专题17 平行线的拐点模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题17 平行线的拐点模型 本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．（2025·山西朔州·模拟预测）将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25下·广东茂名·七年级统考期中）如图，，=（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25下·辽宁鞍山·七年级阶段练习）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（   ） A．180° B．360° C．540° D．720° 6．（2025·河南·校考三模）如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东广州·二模）如图，是直角三角形，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25下·陕西南·七年级统考期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知，点E是下方一点，连接，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（2024·陕西·中考真题）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，与相交于点，与相交于点，则下列说法正确的是（   ） ①若，则；②若，则； ③；④． A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 13．（24-25下·河南郑州·七年级统考期中）如图，如果，那么（   ） A． B． C． D． 14．（25-26上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，，，则 ． 15．（24-25七年级下·河北保定·期中）把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间．若三角尺的直角顶点落在上，角的顶点落在上，则与的数量关系是 ． 16．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，，设，那么x，y，z的关系式为 17．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图1，，是直线、间的一条折线． (1)猜想、、的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将折一次改为折二次，若，，，则 (3)如图3，若改为折多次，直接写出，，，…，，之间的数量关系： ． 18．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）【问题背景】如图是太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术．图①是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点． 【探索与发现】（1）如图①，太阳光线、平行，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，则、和之间存在的数量关系是 ． （2）如图②，点、分别在，上，是，之间，且位于右侧的任意一点，连接，，试探究，与之间的数量关系，并写出解答过程． 【拓展延伸】（3）如图③，在（2）的条件下，在和之间，左侧再取一点，连接，．若使，那么与之间的数量关系是 ． 19．（24-25七年级下·陕西安康·期中）【问题探究】 （1）如图1，已知，点在直线上，连接并延长至点，连接，若，，则的度数为； （2）如图2，已知，点在直线上，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由； 【问题解决】（3）如图3，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点，求的值． 20．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）【发现】（1）如图1，平分平分．当时，请判断与的位置关系并说明理由； （2）【探究】如图2，，是上一点，保持不变，移动顶点，使平分与存在怎样的数量关系？并说明理由； （3）【拓展】如图3，，为线段上一定点，为直线上一动点，且点不与点重合．求与的数量关系． 21．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断断与的数量关系并证明；(3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 22．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，已知两直线、，且，直角三角尺中，，． (1)如图1，当三角尺的顶点在直线上时，若，求的度数； (2)如图2，当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点，始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在，射线与直线所夹锐角的度数为：_____．（直接填空） 23．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作，   ∴_____，______， 又∵° ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 24．（24-25七年级下·北京石景山·期末）已知，点在之间． (1)如图1，求证：．(2)若平分，点在上，． ①如图2，若平分，求的度数； ②如图3，若平分，请直接写出与的数量关系． 25．（24-25七年级下·江西抚州·期中）小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： （1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明； （2）如图2所示，已知，点E为、之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分，与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系______； 26．（24-25七年级下·江西宜春·期末）综合与实践： 【问题情境】光经过凹透镜后的折射实验探究． 【实践操作】光明中学七年级3班好奇组在做光经过凹透镜的折射实验时发现：如图①，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线会交于主光轴上一点． 【实践探究】好奇组三位同学想弄清楚这两条平行线之间蕴含的数学知识，进行了以下探究： 探究一：（1）在图①中，，和三个角之间存在着怎样的数量关系，并说明理由． 探究二：（2）在图②中，已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、．若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 探究三：（3）在图③中，若点是上方一点，连接、；的延长线将分为两部分，且，，，求的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 平行线的拐点模型 本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴，即， ∵是等边三角形，∴， 又∵，∴，∴，故选：B． 2．（2025·广东·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，∴，， ∵，∴，， ∴，故选C． 3．（2025·山西朔州·模拟预测）将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，∵，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴．故选：C． 4．（24-25下·广东茂名·七年级统考期中）如图，，=（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，过C点作直线，，    ，    ，，， 即.故选：B 5．（24-25下·辽宁鞍山·七年级阶段练习）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（   ） A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】C 【详解】解：作EM∥AB，FN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°， ∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．故选：C． 6．（2025·河南·校考三模）如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，过点作， ∵，，∴．∴，． ∵，∴． ∴．故选C． 7．（2024·广东广州·二模）如图，是直角三角形，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， ∵，，∴，故选：A． 8．（24-25下·陕西南·七年级统考期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作，如图2，∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴；故选：D．    9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知，点E是下方一点，连接，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， 根据三角形外角定理，， ∵，∴，故选：D． 10．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作，如图所示： ∵，，，， ．故选：A． 11．（2024·陕西·中考真题）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， ，，，．故选B． 12．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，与相交于点，与相交于点，则下列说法正确的是（   ） ①若，则；②若，则； ③；④． A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【详解】解：①若，则， ∵，∴，∴，故①正确； ②如图，延长交于点G，∵，∴， 若，则，∴，故②正确； ③分别过点作，则， ∴， ∴ ， ∵ ∴，故③正确； ④由③知，∴， ∵，∴， ∴ ， 则当且仅当时，，故④错误．故选：B． 13．（24-25下·河南郑州·七年级统考期中）如图，如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作， ，，，， 得，，即．故选：D． 14．（25-26上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，，，则 ． 【答案】/65度 【详解】解：过点作，    ∵，∴，∴， ∴；故答案为：． 15．（24-25七年级下·河北保定·期中）把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间．若三角尺的直角顶点落在上，角的顶点落在上，则与的数量关系是 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∵，∴．故答案为：． 16．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，，设，那么x，y，z的关系式为 【答案】 【详解】解：过C作，延长交于N，则，即， ∵，，∴，∴，， ∵，∴．故答案为：． 17．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图1，，是直线、间的一条折线． (1)猜想、、的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将折一次改为折二次，若，，，则 (3)如图3，若改为折多次，直接写出，，，…，，之间的数量关系： ． 【答案】(1)，证明见解析(2)(3) 【详解】（1）解：猜想：．理由：如图，过点O作． ∵，∴，∴，， ∴，即． （2）解：如图，过作，由（1）得：， ∵，，，∴，， ∵，，∴，∴； （3）解：．　 理由：如图，过点K作，同理可得：， 过点L作，同理可得：， ∵，，，∴，∴， ∴，∴． 18．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）【问题背景】如图是太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术．图①是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点． 【探索与发现】（1）如图①，太阳光线、平行，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，则、和之间存在的数量关系是 ． （2）如图②，点、分别在，上，是，之间，且位于右侧的任意一点，连接，，试探究，与之间的数量关系，并写出解答过程． 【拓展延伸】（3）如图③，在（2）的条件下，在和之间，左侧再取一点，连接，．若使，那么与之间的数量关系是 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：如图，过点作， ∵，，，， ，． （2） 理由：由（1）得， ，； （3）由（1）（2）知，，∴， ∵，，∴， ． 19．（24-25七年级下·陕西安康·期中）【问题探究】 （1）如图1，已知，点在直线上，连接并延长至点，连接，若，，则的度数为； （2）如图2，已知，点在直线上，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由； 【问题解决】（3）如图3，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点，求的值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∴；故答案为：． （2）∵，∴，， ∵∴， （3）过作， ∵，∴，∴，， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q， ∴，， ∴， 由（2）知，∴， ∴，∴． 20．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）【发现】（1）如图1，平分平分．当时，请判断与的位置关系并说明理由； （2）【探究】如图2，，是上一点，保持不变，移动顶点，使平分与存在怎样的数量关系？并说明理由； （3）【拓展】如图3，，为线段上一定点，为直线上一动点，且点不与点重合．求与的数量关系． 【答案】（1）；理由见解析；（2）；理由见解析；（3）或 【详解】解：（1），理由如下： ∵平分平分，∴，， ∵，∴，，∴，∴， （2），理由如下：过点E作，如图所示， ∵，∴，∴，， ∵，∴， ∵平分，∴，∴； （3）分两种情况分类讨论，第一种情况如图，当点Q在射线上运动时，， 理由：过点P作，∵，∴，∴，， ∵，∴； 第二种情况如图，当点Q在射线的反向延长线上运动时（点C除外）， 理由：∵，∴，∵，∴， 综上，或． 21．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断断与的数量关系并证明；(3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）解：如图，过E作， ∵，∴，∴， ∵，∴． （2）解：，理由如下：设的交点为Q，的交点为T， ∵与的角平分线交于点F，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴． （3）解：设，，的交点为W， ∵，，∴，，，， ，∵，∴， ∴，∴， ∵，∴ 根据（1）的结论，得，∴ ∵，∴， ∴，解得，∴． 22．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，已知两直线、，且，直角三角尺中，，． (1)如图1，当三角尺的顶点在直线上时，若，求的度数； (2)如图2，当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点，始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在，射线与直线所夹锐角的度数为：_____．（直接填空） 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：如图，过点C作， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴； （2）解：，理由如下：如图，由（1）得：， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴； （3）解：如图，∵，，∴， 设，则，∵， ∴，解得：，∴， ∵，∴，∴．故答案为： 23．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作，   ∴_____，______， 又∵° ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【答案】（1）；；；；；（2）；（3） 【详解】解：（1）过点A作，∴，， 又∵，∴， 故答案为：；；；；； （2）过点E作，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴；         （3），  理由：过点P作，∴， ∵，∴，∴，∵，∴． 24．（24-25七年级下·北京石景山·期末）已知，点在之间． (1)如图1，求证：．(2)若平分，点在上，． ①如图2，若平分，求的度数； ②如图3，若平分，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【详解】（1）解：如图，过E作， ∵，∴，∴， ∵，∴． （2）①解：如图，延长交于点Q， 根据（1）的结论，得，∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，，∴， ∵平分，∴，∵， ∴． ②解：根据（1）的结论，得，∵平分，∴， ∴，同理可得，， ∵，∴，∵平分， ∴，， ∴∴． 25．（24-25七年级下·江西抚州·期中）小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： （1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明； （2）如图2所示，已知，点E为、之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分，与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系______； 【答案】（1），证明见解析；（2）；【类比迁移】 【详解】解． （1）猜想：，证明：过E点作， ∵，∴，∴，，∴； （2）如图2，作，， ∵，∴， ∴，，，， ∴， ∵，∴， ∵和的平分线相交于F，∴，， ∴，∴； 类比迁移：．理由如下： 如图3，过E作，过G作，∵，∴， ∴，，， ∵平分与的平分线相交于点G， ∴，，∴， ∵， ∴．故答案为：． 26．（24-25七年级下·江西宜春·期末）综合与实践： 【问题情境】光经过凹透镜后的折射实验探究． 【实践操作】光明中学七年级3班好奇组在做光经过凹透镜的折射实验时发现：如图①，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线会交于主光轴上一点． 【实践探究】好奇组三位同学想弄清楚这两条平行线之间蕴含的数学知识，进行了以下探究： 探究一：（1）在图①中，，和三个角之间存在着怎样的数量关系，并说明理由． 探究二：（2）在图②中，已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、．若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 探究三：（3）在图③中，若点是上方一点，连接、；的延长线将分为两部分，且，，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【详解】（1），  理由如下：过点作，如图①， ，，， ，．   （2）过点作，如图②所示： 平分，，， 平分，设，由（1）得：， ，即， ，，，，， ，；    （3）过点作，如图③所示： ，设，则， ，由对顶角相等得：， 设，，， ，由（1）得：， ，即， ，，，，， ， ，，解得：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $