4.1 数列的概念（2）教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课题：数列的概念 提供者： 单位： 教学内容分析 （1）本节课的主要教学内容是数列的递推公式及其在求解数列问题中的应用。 （2）本节课主要介绍了数列的基本概念、数列的递推公式以及数列的前 n 项和与通项之间的关系等知识点。 （3）通过学习本节课，学生能够理解数列递推公式的含义，掌握用递推公式解决数列问题的方法，以及如何利用数列的前 n 项和与通项的关系求解通项公式。这不仅提升了学生的数学抽象和逻辑推理能力，还培养了学生运用数列知识解决实际问题的能力。 教学目标 （1）数学抽象：通过理解数列递推公式的含义，能够抽象出数列的递推关系，并用数学语言准确表达。 （2）逻辑推理：通过分析数列的前 n 项和与通项的关系，能够推导出通项公式，并运用逻辑推理解决相关问题。 （3）数学运算：通过运用递推公式，能够准确计算数列的特定项，并熟练进行数学运算。 （4）数学建模：通过实际问题的应用，能够将数列的概念和公式应用于解决实际问题，建立数学模型。 教学方法 讲授法、探究法 教学重点及难点 （1）理解数列递推公式的含义，并能够运用递推公式解决实际问题，发展数学抽象和逻辑推理的核心素养。 （2）掌握数列的前 n 项和与通项公式的关系，能够通过前 n 项和公式推导出通项公式，提升数学运算和逻辑推理的能力。 教学过程 师生活动设计 二次备课 一、课前导入 教师引导学生回忆上一节课关于数列概念的基础知识，特别是数列的定义、分类以及通项公式等。 教师简要介绍今天的主题—— 数列的递推公式及数列的前 n 项和与通项的关系，并强调这些知识在实际问题中的应用。为了激发学生的兴趣，教师可以通过一个具体例子来引出主题，例如用简单的数列求和问题引发学生思考。 二、课前小测 已知数列 {an} 的通项公式为 an＝(n－1)(n＋1)，则 a5 等于 (　　) A．10 B．12 C．14 D．16 （生：思考后回答，选择 B） 解析：由题意可知，通项公式为 an＝(n－1)(n＋1)。将 n=5 代入公式： 所以正确答案是 C。 数列前四项分别为 1, 2, 4, 7，…，请写出该数列的通项公式______。 （生：观察并尝试归纳） 详解：观察数列的规律，可以发现： 1, 2, 4, 7, … 相邻两项之间的差依次为 1, 2, 3, … 因此，通项公式可以表示为： 已知数列的前几项是 2, 4, 8, 16, 32，请写出这个数列的一个通项公式是_________。 （生：分析并得出结论） 详解：该数列的前几项可以表示为： 2, 4, 8, 16, 32, … 这是一个等比数列，公比为 2，首项为 2。因此，通项公式为： 三、新知探究 （一）数列递推公式的概念 定义：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。 举例说明：（教师列举一些具体的例子，并引导学生理解） 例 1：设数列 {an} 满足 a1=1, an=1+(n∈N, n>1)，求 a3。 解析：由已知，得 a2=1+=2, a3=1+. 答案: a3=. （生：跟随老师的讲解进行理解和计算） 补充细节：教师可以先让学生猜测 a2 和 a3 的值，然后逐步引导学生通过公式推导出来。同时，教师可以提出问题，如： 你能找出 a2 和 a3 的关系吗？（生：发现 a2=2, a3=3） 你认为 an+1 和 an 之间有什么关系？（生：推测出 an+1 = an + 1） （二）数列的通项与前 n 项和 数列的前 n 项和：数列 {an} 从第 1 项起到第 n 项止的各项之和，称为数列 {an} 的前 n 项和，记作 Sn, 即 Sn=a1+a2+…+an. 通项公式与前 n 项和的关系： 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn, 求 an, 一般使用公式 an=Sn-Sn-1(n≥2). 判断题（学生独立完成）： 递推公式也是表示数列的一种方法。（√） 所有数列都有递推公式。（×） an＝Sn－Sn－1 成立的条件是 n∈N。（√） 补充细节：教师可以让学生解释每个选项的原因，进一步巩固对递推公式和前 n 项和的理解。例如： 为什么递推公式不是所有数列都有的？（生：某些数列没有明显的递推关系） 你能举一个没有递推公式的数列例子吗？（生：随机生成的数列） 例题 3：已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn=n^2+2, 求数列 {an} 的通项公式。 解：a1=S1=1+2=3, 而 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=(n^2+2)-[(n-1)^2+2]=2n-1. 在②中，当 n=1 时，2×1-1=1, 故 a1 不适合②式. ∴数列 {an} 的通项公式为 补充细节：教师可以引导学生分步推导，逐步展示如何从 Sn 得到 an。例如： 为什么 n=1 时需要单独考虑？（生：因为 Sn-1 在 n=1 时不适用） 你能用自己的话解释一下这个公式吗？（生：当 n=1 时，an=3；当 n≥2 时，an=2n-1） 四、典例解析 例 1 已知数列 {an}, a1=1, 且满足 an=3an-1+(n∈N, 且 n>1)，写出数列 {an} 的前 5 项。 （生：跟随步骤进行计算） 解：由 a1=1, 得 a2=3a1+=3×1+； 同理 a3=3a2+=10, a4=3a3+=43, a5=3a4+=130. 补充细节：教师可以让学生自己试着计算前几项，然后互相核对答案，讨论计算过程中遇到的问题。例如： 你在计算过程中遇到了什么困难？（生：难以记住每一步的结果） 你能找到一种更有效的方法来计算吗？（生：可以列表格记录每一步的结果） 例 2 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn=-2n^2+10n，求数列 {an} 的通项公式。 （生：分步计算） 解：∵Sn=-2n^2+10n, Sn-1=-2 (n-1)^2+10 (n-1), ∴an=Sn-Sn-1=-2n^2+10n+2 (n-1)^2-10 (n-1)=-4n+12 (n≥2). 当 n=1 时，a1=-2+10=8=-4×1+12. 此时满足 an=-4n+12, ∴an=12-4n. 补充细节：教师可以引导学生逐步推导，强调每一步的逻辑性。例如： 为什么要先计算 Sn-1？（生：为了消去 Sn） 你能解释一下为什么 an=-4n+12？（生：通过化简 Sn-Sn-1 得到） 五、达标检测 已知数列 {an}, a1=1, an+1=an+, 则该数列的第 3 项等于 (　　) A.1 B. C. D. 解析:a2=a1+=1, a3=a2+. 答案：C 已知数列 {an}, an-1=man+1 (n>1), 且 a2=3, a3=5, 则实数 m 等于 (　　) A.0 B.C.2 D.5 解析：由题意，得 a2=ma3+1, 即 3=5m+1, 解得 m=. 答案：B 若数列 {an} 的通项公式为 an=-2n^2+25n, 则数列 {an} 的各项中最大项是 (　　) A. 第 4 项 B. 第 5 项 C. 第 6 项 D. 第 7 项 解析：因为 an=-2n^2+25n=-2, 且 n∈N, 所以当 n=6 时，an 的值最大，即最大项是第 6 项. 答案：C 已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 且 Sn=n-5an+23, n∈N, 则数列 {an} 的通项公式是_________。 课后作业 （1）根据数列的递推公式，求出数列 {an} 的前 5 项，其中 a1=1, an+1=3an。 （2）已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn=3n-2n+1，求出数列 {an} 的通项公式。 学科网（北京）股份有限公司 $$