第六章 3 向心加速度（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一物理必修第二册教师用书（人教版 浙江）

3　向心加速度 DILIUZHANG 第六章 1 1.通过生活中的实例，理解向心加速度的概念。 2.掌握向心加速度和线速度、角速度的关系，能够运用向心加速度公式求解有关问题(重点)。 3.会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题(难点)。 学习目标 2 一、对向心加速度的理解 二、向心加速度的大小 课时对点练 三、圆周运动的动力学问题分析 内容索引 3 对向心加速度的理解 一 4 如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑水平桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。 (1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向； 答案　地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心。 (2)地球和小球加速度的作用是什么？ 答案　由于速度大小没有发生变化，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。 (3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？ 答案　由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。 1.定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向　　　，这个加速度叫作向心加速度。常用an表示。 2.方向：始终指向　　　。 3.作用：改变速度的　　　，不改变速度的　　　。 4.说明：匀速圆周运动加速度的　　　时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是　　　　　　　　。 5.变速圆周运动：变速圆周运动的加速度 ；可分解为____ ___________和 分析。向心加速度改变速度 　　　，切向加速度改变速度　　　。 梳理与总结 圆心 圆心 方向 大小 方向 变加速曲线运动 不指向圆心 向 心加速度 切向加速度 方向 大小 (1)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的。(　　) (2)物体做匀速圆周运动时，在相等时间内速度变化量是相同的。 (　　) (3)圆周运动的加速度一定指向圆心。(　　) (4)向心加速度的方向始终与速度方向垂直。(　　) × × × √ 返回 易错辨析 向心加速度的大小 二 9 根据牛顿第二定律和向心力表达式，试推导向心加速度的表达式。 答案　已知向心力表达式Fn=m=mω2r，根据牛顿第二定律Fn=man，得an==ω2r。 1.向心加速度公式 (1)an== 。 (2)由于v=ωr，所以向心加速度也可以写成an= 。 (3)由于ω==2πf，所以向心加速度也可以写成an= = 。 2.向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心。 梳理与总结 ω2r ωv r 4π2f2r 从公式an=看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式an=ω2r看，向心加速度与半径成正比。这两种说法是否矛盾？为什么？ 思考与讨论 答案　不矛盾，在线速度一定的情况下，向心加速度与半径成反比，在角速度一定的情况下，向心加速度与半径成正比。 手握手机，将手臂以肩为轴自然下摆。若当手臂摆到竖直位置时，手机显示的速度大小约为0.65 m/s，则此时手机的向心加速度大小约为 A.0.65 m/s2 B.1.3 m/s2 C.2 m/s2 D.6.5 m/s2 　 (2023·嘉兴市高一期中)某同学在研究圆周运动时做摆臂动作，用手机内置的速度传感器测定手的速度。该同学先用刻度尺测量手臂伸直时的长度(刻度尺的零刻度线与肩平齐)，如图所示，然后他水平伸直手臂， 例1 √ 根据题意，由题图可知，手机转动的半径约为0.65 m，由公式an=可得，手臂摆到竖直位置时手机的向心加速度大小约为an==0.65 m/s2，故选A。 　如图所示，甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，甲、乙两物体随地球自转的线速度大小分别为v1和v2，向心加速度大小分别为a1和a2，地球可视为均匀的球体，下列关系式正确的是 A.v1∶v2=1∶1 B.v1∶v2=1∶ C.a1∶a2=2∶1 D.a1∶a2=∶1 例2 √ 甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，轨道半径关系为== 甲、乙两物体随地球一起自转，角速度相同，由线速度与角速度的关系知== 故A、B错误； 由向心加速度a=ω2R知 == 故C错误，D正确。 返回 圆周运动的动力学问题分析 三 17 如图所示，在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小球，细绳的上端固定，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。 (1)小球受哪几个力的作用？是什么力提供了小球做匀速圆周运动的向心力？(忽略空气阻力) 答案　小球受重力和细绳的拉力作用，重力和拉力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力(如图所示)。 (2)当细绳与竖直方向成θ角时，小球运动的向心加速度大小为多少？(重力加速度为g) 答案　根据牛顿第二定律：mgtan θ=man得an=gtan θ。 　长为L的细线，下端拴一质量为m的小球，上端固定，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，细线与竖直方向成θ角时，求：(重力加速度为g) (1)细线上的拉力大小； 例3 答案　 小球受重力及细线的拉力的作用，如图所示， 由平衡条件可知，竖直方向： FTcos θ=mg， 故拉力FT=。 (2)小球运动的线速度的大小和角速度的大小。 答案　　 小球做匀速圆周运动的半径r=Lsin θ，向心力Fn=FTsin θ=mgtan θ，又Fn=m， 故小球的线速度大小v=。 由Fn=mrω2 联立解得ω=。 思考：从上面角速度大小的结果中我们可以看出做圆锥摆运动的小球的角速度ω与什么因素有关？ 答案　与圆心到细线上端的高度有关。 　(多选)(2024·杭州市富阳区场口中学高一月考)一个内壁光滑的圆锥形筒竖直固定，轴线垂直水平面，有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则 A.A球的角速度必小于B球的角速度 B.A球的线速度必小于B球的线速度 C.A球的运动周期必大于B球的运动周期 D.A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力 例4 √ √ 设圆锥形筒的侧线与水平方向的夹角为θ，小球受到的重力与支持力的合力提供向心力，可得mgtan θ= mω2r，可得ω=，可知A球的角速度必小于B球的角速度，故A正确； 根据v=ωr=可知，A球的线速度必大于B球的线速度，故B错误； 根据T==2π可知，A球的运动周期必大于B球的运动周期，故C正确； 根据平衡条件可知球受到的支持力为FN=，可知筒壁对A、B球的支持力大小相等，根据牛顿第三定律可知A球对筒壁的压力等于B球对筒壁的压力，故D错误。 总结提升 分析匀速圆周运动问题的基本步骤 1.明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 2.确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。 3.找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。 4.利用牛顿第二定律列方程F合=Fn=mω2r=m=mr。 5.解方程求出待求物理量。 拓展学习：用运动学方法分析匀速圆周运动向心加速度 1.向心加速度的方向 第一步，画出物体经过A、B两点时的速度方向，如图甲所示。 第二步，平移vA至B点，如图乙所示。 第三步，作出物体由A点到B点的速度变化量Δv，如图丙所示。 第四步，假设由A到B的时间极短，A到B的距离将非常小，作出此时的Δv，如图丁所示。 从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。 2.向心加速度的大小 由图丁可知，当Δt足够小时，θ就足够小，θ角所对的弦和 弧的长度就近似相等。 因此，θ=，由角速度定义知：θ=ωΔt，可得： Δv=vωΔt 根据加速度定义式a=，由v=ωr得向心加速度大小的表达式为an=ω2r，an =。 返回 课时对点练 四 32 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D C D C D C 题号 9 10 11 12 答案 ABC (1)40 N　(2) (1)15 m　(2)750 N　(3) rad/s (1) N　1 000 N　 (2) rad/s　 (3)2 m/s 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 33 考点一　对向心加速度的理解 1.两物体都在做匀速圆周运动，下列说法正确的是 A.它们的线速度大小相等时，半径小的向心加速度大 B.它们的周期相等时，半径小的向心加速度大 C.它们的角速度相等时，半径小的向心加速度大 D.它们的转速相等时，半径小的向心加速度大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础对点练 √ 12 答案 根据a=可知线速度大小相等时，半径小的向心加速度大，A正确； 根据a=r可知周期相等时，半径大的向心加速度大，B错误； 根据a=ω2r可知角速度相等时，半径小的向心加速度小，C错误； 根据a=4π2n2r可知转速相等时，半径小的向心加速度小，D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 2.A、B两物体做匀速圆周运动时的向心加速度随半径变化的关系图线如图所示，其中曲线为反比例函数的一部分，则 A.B物体运动时，其线速度的大小不变 B.B物体运动时，其角速度不变 C.A物体运动时，其角速度不变 D.A物体运动时，其线速度随半径的增大而减小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B图线a与r成正比，则由向心加速度公式a=ω2r可知，B物体运动的角速度保持不变，故B正确，A错误； A图线a与r成反比，则由向心加速度公式a=可知，A物体的线速度大小不变，故C、D错误。 12 答案 3.光滑的水平面上固定着一个螺旋形光滑水平轨道，俯视如图所示。一小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，运动到螺旋形中央，下列关于该小球运动的说法正确的是 A.线速度增大，角速度不变 B.线速度不变，角速度减小 C.线速度减小，向心加速度增大 D.角速度增大，向心加速度增大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 12 答案 水平轨道光滑，所以小球的线速度大小不变，但是转动半径变小，根据ω=可知角速度增大，根据a=可知向心加速度变大，故D正确，A、B、C错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 考点二　向心加速度的计算 4.(2021·全国甲卷)“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为 A.10 m/s2 B.100 m/s2 C.1 000 m/s2 D.10 000 m/s2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 根据匀速圆周运动的规律， 此时ω=2πn=100π rad/s， 向心加速度a=ω2r≈1 000 m/s2，故选C。 12 答案 5.一皮带传动装置的示意图如图所示，右轮半径为r，A是其边缘上的一点，左轮半径为2r，C点位于左轮边缘上，B点在左轮上且到轮心的距离为r。传动过程中皮带不打滑。则 A.A、B两点的角速度之比为1∶1 B.A、B两点的角速度之比为1∶2 C.A、C两点的向心加速度之比为1∶4 D.A、C两点的向心加速度之比为2∶1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由题图可知，A、C有大小相同的线速度，则有vA=vC，B、C有相同的角速度，则有ωB=ωC，又vA=ωAr，vC=ωB·2r，联立解得ωA∶ωB=2∶1，故A、B错误； 12 由题图可知，A、C有大小相同的线速度，则向心加速度an=∝，因A、C两点的半径之比为1∶2，故A、C两点的向心加速度之比为2∶1，故C错误，D正确。 答案 考点三　匀速圆周运动的动力学问题 6.如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系式正确的是 A.线速度vA=vB B.角速度ωA>ωB C.它们受到合力FA合>FB合 D.它们受到的摩擦力FfA>FfB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A、B同轴运动，两者角速度相等，选项B错误； 根据v=ωr可知，选项A错误； 由F合=mrω2可知，选项C正确； 在竖直方向，它们所受的静摩擦力等于重力，由于二者质量相等，重力相等，所以它们受到的静摩擦力相等，选项D错误。 12 答案 7.无人机在某次作业过程中在空中盘旋，可看成匀速圆周运动，已知无人机的质量为m，以恒定速率v在空中水平盘旋，如图所示，圆心为O，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，关于空气对无人机的作用力方向和大小的说法正确的是 A.竖直向上，F=mg B.竖直向上，F=m C.斜向右上方，F=m D.斜向右上方，F=m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 根据牛顿第二定律，无人机需要的向心力F向=，无人机受重力、空气的作用力，根据平行四边形定则，则空气对无人机的作用力F= =m，故选D。 12 答案 8.一质量为m的物体，沿半径为R的半圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则它在最低点时受到的摩擦力大小为 A.μmg B. C.μm(g+) D.μm(g-) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 12 能力综合练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 在最低点有：FN-mg=m，得FN=mg+m，又由滑动摩擦力公式有Ff=μFN=μ(mg+m)=μm(g+)，C选项正确。 12 答案 9.(多选)(2024·宁波市五校联盟高一期中)如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与OO'之间的夹角θ为60°，重力加速度为g，下列说法正确的是 A.物块做圆周运动的加速度大小为g B.陶罐对物块的支持力大小为2mg C.转台转动的角速度大小为 D.物块转动的线速度大小为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 12 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 物块的受力情况如图所示，由图可知，物块受到的支持力和重力的合力提供物块做圆周运动的向心力，则有F合=mgtan 60°=ma，解得a=g，故A项正确； 12 由受力分析可知有=cos 60°，解得FN=2mg，故B项正确； 物块做匀速圆周运动，有mgtan 60°=mω2r，由几何关系有r=Rsin 60°，解 得ω=，故C项正确； 根据角速度与线速度的关系有v=ωr，解得v=，故D项错误。 答案 10.如图甲，一半径为r=0.2 m的滚筒洗衣机内有一件质量为m=0.5 kg的衣服(示意图如图乙)，衣服贴着内壁跟着圆筒以角速度ω=20 rad/s绕中心轴做匀速圆周运动，重力加速度g=10 m/s2，若此时衣服恰好不下滑，求： (1)衣服对桶壁的压力大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　40 N 衣服所受弹力F=mω2r=40 N 由牛顿第三定律知，衣服对桶壁的压力大小为F'=F=40 N 答案 (2)衣服与桶壁之间的动摩擦因数。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　 衣服竖直方向受力平衡，Ff=mg=5 N 而Ff=μF 解得μ=。 答案 11.在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H=25 m的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m=60 kg的被困人员B，直升机A和被困人员B一起沿水平方向匀速运动，当飞机突然在空中悬停寻找最近的安全目标时，致使被困人员B在空中做水平面内的圆周运动，如图乙所示，此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8， g取10 m/s2)求： (1)被困人员B做圆周运动的半径r； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　15 m 被困人员B在空中做水平面内的圆周运动，可得r=Hsin 37°=15 m 答案 (2)悬索对被困人员B的拉力大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　750 N 对被困人员B受力分析，有FTcos 37°=mg 解得FT=750 N 答案 (3)被困人员B做圆周运动的角速度。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　 rad/s 根据牛顿第二定律可得FTsin 37°=mω2r 解得ω= rad/s。 答案 12.(2024·浙江省精诚联盟高一月考)游乐场中的“空中飞椅”项目深受欢迎，当设施开始旋转，其可以简化为如图乙所示的模型，两个完全相同的可视为质点的载人飞椅a、b分别用悬线悬于水平杆A、B两端，悬线长la=2 m，水平杆xOA=1 m，将装置绕竖直杆匀速旋转后，a、b在同一水平面内做匀速圆周运动，且飞椅间相对位置不变。已知两悬线与竖直方向 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 尖子生选练 12 的夹角分别为α=30°、β=60°，飞椅a、b载人后的总质量均为50 kg，重力加速度g=10 m/s2。求： 答案 (1)a、b的绳上的拉力大小Fa、Fb； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　 N　1 000 N 如图，分别对a、b两载人飞椅进行受力分析 Fa=，Fb= 解得Fa= N，Fb=1 000 N 答案 (2)a运动的角速度大小ω； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　 rad/s 对飞椅a由牛顿第二定律得 mgtan α=mraω2，a做匀速圆周运动的半径为ra= lasin α+xOA 解得a的角速度ω= rad/s 答案 (3)b运动的线速度大小v。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　2 m/s 由于a、b是同轴转动，因此b的角速度ω= rad/s，对飞椅b由牛顿第二定律得mgtan β=mvω 所以v= 2 m/s。 返回 答案 $ 3　向心加速度 [学习目标]　1.通过生活中的实例，理解向心加速度的概念。2.掌握向心加速度和线速度、角速度的关系，能够运用向心加速度公式求解有关问题(重点)。3.会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题(难点)。 一、对向心加速度的理解 如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑水平桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。 (1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向； (2)地球和小球加速度的作用是什么？ (3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？ 答案　(1)地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心。 (2)由于速度大小没有发生变化，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。 (3)由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。 1.定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度。常用an表示。 2.方向：始终指向圆心。 3.作用：改变速度的方向，不改变速度的大小。 4.说明：匀速圆周运动加速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速曲线运动。 5.变速圆周运动：变速圆周运动的加速度不指向圆心；可分解为向心加速度和切向加速度分析。向心加速度改变速度方向，切向加速度改变速度大小。 (1)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的。(　×　) (2)物体做匀速圆周运动时，在相等时间内速度变化量是相同的。(　×　) (3)圆周运动的加速度一定指向圆心。(　×　) (4)向心加速度的方向始终与速度方向垂直。(　√　) 二、向心加速度的大小 根据牛顿第二定律和向心力表达式，试推导向心加速度的表达式。 答案　已知向心力表达式Fn=m=mω2r，根据牛顿第二定律Fn=man，得an==ω2r。 1.向心加速度公式 (1)an==ω2r。 (2)由于v=ωr，所以向心加速度也可以写成an=ωv。 (3)由于ω==2πf，所以向心加速度也可以写成an=r=4π2f2r。 2.向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心。 从公式an=看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式an=ω2r看，向心加速度与半径成正比。这两种说法是否矛盾？为什么？ 答案　不矛盾，在线速度一定的情况下，向心加速度与半径成反比，在角速度一定的情况下，向心加速度与半径成正比。 例1　(2023·嘉兴市高一期中)某同学在研究圆周运动时做摆臂动作，用手机内置的速度传感器测定手的速度。该同学先用刻度尺测量手臂伸直时的长度(刻度尺的零刻度线与肩平齐)，如图所示，然后他水平伸直手臂，手握手机，将手臂以肩为轴自然下摆。若当手臂摆到竖直位置时，手机显示的速度大小约为0.65 m/s，则此时手机的向心加速度大小约为(　　) A.0.65 m/s2 B.1.3 m/s2 C.2 m/s2 D.6.5 m/s2 答案　A 解析　根据题意，由题图可知，手机转动的半径约为0.65 m，由公式an=可得，手臂摆到竖直位置时手机的向心加速度大小约为an==0.65 m/s2，故选A。 例2　如图所示，甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，甲、乙两物体随地球自转的线速度大小分别为v1和v2，向心加速度大小分别为a1和a2，地球可视为均匀的球体，下列关系式正确的是(　　) A.v1∶v2=1∶1 B.v1∶v2=1∶ C.a1∶a2=2∶1 D.a1∶a2=∶1 答案　D 解析　甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，轨道半径关系为== 甲、乙两物体随地球一起自转，角速度相同，由线速度与角速度的关系知== 故A、B错误；由向心加速度a=ω2R知 == 故C错误，D正确。 三、圆周运动的动力学问题分析 如图所示，在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小球，细绳的上端固定，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。 (1)小球受哪几个力的作用？是什么力提供了小球做匀速圆周运动的向心力？(忽略空气阻力) (2)当细绳与竖直方向成θ角时，小球运动的向心加速度大小为多少？(重力加速度为g) 答案　(1)小球受重力和细绳的拉力作用，重力和拉力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力(如图所示)。 (2)根据牛顿第二定律：mgtan θ=man得an=gtan θ。 例3　长为L的细线，下端拴一质量为m的小球，上端固定，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，细线与竖直方向成θ角时，求：(重力加速度为g) (1)细线上的拉力大小； (2)小球运动的线速度的大小和角速度的大小。 答案　(1)　(2)　 解析　(1)小球受重力及细线的拉力的作用，如图所示， 由平衡条件可知，竖直方向： FTcos θ=mg， 故拉力FT=。 (2)小球做匀速圆周运动的半径r=Lsin θ，向心力Fn=FTsin θ=mgtan θ，又Fn=m， 故小球的线速度大小v=。 由Fn=mrω2 联立解得ω=。 思考：从上面角速度大小的结果中我们可以看出做圆锥摆运动的小球的角速度ω与什么因素有关？ 答案　与圆心到细线上端的高度有关。 例4　(多选)(2024·杭州市富阳区场口中学高一月考)一个内壁光滑的圆锥形筒竖直固定，轴线垂直水平面，有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则(　　) A.A球的角速度必小于B球的角速度 B.A球的线速度必小于B球的线速度 C.A球的运动周期必大于B球的运动周期 D.A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力 答案　AC 解析　设圆锥形筒的侧线与水平方向的夹角为θ，小球受到的重力与支持力的合力提供向心力，可得mgtan θ=mω2r，可得ω=，可知A球的角速度必小于B球的角速度，故A正确；根据v=ωr=可知，A球的线速度必大于B球的线速度，故B错误；根据T==2π可知，A球的运动周期必大于B球的运动周期，故C正确；根据平衡条件可知球受到的支持力为FN=，可知筒壁对A、B球的支持力大小相等，根据牛顿第三定律可知A球对筒壁的压力等于B球对筒壁的压力，故D错误。 分析匀速圆周运动问题的基本步骤 1.明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 2.确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。 3.找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。 4.利用牛顿第二定律列方程F合=Fn=mω2r=m=mr。 5.解方程求出待求物理量。 拓展学习：用运动学方法分析匀速圆周运动向心加速度 1.向心加速度的方向 第一步，画出物体经过 A、B两点时的速度方向，如图甲所示。 第二步，平移vA至B点，如图乙所示。 第三步，作出物体由A点到B点的速度变化量Δv，如图丙所示。 第四步，假设由A到B的时间极短， A到B的距离将非常小，作出此时的Δv，如图丁所示。 从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。 2.向心加速度的大小 由图丁可知，当Δt足够小时，θ就足够小，θ角所对的弦和弧的长度就近似相等。 因此，θ=，由角速度定义知：θ=ωΔt，可得： Δv=vωΔt 根据加速度定义式a=，由v=ωr得向心加速度大小的表达式为an=ω2r，an =。 课时对点练　[分值：100分] 1~7题每题7分，共49分 考点一　对向心加速度的理解 1.两物体都在做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　) A.它们的线速度大小相等时，半径小的向心加速度大 B.它们的周期相等时，半径小的向心加速度大 C.它们的角速度相等时，半径小的向心加速度大 D.它们的转速相等时，半径小的向心加速度大 答案　A 解析　根据a=可知线速度大小相等时，半径小的向心加速度大，A正确；根据a=r可知周期相等时，半径大的向心加速度大，B错误；根据a=ω2r可知角速度相等时，半径小的向心加速度小，C错误；根据a=4π2n2r可知转速相等时，半径小的向心加速度小，D错误。 2.A、B两物体做匀速圆周运动时的向心加速度随半径变化的关系图线如图所示，其中曲线为反比例函数的一部分，则(　　) A.B物体运动时，其线速度的大小不变 B.B物体运动时，其角速度不变 C.A物体运动时，其角速度不变 D.A物体运动时，其线速度随半径的增大而减小 答案　B 解析　B图线a与r成正比，则由向心加速度公式a=ω2r可知，B物体运动的角速度保持不变，故B正确，A错误；A图线a与r成反比，则由向心加速度公式a=可知，A物体的线速度大小不变，故C、D错误。 3.光滑的水平面上固定着一个螺旋形光滑水平轨道，俯视如图所示。一小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，运动到螺旋形中央，下列关于该小球运动的说法正确的是(　　) A.线速度增大，角速度不变 B.线速度不变，角速度减小 C.线速度减小，向心加速度增大 D.角速度增大，向心加速度增大 答案　D 解析　水平轨道光滑，所以小球的线速度大小不变，但是转动半径变小，根据ω=可知角速度增大，根据a=可知向心加速度变大，故D正确，A、B、C错误。 考点二　向心加速度的计算 4.(2021·全国甲卷)“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为(　　) A.10 m/s2 B.100 m/s2 C.1 000 m/s2 D.10 000 m/s2 答案　C 解析　根据匀速圆周运动的规律， 此时ω=2πn=100π rad/s， 向心加速度a=ω2r≈1 000 m/s2，故选C。 5.一皮带传动装置的示意图如图所示，右轮半径为r，A是其边缘上的一点，左轮半径为2r，C点位于左轮边缘上，B点在左轮上且到轮心的距离为r。传动过程中皮带不打滑。则(　　) A.A、B两点的角速度之比为1∶1 B.A、B两点的角速度之比为1∶2 C.A、C两点的向心加速度之比为1∶4 D.A、C两点的向心加速度之比为2∶1 答案　D 解析　由题图可知，A、C有大小相同的线速度，则有vA=vC，B、C有相同的角速度，则有ωB=ωC，又vA=ωAr，vC=ωB·2r，联立解得ωA∶ωB=2∶1，故A、B错误； 由题图可知，A、C有大小相同的线速度，则向心加速度an=∝，因A、C两点的半径之比为1∶2，故A、C两点的向心加速度之比为2∶1，故C错误，D正确。 考点三　匀速圆周运动的动力学问题 6.如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系式正确的是(　　) A.线速度vA=vB B.角速度ωA>ωB C.它们受到合力FA合>FB合 D.它们受到的摩擦力FfA>FfB 答案　C 解析　A、B同轴运动，两者角速度相等，选项B错误；根据v=ωr可知，选项A错误；由F合=mrω2可知，选项C正确；在竖直方向，它们所受的静摩擦力等于重力，由于二者质量相等，重力相等，所以它们受到的静摩擦力相等，选项D错误。 7.无人机在某次作业过程中在空中盘旋，可看成匀速圆周运动，已知无人机的质量为m，以恒定速率v在空中水平盘旋，如图所示，圆心为O，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，关于空气对无人机的作用力方向和大小的说法正确的是(　　) A.竖直向上，F=mg B.竖直向上，F=m C.斜向右上方，F=m D.斜向右上方，F=m 答案　D 解析　根据牛顿第二定律，无人机需要的向心力F向=，无人机受重力、空气的作用力，根据平行四边形定则，则空气对无人机的作用力F==m，故选D。 8、9题每题8分，10、11题每题11分，共38分 8.一质量为m的物体，沿半径为R的半圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则它在最低点时受到的摩擦力大小为(　　) A.μmg B. C.μm(g+) D.μm(g-) 答案　C 解析　在最低点有：FN-mg=m，得FN=mg+m，又由滑动摩擦力公式有Ff=μFN=μ(mg+m)=μm(g+)，C选项正确。 9.(多选)(2024·宁波市五校联盟高一期中)如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与OO'之间的夹角θ为60°，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.物块做圆周运动的加速度大小为g B.陶罐对物块的支持力大小为2mg C.转台转动的角速度大小为 D.物块转动的线速度大小为 答案　ABC 解析　物块的受力情况如图所示，由图可知，物块受到的支持力和重力的合力提供物块做圆周运动的向心力，则有F合=mgtan 60°=ma，解得a=g，故A项正确；由受力分析可知有=cos 60°，解得FN=2mg，故B项正确；物块做匀速圆周运动，有mgtan 60°=mω2r，由几何关系有r=Rsin 60°，解得ω=，故C项正确；根据角速度与线速度的关系有v=ωr，解得v=，故D项错误。 10.(11分)如图甲，一半径为r=0.2 m的滚筒洗衣机内有一件质量为m=0.5 kg的衣服(示意图如图乙)，衣服贴着内壁跟着圆筒以角速度ω=20 rad/s绕中心轴做匀速圆周运动，重力加速度g=10 m/s2，若此时衣服恰好不下滑，求： (1)(4分)衣服对桶壁的压力大小； (2)(7分)衣服与桶壁之间的动摩擦因数。 答案　(1)40 N　(2) 解析　(1)衣服所受弹力F=mω2r=40 N 由牛顿第三定律知，衣服对桶壁的压力大小为F'=F=40 N (2)衣服竖直方向受力平衡，Ff=mg=5 N 而Ff=μF 解得μ=。 11.(11分)在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H=25 m的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m=60 kg的被困人员B，直升机A和被困人员B一起沿水平方向匀速运动，当飞机突然在空中悬停寻找最近的安全目标时，致使被困人员B在空中做水平面内的圆周运动，如图乙所示，此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10 m/s2)求： (1)(3分)被困人员B做圆周运动的半径r； (2)(4分)悬索对被困人员B的拉力大小； (3)(4分)被困人员B做圆周运动的角速度。 答案　(1)15 m　(2)750 N　(3) rad/s 解析　(1)被困人员B在空中做水平面内的圆周运动，可得r=Hsin 37°=15 m (2)对被困人员B受力分析，有FTcos 37°=mg 解得FT=750 N (3)根据牛顿第二定律可得FTsin 37°=mω2r 解得ω= rad/s。 12.(13分)(2024·浙江省精诚联盟高一月考)游乐场中的“空中飞椅”项目深受欢迎，当设施开始旋转，其可以简化为如图乙所示的模型，两个完全相同的可视为质点的载人飞椅a、b分别用悬线悬于水平杆A、B两端，悬线长la=2 m，水平杆xOA=1 m，将装置绕竖直杆匀速旋转后，a、b在同一水平面内做匀速圆周运动，且飞椅间相对位置不变。已知两悬线与竖直方向的夹角分别为α=30°、β=60°，飞椅a、b载人后的总质量均为50 kg，重力加速度g=10 m/s2。求： (1)(4分)a、b的绳上的拉力大小Fa、Fb； (2)(4分)a运动的角速度大小ω； (3)(5分)b运动的线速度大小v。 答案　(1) N　1 000 N　(2) rad/s　(3)2 m/s 解析　(1)如图，分别对a、b两载人飞椅进行受力分析 Fa=，Fb= 解得Fa= N，Fb=1 000 N (2)对飞椅a由牛顿第二定律得 mgtan α=mraω2，a做匀速圆周运动的半径为ra= lasin α+xOA 解得a的角速度ω= rad/s (3)由于a、b是同轴转动，因此b的角速度ω= rad/s，对飞椅b由牛顿第二定律得mgtan β=mvω 所以v= 2 m/s。 学科网（北京）股份有限公司 $