第五章 专题强化 运动的合成与分解应用实例（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一物理必修第二册教师用书（人教版 浙江）

专题强化　运动的合成与分解应用实例 [学习目标]　1.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题(重点)。2.会分析小船渡河问题的两个分运动，会求渡河的最短时间和最短位移(重难点)。3.能利用运动的合成与分解的知识，分析关联速度问题(重点)。4.掌握常见的绳关联模型和杆关联模型的速度分解的方法(重点)。 一、小船渡河模型 一条宽度为d的河流，已知船在静水中的速度为v船，水流速度为v水，那么： 1.渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？方向如何？ 答案　(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。 (2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行。 2.小船渡河时间问题 (1)怎么求解小船渡河过程所用的时间？ (2)小船怎样航行渡河时间最短？最短时间是多少？ (3)以最短时间航行，小船能否到达正对岸？画出运动情况示意图加以说明。 (4)如果渡河过程中水流速度突然增大，是否影响渡河时间？ 答案　(1)小船渡河时间取决于垂直河岸的分速度，可知渡河时间：t=。 (2)由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供垂直河岸的分速度。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。tmin=。 (3)不能。如图所示。 (4)不影响，因为渡河时间与水流速度无关。 3. 小船渡河位移问题 (1)若小船渡河位移最小，船头指向如何？此时位移为多少？画出运动情况示意图加以说明(设v船>v水)。 (2)以最短位移渡河时，渡河时间是多少？ 答案　(1)船头指向偏向上游，使合速度垂直岸。此时位移为河宽d。如图所示。 (2)以最短位移渡河时，船头与上游河岸夹角θ满足：v船cos θ=v水，渡河所用时间t=。 例1　小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求(sin 53°=0.8，cos 53°=0.6)： (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？ (2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？ 答案　(1)40 s　正对岸下游120 m处　(2)船头指向与河岸的上游成53°角　50 s 解析　(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t== s=40 s，小船沿河流方向的位移x=v水t=3×40 m=120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。 (2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图所示，则v合==4 m/s，经历时间t'== s=50 s 又cos θ===0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角。 拓展　如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？画出运动情景示意图加以说明。 答案　如果水流速度变为10 m/s，如图所示，要使小船航程最短，应使v合'的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ'角，有cos θ'==，解得θ'=60°，即船头指向与河岸的上游成60°角。 二、关联速度模型 如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。 (1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？ (2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？ (3)从运动的合成与分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？ (4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？ 答案　(1)不相等。如图，船的位移x船大于车的位移x车=l1-l2。 (2)不相等，船的速度大于车的速度。 (3)如图，P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度。 (4)由v=v船cos α得v船=。 例2　(多选)(2023·浙江大学附属中学高一期末)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑轻质定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动，重力加速度为g。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图所示)，下列判断正确的是(　　) A.P的速率为vcos θ2 B.P的速率为 C.绳的拉力大于mgsin θ1 D.绳的拉力小于mgsin θ1 答案　AC 解析　将小车的速度v分解为沿绳子方向的速度和垂直绳子方向的速度，如图。则沿绳方向的速度等于P的速度，即vP=vcos θ2，故A正确，B错误；随θ2的减小，则vP增大，则P做加速运动，根据FT-mgsin θ1=ma可知绳的拉力大于mgsin θ1，故C正确，D错误。 例3　如图所示，竖直平面内固定一根“L”形足够长的细杆。a球套在竖直杆上，b球套在水平杆上，a、b通过铰链用长度为L的刚性轻杆连接，a球向下滑且轻杆与竖直杆夹角为30°时，a球与b球速度大小之比为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为杆不可伸长或缩短，故a、b球沿刚性轻杆的速度相同，将两球实际速度沿刚性轻杆和垂直刚性轻杆分解，如图所示。可得vacos 30°=vbcos 60°，a球与b球速度大小之比为=，故选A。 1.分析“关联”速度的基本步骤 2.常见的速度分解模型 情景图示 定量结论 v=v∥=v物cos θ v物'=v∥=v物cos θ v∥=v∥' 即v物cos θ=v物'cos α v∥=v∥' 即v物cos α=v物'cos β 专题强化练　[分值：100分] 1~5题每题9分，共45分 考点一　小船渡河模型 1.(多选)下列选项图中的实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是(　　) 答案　AB 解析　船头垂直指向对岸时，由速度的合成可知，合速度应是偏向下游的，且运动时间最短，故A正确，C错误；小船要想渡河位移最短，船头就应偏向上游，使得船在静水中沿上游河岸的速度分量与河水的速度大小相等、方向相反，合速度垂直河岸，故B正确；船头偏向下游时，合速度的方向与河水流动的方向间的夹角应为锐角，故D错误。 2.(2023·绍兴市高一期末)汽艇以18 km/h的速度沿垂直于河岸的方向匀速向对岸行驶，已知河宽500 m，如果河水的流速为3.6 km/h，下列说法正确的是(　　) A.汽艇行驶到对岸所需时间约28 s B.汽艇恰好行驶到正对岸的P点靠岸 C.汽艇行驶到正对岸P点的上游100 m处靠岸 D.汽艇行驶到正对岸P点的下游100 m处靠岸 答案　D 解析　汽艇速度为v1=18 km/h=5 m/s，河水的流速为v2=3.6 km/h=1 m/s，汽艇行驶到对岸所需时间为t== s=100 s，故A错误；汽艇沿河岸方向的位移为x=v2t=100 m，可知汽艇行驶到正对岸P点的下游100 m处靠岸，故B、C错误，D正确。 3.在京杭大运河的某个渡口，河宽为120米，水流速度恒为3 m/s，船在静水中的速度为5 m/s，一条渡船恰好沿直线从A点驶向对岸的B点。已知AB与河岸垂直，则(　　) A.船头与河岸恰好垂直 B.过河时间为24 s C.只提高船在静水中的速度，船将不能沿AB方向航行 D.只改变船头方向，仍可以使船沿AB方向航行 答案　C 解析　船在静水中的速度与水流速度的矢量和沿AB方向，所以船头一定朝向AB左侧，故A错误；根据平行四边形定则可知船的合速度大小为v==4 m/s，所以渡河时间为t==30 s，故B错误；由于水流速度大小和方向一定，所以无论是只提高船在静水中的速度，还是只改变船头方向，两种情况下都不能使船在静水中的速度与水流速度的矢量和再次沿AB方向，即船将不能沿AB方向航行，故C正确，D错误。 考点二　关联速度模型 4.(2024·杭州市高一期末)如图所示，汽车在岸上用轻绳拉船，若汽车行进速度为v，当拉船的绳与水平方向的夹角为30°时船的速度为(　　) A.v B.v C.v D.v 答案　C 解析　将船的速度沿着绳子和垂直绳子方向正交分解，如图所示。沿着绳子的分速度等于汽车行进速度，即v'cos θ=v，所以v'==v，故选C。 5.如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未画出)，关于两球速度vA和vB的关系，下列说法正确的是(　　) A.若θ=30°，则A、B两球的速度大小相等 B.若θ=60°，则A、B两球的速度大小相等 C.vA=vBtan θ D.vA=vBsin θ 答案　C 解析　当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据速度的分解可知(如图所示)，沿杆方向两分速度大小相等，vAcos θ=vBsin θ，即vA=vBtan θ，故C正确，D错误。当θ=45°时，vA=vB，故A、B错误。 6~8题每题10分，9题15分，共45分 6.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过光滑轻质定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA=10 m/s匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB为(　　) A.5 m/s B. m/s C.20 m/s D. m/s 答案　D 解析　物体B的速度可分解为如图所示的两个分速度，由图可知vB∥=vBcos 30°，由于绳不可伸长，有vB∥=vA，故vA=vBcos 30°，所以vB== m/s，故选D。 7.如图所示，套在竖直细杆上的轻环A由跨过轻质光滑定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连，对A施加一竖直方向的外力F让轻环A沿杆以速度v匀速上升，从图中M位置上升至与定滑轮的连线水平的N位置，已知AO与竖直杆成θ角，则(　　) A.A匀速上升时，重物B减速下降 B.所施加的外力F的方向竖直向上 C.轻环A过位置M时，重物B的速度vB= D.重物B下降过程，绳对B的拉力小于B的重力 答案　A 解析　根据题意，分解A的速度，如图所示。可知轻环A过位置M时，重物B的速度vB=va=vcos θ，A匀速上升时，θ增大，则cos θ减小，可知vB减小，则重物B减速下降，重物B具有向上的加速度，则绳对B的拉力大于B的重力，故C、D错误，A正确；根据题意，设绳子的拉力为FT，对轻环受力分析可知，竖直方向上受竖直向下的摩擦力、绳子拉力竖直向上的分力和外力F，若绳子拉力竖直向上的分力FTcos θ>Ff，由平衡条件可知，外力F竖直向下，若绳子拉力竖直向上的分力FTcos θ<Ff，由平衡条件可知，外力F竖直向上，故B错误。 8.如图所示，一只小船横渡一条河流。小船船头垂直于河岸，自A点出发沿直线抵达河对岸的B点，历时20 s，已知AB与河岸的夹角α=37°，河水流速大小为4 m/s，小船相对静水的速度不变。sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，下列判断中错误的是(　　) A.河流的宽度为60 m B.小船相对静水速度的大小为3 m/s C.只要调整小船的航向合适，小船可以沿直线抵达正对岸的C点 D.无论怎样调整小船的航向，小船渡河的位移都不可能小于80 m 答案　C 解析　根据位移关系有d=v1t·tan 37°=4×20× m=60 m，A正确；小船相对静水速度的大小为v2=v1tan 37°=3 m/s，B正确；因为静水中的船速小于水速，所以小船无法沿直线到达正对岸的C点，C错误；当合速度与下游河岸的夹角β满足sin β==，小船渡河的位移最小，最小为s==80 m，D正确。 9.(15分)一小船渡河，河宽d=180 m，水流速度v1=2.5 m/s。(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8) (1)(8分)若船在静水中的速度为v2=5 m/s。 ①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ (2)(7分)若船在静水中的速度v2'=1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ 答案　(1)①船头应朝垂直河岸方向　36 s　90 m　②船头与上游河岸成60°角　24 s　180 m (2)船头应朝上游与河岸成53°角方向　150 s　300 m 解析　(1)若v2=5 m/s，船速大于水速。 ①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向；当船头垂直河岸时，如图甲所示 tmin== s=36 s v合== m/s x1=v合tmin=90 m ②欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向，如图乙所示 有v2sin α=v1 得α=30° 所以当船头与上游河岸夹角为60°时航程最短 x2=d=180 m t===24 s (2)若v2'=1.5 m/s，船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为θ，则航程x3= 欲使航程最短，需使θ最大，如图丙所示，以v1矢量末端为圆心，v2'大小为半径作圆，出发点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合″与水平方向夹角最大，应使v合″与圆相切， 即v合″⊥v2' sin θ== 得θ=37° 所以船头应朝上游与河岸夹角为53°方向 t'===150 s x3==300 m。 (10分) 10.如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(均可视为质点)。将其放在一个固定不动的光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向夹角θ=30°，B球的速度大小为v2，则v1与v2的关系为(　　) A.v2=3v1 B.v2=2v1 C.v2=v1 D.v2=4v1 答案　C 解析　如图所示，将A球和B球的速度分解成沿着杆与垂直于杆两方向，由于A、B两球在同一杆上，沿杆的分速度相等，则有v1sin θ=v2sin θ，所以v2=v1，故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $ DIWUZHANG 第五章 专题强化　运动的合成与分解 　　　　　应用实例 1 1.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题(重点)。 2.会分析小船渡河问题的两个分运动，会求渡河的最短时间和最短位移(重难点)。 3.能利用运动的合成与分解的知识，分析关联速度问题(重点)。 4.掌握常见的绳关联模型和杆关联模型的速度分解的方法 (重点)。 学习目标 2 一、小船渡河模型 二、关联速度模型 专题强化练 内容索引 3 一 小船渡河模型 4 一条宽度为d的河流，已知船在静水中的速度为v船，水流速度为v水，那么： 1.渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？方向如何？ 答案　(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。 (2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行。 2.小船渡河时间问题 (1)怎么求解小船渡河过程所用的时间？ 答案　小船渡河时间取决于垂直河岸的分速度，可知渡河时间：t=。 (2)小船怎样航行渡河时间最短？最短时间是多少？ 答案　由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供垂直河岸的分速度。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。tmin=。 (3)以最短时间航行，小船能否到达正对岸？画出运动情况示意图加以说明。 答案　不能。如图所示。 (4)如果渡河过程中水流速度突然增大，是否影响渡河时间？ 答案　不影响，因为渡河时间与水流速度无关。 3. 小船渡河位移问题 (1)若小船渡河位移最小，船头指向如何？此时位移为多少？画出运动情况示意图加以说明(设v船>v水)。 答案　船头指向偏向上游，使合速度垂直岸。此时位移为河宽d。如图所示。 (2)以最短位移渡河时，渡河时间是多少？ 答案　以最短位移渡河时，船头与上游河岸夹角θ满足：v船cos θ=v水，渡河所用时间t=。 　 小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求(sin 53°=0.8，cos 53°=0.6)： (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？ 例1 答案　40 s　正对岸下游120 m处 当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t== s=40 s，小船沿河流方向的位移x=v水t=3×40 m=120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。 (2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？ 答案　船头指向与河岸的上游成53°角　50 s 要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图所示，则v合==4 m/s，经历时间t'== s=50 s 又cos θ===0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角。 　 如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？画出运动情景示意图加以说明。 答案　如果水流速度变为10 m/s，如图所示，要使小船航程最短，应使v合'的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ'角，有cos θ'==，解得θ'=60°，即船头指向与河岸的上游成60°角。 返回 拓展 二 关联速度模型 13 如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。 (1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？ 答案　不相等。如图，船的位移x船大于车的位移x车=l1-l2。 (2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？ 答案　不相等，船的速度大于车的速度。 (3)从运动的合成与分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？ 答案　如图，P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度。 (4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？ 答案　由v=v船cos α得v船=。 　(多选)(2023·浙江大学附属中学高一期末)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑轻质定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动，重力加速度为g。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图所示)，下列判断正确的是 A.P的速率为vcos θ2 B.P的速率为 C.绳的拉力大于mgsin θ1 D.绳的拉力小于mgsin θ1 例2 √ √ 将小车的速度v分解为沿绳子方向的速度和垂直绳子方向的速度，如图。则沿绳方向的速度等于P的速度，即vP=vcos θ2，故A正确，B错误； 随θ2的减小，则vP增大，则P做加速运动，根据FT-mgsin θ1=ma可知绳的拉力大于mgsin θ1，故C正确，D错误。 　如图所示，竖直平面内固定一根“L”形足够长的细杆。a球套在竖直杆上，b球套在水平杆上，a、b通过铰链用长度为L的刚性轻杆连接，a球向下滑且轻杆与竖直杆夹角为30°时，a球与b球速度大小之比为 A. B. C. D. 例3 √ 因为杆不可伸长或缩短，故a、b球沿刚性轻杆的速度相同，将两球实际速度沿刚性轻杆和垂直刚性轻杆分解，如图所示。可得vacos 30°= vbcos 60°，a球与b球速度大小之比为=，故选A。 总结提升 1.分析“关联”速度的基本步骤 总结提升 2.常见的速度分解模型 情景图示 定量结论   v=v∥=v物cos θ   v物'=v∥=v物cos θ 总结提升 情景图示 定量结论   v∥=v∥' 即v物cos θ=v物'cos α   v∥=v∥' 即v物cos α=v物'cos β 返回 专题强化练 三 24 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 AB D C C C D A C 题号 9 10 答案 (1)①船头应朝垂直河岸方向　36 s　90 m ②船头与上游河岸成60°角　24 s　180 m (2)船头应朝上游与河岸成53°角方向　150 s　300 m C 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 考点一　小船渡河模型 1.(多选)下列选项图中的实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础对点练 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 船头垂直指向对岸时，由速度的合成可知，合速度应是偏向下游的，且运动时间最短，故A正确，C错误； 小船要想渡河位移最短，船头就应偏向上游，使得船在静水中沿上游河岸的速度分量与河水的速度大小相等、方向相反，合速度垂直河岸，故B正确； 船头偏向下游时，合速度的方向与河水流动的方向间的夹角应为锐角，故D错误。 答案 2.(2023·绍兴市高一期末)汽艇以18 km/h的速度沿垂直于河岸的方向匀速向对岸行驶，已知河宽500 m，如果河水的流速为3.6 km/h，下列说法正确的是 A.汽艇行驶到对岸所需时间约28 s B.汽艇恰好行驶到正对岸的P点靠岸 C.汽艇行驶到正对岸P点的上游100 m处靠岸 D.汽艇行驶到正对岸P点的下游100 m处靠岸 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 汽艇速度为v1=18 km/h=5 m/s，河水的流速为v2=3.6 km/h=1 m/s，汽艇行驶到对岸所需时间为t== s=100 s，故A错误； 汽艇沿河岸方向的位移为x=v2t=100 m，可知汽艇行驶到正对岸P点的下游100 m处靠岸，故B、C错误，D正确。 答案 3.在京杭大运河的某个渡口，河宽为120米，水流速度恒为3 m/s，船在静水中的速度为5 m/s，一条渡船恰好沿直线从A点驶向对岸的B点。已知AB与河岸垂直，则 A.船头与河岸恰好垂直 B.过河时间为24 s C.只提高船在静水中的速度，船将不能沿AB方向航行 D.只改变船头方向，仍可以使船沿AB方向航行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 船在静水中的速度与水流速度的矢量和沿AB方向，所以船头一定朝向AB左侧，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根据平行四边形定则可知船的合速度大小为v= =4 m/s，所以渡河时间为t==30 s，故B错误； 由于水流速度大小和方向一定，所以无论是只提高船在静水中的速度，还是只改变船头方向，两种情况下都不能使船在静水中的速度与水流速度的矢量和再次沿AB方向，即船将不能沿AB方向航行，故C正确，D错误。 答案 考点二　关联速度模型 4.(2024·杭州市高一期末)如图所示，汽车在岸上用轻绳拉船，若汽车行进速度为v，当拉船的绳与水平方向的夹角为30°时船的速度为 A.v B.v C.v D.v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 将船的速度沿着绳子和垂直绳子方向正交分解，如图所示。沿着绳子的分速度等于汽车行进速度，即v'cos θ=v，所以v'==v，故选C。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 5.如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未画出)，关于两球速度vA和vB的关系，下列说法正确的是 A.若θ=30°，则A、B两球的速度大小相等 B.若θ=60°，则A、B两球的速度大小相等 C.vA=vBtan θ D.vA=vBsin θ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据速度的分解可知(如图所示)，沿杆方向两分速度大小相等，vAcos θ=vBsin θ，即vA=vBtan θ，故C正确，D错误。 当θ=45°时，vA=vB，故A、B错误。 答案 6.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过光滑轻质定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA=10 m/s匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB为 A.5 m/s B. m/s C.20 m/s D. m/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 能力综合练 √ 答案 物体B的速度可分解为如图所示的两个分速度，由图可知vB∥=vBcos 30°，由于绳不可伸长，有vB∥=vA，故vA=vBcos 30°，所以vB== m/s，故选D。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 7.如图所示，套在竖直细杆上的轻环A由跨过轻质光滑定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连，对A施加一竖直方向的外力F让轻环A沿杆以速度v匀速上升，从图中M位置上升至与定滑轮的连线水平的N位置，已知AO与竖直杆成θ角，则 A.A匀速上升时，重物B减速下降 B.所施加的外力F的方向竖直向上 C.轻环A过位置M时，重物B的速度vB= D.重物B下降过程，绳对B的拉力小于B的重力 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根据题意，分解A的速度，如图所示。可知轻环A过位 置M时，重物B的速度vB=va=vcos θ，A匀速上升时，θ 增大，则cos θ减小，可知vB减小，则重物B减速下降， 重物B具有向上的加速度，则绳对B的拉力大于B的重力， 故C、D错误，A正确； 根据题意，设绳子的拉力为FT，对轻环受力分析可知，竖直方向上受竖直向下的摩擦力、绳子拉力竖直向上的分力和外力F，若绳子拉力竖直向上的分力FTcos θ>Ff，由平衡条件可知，外力F竖直向下，若绳子拉力竖直向上的分力FTcos θ<Ff，由平衡条件可知，外力F竖直向上，故B错误。 答案 8.如图所示，一只小船横渡一条河流。小船船头垂直于河岸，自A点出发沿直线抵达河对岸的B点，历时20 s，已知AB与河岸的夹角α=37°，河水流速大小为4 m/s，小船相对静水的速度不变。sin 37°=0.6，cos 37° =0.8，下列判断中错误的是 A.河流的宽度为60 m B.小船相对静水速度的大小为3 m/s C.只要调整小船的航向合适，小船可以沿直线 　抵达正对岸的C点 D.无论怎样调整小船的航向，小船渡河的位移都不可能小于80 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根据位移关系有d=v1t·tan 37°=4×20× m= 60 m，A正确； 小船相对静水速度的大小为v2=v1tan 37°=3 m/s， B正确； 因为静水中的船速小于水速，所以小船无法沿直线到达正对岸的C点，C错误； 当合速度与下游河岸的夹角β满足sin β==，小船渡河的位移最小，最小为s==80 m，D正确。 答案 9.一小船渡河，河宽d=180 m，水流速度v1=2.5 m/s。(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8) (1)若船在静水中的速度为v2=5 m/s。 ①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案　船头应朝垂直河岸方向　36 s　90 m 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 若v2=5 m/s，船速大于水速。 欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向； 当船头垂直河岸时，如图甲所示 tmin== s=36 s v合== m/s x1=v合tmin=90 m 答案 ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案　船头与上游河岸成60°角　24 s　180 m 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向，如图乙所示 有v2sin α=v1 得α=30° 所以当船头与上游河岸夹角为60°时航程最短 x2=d=180 m t===24 s 答案 (2)若船在静水中的速度v2'=1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案　船头应朝上游与河岸成53°角方向　150 s　300 m 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 若v2'=1.5 m/s，船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为θ，则航程x3= 欲使航程最短，需使θ最大，如图丙所示，以v1矢量末端为圆心，v2'大小为半径作圆，出发点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合″与水平方向夹角最大，应使v合″与圆相切， 即v合″⊥v2' sin θ== 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得θ=37° 所以船头应朝上游与河岸夹角为53°方向 t'===150 s x3==300 m。 答案 10.如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(均可视为质点)。将其放在一个固定不动的光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向夹角θ=30°，B球的速度大小为v2， 则v1与v2的关系为 A.v2=3v1 B.v2=2v1 C.v2=v1 D.v2=4v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 尖子生选练 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图所示，将A球和B球的速度分解成沿着杆与垂直于杆两方向，由于A、B两球在同一杆上，沿杆的分速度相等，则有v1sin θ=v2sin θ，所以v2=v1，故选C。 返回 答案 $