第五章 4 第2课时 平抛运动的两个重要推论 一般的抛体运动（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一物理必修第二册教师用书（人教版 浙江）

第2课时　平抛运动的两个重要推论　一般的抛体运动 [学习目标]　1.掌握平抛运动的两个重要推论，能运用推论解决相关问题(重点)。2.知道一般抛体运动的特点并掌握其分析方法(重点)。3.会利用一般抛体运动的规律解决斜上抛问题(重难点)。 一、平抛运动的两个重要推论 1.推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。如图，即xOB=xA。 推导：从速度的分解来看，速度偏向角的正切值tan θ== ① 将速度v反向延长，速度偏向角的正切值 tan θ== ② 联立①②式解得xOB=v0t=xA。 2.推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ=2tan α。 推导：速度偏向角的正切值tan θ= ① 位移偏向角的正切值 tan α=== ② 联立①②式可得tan θ=2tan α。 例1　如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上的速度方向与斜面的夹角为φ2，若v2>v1，不计空气阻力，则φ1和φ2的大小关系是(　　) A.φ1>φ2 B.φ1<φ2 C.φ1=φ2 D.无法确定 答案　C 解析　设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为β，根据平抛运动的推论，有tan α=2tan β， 由上述关系式结合题图中的几何关系可得tan (φ+θ)=2tan θ， 即小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1=φ2，即以不同初速度做平抛运动，小球落在同一斜面上各点的速度方向是互相平行的。故选C。 例2　在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，那么刺客离墙壁有多远(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)(　　) A.d B.2d C.d D.d 答案　C 解析　把两飞镖速度反向延长，交点为水平位移中点，如图所示，设水平位移为x， -=d， 解得x=d，故选C。 二、一般的抛体运动 如果物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方，且抛出后物体只受重力作用，则这个物体做斜抛运动，如图所示。 1.斜抛运动也是曲线运动，那么我们应该采取什么样的方法来研究斜抛运动呢？ 答案　采用“化曲为直”的思路，利用运动的分解，用两个直线运动进行等效替代。 2.试根据所学知识分析斜上抛运动的特点 初速度 受力情况 加速度 运动情况 水平 方向 v0x=v0cos θ 不受力 ax=0 匀速直 线运动 竖直 方向 v0y=v0sin θ 重力 ay=g 竖直上 抛运动 1.斜抛运动(以斜上抛运动为例)的速度 水平速度：vx=v0x=v0cos θ。 竖直速度：vy=v0y-gt=v0sin θ-gt。  2.斜抛运动(以斜上抛运动为例)的位移 水平位移：x=v0xt=v0tcos θ。  竖直位移：y=v0tsin θ-gt2。  3.斜抛运动(以斜上抛运动为例)的对称性特点 (1)速度对称：轨迹上关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小相等，水平方向分速度相同，竖直方向分速度等大反向。如图所示。 (2)时间对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的曲线上升时间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。 (3)轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。 4.由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。 1.做斜上抛运动的物体落回同一水平面的时间由什么因素决定？ 答案　做斜上抛运动的物体达到最高点的时间：t=，所以物体落回同一水平面的时间为T=，则可知T 与竖直分速度有关。 2.做斜上抛运动的物体上升的最大高度由什么因素决定？ 答案　物体达到最大高度时，它的竖直分速度为零(vy=0)，可得：hm=，则上升的最大高度与竖直分速度有关。 3.做斜上抛运动的物体水平射程由什么因素决定？在初速度v0大小不变的情况下，当与水平方向的夹角θ为多少时，射程x最大？ 答案　由x=t总得，做斜上抛运动的物体水平射程为： x=，可看出物体水平射程由抛射角θ和初速度v0共同决定。在初速度v0大小不变的情况下，随抛射角θ的增大，sin 2θ增大，射程也增大。当θ=45°时，sin 2θ=1，射程达到最大值，以后抛射角再增大时，sin 2θ减小，射程也减小。 例3　如图所示，从水平地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N两点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则(　　) A.B的加速度比A的加速度大 B.B的飞行时间比A的飞行时间长 C.B落地时的速度比A落地时的速度大 D.B在最高点的速度与A在最高点的速度相等 答案　C 解析　A和B的加速度均等于重力加速度，即B的加速度等于A的加速度，故A错误；两球都做斜抛运动，竖直方向的分运动是竖直上抛运动，根据运动的对称性可知，上升和下落的时间相等，而下落过程，根据t=，知两球下落时间相等，则两球飞行的时间相等，故B错误；两球的飞行时间相等，A的水平位移小于B的水平位移，则A的水平分速度小，最高点只有水平分速度，故最高点A的速度比B的速度小，故D错误；落地时A和B的竖直分速度一样大，B的水平分速度比A的水平分速度大，根据v=可知，B落地时的速度比A落地时的速度大，故C正确。 例4　如图是手机某游戏的截图。忽略空气阻力，小鸟脱离弹弓后做斜上抛运动，假设小鸟能获得的初速度是10 m/s，方向与水平方向夹角成53°，g取10 m/s2，不计弹弓高度。sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，求： (1)小鸟能达到的最大高度和在最高点的速度大小； (2)小鸟的水平射程。 答案　(1)3.2 m　6 m/s　(2)9.6 m 解析　(1)小鸟以初速度v0=10 m/s做斜上抛运动，水平和竖直方向的分初速度分别为 vx=v0cos 53°=6 m/s，v0y=v0sin 53°=8 m/s 小鸟在竖直方向上做竖直上抛运动，设小鸟能达到的最大高度为h，则根据0-=-2gh 解得h==3.2 m 到达最高点时，竖直方向速度为零，合速度大小为vx=v0cos 53°=6 m/s (2)设小鸟从抛出到上升至最高点所经历的时间为t，由速度公式得 0=v0y-gt 解得t==0.8 s 小鸟在水平方向做匀速直线运动，根据斜上抛运动的对称性，小鸟的水平射程为 x=2vxt=9.6 m。 课时对点练　[分值：100分] 1~6题每题8分，共48分 考点一　平抛运动的两个重要推论 1.如图所示，某运动员在倾斜的山坡上练习射箭，山坡可以看成一个平整的斜面，运动员每次都以不同的速度将箭沿水平方向射出，若所有的箭最后都扎入泥土中，在忽略空气阻力的情况下，且假设箭头所指方向即为箭的速度方向，则以下射箭结果图符合平抛理论的是(　　) 答案　B 解析　平抛运动的位移角(位移方向与水平方向的夹角)满足tan α===，速度角(速度方向与水平方向的夹角)满足tan β==，所以有tan β=2tan α，所有的箭都扎进斜坡，所以位移角都相等，则速度角也相等，即每支箭互相平行；因为水平分速度的存在，所以箭与水平方向的夹角都小于90°。故选B。 2.如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　) A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为 C.若仅小球初速度增大，则平抛运动的时间不变 D.若仅小球初速度增大，则θ增大 答案　C 解析　小球落地时竖直方向的速度vy=gt，根据题意可得tan θ=，解得v0=，A错误；设在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为α，根据平抛运动的推论2tan α=tan θ，可知α≠，B错误；竖直方向高度不变，根据h=gt2，可得t=，若仅小球初速度增大，则平抛运动的时间不变，C正确；根据tan θ=，可知若仅小球初速度增大，则θ减小，D错误。 考点二　一般的抛体运动 3.(2024·丽水市高一期末)如图为一抛出的小球在空中的频闪照片，A、C在同一水平线上，B为抛物线的最高点，忽略空气阻力，则下列有关小球的说法正确的是(　　) A.在AB段运动的时长小于BC段的时长 B.在B处仅具有水平方向的速度 C.A处的速度大小大于C处的速度大小 D.以更大的速度从A处抛出后轨迹可能不变 答案　B 解析　由于忽略空气阻力，小球只受重力，做斜抛运动，AB段和BC段的竖直高度相同，B为抛物线的最高点，所以小球在B处竖直速度为0，仅具有水平方向的速度，根据对称性可知，在AB段运动的时长等于BC段的时长，A错误，B正确；根据v=gt可知A处的竖直速度大小等于C处的竖直速度大小，而水平方向速度不变，所以A处的速度大小等于C处的速度大小，C错误；以更大的速度从A处抛出小球，小球抛出时的竖直速度和水平速度都变大，运动时间变长，上升的最大高度和水平位移都变大，所以轨迹会发生改变，D错误。 4.如图所示，小明从同一高度将相同的A、B两个篮球先后抛出，篮球恰好都能垂直打在篮板上的P点。已知篮球A、B抛出时与水平方向的夹角分别为θA、θB，运动时间分别为tA、tB，抛出时初速度的大小分别为v0A、v0B，不计空气阻力。则(　　) A.θA=θB B.θA<θB C.tA<tB D.v0A<v0B 答案　D 解析　将两篮球的运动过程的逆过程看作是平抛运动，则因为竖直高度相同，根据vy=可知竖直速度相同，vyA=vyB，根据t=，可知运动时间相同，tA=tB，根据vx=，可知A的水平速度较小，v0=，即v0A<v0B，根据tan θ=可知θA>θB，故选D。 5.(2023·湖南卷)如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　　) A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B.谷粒2在最高点的速度小于v1 C.两谷粒从O到P的运动时间相等 D.两谷粒从O到P的平均速度相等 答案　B 解析　抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，故谷粒2运动时间较长，C错误；两谷粒水平位移相同，但谷粒2运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小，即谷粒2最高点的速度小于v1，B正确；两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。 6.(多选)如图，射击训练场内，飞靶从水平地面A点以仰角θ斜向上飞出，落在相距100 m的B点，最高点距地面20 m，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A.飞靶从A到B的飞行时间为2 s B.飞靶在最高点的速度大小为25 m/s C.抬高仰角θ，飞靶的飞行时间增大 D.抬高仰角θ，飞靶的飞行距离不断增大 答案　BC 解析　飞靶在竖直方向做竖直上抛运动，根据对称性可得飞靶从A到B的飞行时间为tAB=2t1=2=4 s，故A错误；飞靶在水平方向的速度vx==25 m/s，在最高点竖直方向速度为零，则飞靶在最高点的速度大小为25 m/s，故B正确；根据速度的分解可得vx=vcos θ，vy=vsin θ，飞靶飞行的时间t==，可知抬高仰角θ，飞靶的飞行时间增大，故C正确；飞行距离x=vxt==，可知θ=45°时，飞行距离有最大值，并不是不断增大，故D错误。 7~9题每题9分，10题14分，共41分 7.(2024·丽水市高一期末)2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸由我空军专机护送从韩国接回辽宁沈阳。辽宁沈阳桃仙国际机场以“过水门”最高礼遇迎接英雄回家，仪式中的“水门”是由左右两辆消防车喷出的水柱形成。如图所示，若两水柱从同一高度对称射出，恰好在最高点相遇后散开，最高点到出水口的竖直距离约为20 m，两辆消防车的水平距离约为80 m，不计水柱空气阻力和水流间相互作用，g取10 m/s2，则可知(　　) A.两水柱相遇时的速度为零 B.水柱射出时的速度大小约为20 m/s C.两水柱在相遇前运动的时间可能不相等 D.水柱射出的方向与水平面所成夹角约为45° 答案　D 解析　两水柱相遇时均有水平速度，则速度不为零，选项A错误；由对称性可知，两水柱在相遇前运动的时间相等，水柱从射出到最高点的时间为t==2 s，水柱射出时的竖直速度vy=gt=20 m/s，水平速度v0== m/s=20 m/s，则射出时的速度大小约为v==20 m/s，水柱射出的方向与水平面所成夹角θ满足tan θ==1，θ=45°，选项D正确，B、C错误。 8.(2023·浙江省模拟)如图所示的音乐喷泉，假设从水面四周喷出的各水流，速度大小相等、与水平面所成夹角大小相同，不计空气阻力、水流互不干扰。则下列说法正确的是(　　) A.水落回水面的速度都相同 B.初速度加倍，水在空中飞行时间加倍 C.初速度加倍，水的水平射程加倍 D.空中上升过程的水，处在超重状态 答案　B 解析　速度是矢量，水落回水面的速度大小相等，方向不同，故A错误；设初速度大小为v0，与水平方向夹角为θ，斜抛运动在竖直方向上的分运动为竖直上抛运动，水在空中运动的时间为t=，水平方向的射程为x=v0cos θ·t=，由此可知，初速度加倍，水在空中飞行时间加倍，水平射程变为原来的四倍，故B正确，C错误；空中上升过程的水，加速度向下，处于失重状态，故D错误。 9.如图所示，一小球从A点以初速度v0水平抛出，撞到竖直挡板上时，速度方向与水平面所成的夹角为30°；改变小球从A点水平抛出的速度大小，当小球再次撞到挡板时，速度方向与水平面所成的夹角为60°。不计空气阻力，小球第二次从A点抛出的速度大小为(　　) A. B. C.v0 D.v0 答案　C 解析　作速度方向的反向延长线交水平位移于点Q，Q为水平位移的中点， 由速度的分解 tan 30°== ① tan 60°== ② 由位移的分解 tan 30°== ③ tan 60°== ④ 由①②③④得，v2=v0，故选C。 10.(14分)在篮球比赛中，篮球的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率。在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上(如图)，设投球点到篮筐距离为9.8 m，不考虑空气阻力，重力加速度大小取g=9.8 m/s2。 (1)(8分)篮球进筐的速度有多大？ (2)(6分)篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度是多少？ 答案　(1)9.8 m/s　(2)2.45 m 解析　(1)设篮球出手和进筐的速度大小分别为v0和v，由题意可知v=v0。设篮球从出手到落入篮筐所用的时间为t，在竖直方向篮球只受重力，为竖直上抛运动，以竖直向上为正方向，则有-v0sin 45°=v0sin 45°-gt。篮球在水平方向的分运动为匀速运动，有x=v0tcos 45°。联立解得v=v0=9.8 m/s。 (2)篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度h==2.45 m。 (11分) 11.通常情况下，实际的抛体都是在介质中运动的。由于介质对运动物体的阻力作用，物体运动速度会降低。已知在空气中运动的物体所受阻力方向与运动方向相反，大小随速度的增大而增大。通常情况下，地球自身运动和地球的形状对抛体运动影响非常微小，可忽略不计。可以认为抛体运动的物体在某点的受力情况如图所示。假定空气中一弹丸从地面抛射出去，初速度为v0，方向与水平地面夹角为θ；弹丸落地时，速度大小为v，方向与水平地面夹角为α，落地点与抛出点在同一水平面。从弹丸抛出到落地，下列分析正确的是(　　) A.弹丸上升的时间大于下降的时间 B.弹丸竖直方向的加速度先减小后增大 C.弹丸在最高点时的加速度是重力加速度 D.弹丸落地时与水平方向的夹角α大于抛出时与水平方向的夹角θ 答案　D 解析　从开始运动到最高点v0y=v0sin θ，a1y=g+sin β，从最高点到落点a2y=g-sin β，可知上升过程竖直方向上加速度更大，则上升时间要小，故A错；上升过程，Ff不断减小，a1y不断减小，下落过程，Ff不断增大，a2y不断减小，所以弹丸的竖直方向加速度一直在减小，故B错；最高点时，阻力Ff与重力mg垂直，加速度为a=，故C错；如图所示， 虚线是没有阻力作用时的抛物线，而存在空气阻力时，落地时弹丸在竖直和水平方向上速度都小于初始速度，实际球的轨迹为实线所示，可见弹丸落地时与水平方向的夹角α大于抛出时与水平方向的夹角θ，选项D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　平抛运动的两个重要推论　 　　　　 一般的抛体运动 DIWUZHANG 第五章 1 1.掌握平抛运动的两个重要推论，能运用推论解决相关问题(重点)。 2.知道一般抛体运动的特点并掌握其分析方法(重点)。 3.会利用一般抛体运动的规律解决斜上抛问题(重难点)。 学习目标 2 一、平抛运动的两个重要推论 二、一般的抛体运动 课时对点练 内容索引 3 平抛运动的两个重要推论 一 4 1.推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。如图，即xOB=xA。 推导：从速度的分解来看，速度偏向角的正切值tan θ==___ ① 将速度v反向延长，速度偏向角的正切值 tan θ=_________=____________ ② 联立①②式解得xOB=v0t=xA。 2.推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ=2tan α。 推导：速度偏向角的正切值tan θ=_____ ① 位移偏向角的正切值 tan α===_____ ② 联立①②式可得tan θ=2tan α。 　 如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上的速度方向与斜面的夹角为φ2，若v2>v1，不计空气阻力， 则φ1和φ2的大小关系是 A.φ1>φ2 B.φ1<φ2 C.φ1=φ2 D.无法确定 例1 √ 设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为β，根据平抛运动的推论，有tan α=2tan β， 由上述关系式结合题图中的几何关系可得tan (φ+θ)=2tan θ， 即小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1=φ2，即以不同初速度做平抛运动，小球落在同一斜面上各点的速度方向是互相平行的。故选C。 　在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，那么刺客离墙壁有多远(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8) A.d B.2d C.d D.d 例2 √ 返回 把两飞镖速度反向延长，交点为水平位移中点，如图所示，设水平位移为x， -=d， 解得x=d，故选C。 一般的抛体运动 二 11 如果物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方，且抛出后物体只受重力作用，则这个物体做斜抛运动，如图所示。 1.斜抛运动也是曲线运动，那么我们应该采取什么样的方法来研究斜抛运动呢？ 答案　采用“化曲为直”的思路，利用运动的分解，用两个直线运动进行等效替代。 2.试根据所学知识分析斜上抛运动的特点   初速度 受力情况 加速度 运动情况 水平方向 v0x=________ ________ ax=____ _________运动 竖直方向 v0y=________ ______ ay=____ _________运动 v0cos θ v0sin θ 不受力 0 匀速直线 重力 g 竖直上抛 1.斜抛运动(以斜上抛运动为例)的速度 水平速度：vx=v0x=v0cos θ。 竖直速度：vy=v0y-gt= 。  2.斜抛运动(以斜上抛运动为例)的位移 水平位移：x=v0xt= 。  竖直位移：y= 。  梳理与总结 v0sin θ-gt v0tcos θ v0tsin θ-gt2 3.斜抛运动(以斜上抛运动为例)的对称性特点 (1)速度对称：轨迹上关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小　　　，水平方向分速度相同，竖直方向分速度等大反向。如图所示。 梳理与总结 (2)时间对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的曲线上升时间　　 下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。 (3)轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。 4.由抛出点到最高点的过程可逆向看作　　　运动来分析。 相等 等于 平抛 1.做斜上抛运动的物体落回同一水平面的时间由什么因素决定？ 思考与讨论 答案　做斜上抛运动的物体达到最高点的时间：t=，所以物体落回同一水平面的时间为T=，则可知T 与竖直分速度有关。 2.做斜上抛运动的物体上升的最大高度由什么因素决定？ 答案　物体达到最大高度时，它的竖直分速度为零(vy=0)，可得：hm=，则上升的最大高度与竖直分速度有关。 3.做斜上抛运动的物体水平射程由什么因素决定？在初速度v0大小不变的情况下，当与水平方向的夹角θ为多少时，射程x最大？ 思考与讨论 答案　由x=t总得，做斜上抛运动的物体水平射程为：x=，可看出物体水平射程由抛射角θ和初速度v0共同决定。在初速度v0大小不变的情况下，随抛射角θ的增大，sin 2θ增大，射程也增大。当θ=45°时，sin 2θ=1，射程达到最大值，以后抛射角再增大时，sin 2θ减小，射程也减小。 　如图所示，从水平地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N两点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则 A.B的加速度比A的加速度大 B.B的飞行时间比A的飞行时间长 C.B落地时的速度比A落地时的速度大 D.B在最高点的速度与A在最高点的速度相等 例3 √ A和B的加速度均等于重力加速度，即B的加速度等于A的加速度，故A错误； 两球都做斜抛运动，竖直方向的分运动是竖直 上抛运动，根据运动的对称性可知，上升和下落的时间相等，而下落过程，根据t=，知两球下落时间相等，则两球飞行的时间相等，故B错误； 两球的飞行时间相等，A的水平位移小于B的水平位移，则A的水平分速度小，最高点只有水平分速度，故最高点A的速度比B的速度小，故D错误； 落地时A和B的竖直分速度一样大，B的水平分速度比A的水平分速度大，根据v=可知，B落地时的速度比A落地时的速度大，故C正确。 　如图是手机某游戏的截图。忽略空气阻力，小鸟脱离弹弓后做斜上抛运动，假设小鸟能获得的初速度是10 m/s，方向与水平方向夹角成53°，g取10 m/s2，不计弹弓高度。sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，求： 例4 (1)小鸟能达到的最大高度和在最高点的速度大小； 答案　3.2 m　6 m/s　 小鸟以初速度v0=10 m/s做斜上抛运动，水平和竖 直方向的分初速度分别为 vx=v0cos 53°=6 m/s，v0y=v0sin 53°=8 m/s 小鸟在竖直方向上做竖直上抛运动，设小鸟能达到的最大高度为h，则根据0-=-2gh 解得h==3.2 m 到达最高点时，竖直方向速度为零，合速度大小为vx=v0cos 53°=6 m/s (2)小鸟的水平射程。 答案　9.6 m 设小鸟从抛出到上升至最高点所经历的时间为t， 由速度公式得 0=v0y-gt 解得t==0.8 s 小鸟在水平方向做匀速直线运动，根据斜上抛运动的对称性，小鸟的水平射程为 x=2vxt=9.6 m。 返回 课时对点练 三 25 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B D B BC D B 题号 9 10 　11 答案 C (1)9.8 m/s　(2)2.45 m 　D 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 26 考点一　平抛运动的两个重要推论 1.如图所示，某运动员在倾斜的山坡上练习射箭，山坡可以看成一个平整的斜面，运动员每次都以不同的速度将箭沿水平方向射出，若所有的箭最后都扎入泥土中，在忽略空气阻力的情况下，且假设箭头所指方向即为箭的速度方向，则以下射箭结果图符合平抛理论的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础对点练 √ 答案 平抛运动的位移角(位移方向与水平方向的夹角)满足tan α===，速度角(速度方向与水平方向的夹角)满足tan β==，所以有tan β= 2tan α，所有的箭都扎进斜坡，所以位移角都相等，则速度角也相等，即每支箭互相平行；因为水平分速度的存在，所以箭与水平方向的夹角都小于90°。故选B。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 2.如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是 A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为 C.若仅小球初速度增大，则平抛运动的时间不变 D.若仅小球初速度增大，则θ增大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 小球落地时竖直方向的速度vy=gt，根据题意可得tan θ=，解得v0=，A错误； 设在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为α，根据平抛运动的推论2tan α=tan θ，可知α≠，B错误； 竖直方向高度不变，根据h=gt2，可得t=，若仅小球初速度增大，则平抛运动的时间不变，C正确； 根据tan θ=，可知若仅小球初速度增大，则θ减小，D错误。 答案 考点二　一般的抛体运动 3.(2024·丽水市高一期末)如图为一抛出的小球在空中的频闪照片，A、C在同一水平线上，B为抛物线的最高点，忽略空气阻力，则下列有关小球的说法正确的是 A.在AB段运动的时长小于BC段的时长 B.在B处仅具有水平方向的速度 C.A处的速度大小大于C处的速度大小 D.以更大的速度从A处抛出后轨迹可能不变 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 由于忽略空气阻力，小球只受重力，做斜抛运动，AB段和BC段的竖直高度相同，B为抛物线的最高点，所以小球在B处竖直速度为0，仅具有水平方向的速度， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 根据对称性可知，在AB段运动的时长等于BC段的时长，A错误，B正确； 根据v=gt可知A处的竖直速度大小等于C处的竖直速度大小，而水平方向速度不变，所以A处的速度大小等于C处的速度大小，C错误； 以更大的速度从A处抛出小球，小球抛出时的竖直速度和水平速度都变大，运动时间变长，上升的最大高度和水平位移都变大，所以轨迹会发生改变，D错误。 答案 4.如图所示，小明从同一高度将相同的A、B两个篮球先后抛出，篮球恰好都能垂直打在篮板上的P点。已知篮球A、B抛出时与水平方向的夹角分别为θA、θB，运动时间分别为tA、tB，抛出时初速度的大小分别为v0A、v0B，不计空气阻力。则 A.θA=θB B.θA<θB C.tA<tB D.v0A<v0B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 将两篮球的运动过程的逆过程看作是平抛运动， 则因为竖直高度相同，根据vy=可知竖直速 度相同，vyA=vyB，根据t=，可知运动时间相 同，tA=tB，根据vx=，可知A的水平速度较小，v0=，即v0A<v0B，根据tan θ=可知θA>θB，故选D。 答案 5.(2023·湖南卷)如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是 A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B.谷粒2在最高点的速度小于v1 C.两谷粒从O到P的运动时间相等 D.两谷粒从O到P的平均速度相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误； 在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，故谷粒2运动时间较长，C错误； 两谷粒水平位移相同，但谷粒2运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小，即谷粒2最高点的速度小于v1，B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。 答案 6.(多选)如图，射击训练场内，飞靶从水平地面A点以仰角θ斜向上飞出，落在相距100 m的B点，最高点距地面20 m，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是 A.飞靶从A到B的飞行时间为2 s B.飞靶在最高点的速度大小为25 m/s C.抬高仰角θ，飞靶的飞行时间增大 D.抬高仰角θ，飞靶的飞行距离不断增大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 飞靶在竖直方向做竖直上抛运动，根据对称性 可得飞靶从A到B的飞行时间为tAB=2t1=2= 4 s，故A错误； 飞靶在水平方向的速度vx==25 m/s，在最高点竖直方向速度为零，则飞靶在最高点的速度大小为25 m/s，故B正确； 根据速度的分解可得vx=vcos θ，vy=vsin θ，飞靶飞行的时间t==，可知抬高仰角θ，飞靶的飞行时间增大，故C正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 飞行距离x=vxt==，可知θ= 45°时，飞行距离有最大值，并不是不断增大，故D错误。 答案 7.(2024·丽水市高一期末)2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸由我空军专机护送从韩国接回辽宁沈阳。辽宁沈阳桃仙国际机场以“过水门”最高礼遇迎接英雄回家，仪式中的“水门”是由左右两辆消防车喷出的水柱形成。如图所示，若两水柱从同一高度对称射出，恰好在最高点相遇后散开，最高点到出水口的竖直距离约为20 m，两辆消防车的水平距离约为80 m，不计水柱空气阻力和水流间相互作用，g取10 m/s2，则可知 A.两水柱相遇时的速度为零 B.水柱射出时的速度大小约为20 m/s C.两水柱在相遇前运动的时间可能不相等 D.水柱射出的方向与水平面所成夹角约为45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 能力综合练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 两水柱相遇时均有水平速度，则速度不为 零，选项A错误； 由对称性可知，两水柱在相遇前运动的时 间相等，水柱从射出到最高点的时间为t==2 s，水柱射出时的竖直速度vy=gt=20 m/s，水平速度v0== m/s=20 m/s，则射出时的速度大小约为v==20 m/s，水柱射出的方向与水平面所成夹角θ满足tan θ= =1，θ=45°，选项D正确，B、C错误。 答案 8.(2023·浙江省模拟)如图所示的音乐喷泉，假设从水面四周喷出的各水流，速度大小相等、与水平面所成夹角大小相同，不计空气阻力、水流互不干扰。则下列说法正确的是 A.水落回水面的速度都相同 B.初速度加倍，水在空中飞行时间加倍 C.初速度加倍，水的水平射程加倍 D.空中上升过程的水，处在超重状态 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 速度是矢量，水落回水面的速度大小相等， 方向不同，故A错误；设初速度大小为v0， 与水平方向夹角为θ，斜抛运动在竖直方向 上的分运动为竖直上抛运动，水在空中运动的时间为t=，水平方向的射程为x=v0cos θ·t=，由此可知，初速度加倍，水在空中飞行时间加倍，水平射程变为原来的四倍，故B正确，C错误； 空中上升过程的水，加速度向下，处于失重状态，故D错误。 答案 9.如图所示，一小球从A点以初速度v0水平抛出，撞到竖直挡板上时，速度方向与水平面所成的夹角为30°；改变小球从A点水平抛出的速度大小，当小球再次撞到挡板时，速度方向与水平面所成的夹角为60°。不计空气阻力，小球第二次从A点抛出的速度大小为 A. B. C.v0 D.v0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 作速度方向的反向延长线交水平位移于点Q，Q为水平位移的中点， 由速度的分解 tan 30°== ① tan 60°== ② 由位移的分解 tan 30°== ③ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 tan 60°== ④ 由①②③④得，v2=v0，故选C。 答案 10.在篮球比赛中，篮球的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率。在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上(如图)，设投球点到篮筐距离为9.8 m，不考虑空气阻力，重力加速度大小取g=9.8 m/s2。 (1)篮球进筐的速度有多大？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　9.8 m/s 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 设篮球出手和进筐的速度大小分别为v0和v，由题意可知v=v0。设篮球从出手到落入篮筐所用的时间为t，在竖直方向篮球只受重力，为竖直上抛运动，以竖直向上为正方向，则有 -v0sin 45°=v0sin 45°-gt。篮球在水平方向的分运动为匀速运动，有x=v0tcos 45°。联立解得v=v0=9.8 m/s。 答案 (2)篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　2.45 m 篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度h==2.45 m。 答案 11.通常情况下，实际的抛体都是在介质中运动的。由于介质对运动物体的阻力作用，物体运动速度会降低。已知在空气中运动的物体所受阻力方向与运动方向相反，大小随速度的增大而增大。通常情况下，地球自身运动和地球的形状对抛体运动影响非常微小，可忽略不计。可以认为抛体运动的物体在某点的受力情况如图所示。假定空气中一弹丸从地面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 尖子生选练 抛射出去，初速度为v0，方向与水平地面夹角为θ；弹丸落地时，速度大小为v，方向与水平地面夹角为α，落地点与抛出点在同一水平面。从弹丸抛出到落地， 答案 下列分析正确的是 A.弹丸上升的时间大于下降的时间 B.弹丸竖直方向的加速度先减小后增大 C.弹丸在最高点时的加速度是重力加速度 D.弹丸落地时与水平方向的夹角α大于抛出时与水平方向的夹角θ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 从开始运动到最高点v0y=v0sin θ，a1y=g+sin β，从最高点到落点a2y=g-sin β，可知上升过程竖直方向上加速度更大，则上升时间要小，故A错； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 上升过程，Ff不断减小，a1y不断减小，下落过程，Ff不断增大，a2y不断减小，所以弹丸的竖直方向加速度一直在减小，故B错； 最高点时，阻力Ff与重力mg垂直，加速度为a=，故C错； 答案 如图所示，虚线是没有阻力作用时的抛物线，而存在空气阻力时，落地时弹丸在竖直和水平方向上速度都小于初始速度，实际球的轨迹为实线所示，可见弹丸落地时与水平方向的夹角α大于抛出时与水平方向的夹角θ，选项D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回 答案 $