专题16 将军饮马模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题16 将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 9 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 13 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 17 23 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，直线l是正五边形的一条对称轴，点P是直线l上的一个动点，当最小时，______． （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 （25-26八年级上·北京西城·期中）已知：如图，中，，，点是边上的定点，点、点、点分别是边、边和边上的动点．当最小时，与的度数和是__________． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 例1（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（    ） A．B．C．D． 例2（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线l对称的（点与点，点与点对应）； (2)在直线上找一点，使得的周长最小；(3)直接写出的面积（不写过程）． 例3（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为________． 例4（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，平分，P，Q分别为，上的动点，当最小时，的大小是________． 例5（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，，，，分别是边，上的两个动点，连接，.若当与的和最小时，的长为1，则的长为________ 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图1，直线l及同侧两点A，B，要在直线l上找一点C，使 最大，其做法为：连接并延长，交直线l于点C，可证点C即为所求．如图2，直线l及两侧两点A，B，在直线l上找一点C，使最大．下列图中所画点C的位置正确的是（   ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）如图，已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线对称；(2)在直线上画出点D，使． (3)在直线上画出点P，使最大． 例3（24-25·安徽马鞍山·八年级期末）如图，两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水． （1）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ （2）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流上找出一点，使的值最大．”你能找到点吗？请将上述三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹． 例4（24-25·重庆·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______. 例5（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知中，，将沿边进行对折使得点B落在点D处，过点C作垂直于点E，点P是直线CE上一动点，当的值最大时，的度数为（　　） A． B． C． D． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（24-25八年级上·江苏盐城·月考）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明． ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，∴ ， ， 请完整地写出小亮的证明过程． 【解决问题】如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．） 例2（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E，F分别是、上的动点，若周长的最小值等于8，则（   ） A． B． C． D． 例3（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（　　）    A．76° B．84° C．96° D．109° 例4（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知，在的内部有一点，为上一动点，为上一动点，．（1）的周长的最小值是______；（2）当的周长最小时，______度． 例5（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为14，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．18 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1（2025七年级下·河南·专题练习）【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 例2（24-25八年级上·福建厦门·月考）如图，在中，，，点是边上的两个定点，点分别是边上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是______． 例3（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 例4（25-26八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探索最短距离 背景材料 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． 任务1 如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是____米． 任务2 如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若．（1）求的最小值，并说明理由；（2）求周长的最小值． 任务3 如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值． 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接PF，则铺设管道路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，是的角平分线，点E，F分别是，上的动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）如图，点M在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，N是线段上一动点．当的长最小时，，则的长为（   ） A．10 B．13 C．16 D．无法确定 4.（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河南周口·月考）如图，已知正六边形的边长为，分别是和的中点，是上的动点，连接，当的值最小时，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，，在的同侧，，，，M 为的中点， 若，则的最大值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．20 7.（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ． 8.（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 . 9.（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度． 10．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，，点在边上，且，的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一动点，点为边上一动点，当的值最小时，的长为______ ． 11．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，，，，点在边上，且，的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一动点，点为边上一动点，当的值最小时，的长为______． 12．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，，点D在上，，点P、E分别是、上动点，当的值最小时，，则的长为______． 13．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，垂足为D，，P为直线BC上方的一个动点，的面积等于面积的一半，则当最小时，的度数为_______． 14．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边中点．若，当取得最小值时，则的度数为 ．    15．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在等边中，是边上的中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是_____． 6．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，锐角，M、N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，设． （1）若，且，则________； （2）当最小时，则之间的数量关系是________． 17．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形网格中，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中画出与关于直线成轴对称的；(2)求的面积； (3)在直线上找一点，使得的周长最小．（不需要计算，在图2上直接标记出点的位置即可） 18．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；(2)的面积为 ； (3)在直线l上找点P使得最小；(4)直线l上找一点Q使得最大． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 9 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 13 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 17 23 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，直线l是正五边形的一条对称轴，点P是直线l上的一个动点，当最小时，______． 【答案】/72度 【详解】解：直线l是正五边形的一条对称轴，， ，此时：为的最小值， 在正五边形中，有，，， ，，，故答案为：． （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【详解】解：∵A、C两点关于直线EF对称，∴， ∵的周长是18，，∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵A、C两点关于直线EF对称，∴，∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故选：B． （25-26八年级上·北京西城·期中）已知：如图，中，，，点是边上的定点，点、点、点分别是边、边和边上的动点．当最小时，与的度数和是__________． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作线段、关于对称，则点关于的对称点在上，连接交于点，交于点，则，当时，最小， ，，， ，，， ，， ，故答案为：． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 例1（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点O，可得，则，由两点之间线段最短，此时的值最小， 即所用水管总长度最短，故选：A． 例2（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线l对称的（点与点，点与点对应）； (2)在直线上找一点，使得的周长最小；(3)直接写出的面积（不写过程）． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：所作图形如图所示；    （2）解：点P即为所求的点．由轴对称知，又的长为定值， ∴的周长为，∴当、、共线时，的周长最小． （3）的面积． 例3（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接， 是等边三角形，，， ，平分，， 点是的中点，垂直平分，点是的中点， ，平分，， 当点与点重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时为最小值，即为的长， ，垂直平分， ，，即． 例4（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，平分，P，Q分别为，上的动点，当最小时，的大小是________． 【答案】/45度 【详解】解：在上取一点，使，连接，，过点C作于点H，交于点，过点作于点， ∵是的平分线，∴是的对称轴， ∴， ∴，∴最小值为， ∴当最小时，点P位于点处，点Q位于点处，的度数为的度数， ∵，∴， ∵，∴，∴，∵，即，∴， ∴当最小时，的度数是，故答案为：． 例5（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，，，，分别是边，上的两个动点，连接，.若当与的和最小时，的长为1，则的长为________ 【答案】6 【详解】解：如图，作点B关于直线的对称点，交于点D，连接，， 则，，当点，，三点共线时等号成立， 时，取最小值，时，与的和最小，如图， ，，， 又点B与关于直线对称，，，， ，，，，， ，，，， ，，，，故答案为：6． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图1，直线l及同侧两点A，B，要在直线l上找一点C，使 最大，其做法为：连接并延长，交直线l于点C，可证点C即为所求．如图2，直线l及两侧两点A，B，在直线l上找一点C，使最大．下列图中所画点C的位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作直线交直线于，连接， 则，∴，此时最大．故选：B 例2（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）如图，已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线对称；(2)在直线上画出点D，使． (3)在直线上画出点P，使最大． 【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解 【详解】（1）如图， 即为所求； （2）如图，点D即为所求；证明：根据对称性可知， 根据对顶角相等可得：，即有； （3）如图，点P即为所求． 证明：如图，当点P在处时，根据三角形三边的关系可知：； 当点A、C、P在三点共线时，此时有：； 综上有：，当且仅当点A、C、P在三点共线时取等号，即点P满足要求． 例3（24-25·安徽马鞍山·八年级期末）如图，两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水． （1）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ （2）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流上找出一点，使的值最大．”你能找到点吗？请将上述三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）由题意可知，若自来水厂到两村的输水管用料最省，即AN+BN最小， 如图，A′为点A关于CD的对称点，连接A′B，与CD交于点N，则厂址应该选在点N处； （2）若最大，根据三角形两边之差小于第三边，如图， 可知P位于AB与CD交点处时，|PA-PB|最大； 例4（24-25·重庆·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______. 【解答】8cm 【详解】解：∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC， 又∵C△BMC＝BM+MC+BC＝20cm，BM+MA＝AB＝12cm，∴BC＝20﹣12＝8（cm）， 在MN上取点P，∵MN垂直平分AC连接PA、PB、PC ∴PA＝PC ∴PA﹣PB＝PC﹣PB 在△PBC中PC﹣PB＜BC 当P、B、C共线时，即P运动到与P'重合时，（PC﹣PB）有最大值，此时PC﹣PB＝BC＝8cm． 例5（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知中，，将沿边进行对折使得点B落在点D处，过点C作垂直于点E，点P是直线CE上一动点，当的值最大时，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作点B关于的对称点H，连接． 则此时 ∴当点在同一直线上时，有最大值，此时， ∵，∴， ∵，∴．∴， ∴，∴， 由题意得和关于对称，∴， ∴，∴是等边三角形，∴， ∴，∴，, ∵故选：C． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（24-25八年级上·江苏盐城·月考）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明． ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，∴ ， ， 请完整地写出小亮的证明过程． 【解决问题】如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．） 【答案】分析问题：见解析；解决问题：见解析 【详解】解：分析问题：∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，，∴，， 由两点之间线段最短可知，，∴， ∴作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方； 解决问题：如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求． 易证明，则，根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 例2（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E，F分别是、上的动点，若周长的最小值等于8，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、， 由对称性可知，，，周长， 此时周长最小，∵周长的最小值等于8，即 ，，，是等边三角形， ，由对称的性质得：， ，故选：A． 例3（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（　　）    A．76° B．84° C．96° D．109° 【答案】A 【详解】解：如图，延长至，使，    延长至，使，则垂直平分，垂直平分， ，，根据两点之间，线段最短， 当，，，四点在一条直线时，最小， 则的值最小，即的周长最小， ，，可设，， 在中，， ，，，故选：A． 例4（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知，在的内部有一点，为上一动点，为上一动点，．（1）的周长的最小值是______；（2）当的周长最小时，______度． 【答案】 120 【详解】（1）分别作点关于，的对称点，，连接， 分别交，于点，则此时的周长最小． 连接，由轴对称的性质得，， 是等边三角形，， 的周长，的周长的最小值为,故答案为：； （2）由（1）可知，， ，故答案为：． 例5（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为14，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【详解】解：如图，连接，过点O作交的延长线于H，    ∵，且，∴， ∵点P关于对称的点为，点P关于对称的点为， ∴，，， ∵，∴，∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，最小值为， ∴的面积的最小值为，故选：B． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1（2025七年级下·河南·专题练习）【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【答案】解：【分析问题】        两点之间，线段最短【解决问题】图见解析． 【详解】（1）∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，，∴，， 由两点之间线段最短可知，，∴， 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接两点的线中，线段最短）。 故答案为：        两点之间，线段最短； （2）如图，即为最短路径． 例2（24-25八年级上·福建厦门·月考）如图，在中，，，点是边上的两个定点，点分别是边上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是______． 【答案】 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，∴根据两点之间线段最短可得，的值最小， ∴四边形的周长最小值为：， ∵在中，，，即是等腰直角三角形，∴， 在中，∵，∴， 根据对顶角的性质可得，，， 根据对称的性质可得，，，，， ∴，， 在，中，∵，， ∴，∴当四边形的周长最小时，的大小是，故答案为：． 例3（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接， 则，，的最小值为， 由轴对称的性质得，，，， ，∵，为等边三角形， ，即的值最小为3；故答案为：3． 例4（25-26八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探索最短距离 背景材料 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． 任务1 如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是____米． 任务2 如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若．（1）求的最小值，并说明理由；（2）求周长的最小值． 任务3 如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值． 【答案】任务1：520米任务2：（1）6，理由见解析      （2）10任务3：9 【详解】任务1解：作关于河岸的对称点，设的中点为M，连接， ∵，且点到中点的距离为米，∴到该中点的距离为米， ∵，∴， ∴，， 又点C、M、D在同一条直线上，则,∴, ∴点在同一条直线上，最短距离（米）．故答案为：． 任务2（1）解：由“两点之间线段最短”，当在与直线的交点时，∴的最小值为． （2）解：∵直线是边的垂直平分线，∴，∴， ∵的最小值为,∴的最小值为6,∴周长最小值． 任务3解：作关于的对称点，关于的对称点，连接交于、交于，则此时，取得最小值．连接． 则，，，， ，， ∵，，∴． 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接PF，则铺设管道路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于点G，则点G为所求燃气站的位置． 故选：C． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，是的角平分线，点E，F分别是，上的动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接，如图，此时最小． ∵是的角平分线，∴， ∴， ∵，∴，又，∴， ∴，∴垂直平分，∴，∴， ∵，∴，∴，∴．故选：B． 3．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）如图，点M在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，N是线段上一动点．当的长最小时，，则的长为（   ） A．10 B．13 C．16 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：如图，作点M关于直线的对称点G，过点G作于点N，交于点P， 则，∴，∵，∴由垂线段最短可知，的最小值为， ∵为等边三角形，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵等边三角形，∴，故选：B． 4.（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于E，交于F，则即为的周长最小值．作延长线， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，， ∴，∴，故选：B． 5．（24-25八年级上·河南周口·月考）如图，已知正六边形的边长为，分别是和的中点，是上的动点，连接，当的值最小时，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接、，与相交于点， 正六边形中，分别是和的中点， 所在的直线是正六边形对称轴，，， 即当点在处时，的值最小为的长， ，在中，，即，A选项错误； 正六边形的内角和为， ，，B选项正确； ，，， ，即，C选项错误； 在中，，，即，D选项错误；故选：B． 6．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，，在的同侧，，，，M 为的中点， 若，则的最大值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、、、、，，，，， M 为的中点，，， ，，， ，为等边三角形，， ，的最大值为，故选：B． 7.（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】13 【详解】作点M关于的对称点，作点N关于的对称点，连接分别交,，于点P，Q，连接，，    ∵，由对称性可知，，， ∴，∴，由对称性可得，， 由勾股定理得，，∴， 当M、N、P、Q共线时，的值最小， 即的最小值为13．故答案为：13. 8.（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 . 【答案】/8厘米 【详解】解：垂直平分，， 又，，， 在上取点，连接、、，垂直平分，，， 在中，当、、共线时，即运动到与重合时，有最大值， 此时．故答案为：． 9.（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度． 【答案】 【详解】解：如图，作点B关于的对称点H，连接． 则，，此时， ∴当点P、H、D在同一直线上时，有最大值，此时， ∵当的最大值是时，∴． ∵，，∴，由题意得和关于对称， ∴，，，， ∴，，， ∵，，∴，∴， ∴，∴是等边三角形，∴， ∴，∴， ∴，∵，∴．故答案为：90 10．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，，点在边上，且，的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一动点，点为边上一动点，当的值最小时，的长为______ ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， 则，，∴， 由两点之间线段最短可知，当点，，共线时，的值最小，最小值为，由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， ∵垂直平分，且，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴当的值最小时，的长为，故答案为：． 11．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，，，，点在边上，且，的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一动点，点为边上一动点，当的值最小时，的长为______． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， 则，，∴， 由两点之间线段最短可知，当点，，共线时，的值最小，最小值为，由垂线段最短可知，当时，的值最小, 即的值最小， ∵垂直平分，且，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴当的值最小时，的长为，故答案为：． 12．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，，点D在上，，点P、E分别是、上动点，当的值最小时，，则的长为______． 【答案】9 【详解】解：作点D关于直线的对称点F，过F作于E，交于P， 则此时的值最小， ，，，， 点D关于直线的对称点F， ， ，，，故答案为：9． 13．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，垂足为D，，P为直线BC上方的一个动点，的面积等于面积的一半，则当最小时，的度数为_______． 【答案】 【详解】解：∵的面积等于面积的一半，∴在的垂直平分线上， 如图，作关于的垂直平分线的对称点，连接， ，则， 由对称的性质可知，，∴， ∴当三点共线时，的值最小为，此时为的中点， ∵，∴，，∴，故答案为：． 14．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边中点．若，当取得最小值时，则的度数为 ．    【答案】/90度 【详解】∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，∴点B和点C关于轴对称，连接交于点F，则，    ∴，即：此时，取得最小值， ∵等边的边长为4，，∴E是的中点，∴，∴．故答案是：． 15．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在等边中，是边上的中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是_____． 【答案】/30度 【详解】解：如图，连接，     ∵，是等边三角形，∴，，, ∴，∴，∴． ∵是边上的中线，∴，∴， ∴点E在射线上运动（）．∵周长，且是定值， ∴周长最小，即最小，作点A关于直线的对称点M，连接，连接交于，此时最小．∴，， 根据对称得，，∴， ∴是等边三角形，∴，∵，∴，， ∴，∴，∵，∴， ∴，故答案为：． 6．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，锐角，M、N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，设． （1）若，且，则________； （2）当最小时，则之间的数量关系是________． 【答案】 5 【详解】解：（1）∵，∴，， 在中，，∴， ∵∴，∴ ∴，故答案为：5． （2）如图所示，分别作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，则最小值为． 由题意和对称性可知：，， ∵，∴， ∵，∴．∴．故答案为：． 17．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形网格中，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中画出与关于直线成轴对称的；(2)求的面积； (3)在直线上找一点，使得的周长最小．（不需要计算，在图2上直接标记出点的位置即可） 【答案】(1)见解析(2)的面积为8(3)见解析 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：；（3）解：点P即为所求作： 18．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；(2)的面积为 ； (3)在直线l上找点P使得最小；(4)直线l上找一点Q使得最大． 【答案】(1)见解析(2)11(3)见解析(4)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，的面积为．故答案为：11； （3）解：如图，点P即为所作； （4）解：如图，点Q即为所作； ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $