合． （1）已知抛物线顶点坐标和抛物线上一点坐标，可利用顶点式设抛物线解析式，再代入已知点坐标求解； （2）选择1：要求面积的最大值，可通过设点P坐标，将的面积表示为关于点P横坐标的函数，再根据D函数性质求最大值． 选择2：求的最大值，可通过设点P坐标，利用相似三角形的性质将表示为关于点P横坐标的函数，再求最大值； （3）要求使得和相似的点M的坐标，需要先求出相关线段的长度和角度，再根据相似三角形的性质分情况讨论求解． 【详解】解∶ （1）顶点为， 设抛物线的解析式为． 将点代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）选择1∶如图1，过点P作轴，交于点Q， 抛物线的解析式为，交轴于点， 时，． ． 设直线的解析式为，将，代入， 得，解得 直线的解析式为． 设，则， ． ， ． ， ， 当时， 面积为最大值，最大值为． 选择2∶如图2，过点P作轴，交于点Q， 设，由“选择1”可得，， 轴， ． 又， ． ． ，， 当时，取得最大值，最大值为． (3)画出示意图如图3， ，直线的解析式为， ， ． 交抛物线于点E， 可设，其中． ， ． ． 轴平分． ∴点E关于x轴对称的点在直线上， ，其中， 解得， (舍去)，此时． 分类讨论如下∶设， 当时， ． ，顶点， ． ． 又， ，， ，解得，(舍去) ∴．此时； 当时 ， ，即． 解得， (舍去)， ∴此时． 综上，当或时，和相似． 命题预测9：函数与几何综合的新定义探究题 [广州、深圳压轴创新考] 1．（2025·广东清远·二模）【问题背景】探究二次函数的性质与图像的变化规律． 【初步探究】如1图，我们将二次函数的图象向下平移得到图象，过图像上的动点作轴，交的图像于点． 问题（1）点在上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若不变，请求出定值；若变化，请说明理由． 【拓展探究】如2图，线段分别交轴、轴于点．平移得到，且使其顶点始终在线段上．过图像上的点作轴，交的图像于点． 问题（2）若的顶点在线段的中点，且，求点的横坐标． 问题（3）若点的横坐标为的顶点横坐标为的长为，求的最大值． 【答案】（1）的长度不变， （2）点的横坐标为或 （3）的最大值为26 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，平移的性质是关键． （1）根据图形平移的性质求解即可； （2）根据直线与坐标轴交点得到的顶点坐标为，的函数解析式为，设，当点在点上方时，当点在点上方时，代入计算即可求解； （3）根据题意得到顶点为，的函数解析式为，，当点重合时，，解得，分别代入，结合图形分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）的长度不变，，理由如下： 是由向下平移2个单位长度得到， 对应的函数值相差2， ． （2）将代入，得， 将代入，得， 顶点在中点， 的顶点坐标为， 的函数解析式为， 设， 当点在点上方时，，则； 当点在点上方时，，则； 点的横坐标为或． （3）的顶点横坐标为， 顶点为， 的函数解析式为， 将代入，得， ， ， 当点重合时，， 解得， ∴当时，， ，对称轴为直线， 当时，随的增大而增少， 当时，的最大值， 当时，， ，对称轴为直线， 当时，的最大值， ， 的最大值为26． 2．（2025·广东揭阳·一模）如图1，过点的抛物线与直线交于点．点是线段上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点．设的面积为，点的横坐标为． (1)求出的值及抛物线的解析式． (2)为探究最大时点的位置，甲、乙两同学结合图形给出如下分析： 甲：借助的长与三角形面积公式，求出关于的函数关系式，可确定点的位置． 乙：当点运动到点或点时，的值可看作0，则当点运动到中点时，最大，即最大时，点为的中点． 请参考甲的方法求出最大时点的坐标，进而判断乙的猜想是否正确，并说明理由． (3)拓展探究：如图2，直线与任意抛物线相交于、两点，是线段上的一个动点，过点作抛物线对称轴的平行线，交该抛物线于点．当的面积最大时，点一定是线段的中点吗？试作出判断并说明理由． 【答案】(1)， (2)的坐标为，乙的猜想是正确的，见解析 (3)点一定是的中点，见解析 【分析】（1）根据直线经过点，代入直线关系式，求出n的值即可；用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设，得出，求出，根据二次函数的性质得出当即时，最大，此时点的坐标为，根据中点坐标公式，求出结果即可； （3）将图2中的抛物线放置在平面直角坐标系中，抛物线对称轴平行于轴．设的面积为，点的横坐标分别为．根据甲的方法可知，是的二次函数，其中，图象是开口向下的一段抛物线，记作“抛物线”，抛物线过与两点，这两点关于抛物线的对称轴对称，根据解析（2）可知，当时，最大，此时点恰为的中点，即可得出答案． 本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，解题的关键，熟练掌握二次函数的性质． 【详解】（1）解：直线经过点， ， ， 把代入抛物线，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：乙的猜想是正确的．理由如下： 设， ， ， ， ∴当即时，最大，此时点的坐标为， ， 设线段的中点为，则由线段中点坐标公式可得，即 的坐标为， 重合，即为的中点， 乙的猜想正确． （3）解：点一定是的中点，理由如下： 将图2中的抛物线放置在平面直角坐标系中，抛物线对称轴平行于轴．设的面积为，点的横坐标分别为． 由甲的方法可知，是的二次函数，其中，图象是开口向下的一段抛物线，记作“抛物线”， 当或，即点与点或点重合时，． 抛物线过与两点，这两点关于抛物线的对称轴对称， 当时，最大，此时点恰为的中点． 即当的面积最大时，点为的中点． 3．（2025·广东惠州·一模）探究如下问题： (1)【观察猜想】 ①如图1，在平面直角坐标系中，已知y轴上的定点F，x轴上的动点M，连接．作的垂直平分线，过M作x轴的垂线和相交于P，连接，则___________ （用“>”“<”或“=”填空）． ②请在图1作出对应的（保留作图痕迹），并猜想，到一个定点的距离与到一条定直线距离相等的点P形成的曲线是___________； (2)【探究证明】如图2，在平面直角坐标系中，已知定点，定直线，为点到直线上的距离，当满足时，请求出点P的坐标x与y满足的关系式； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，过点F的直线与动点P组成的曲线相交于A、B， ③如图3，以线段为直径作圆C，求证：圆C与定直线相切；（梯形中位线定理，梯形的中位线长度等于上底与下底之和的一半．） ④如图4，当时，求证：． 【答案】(1)①；②抛物线 (2) (3)见解析 【分析】（1）①根据垂直平分线的性质直接判断即可，②根据题目要求画出点，根据所画点的位置解答即可； （2）根据，利用点的坐标列出方程，化简方程即可得出函数关系式； （3）③过A作垂直直线于D，过C作垂直直线于E，过B作垂直直线于G，根据梯形中位线证明即可；④过A作垂直y轴于H，过B作垂直y轴于K， 利用三角函数表示出，再计算推理即可． 【详解】（1）解：①因为的垂直平分线，过M作x轴的垂线和相交于P，连接， 所以； ②对应的（保留作图痕迹）如图所示：            通过观察，可以发现到一个定点的距离与到一条定直线距离相等的点P形成的是一条曲线，猜想它是抛物线． （2）解：已知，定直线，则﹐ ∵， ∴ 两边同时平方得： 整理得： 故点P的坐标x与y的关系式：． （3）③过A作垂直直线于D，过C作垂直直线于E，过B作垂直直线于G， 则， 由（1）（2）可知，， ∴， 故是的半径，且与相切，即以为直径的与相切． ④当时，点定，定直线， 过A作垂直y轴于H，过B作垂直y轴于K， 设，则在中，， ∵， ∴， 又由（1）（2）可知，， ∴， 解得：， 同理可得：， 故． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、圆的切线和证明比例，解题关键是熟练运用垂直平分线的性质和圆的切线的判定进行证明和推理． 4．（2026·广东东莞·一模）【问题情境】 绕点A逆时针旋转得，连接、，恰好点落在线段上． 【数学思考】 (1)如图1，求证：； 【探究实践】 (2)如图1，已知，，求的长； 【拓展提升】 (3)如图2，当时，过点作交于点，连接，求的面积的最大值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)； (3)的面积的最大值是． 【分析】（1）由旋转可得，，，可得，，可得，即可证得结论； （2）由旋转可得，，，，可得，证明，可得，解直角三角形，可得，，根据勾股定理可得，可得，，即可得的长； （3）由旋转可得，，，，解直角三角形可得，由平行线的性质，结合等角对等边，可得，证明，可得，，设，则，，可得，即可得的面积的最大值． 【详解】（1）证明：由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：由旋转可得，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． （3）解：由旋转可得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∴（当时取等号）， ∴的面积的最大值是． 5．（2025·广东深圳·三模）在物理实验中，光线从空气中射入液体中会发生折射现象．某学习小组设计了如图所示的实验．水槽横截面为矩形，，为水槽水面的中点，水深．如图（a），小明同学从高出水面的处发出一束激光，射到水槽水面上的处，光在水中的路径为，为水槽底部的中点，测得．（图中点，，，在同一直线上；点，，，，在同一直线上） 【问题初探】 （1）如图（a），，分别为入射角、折射角，则________，________． 【深入探究】 （2）小组成员探究如何才能使折射光线经过点． ①小张同学设计了如图（b）所示的实验，在保持光线出发点、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点，请求出增加的水面高度的值． ②小刚同学设计了如图（c）所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点降至点，也能使得折射光线经过点．请求出下降高度的值． 【问题拓展】 （3）小组讨论后，认为在保持入射角、折射角不变的条件下，将光线出发点的高度降低，同时增加水面高度，也能使得折射光线经过点，请求出与之间的函数关系． 【答案】（1），（2）①为②（3） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，一次函数的实际应用： （1）利用正切的定义，进行求解即可； （2）①作，设，解直角三角形，求出的长，根据，列出方程进行求解即可；②，求出，的长，设为，解直角三角形，求出的值即可； （3）设下降后的光线为，水面上升至，延长交于点，分别求出，，利用正切值，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵矩形，为水槽水面的中点，为水槽底部的中点， ∴． ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴在中，； 在中，； （2）解：①作，则：，， 设，则，， 由（1）知：， 在图2中，， ， ∵， ∴，解得 答：为 ②作，则：，，由题意，得，； ∴， ∴， 如图，设为，则， ∴． 解得． ∴； （3）如图，设下降后的光线为，水面上升至，延长交于点，由题意，得：为，， 则，，，， ∴， 解得：． 6．（2023·广东深圳·三模）【问题】（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是　　　，与的位置关系是　　　； （2）如图，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点， 【探究】①如图2，以为边在的右侧作矩形，且，连接、，求证：； 【拓展】②如图3，以为边在的右侧作正方形，连接、，则面积的最小值为　　　． 【答案】（1），；（2）①见解析；② 【分析】此题是四边形综合题，考查正方形的性质和矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值． （1）通过证明和全等，得到，进而利用全等三角形的性质和垂直的定义解答； （2）①通过证明得到，所以，，延长、相交于点H，因为矩形，所以，所以，，所以，所以； ②设，则，根据，再根据二次函数的最值求解即可． 【详解】解：（1）结论：，． 理由：延长交的延长线于H， ∵正方形， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）①证明：如图2中，延长、相交于点H． ∵四边形、四边形都是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②解：②设，则， ， ∵， ∴ ， 当时，面积最小，最小面积是， 故答案为：． 7．（2025·广东东莞·二模）在平面直角坐标系中，直线l：与反比例函数的图象相交于，B两点，与x轴正半轴相交于点C，与y轴正半轴相交于点D，连接． 【数学理解】（1）求a和k的值； 【知识技能】（2）如图1，当点A在点B的左侧时，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两线相交于点E，连接，求证：把分成面积相等的两部分； 【拓展探究】（3）①如图2，在中，，点N在边上，，，则______． ②设F为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出F点的坐标（小贴士：）． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）①；②或 【分析】将A代入直线l解析式求a值，进而求k值即可； 先联立直线了和反比例函数解析式求出B点坐标，进而求出点E坐标，再求直线解析式，从而求出和交点是中点即可得证； ①，则，，，根据三角函数的定义即可求得答案； ②由题易知，分类讨论，点F在A上方或下方，因此或者，设参数，利用三角函数值解直角三角形即可得解． 【详解】解：（1）将代入直线了：中可得， ， ， 再将点A代入反比例函数中，得； （2）证明：由知， 反比例函数表达式为， 令， 整理得， 解得，， ， ， 设直线表达式为，则， 解得， 直线表达式为， 再联立直线和直线l得，， ， 解得， ，， 中点横坐标为， 和交点为中点， 把分成面积相等的两部分； ①如图，中，，， ， 设，则，， ， ， 故答案为：； ②， ， ， ， 如图，过作轴，则， 由①知， 设， ，， ， ， ， ， ； 同理； 综上，F点的坐标为或 【点睛】本题主要考查反比例函数综合题，反比例函数与一次函数交点问题、反比例函数和一次函数点的坐标特征、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8．（2025·广东·一模）如图所示，抛物线交轴于两点，将在轴下方部分翻折得到抛物线，将抛物线与整体视作曲线，以下设问均不考虑抛物线在轴下方的部分． 【知识技能】 （1）直接写出抛物线的解析式； 【数学理解】 （2）记曲线交轴于点，连接，点为在上方且在曲线上的一个动点，连接，求面积的最大值； 【拓展探究】 （3）设平面内存在动直线 ①讨论并直接写出动直线与曲线的交点个数； ②若动直线与曲线有四个交点，记这四个交点的横坐标从左往右分别为，问是否存在这样的动直线，使满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）①当或时有2个交点；当时有4个交点；当时有3个交点 ②不存在这样的，理由见解析 【分析】（1）先求出的顶点是，结合即可求解； （2）作交于点Q，求出，设，则，可得，记边上的高为，则，记边上的高为，则，根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）①根据函数图象解答即可； ②令，可求得，令，可求得，代入求出n的值，结合n的取值范围即可求解． 【详解】（1）∵ ∴的顶点是 ∴的顶点是 （2）作交于点Q，如图所示 设     依题可知 则     解得        ∴ 设，则 ∴ 记边上的高为，则，记边上的高为，则 ∴ 可知为关于的二次函数，其最大值在对称轴处取得 ∴最大值为 （3）①当或时有2个交点   当时有4个交点 当时有3个交点   ②令，即 解得 同理令，即     解得 若，即 即，即     ∴ 由①可知，若动直线与曲线有四个交点，则有     ∴不存在这样的使得 【点睛】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与几何综合，二次函数与一元二次方程的关系，数形结合是解答本题的关键． 9．（2025·广东深圳·二模）希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下． 1．如图1，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与x轴正方向重合； 2．绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P； 3．以P为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点R； 4．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线交于点M； 5．连接，得到，这时． 【探究】小明在探究该方法时发现，先以P，R，M为顶点做矩形，再证明矩形的另一顶点Q与O，M共线后，即可推导出．请你根据以上思路帮助小明完成证明过程． 证明：如图1，分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q， ，，， ∴四边形为矩形． 设点，，则，Q（______），于是直线的解析式为______， ， 点Q在直线上； 连接交于点N，则N为和的中点， ，， 又， ，______， ． 【拓展】小明进一步发现也可以将任意锐角三等分，请证明． 【应用】如图2，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，角的一边与x轴正方向重合，另一边与函数交于点A，以A为圆心，为半径作弧，交函数图象于点C，点P为线段中点，连接，其中，，那么______． 【答案】[探究]，，；[拓展]见解析；[应用]8 【分析】[探究]根据小明的探究思路完成填空即可； [拓展]类似[探究]方法进行证明即可； [应用] 根据等边对等角和三角形内角和定理，可求出，由[拓展]可求：，则，过A作于M，于N，根据三线合一的性质求出，在中，根据余弦的定义可求出，在中，根据正弦的定义可求出，根据余弦的定义可求出，则求出点A的坐标，最后根据待定系数法求解即可． 【详解】[探究]解：如图1，分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q， ，，， ∴四边形为矩形． 设点，，则，， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， ， 点Q在直线上； 连接交于点N，则N为和的中点， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：，，； [拓展]证明：如图2，分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q， ，，， ∴四边形为矩形． 设点，，则，， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， ， 点Q在直线上； 连接交于点N，则N为和的中点， ， ， 又， ， ， ； [应用]解：P为中点，， ， 又， ， 由[拓展]知： ， ， 过A作于M，于N， ，， ， 在中，， 在中，，， ， 函数经过点A， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，待定系数法，解直角三角形等知识，明确题意，运用类比的方法求解是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $