第10讲：余弦定理、正弦定理应用【八大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版必修第二册）

本讲义聚焦正、余弦定理应用这一核心知识点，系统梳理了判定三角形形状、求周长或边长最值、面积最值、测量距离、高度、角度、几何图形计算及与三角函数综合等八大考点，构建从基础定理应用到实际问题解决再到综合拓展的学习支架。 资料亮点在于题型设计分层递进，典例搭配变式训练，融入峡谷宽度测量、塔高估算等现实情境，引导学生用数学眼光观察实际问题，通过推理计算发展数学思维，用数学语言表达几何关系与实际模型。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

第10讲：余弦定理、正弦定理应用 【考点梳理】 · 考点一：正、余弦定理判定三角形的形状问题 · 考点二：求三角形的周长或边长最值或范围问题 · 考点三：求三角形面积最值或者范围问题 · 考点四：测量距离问题 · 考点五：测量高度问题 · 考点六：测量角度问题 · 考点七：几何图形中的计算 · 考点八：正、余弦定理和三角函数综合问题 【知识梳理】 知识一．几个专业术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 知识二　距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 知识三　高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 【题型归纳】 题型一：正、余弦定理判定三角形的形状问题 【典例1】．（24-25高一下·福建·期中）已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】根据向量共线的坐标运算得，利用正弦定理以及两角差的正弦公式得到，即可判断. 【详解】在中，因为，且， 所以，由正弦定理得， 所以，即， 又，则，则， 所以，所以该三角形为等腰三角形. 故选：A 【变式1】．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）已知的内角所对的边分别为下列说法正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是直角三角形 D．“”是“是等边三角形”的充分不必要条件 【答案】C 【分析】利用正弦定理和余弦定理，将已知式边角互化，根据正弦函数，余弦函数的图象，借助于二倍角公式、降幂公式化简.即可一一判断正误. 【详解】对于A项，由和正弦定理，， 即，故得或， 即或，即是等腰三角形或直角三角形，故A项错误； 对于B项，因，由余弦定理，， 代入化简得，，即得，故是等边三角形，故B项错误； 对于C项，由和正弦定理，,化简得，(*)， 因,则,代入(*),得， 因，，则，故,即C项正确； 对于D项，若是等边三角形，则,即必成立， 故“”是“是等边三角形”的必要条件，故D项错误. 故选：C. 【变式2】．（23-24高一下·广东东莞·月考）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（   ） A．若，则一定是等边三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是直角三角形 D．若，则一定是锐角三角形 【答案】A 【分析】A选项，由正弦定理得到，求出，同理可得，A正确；B选项，由正弦定理和二倍角公式得到，故或，故为等腰三角形或直角三角形；C选项，化切为弦得到，结合B选项可得C错误；D选项，无法确定中其中之一是否为钝角，D错误. 【详解】A选项，，由正弦定理得， 即， 因为，所以，故，即， 同理可得，故， 一定是等边三角形，A正确； B选项，，由正弦定理得， 即，所以， 因为，所以或， 故或，故为等腰三角形或直角三角形，B错误； C选项，， 即，由B选项可知，为等腰三角形或直角三角形，C错误； D选项，，故， 故为锐角，但不知中其中之一是否为钝角，故无法确定是否为钝角三角形，D错误. 故选：A 题型二：求三角形的周长或边长最值或范围问题 【典例2】．（25-26高一下·江苏宿迁·月考）在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 由，得, 所以， ， ， 由，得， 所以，又，所以． 由，得， 所以 ， 由为锐角三角形，得，所以，解得， 由，得，所以． 所以，即 【变式1】．（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：设的外接圆半径为R，根据正弦定理及已知可将题干等式化为，再结合两角和的正弦公式进行化简，结合可得，最后根据正弦定理以及三角恒等变换用B表示出的周长，根据三角函数的性质求解即可． 方法二：根据三角形三边关系排除即可． 【详解】方法一：设的外接圆半径为R， 则， 因为， 所以， 可得， 即， 可得， 因为，， 所以， 结合，可得， 又，所以， 可得， 则的周长为 ， 因为，所以， 则， 可得 故的周长的取值范围为 方法二：由，可知周长，排除ABD， 故选：C 【变式2】．（23-24高一下·四川成都·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简为，结合余弦定理可求解；根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简，进而结合正切函数的图象及性质求解即可． 【详解】由， 整理得，所以， 又，则,故， ， 因为为锐角三角形， 所以，即，所以， 即， 所以的取值范围为． 故选：B 题型三：求三角形面积最值或者范围问题 【典例3】．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理求得角，然后利用三角形面积公式和正弦定理，将面积表示为的正弦型函数，根据三角函数的图象性质即可求解． 【详解】由，和余弦定理，可得， ，所以， 又由正弦定理，可得，则， 所以的面积 ， 因为为锐角三角形， 由解得，则，， 故. 【变式1】．（23-24高一下·福建泉州·月考）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】且，,根据正弦定理得，, 即，整理得， ，，，解得，，， ，, 的面积 为锐角三角形，，， ，， ， . 故选：C. 【变式2】．（22-23高一上·福建宁德·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，.则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用正弦定理可表示出，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦型函数最值求法可求得结果. 【详解】设，则， ，，，，， 在中，由正弦定理得：， ， ，， 当，即时，取得最大值. 故选：B. 题型四：测量距离问题 【典例4】．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，从而结合已知的数据可求得隧道的长度， 【详解】在中，，， 由正弦定理得， 在中，，， 由正弦定理得， 所以. 故选：C 【变式1】．（24-25高一下·广东·月考）如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（   ） A．60 B． C．30 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系，结合差角的正切求解. 【详解】依题意，， 则， ， 所以峡谷的宽度；. 故选：A 【变式2】．（24-25高一下·吉林长春·期末），是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（   ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.4小时 D．0.5小时 【答案】C 【分析】作出辅助线，设，根据得到方程，求出，得到，进而在中，由余弦定理得到，求出答案. 【详解】过点作⊥于点， 在中，，，设，则， 所以，解得（海里）， 所以，故， 在中，，，， 由余弦定理得， 故（海里）， 故该救援船到达点所需的最短时间为（小时）. 故选：C 题型五：测量高度问题 【典例5】．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，然后利用正弦定理求得，从而求得. 【详解】在中，，， 故，， 在中，，， ， 由正弦定理得，， 所以. 【变式1】．（25-26高一下·江苏镇江·月考）为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得 ,在点处测得树顶的仰角为,树高 约为米，则（    ）. A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先通过直角三角形的三角函数求出的长度，再在中用正弦定理即可求出. 【详解】在中，， 因为，所以米， 又因为，所以， 根据正弦定理：，即， 又因为，所以. 【变式2】．（24-25高一下·江苏镇江·月考）如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知，则山的高度MN为（   ） A． B．150m C． D． 【答案】B 【分析】根据题意在中可求，在中利用正弦定理求，再在中可直接求MN. 【详解】根据题意，， 在中，，，则， 又，， 所以，， 在中，，即，解得， 在中，， 故选：B. 题型六：测量角度问题 【典例7】．（19-20高一下·全国·课后作业）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】先过点A作于点，由勾股定理求出和，再由余弦定理求出，由，即可求出答案． 【详解】如图，过点A作于点， 由题可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为， 所以． 故选：B 【变式1】．（20-21高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 【变式2】．（24-25高二上·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以. 【详解】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 故选：D. 题型七：几何图形中的计算 【典例7】．（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二倍角公式得到，再根据余弦定理得到及的值，即可求得周长； （2）根据三角形面积公式得到的面积，即可求得结果 【详解】（1）因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积为． 【变式1】．（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理知，，，结合条件可得结论； （2）由余弦定理可求得，进而利用（1）的结论可求. 【详解】（1）由正弦定理知，在中，， 在中，， 由，， 所以， 所以； （2）在中，由余弦定理可得， 所以，由（1）可得，所以， 因为是边上的中线，所以， 所以. 【变式2】．（23-24高三上·安徽·期末）如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.    (1)求的大小; (2)若,求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是的角平分线,所以, 在中,根据余弦定理得, 所以, 则, 因为, 所以. （2）因为,所以, 在中,由正弦定理得, 在四边形中,, 所以, 则. 题型八：正、余弦定理和三角函数综合问题 【典例8】．（24-25高一下·河北石家庄·月考）在中，角所对的边分别为，已知且． (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角的性质及辅助角公式得，即可得； （2）由三角形面积公式得，再应用余弦定理求边长，即可得； （3）由题设得、，再应用三角恒等变换有，最后由正弦型函数的性质求范围. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系，知， 又， 所以，又， 则，即， 因为，所以，所以，即； （2）由题设，则， 所以， 所以三角形周长为； （3）由（1）知，则，而，得， 所以， 而，故，则的范围为. 【变式1】．（24-25高一下·浙江·月考）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，且边的中线长为，求的面积； (2)若是锐角三角形，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得，求得，再由，联立方程组，求得，因为为边中线，得到，列出方程，求得，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）由正弦定理，化简得到，再由是锐角三角形，求得，结合正切函数的性质，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：在中，因为， 由余弦定理可得，即， 整理得，所以， 因为，所以， 又因为， 联立方程组，解得，所以， 因为为边中线，则， 所以， 可得，解得或（舍去）， 所以的面积为. （2）解：由正弦定理，可得 . 因为是锐角三角形，则，可得，所以， 因为，所以，则， 所以，所以. 【变式2】．（23-24高一下·天津东丽·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为， 所以，又，， ，又，故； （2）由余弦定理，又， 所以，所以， 由可得， 故的面积； （3）由正弦定理可知，故， 因为是锐角三角形，所以， 所以，令，，， 由对勾函数的性质可知，当时，y单调递增；当，y单调递减； 当时，；当时，；当时，； 因为，所以， 故. 【高分达标】 一、单选题 1．（24-25高一下·四川成都·期末）设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由余弦定理可得出的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化简得出的值，结合三角形内角的取值范围得出、的值，进而可得出角的值，即可得出结论. 【详解】因为，所以， 因为，故， 因为，即， 即，化简得， 因为，故，可得，则，故， 因此，为直角三角形， 故选：B. 2．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】先由正弦定理求出，再由正切函数定义即可求解. 【详解】由正弦定理可得， 所以. 故选：D. 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）公园内有一棵树，，是与树根处点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为.如图，观测得，，，米，则该树的高度为（    ）米. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中利用正弦定理求出，再在直角中即可求出. 【详解】在中，， 则由正弦定理可得，即，解得米， 在直角中，米. 故选：C. 4．（2025·陕西延安·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先角化边得出，在结合余弦定理求分别求出，，的值，最后在中用余弦定理即可求出的值. 【详解】利用正弦定理结合条件可知：，即， 由余弦定理即，故，， 在中由余弦定理可知：， 在中由余弦定理可知：， 整理得：即. 故选：D 5．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）被誉为“苏北黄鹤楼”的泗水阁位于泗阳运河风光带上，建成于2012年，建筑面积约5800平方米，是四面五层仿唐汉风格的建筑.某同学为测量泗水阁的高度，在泗水阁旁边找到一座建筑物，高约为，在底面上的点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，泗水阁顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则泗水阁的高度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中求得，然后在中，利用正弦定理求得即可求解. 【详解】在中，，所以， 在中，， 则， 由正弦定理得，即，解得， 在中，. 故选：C. 6．（24-25高三·全国·二轮复习）的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则AB边上的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积公式得到，由向量法即可求得到答案. 【详解】由，解得， 设AB的中点为D，则， 则 ， 则， 故AB边上的中线长为. 故选：D. 7．（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ）三角形 A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角 【答案】D 【分析】利用余弦定理将等式整理得到，对或分类讨论即可判断． 【详解】由， 由余弦定理得， 化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确． 故选：D． 8．（23-24高一下·江苏镇江·期末）在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为，则M为BC中点，两边平方化简得到；因为，则AN为角平分线，，化简得到．解出，代入面积公式即可. 【详解】如图，在中，设,      因为，则M为BC中点，两边平方得到， ， 即，化简 因为，则AN为角平分线，， 即，条件代入化简得， ，则，且， 联立解得，解得(负值舍去). 所以. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一下·江苏无锡·月考）的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是等腰直角三角形 【答案】AD 【详解】对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于，又因三角形中大边对大角，故等价于，选项A正确； 对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，选项B错误； 对于C，由可以确定是锐角，但不能确定和的大小，所以不能判断是锐角三角形，选项C错误； 对于D，由正弦定理，结合条件， 得，， ，，，，又，， 所以，，所以是等腰直角三角形，选项D正确. 10．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度,先在河岸边定好一条基线，在点测得山顶的仰角为，在点测得山顶的仰角为.测得，.在点后移至点，测得仰角为，，则山高为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过设山高，将用和三角函数表示，再利用的余弦定理建立等式，进行推导即可. 【详解】设，因为，所以； 因为，所以， 在中，， 由余弦定理得：， 解得，故A错误，B正确； 因为，所以，又因为， 所以， 解得， 故C错误，D正确. 11．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（    ） A． B．角B的范围是 C．若的平分线交BC于D，，，则 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】应用正弦边角关系及和差角正弦公式化简得，结合三角形内角的性质判断A；由A结论及三角形内角和列不等式判断B；设，则，，进而得到，应用三角恒等变换化简求值判断C；由，结合B分析即可得范围判断D. 【详解】由正弦边角关系有， 所以，又且， 所以，A对； 由上，可得，B错； 对于C，如下图示，设，则，， 由，则，且，则， 所以， 而，且，则，所以，C对； 由， 而，且在上单调递增，则值域为，D对. 故选：ACD 12．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，角，，的对边分别为a，b，c，面积为，有以下四个命题中正确的是（   ） A．当，，时，解三角形有两解 B．当，时，不可能是直角三角形 C．当，，时，的周长为 D．当，，时，若为的外心，则的面积为 【答案】CD 【分析】根据三角形的面积公式、正弦定理，两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于选项A：由正弦定理可得：，则， 所以，因为，所以，所以解三角形有一解，故A错误； 对于选项B：因为，所以由正弦定理得，若是直角三角形的斜边， 则有，即，得，故选项B错误； 对于选项C，由，可得，由得， 由正弦定理得，，即， 所以，化简得， 因为，所以化简得， 因为，所以，所以，则， 所以，所以， 因为，所以，， 所以的周长为，故选项C正确； 对于选项D，由C可知，为直角三角形， 且，，， ， 所以的外切圆的圆心为边的中点， 所以的面积为. 所以选项D正确. 故选：CD. 三、填空题 13．（2026高一·全国·专题练习）在中，已知，，，则的面积为________． 【答案】/ 【分析】利用两角和的正切公式结合三角内角关系求出，利用余弦定理结合已知条件构造方程求出，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】由可得 ， 则， ，， 由余弦定理知， 联立解得,， 故． 14．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，已知，则的形状为______ 【答案】等腰或直角三角形 【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦公式及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 15．（24-25高一下·江苏徐州·月考）猎狗甲在A地发现野兔乙在北偏东75°方向上的B地，立刻以m/s的速度进行追捕，与此同时，野兔乙以m/s的速度往北偏东15°方向逃窜，假设甲、乙都是匀速直线运动，且m，则甲能够一次性捕获乙的最短时间为__________s. 【答案】100 【分析】利用余弦定理解三角形即可. 【详解】如图，设甲最快捕获乙的地点是点C，时间为t（单位：s）， 则，. 由题意得， 由余弦定理， 得， 解方程得或（舍去）. 故答案为：100. 16．（24-25高一下·江苏南京·期中）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积，若且，则________. 【答案】/ 【分析】由正弦定理边化角得出，再结合三角形面积公式得出，由余弦定理即可求得的值，即可求解． 【详解】， 因为，所以， 由， 由余弦定理得，， 因为，所以，则， 设，整理得，，解得或（大于1，舍去）， 所以， 故答案为：． 四、解答题 17．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【详解】（1）在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； （2）因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. （3）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 18．（2026·吉林白山·二模）如图，在平面四边形中，，在边上，，，的面积为，记． (1)若，求线段的长度； (2)当为何值时，线段的长度最小？求出该最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积求出，再在中利用余弦定理可得； （2）设，根据面积求出，再在中利用正弦定理可得，结合辅助角公式、二倍角公式化简，最后利用三角函数求最值即可. 【详解】（1）因为的面积为，，， 所以，则， 在中利用余弦定理得， 所以线段的长度为. （2）设， 因为的面积为，，所以，则， 因为，所以， 因为，所以 在中利用正弦定理可得，， 则 ， 因为，所以，则， 则，则， 等号成立时，则，即， 故当时线段的长度最小，最小为. 19．（24-25高一下·天津武清·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式即可得到角的值. （2）先利用数量积公式得到的解析式，进而得到边的值.利用正弦定理将边换成角，然后利用三角函数知识求解的取值范围. 【详解】（1）由已知，可以得到 再利用面积公式可以得到， 由余弦定理知，所以有 即. 因为，所以. （2）由数量积公式可知 由二倍角公式和辅助角公式可得. 所以. 由正弦定理可得， 所以,，因为,所以， 所以 ， 因为，所以. 所以， 所以的取值范围为. 20．（24-25高一下·江苏无锡·月考）锐角的三个内角角，，所对的边分别为，，，满足． (1)求角的大小及角的取值范围； (2)若，求的周长的取值范围； (3)若的外接圆的圆心为，且，求的取值范围． 【答案】(1)；；(2)；(3). 【详解】（1）锐角的三个内角角，，所对的边分别为，，， 因为， 由正弦定理可得， 所以， 故，因为为锐角，所以， 因为为锐角三角形，则，解得，所以，角的取值范围是. （2）因为，由正弦定理得，所以 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以周长的取值范围为 （3）设的外接圆半径为，所以， ，所以 设，则，则， 所以 因为，所以，所以,所以, 所以，所以的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲：余弦定理、正弦定理应用 【考点梳理】 · 考点一：正、余弦定理判定三角形的形状问题 · 考点二：求三角形的周长或边长最值或范围问题 · 考点三：求三角形面积最值或者范围问题 · 考点四：测量距离问题 · 考点五：测量高度问题 · 考点六：测量角度问题 · 考点七：几何图形中的计算 · 考点八：正、余弦定理和三角函数综合问题 【知识梳理】 知识一．几个专业术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 知识二　距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 知识三　高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 【题型归纳】 题型一：正、余弦定理判定三角形的形状问题 【典例1】．（24-25高一下·福建·期中）已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式1】．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）已知的内角所对的边分别为下列说法正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是直角三角形 D．“”是“是等边三角形”的充分不必要条件 【变式2】．（23-24高一下·广东东莞·月考）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（   ） A．若，则一定是等边三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是直角三角形 D．若，则一定是锐角三角形 题型二：求三角形的周长或边长最值或范围问题 【典例2】．（25-26高一下·江苏宿迁·月考）在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高一下·四川成都·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三：求三角形面积最值或者范围问题 【典例3】．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24高一下·福建泉州·月考）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（22-23高一上·福建宁德·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，.则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型四：测量距离问题 【典例4】．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一下·广东·月考）如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（   ） A．60 B． C．30 D． 【变式2】．（24-25高一下·吉林长春·期末），是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（   ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.4小时 D．0.5小时 题型五：测量高度问题 【典例5】．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一下·江苏镇江·月考）为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得 ,在点处测得树顶的仰角为,树高 约为米，则（    ）. A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】．（24-25高一下·江苏镇江·月考）如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知，则山的高度MN为（   ） A． B．150m C． D． 题型六：测量角度问题 【典例7】．（19-20高一下·全国·课后作业）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【变式1】．（20-21高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高二上·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 题型七：几何图形中的计算 【典例7】．（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【变式1】．（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 【变式2】．（23-24高三上·安徽·期末）如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.    (1)求的大小; (2)若,求的面积. 题型八：正、余弦定理和三角函数综合问题 【典例8】．（24-25高一下·河北石家庄·月考）在中，角所对的边分别为，已知且． (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【变式1】．（24-25高一下·浙江·月考）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，且边的中线长为，求的面积； (2)若是锐角三角形，求的范围. 【变式2】．（23-24高一下·天津东丽·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【高分达标】 一、单选题 1．（24-25高一下·四川成都·期末）设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（    ） A．B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）公园内有一棵树，，是与树根处点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为.如图，观测得，，，米，则该树的高度为（    ）米. A． B． C． D． 4．（2025·陕西延安·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（   ） A．2 B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）被誉为“苏北黄鹤楼”的泗水阁位于泗阳运河风光带上，建成于2012年，建筑面积约5800平方米，是四面五层仿唐汉风格的建筑.某同学为测量泗水阁的高度，在泗水阁旁边找到一座建筑物，高约为，在底面上的点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，泗水阁顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则泗水阁的高度约为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三·全国·二轮复习）的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则AB边上的中线长为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ）三角形 A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角 8．（23-24高一下·江苏镇江·期末）在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一下·江苏无锡·月考）的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是等腰直角三角形 10．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度,先在河岸边定好一条基线，在点测得山顶的仰角为，在点测得山顶的仰角为.测得，.在点后移至点，测得仰角为，，则山高为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（    ） A． B．角B的范围是 C．若的平分线交BC于D，，，则 D．的取值范围是 12．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，角，，的对边分别为a，b，c，面积为，有以下四个命题中正确的是（   ） A．当，，时，解三角形有两解 B．当，时，不可能是直角三角形 C．当，，时，的周长为 D．当，，时，若为的外心，则的面积为 三、填空题 13．（2026高一·全国·专题练习）在中，已知，，，则的面积为________． 14．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，已知，则的形状为______ 15．（24-25高一下·江苏徐州·月考）猎狗甲在A地发现野兔乙在北偏东75°方向上的B地，立刻以m/s的速度进行追捕，与此同时，野兔乙以m/s的速度往北偏东15°方向逃窜，假设甲、乙都是匀速直线运动，且m，则甲能够一次性捕获乙的最短时间为__________s. 16．（24-25高一下·江苏南京·期中）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积，若且，则________. 四、解答题 17．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 18．（2026·吉林白山·二模）如图，在平面四边形中，，在边上，，，的面积为，记． (1)若，求线段的长度； (2)当为何值时，线段的长度最小？求出该最小值． 19．（24-25高一下·天津武清·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 20．（24-25高一下·江苏无锡·月考）锐角的三个内角角，，所对的边分别为，，，满足． (1)求角的大小及角的取值范围； (2)若，求的周长的取值范围； (3)若的外接圆的圆心为，且，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $