第3节 平面向量基本定理【八大题型】讲义-2025-2026学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

第3节 平面向量基本定理 【考点梳理】 【知识梳理】 知识一：平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识二：平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 知识三： 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 【题型归纳】 题型一：基底的概念问题 【例1】．（23-24高一下·江苏无锡·月考）若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的基本定理和基底的概念逐项判断两个向量是否共线即可. 【详解】对于A选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故A不合题意； 对于B选项， 假设存在实数使得，则，，无解，所以不共线，可以作为平面的基底，故B正确； 对于C选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故C不合题意； 对于D选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故D不合题意. 故选：B. 【举一反三】 1．（23-24高一下·江苏盐城·月考）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可. 【详解】对于A选项，，所以共线，不能作为基底； 对于B选项，，所以共线，不能作为基底； 对于C选项，，所以共线，不能作为基底； 对于D选项，易知不共线，可以作为基底. 故选：D. 2．（22-23高一下·山西·月考）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 3．（23-24高一下·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质逐一判断即可. 【详解】A：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； B：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； C：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此要想成立， 一定有，显然无实数解，因此假设不成立， 因此和是不共线向量，所以本选项的向量可以做基底； D：因为， 所以和是共线向量，所以本选项的向量不可以做基底， 故选：D 题型二：基底表示向量问题 【例2】．（25-26高三上·四川巴中·月考）如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，通过向量的基本定理，用已知向量表示未知向量，即可求解. 【详解】由题意可得，，，所以，， 所以，因为， 所以, 所以 故选： 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏苏州·期末）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，利用重心的性质由向量的加法法则可得. 【详解】由题意可得为三角形重心， 所以 . 故选：D. 2（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，中，，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据比例关系分解向量即可. 【详解】中，，点是的中点， 则. 故选：D. 3．（23-24高一下·重庆·月考）如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】依题意，. 故选：B 题型三：平面向量基本定理应用 【例3】．（24-25高一下·吉林延边·期中）如图中G为重心，PQ过G点，，则（   ）    A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意，由向量的线性运算可得的表达式，又由向量共线的性质设，即，变形整理可得结论； 【详解】根据题意； 又因为，三点共线，则存在，使得， 即，即， 所以，整理得，所以. 故选：A. 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，C是AB上一点，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】变形得到，故，得到答案. 【详解】， 所以，故. 故选：D 2．（2025·江苏南通·二模）在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ）. A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】先选择两条不共线的向量作基底，再进行向量的线性运算，最后利用平面向量基本定理来求解即可． 【详解】 由图可知：，， 因为，所以， 整理得：， 根据平面向量基本定理可得：，解得， 所以， 故选：A． 3．（24-25高一下·江苏扬州·月考）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边分别交于点，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，根据共线定理得到，由基本不等式可得的最小值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为点是线段的中点，所以， 所以， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，取到最小值， 故选：D. 题型四：平面向量基本定理求参数 【例4】．（24-25高一下·山东菏泽·期中）在中，，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、的值，即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 又，、不共线， 所以，所以. 故选：C 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于点，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得，最后由且共线求参数. 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选： 2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知为重心，线段上一点满足，与相交于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形重心的性质可得，结合条件及向量共线的推论，即可求出结果. 【详解】如图，因为为的重心，所以在中线上，且， 又，所以， 设，所以， 又，所以，又三点共线， 所以，得到，所以， 故选：C. 3．（24-25高三下·山东聊城·月考）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，为线段上一点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由平面向量的线性运算可得出关于的表达式，结合平面向量的基本定理可得出关于实数、的方程组，解之即可. 【详解】在中，为线段上靠近点的三等分点，则， 因为为线段上一点，设， 即，整理得 ， 又因为，、不共线， 所以，，解得. 故选：D. 题型五：平面向量基本定理推论 【例5】．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如图， 在△ABC中， P是线段BN上的一点，若 则实数m等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，然后利用三点共线的推论即可得出答案. 【详解】， ， 因为P、B、N三点共线，所以， 故选：D. 【举一反三】 1．（24-25高一下·天津静海·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 2．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】借助平面向量线性运算与三点共线定理及基本不等式计算即可得. 【详解】由点是的重心，，， 故， 由、、三点共线，故， 则， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 3．（2024·吉林延边·一模）如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可. 【详解】因为，所以 所以， 因为，所以， 即， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而, 所以, 即. 故选：D. 题型六：平面向量共线问题 【例6】．（24-25高一下·江苏扬州·期中）设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共线定理列方程，解方程即可. 【详解】由已知，， 则， 又，，三点共线， 则与共线，， 即，解得， 故选：D. 【举一反三】 1．（22-23高一下·山东菏泽·月考）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数________. 【答案】 【分析】根据向量共线，可得，待定系数，即可求得答案. 【详解】因为向量共线， 所以存在实数，使， 则，解得，则. 故答案为： 2．（23-24高一下·江苏·期中）设是两个不共线的向量，，.，且B，C，D三点共线，则实数k的值为_________． 【答案】12 【分析】先根据向量的减法表示，再由B，C，D三点共线得到向量共线，再根据向量相等列出方程组求解即可. 【详解】由题意可知，因为， 且B，C，D三点共线，所以存在实数λ，使得， 即，得,解得. 故答案为：12 3．（24-25高一下·江苏南京·月考）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【答案】/ 【分析】利用向量的线性运算及共线向量定理列式计算得解. 【详解】由，得， 由三点共线，得，而， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 题型七：平面向量基本定理证明共线问题 【例7】．（2016高一·全国·课后作业）如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，. (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量基本定理即可写出答案； （2）由，即可写出，结合，可知，由此即可说明，，三点共线. 【详解】（1）因为是的中点，是线段上靠近点的三等分点， 所以，， 因为，， 所以， （2）证明：因为， 所以， 由（1）知，， 所以 所以与平行， 又与有公共点，所以，，三点共线. 【举一反三】 1、（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【详解】（1）， ； （2）， 又，故， 故三点共线. 2．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）如图，在中，D，F分别是BC，AC的中点，，，. (1)用分别表示向量，; (2)求证:B，E，F三点共线. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合几何图形用基底表示向量即得. （2）由（1）的信息，利用共线向量的定理推理即可. 【详解】（1）在中，由D是BC的中点，得， 而，于是 又F是AC的中点，所以. （2）由（1）知，，因此， 即，而有公共点，所以B，E，F三点共线. 3．（22-23高一上·辽宁锦州·期末）在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，. (1)若，试用，和实数表示； (2)试用，表示； (3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】(1)根据向量加减法运算即可; (2)根据向量的数量关系及向量加减法表示; (3)应用向量共线且有公共点证明即可. 【详解】（1）由题意，所以， ① （2）设，由，， ② 由①、②得，， 所以，解得，所以； （3）由，得，所以， 所以，因为与有公共点，所以，，三点共线. 题型八：平面向量基本定理综合问题 【例8】．（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，，，所以，化简为． （2）因为，，三点共线，所以，因为，，所以， 又，所以， 所以解得． （3）因为点E是线段AC上的动点，设，因为， 所以，所以，，所以， 故当时，取到最小值． 【举一反三】 1．（22-23高一下·安徽芜湖·期末）如图，在平行四边形 中，点是的中点，连接，记它们的交点为，设 . (1)用 ， 表示; (2)求< >的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的加法法则容易得出，然后求出的比值即可； （2）根据与夹角公式进行求解. 【详解】（1）在平行四边形ABCD 中，点E是AB的中点，所以，且 所以，所以，即， 根据向量的加法法则，∴ （2）由，， 于是，∴ 又， ∴. 2．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，. (1)求线段的长度， (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将、当作一组基底表示，平方之后求模即可； （2）设，将、当作一组基底表示、，再利用垂直关系即可求解. 【详解】（1）因为， ， ， ，，， 所以，所以. （2）设，因为， 所以，， ， 所以，所以. 3．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为. (1)若，求AP的长； (2)设， ①用向量表示向量； ②求的值. 【答案】(1)2 (2)； 【详解】（1） 在平行四边形中，，垂足为，， ， 解得，故长为2. （2）① ②，且三点共线， ， 又， 则， 由可知， 展开，化简得到 联立解得，故. 【高分演练】 一、单选题 1．（23-24高一下·四川泸州·月考）已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】A：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； B：，因为，所以本选项三点共线； C：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； D：由上可知：，，因为，且平面向量不共线， 显然不存在实数，使得，因此本选项三点不共线， 故选：B 2．（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用共线定理即可求出. 【详解】由题意得三点共线，则， 又，，则， ，. 故选：D. 3．（25-26高三上·江苏无锡·月考）在梯形中，，为的中点，，交于点，若，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，交AC于点.由两直线平行的性质，求得的关系.由三点共线，可用表示，即可得到，从而求得的值，相加可得的值. 【详解】如图所示，连接，交AC于点. 在梯形中，由，得，且. 所以，所以，且. 因为为的中点，所以，且. 所以，所以. 所以，. 所以，.所以 . 故选：C. 4．（24-25高一下·江苏镇江·月考）在平行四边形ABCD中，，，若，则实数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的基本定理用表示出，，然后联立求解即可. 【详解】 如图所示：由于，， 所以，， 将上两式乘以系数相加消去可得 所以，所以. 故选：A 5．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为（         ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用基底表示向量，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为，，则，， 所以，， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 因此，. 故选：C. 6．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在平行四边形中，，分别为，中点，与交于点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基底法得，再根据向量共线定理知，最后根据三点共线系数和为1结论即可得到答案. 【详解】在平行四边形中，因为，分别为，中点， 则， 因为，则， 则，显然，， 则，而三点共线， 故，则，则， 即 则，则. 故选：C.    7．（23-24高一下·江苏徐州·期中）如图，在中，，，为上一点，且满足 ，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据平面向量基本定理求，再利用基底表示和，再结合数量积运算，即可求解. 【详解】由条件可知，， 则，即，则， ， 所以， . 故选：D 二、多选题 8．（25-26高一·江苏·课后作业）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】根据向量共线定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 由于，是不共线的向量，故，不共线，故A错误， 对于B, ,故，共线，B正确， 对于C, ,故，共线，C正确， 对于D, 若存在实数，使得，则，结合，是不共线的向量， 故且，此时无解，故不存在使得，故，不共线，故D错误， 故选：BC 9．（25-26高一上·江苏盐城·期中）在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】依题意，画出图形，再结合选项依次判断即可． 【详解】由，及，得如图所示：    则，得，故A项正确； 由，则，故B项正确； 由与是同向共线的，故，故C项错误； ，故D项正确． 故选：ABD 10．（24-25高一下·江苏常州·月考）如图，在中，边是的三等分点，为中点，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用向量的线性运算即可判断AB；对于CD，利用向量的线性运算与数量积运算即可判断. 【详解】对于A，，A正确；      对于B，由题意得为的中点，所以，B不正确； 对于C，因为为中点，，则， 所以，则，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 11．（22-23高一下·山西·月考）如图，在正方形中，为上一点，交于，且为的两个三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用向量的线性运算以及三角形相似的性质对选项逐一计算即可求解. 【详解】易知，所以，因此A错误； 显然，可得B正确； ，所以C正确； 因为为上靠近的三等分点，所以，利用可得； 所以，即D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏南京·月考）在中，，，，为边中点，，则的值为__． 【答案】 【分析】找到两个基底，，然后用两个基底向量表示和，再通过向量的运算即可得 【详解】 ， ， ， 故答案为：． 13．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，，，，且，则______． 【答案】/ 【分析】根据向量的线性运算，结合数量积的运算律可得，即可求解. 【详解】由于，故,故, 又, 故, 故, 故， 由于，故， 故答案为： 14．（24-25高一下·江苏南京·月考）在平行四边形中，，交于点，若，则__________. 【答案】/ 【分析】由三角形相似推出，利用平面向量基本定理将用线性表示，对照系数即得. 【详解】如图，中，，则与相似， 因，则， 故， 即，故. 故答案为：. 15．（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知是边长为3的正所在平面内一点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由可推出，进而可得，然后，然后运用二次函数的知识可得到答案. 【详解】已知，则， 又， 那么 展开可得 因为是边长为3的正三角形， 所以，且， 代入上式得， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 16．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）在中，D、E分别在边AB，AC上，且满足，，F为BC中点． (1)若 求实数λ，μ的值； (2)若 求边BC的长． 【答案】(1)， (2)8 【分析】（1）应用向量的线性关系计算，再结合已知条件列式求参； （2）应用平面向量基本定理用表示，再结合平面向量的数量积公式及运算律计算求解. 【详解】（1），，， （2） 设 即解得 (舍)或， ∴BC长为8． 17．（24-25高一下·江苏南京·月考）如图，在边长为2的等边中，，点是边的中点，设. (1)用表示； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；； (2)； (3) 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）由（1）结合向量的数量积定义求解即可； （3）将，两边平方，算出后再开方即可得答案. 【详解】（1）解：因为； ； （2）解：； （3）解：因为， 所以. 所以. 18．（23-24高一下·四川内江·期中）在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． (1)若，AE与BF交于点N，，求的值； (2)求的最小值． 【详解】（1）当时，，即为的中点， 因为三点共线，设，则 ， 因为三点共线， 设，则， 又不共线， 根据平面向量基本定理得解得所以，又，则 所以. （2）因为，， 所以 ， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为. 19．（24-25高一下·安徽安庆·月考）如图，在中，是的中点，是的中点，过点的直线与边分别相交于点．设，． (1)若，求的值； (2)求的最小值； (3)若是边长为的等边三角形，求的最小值． 【详解】（1）为中点，， 为中点，，， . （2）由（1）得：， 三点共线，， （当且仅当，即，时取等号）， 的最小值为. （3）， ， ，，， ， ， ， 由（2）知：，即． 又，，解得：（当且仅当时取等号）， ， ，当时，取得最小值：， 即的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3节 平面向量基本定理 【考点梳理】 【知识梳理】 知识一：平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识二：平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 知识三： 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 【题型归纳】 题型一：基底的概念问题 【例1】．（23-24高一下·江苏无锡·月考）若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24高一下·江苏盐城·月考）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·山西·月考）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型二：基底表示向量问题 【例2】．（25-26高三上·四川巴中·月考）如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏苏州·期末）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，设，则（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，中，，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·重庆·月考）如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（    ） A． B． C． D． 题型三：平面向量基本定理应用 【例3】．（24-25高一下·吉林延边·期中）如图中G为重心，PQ过G点，，则（   ）    A．3 B．2 C．1 D． 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，C是AB上一点，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2025·江苏南通·二模）在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ）. A．1 B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏扬州·月考）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边分别交于点，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型四：平面向量基本定理求参数 【例4】．（24-25高一下·山东菏泽·期中）在中，，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于点，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A．2 B． C． D．3 2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知为重心，线段上一点满足，与相交于点，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·山东聊城·月考）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，为线段上一点，若，则（    ）    A． B． C． D． 题型五：平面向量基本定理推论 【例5】．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如图， 在△ABC中， P是线段BN上的一点，若 则实数m等于（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25高一下·天津静海·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 2．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C．3 D． 3．（2024·吉林延边·一模）如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 题型六：平面向量共线问题 【例6】．（24-25高一下·江苏扬州·期中）设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（22-23高一下·山东菏泽·月考）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数________. 2．（23-24高一下·江苏·期中）设是两个不共线的向量，，.，且B，C，D三点共线，则实数k的值为_________． 3．（24-25高一下·江苏南京·月考）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 题型七：平面向量基本定理证明共线问题 【例7】．（2016高一·全国·课后作业）如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，. (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线. 【举一反三】 1、（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 2．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）如图，在中，D，F分别是BC，AC的中点，，，. (1)用分别表示向量，; (2)求证:B，E，F三点共线. 3．（22-23高一上·辽宁锦州·期末）在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，. (1)若，试用，和实数表示； (2)试用，表示； (3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线. 题型八：平面向量基本定理综合问题 【例8】．（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 【举一反三】 1．（22-23高一下·安徽芜湖·期末）如图，在平行四边形 中，点是的中点，连接，记它们的交点为，设 . (1)用 ， 表示; (2)求< >的余弦值. 2．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，. (1)求线段的长度， (2)求的值. 3．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为. (1)若，求AP的长； (2)设， ①用向量表示向量； ②求的值. 【高分演练】 一、单选题 1．（23-24高一下·四川泸州·月考）已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 2．（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26高三上·江苏无锡·月考）在梯形中，，为的中点，，交于点，若，则 （ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏镇江·月考）在平行四边形ABCD中，，，若，则实数等于（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为（         ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在平行四边形中，，分别为，中点，与交于点，，则（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·江苏徐州·期中）如图，在中，，，为上一点，且满足 ，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一·江苏·课后作业）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的有（   ） A．， B．， C．， D．， 9．（25-26高一上·江苏盐城·期中）在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江苏常州·月考）如图，在中，边是的三等分点，为中点，且，则（    ）    A． B． C． D． 11．（22-23高一下·山西·月考）如图，在正方形中，为上一点，交于，且为的两个三等分点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏南京·月考）在中，，，，为边中点，，则的值为__． 13．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，，，，且，则______． 14．（24-25高一下·江苏南京·月考）在平行四边形中，，交于点，若，则__________. 15．（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知是边长为3的正所在平面内一点，且，则的最小值为______． 四、解答题 16．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）在中，D、E分别在边AB，AC上，且满足，，F为BC中点． (1)若 求实数λ，μ的值； (2)若 求边BC的长． 17．（24-25高一下·江苏南京·月考）如图，在边长为2的等边中，，点是边的中点，设. (1)用表示； (2)求的值； (3)求的值． 18．（23-24高一下·四川内江·期中）在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． (1)若，AE与BF交于点N，，求的值； (2)求的最小值． 19．（24-25高一下·安徽安庆·月考）如图，在中，是的中点，是的中点，过点的直线与边分别相交于点．设，． (1)若，求的值； (2)求的最小值； (3)若是边长为的等边三角形，求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $