精品解析：江苏南京市大厂高级中学2026届高三下学期四月阶段性检测数学试题

2026届高三下学期四月阶段性检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】，故. 2. 设命题，，则命题p的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定即可得出结果. 【详解】由题意知，命题p的否定为： . 故选：D. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式计算可得答案. 【详解】 . 故选；B. 4. 已知一扇形的圆心角为，半径为9，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把角度转化为弧度，根据弧度制下扇形的面积公式即可求解. 【详解】因为， 所以该扇形的面积为． 故选：A 5. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱与问天实验舱各安排2人，梦天实验舱安排1人，且甲、乙不能被安排在同一个舱内，则不同的方案数为（ ） A. 15 B. 18 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】先求总的排法，然后减去甲乙同舱的排法即可. 【详解】第一步，从5人中任选2人安排在天和核心舱，有种方法； 第二步，从剩下的3人中任选2人安排在问天实验舱，有种方法； 第三步，将最后1人安排在梦天实验舱，有1种方法. 所以，天和核心舱与问天实验舱各安排2人，梦天实验舱安排1人的方法有种. 若甲、乙在同一个舱内，先安排甲乙有2种方法，然后从剩余3人中安排1人在梦天实验舱， 最后2人安排在最后一个舱，共有， 所以满足题意的方法种数为种. 故选：C 6. 在中，角对应的边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积运算以及余弦定理求得正确答案. 【详解】依题意，， 即， ， 所以，则为锐角，所以. 故选：C 7. 若数列满足，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，得，即得数列的偶数项是2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的前项和公式求解. 【详解】由题，令，得，又，则， 所以数列的偶数项构成一个以为首项，公比为2的等比数列， . 故选：C. 8. 已知椭圆的短轴长为2，分别为左、右焦点，过椭圆上顶点作椭圆所在平面的垂线，在垂线上取点，使得直线与椭圆所在平面所成角为，则空间中的点到平面的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据椭圆短轴长求出b的值，进而确定椭圆的标准方程，结合题意求出相关线段长，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式进行计算即可求解. 【详解】由题意知椭圆的短轴长为2，即， 故椭圆方程为，则， 由题意知平面，则为直线与椭圆所在平面所成角， 即， 在中，，故， 则， 如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则， 取，则可得， 则点到平面的距离为. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 第7项和第8项的二项式系数相等 B. 奇数项的二项式系数和为1024 C. 含项的系数为165 D. 展开式中不含常数项 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式系数即可求解A，根据二项式系数和的性质即可求解B，利用通项，即可求解CD. 【详解】的展开式中共12项， 第7项和第8项的二项式系数分别为,不相等，A错误； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，为，B正确； 设其通项为，则， 令，则，故含项的系数为，C正确， 令，由于,故不存在，使得，故展开式中不含常数项，D正确， 故选：BCD 10. 设n是正整数，当一个数的n次乘方等于1时，称此数为n次“单位根”；在复数范围内，n次单位根有n个，例如，是的四个根；1，，是的三个根，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数模运算法则计算判断A；根据通过因式分解进而判断B；通过复数的计算即可判断C和D. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，因为，而是的一个根，则，故B正确； 对于C选项，，，故C错误； 对于D选项，，故D正确. 故选：ABD 11. 如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，M是AD的中点，P是BM的中点，，则下列结论正确的有（　　） A. BC⊥平面ACD B. 存在λ，使得PQ⊥平面ACD C. 存在λ，使得PQ∥平面BCD D. 若存在λ，使得PQ⊥平面ABD，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过向量的方法解决空间中线面位置关系问题 【详解】因为平面，平面，所以； 因为，，与相交于点且都在平面上，所以平面； 故选项A正确. 因为直线，，两两垂直，所以，，可构成空间的一组基 进而化简得 若要使得与平面垂直，等价于与平面的法向量共线 即且同时成立，显然不存在这样的 故选项B错误. 要使与平面平行，等价于与平面的法向量垂直 当时，，即与平面平行 故选项C正确. 要使与平面垂直，等价于且 则，可得； ，将代入 得，即 故选项D正确. 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线：的渐近线的斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的标准形式方程求其渐近线的斜率. 【详解】由题意知双曲线：，则可得双曲线的标准方程为， 故可得双曲线的渐近线为，所以渐近线的斜率为. 故答案为： 13. 已知函数，若对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，原不等式等价于，构造函数，则在上单调递减，可得不等式在上恒成立，利用分离参数法可得在上恒成立，结合导数讨论函数的性质求出即可. 【详解】设，， 等价于，即， 令，则， 所以函数在上单调递减， 则不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立，令， 则，令，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD，，若，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为_______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】由题设可得四边形为圆的内接等腰梯形，设，可得四棱锥体积关于的表达式，然后由导数知识可得答案. 【详解】因，作平面与，连接， 可得， 从而，即四边形为圆O的内接四边形. 又，， 从而，. 因， 则. 在三角形中，由正弦定理，. 因，则， 又，，则四边形为圆O的内接等腰梯形. 在四边形中，过分别作于，再过D作的垂线， 与延长线交于，易得，， 从而，则四边形面积等于四边形面积. 设，则四边形面积为：. 又，则，设四棱锥高为， 则. 从而四棱锥体积为： . 令，设 则， ，， 则在上递减，在上递增， 又，则， 从而四棱锥最大体积为： 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累加法可求得数列的通项公式； （2）由题可得，利用错位相减求得数列的前项和即可. 【小问1详解】 由条件，当时，， 所以累加得 又，所以， 取也成立，所以． 【小问2详解】 由， 相减，得， 所以． 16. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求角； （2）若，边中线长为2，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式及诱导公式得到，根据的范围即可得答案； （2）由题意得，两边同时平方可得，再根据余弦定理可得，两式联立求出，再根据三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由，可得， 由正弦定理得，， 即， 即． 又由于， 所以， 又因为，所以， 所以， 又，所以． 【小问2详解】 如图， 由题意可得， 将等式两边平方得， 因为，， 所以， 由余弦定理得， 因为，所以， 联立，解得， 可得． 17. 根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为： 1 2 3 0 概率 其中，.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子（），事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多.） （1）为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等），是否存在的值使得，请说明理由； （2）若，求，并根据全概率公式，求. 【答案】（1）不存在的值使得，理由见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）由概率之和为1和期望公式得到方程组，联立得到，令，，求导得到其单调性和极值，最值情况，从而得到答案； （2）由和求出，并用全概率公式求出. 【小问1详解】 不存在的值使得，理由如下： 由题意得，①， 且②， 由②得到，将其代入①，整理得到， 令，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， 又， 故无解， 所以不存在的值使得； 【小问2详解】 若，则，解得， ，，， 由全概率公式可得， 因为，，所以. 18. 已知双曲线 （1），求双曲线的渐近线方程. （2）设，为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为，且，求的值； （3）已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的斜率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程的公式求解； （2）先根据双曲线方程得到顶点坐标，设点，表示出向量和，利用数量积公式得到与的关系，把点代入双曲线方程即可求解； （3）设直线斜率为，直线斜率为，把直线与双曲线方程联立，利用韦达定理表示出点，同理以代可表示出点，代入斜率公式化简即可得斜率. 【小问1详解】 当时，双曲线的方程为， 则双曲线的渐近线方程为； 【小问2详解】 由题意，设， 则，， 则，， 又点在双曲线上，则，化简得， 又所以； 【小问3详解】 将点代入双曲线方程得，解得：， 故双曲线方程为； 设直线斜率为，则直线斜率为 直线方程为，联立双曲线与直线: ， 其中 即且， 由韦达定理，则， 同理以代，则， 则，， 故. 19. 已知（），. （1）当时，求证：； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）已知数列的首项为（2）中的最小值，且对任意的正整数都有（其中表示不超过的最大整数），则求满足的最小正整数. 【答案】（1） 证明：当时，，. 令，则， 所以时，在上单调递减， 时，在上单调递增. 故，即. （2） （3） 95 【解析】 【分析】（1）令，求导根据导数确定单调性及最值即可证明； （2）令，题设等价于在恒成立，接着由得到，进而放缩结合（1）即可得出结论； （3）若，可推导，其中且，为正整数，若，可推导，由此得到，再进行估算解不等式即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 令， 因为恒成立，则在恒成立， 又，所以， 当时，， 由（1）知恒成立，故. 【小问3详解】 依题意有， 若，则，， ，…，，其中且，为正整数； 若，则，，，…，， 其中且，为正整数； 依题意有，，，，，…，， 所以，…，，. 故. 令，则， ，， 故满足的最小正整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三下学期四月阶段性检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 2. 设命题，，则命题p的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知一扇形的圆心角为，半径为9，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱与问天实验舱各安排2人，梦天实验舱安排1人，且甲、乙不能被安排在同一个舱内，则不同的方案数为（ ） A. 15 B. 18 C. 24 D. 32 6. 在中，角对应的边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 若数列满足，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的短轴长为2，分别为左、右焦点，过椭圆上顶点作椭圆所在平面的垂线，在垂线上取点，使得直线与椭圆所在平面所成角为，则空间中的点到平面的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 第7项和第8项的二项式系数相等 B. 奇数项的二项式系数和为1024 C. 含项的系数为165 D. 展开式中不含常数项 10. 设n是正整数，当一个数的n次乘方等于1时，称此数为n次“单位根”；在复数范围内，n次单位根有n个，例如，是的四个根；1，，是的三个根，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，M是AD的中点，P是BM的中点，，则下列结论正确的有（　　） A. BC⊥平面ACD B. 存在λ，使得PQ⊥平面ACD C. 存在λ，使得PQ∥平面BCD D. 若存在λ，使得PQ⊥平面ABD，则 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线：的渐近线的斜率为______. 13. 已知函数，若对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 14. 已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD，，若，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为_______ ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求角； （2）若，边中线长为2，求的面积． 17. 根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为： 1 2 3 0 概率 其中，.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子（），事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多.） （1）为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等），是否存在的值使得，请说明理由； （2）若，求，并根据全概率公式，求. 18. 已知双曲线 （1），求双曲线的渐近线方程. （2）设，为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为，且，求的值； （3）已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的斜率. 19. 已知（），. （1）当时，求证：； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）已知数列的首项为（2）中的最小值，且对任意的正整数都有（其中表示不超过的最大整数），则求满足的最小正整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $