专题06 几个三角恒等式（期中复习专项训练）高一数学下学期苏教版

专题06 几个三角恒等式 题型1 降幂公式及其应用（重点） 题型7 利用三角恒等变换判断三角形的形状（难点） 题型2 辅助角公式（重点） 题型8 恒等式证明（重点） 题型3 三角恒等变换的化简问题（重点） 题型9 三角恒等变换的实际应用 题型4 给角求值问题（重点） 题型10 半角公式（重点） 题型5 给值求值问题（常考点） 题型11 积化和差公式（常考点） 题型6 给值求角问题（重点） 题型12 和差化积公式（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 降幂公式及其应用（共5小题） 1．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，令，若角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．    (1)求； (2)设，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义即可求解；（2）利用降幂公式以及辅助角公式化简原式可得：．结合为等边三角形求解即可. 【详解】（1）角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点， ，根据三角函数的定义可得：，， ． （2） ， 由题意可得，从而为等边三角形， 则， 由（1）得， 故． 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用半角公式，辅助角公式得到，结合，得到方程，求出或，检验后得到答案. 【详解】， 即，故， 由辅助角公式得，即， 因为，所以， 故或，解得或， 经检验，均满足要求. 故选：AC 3．已知，则__________. 【答案】/ 【分析】先根据平方关系求出，再利用降幂公式和二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】， . 故答案为：. 4．计算求值： (1)； (2)已知，均为锐角，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）发掘角关系再利用诱导公式，降幂公式化简求值即可. （2）先将用来表示，代入，利用两角和差公式求解即可. 【详解】（1） （2）∵、都为锐角，∴， 又， ∴， ， ∴ . 5．近年来，金山区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. (1)若，求矩形的面积S； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）在直角三角形中利用半径与分别表示出和，进而可得矩形面积表达式，利用二倍角公式及辅助角公式将化简变形，将代入即可求解； （2）由（1）可知矩形的面积为，其中结合角的范围及正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）在中，，， ，，其中. 在中，，， ，， ∴矩形的面积为 当时， ， 即矩形的面积为 . （2）由（1）知：矩形的面积为，其中. ， ∴当，即时，取得最大值，最大值为. 题型二 辅助角公式（共5小题） 6．已知函数. (1)求的最小正周期并求在上的单调增区间； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调增区间为、 (2) 【分析】（1）先利用三角恒等变换将函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数性质计算即可得； （2）借助三角函数性质可得值域，在解出绝对值不等式即可得. 【详解】（1） ， 则的最小正周期； 令， 解得， 当时，，当时，， 故在上的单调增区间为、； （2）当时，，则， 故，由不等式恒成立， 则恒成立，即，即. 7．已知函数和的定义域均为，若关于的方程在定义域上有实数解，则称为函数是 “优等点”， 是的“优等函数”． (1)若函数，求证：是的“优等函数”； (2)已知函数， 是的“优等函数”，求实数最大值； (3)已知函数是的“优等函数”，试求函数所有 “优等点”的和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】(1) 即证方程有实数解,由函数的零点定理求解； (2)方程有解，即方程有解，即可求解； (3) 时有解，即时有解，设化为，进行求解． 【详解】（1）要证，即证方程有实数解, 即证方程有实数解， 令，因为，所以在区间有零点，方程有实数解，所以． （2）因为，所以关于的方程有解， 即方程有解， 即方程有解， ， 则， 所以，又，所以． （3）因为，所以时有解， 即时有解，设，化为. 由于必有两个实数根， 设为，有，， 由得无解，即至少一个在内. ①当只有一个在内时，，解得或. 若，则，得， 在内，有两个根，且， 函数是以为周期的周期函数，在上有4个零点， ，，故在上所有零点的和为； 若，则，得， 在内，有两个根，且， 函数是以为周期的周期函数， 在上有6个零点， ，，， 所以在上所有零点的和为； ②当时，，此时. 在内，共有三个根，且， 函数是以为周期的周期函数， 在上有8个零点， ，，，，， 则在上所有零点的和为； ③当时，，此时. 在内，共有三个根，且， 函数是以为周期的周期函数， 在上有7个零点， ，，，，， 则在上所有零点的和为； ④当时，，得. 在内，有两个根且有两个根且， 函数是以为周期的周期函数， 在上有10个零点， ，，，，， 则在上所有零点的和为. 综上，当时，在上所有零点的和为； 当时，在上所有零点的和为； 当时，在上所有零点的和为； 当时，在上所有零点的和为； 当时，在上所有零点的和为. 8．在中，，求的取值范围． 【答案】 【分析】先求，确定的取值范围，再利用两角和差的正余弦公式对变形整理，将分子和分母化成正弦型函数，令，分子分母同时除以，根据函数的单调性求出值域，求出答案. 【详解】因为，， 所以，所以，，， 因为，所以，且，且， 所以 因为，且，且， 所以，且，且 所以，且， 令， 所以， 令，易知在上是增函数， 所以在上单调递增， 所以， 故， 所以的取值范围为. 9．函数的值域是_____． 【答案】 【分析】利用，将原函数化简为，再令，转化为二次函数，即可求解值域． 【详解】因为，所以， 令，可知，则，， 二次函数图象开口向下，对称轴为， 当，， 当，，即函数的值域为． 故答案为：. 10．已知函数． (1)设，f（x）为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数m的取值范围； (2)已知函数f（x）的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，从而可得，分离参数得，求出函数在上的最大值即可得答案； （2）由题意求得，求出函数f（x）在上的最大值、h（x）在上的最大值，利用求解即可． 【详解】（1）因为为偶函数， 所以，， 所以 ， 当时，， 所以， 所以， 又因为存在，使不等式成立， 即成立， 因为，所以， 即实数m的取值范围为. （2）因为函数f（x）的图象过点，且， 所以，解得， 所以， 所以当时，， 所以， 又， 当时，， 令，则h（x）即为， 因为φ（t）的开口向下，对称轴为， 当，， 由，解得，所以； 当时，， 由，解得，所以； 当时，， 由，解得，所以； 综上，， 即实数a的取值范围为． 题型三 三角恒等变换的化简问题（共5小题） 11．已知函数 (1)化简的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的对称中心和单调递减区间. 【答案】(1) (2)的对称中心，；单调递减区间，. 【分析】（1）利用二倍角公式化为，再用辅助角公式化简即可； （2）根据图形变换得，再整体代入对称中心公式以及单调递减区间计算即可. 【详解】（1） （2）依题意得，， 令，得，故的对称中心，； 由，得 所以的单调递减区间，. 12．已知函数． (1)求的严格增区间； (2)求在闭区间上的最大值和最小值及此时x的值． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）根据三角恒等变换整理可得，以为整体，结合三角函数的单调性运算求解即可； （2）以为整体，结合三角函数的有界性运算求解即可. 【详解】（1）由题意可得：， 令，解得， 所以函数的严格增区间为. （2）由（1）知 因为，可得， 当时，即，函数取得最大值，最大值为； 当或时，即或，函数取得最小值，最小值为2. 13．已知函数，． (1)若，，求的值； (2)若存在，使等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)1或 (2) 【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可根据求解或，由正切的和角公式即可求解， （2）根据三角函数的性质可得，即可分离参数，由二次函数的性质求解. 【详解】（1） ． ，则， 由于，， 所以或，即或， 当时，， 当时，． （2）当时，，则， 即， 令，， 关于t的方程在上有解,即在上有解， 当时，， 由，得， 即实数m的取值范围是． 14．设． (1)若，求的值； (2)求的最小正周期、最大值和最小值； (3)求的单调增区间． 【答案】(1)答案见解析； (2)周期，最大值为，最小值； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用平方关系列式化简，再分情况计算得解. （2）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求解. （3）利用正弦函数单调性求出单调递增区间. 【详解】（1）由，得， 整理得，则当时，；当时，不存在. （2）函数 ， 则函数的最小正周期； 当，时，即，时，函数取得最大值为； 当，时，即，时，函数取得最小值为. （3）令，，解得，， 所以的单调增区间是. 15．（1）已知，是第三象限角，求的值； （2）已知，，，求的值； 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由两角差的正弦公式、诱导公式可得出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及两角和的正弦公式可求得的值； （2）利用平面向量数量积的坐标运算与弦化切可求得的值. 【详解】（1）因为，故， 因为是第三象限角，则， 所以； （2）因为，，， 所以 . 题型四 给角求值问题（共5小题） 16．年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用题中定义结合三角恒等变换化简可得所求代数式的值. 【详解】 . 故选：C． 17．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意利用三角恒等变换逐项分析判断. 【详解】对于A：因为 ， 所以，故A错误； 对于B：因为， 则 ， 所以，故B正确； 对于C、D：因为， 因为为锐角，则，即， 则，解得或（舍去）， 所以，故C正确； 但，所以，故D错误； 故选：BC. 18．下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用两角差的正切公式可判断B选项；利用二倍角的正弦公式结合诱导公式可判断C选项；利用两角差的余弦公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，因为， 所以，，B对； 对于C选项， ，C错； 对于D选项， ，D对. 故选：BD. 19．若，则___________. 【答案】 【分析】由诱导公式结合和差角公式求解即可. 【详解】 故答案为： 20．已知函数． (1)求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，最后代入数值即可； （2）由，结合倍角公式即可求得 【详解】（1）． ∴． （2） 由，得． 题型五 给值求值问题（共5小题） 21．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由、可得，根据同角的平方关系、商数关系和两角差的正弦公式计算即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 则. 由， 得. 故选：C 22．若，其中，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将和平方后相加，结合的值，建立方程求解. 【详解】∵，则令①， ∵②， 由①2＋②2得， 又，∴． ∴． 故选：A. 23．已知，． (1)求、的值； (2)求的值； (3)若、均为锐角，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由两角和与差的正弦公式可得出关于、的方程组，即可解出这两个量的值； （2）利用二倍角的正弦、余弦公式结合（1）中的结果可得出所求代数式的值； （3）根据正切函数的单调性得出，可求出、的取值范围，结合同角三角函数的基本关系结合两角和的余弦公式可求出的值. 【详解】（1）由题意得，得． （2）． （3）由，得． 由，得，得， 所以，， 由，得， ， 所以 ． 24．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式和弦化切思想即可求解. 【详解】由， 因为，所以上式， 故选：B. 25．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系式以及诱导公式、二倍角公式，计算求解. 【详解】解法一：因为，所以. 因为， 所以. 解法二：令，则，， 所以. 故选：D. 题型六 给值求角问题（共5小题） 26．已知，，且、是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦达定理，结合两角和的正切公式，即可求解，结合角的范围，即可求解. 【详解】由条件可知，，，且， 所以不妨设，则，，则 ，所以. 故选：C 27．已知，，且，. (1)的值； (2)的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据求出，利用齐次化求值的处理方法转化为即可求解； （2）结合（1）的结果，先缩小的范围，得到的范围，然后分别算出，的值进一步缩小的范围，然后结合其正弦值得出答案. 【详解】（1）根据两角差的正切公式，，解得， （2）注意到，则，，于是， 结合（1）结果，则， ，则，由可知. 于是， ， 故是第一象限角， ，，则， 于是 28．已知，，，，则的值为_____. 【答案】 【分析】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为： 29．设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理求出，再利用两角和的正切公式求出，即可得解. 【详解】因为是方程的两根， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 则， 所以. 故选：B. 30．已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解； （2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再利用两角差的正弦公式求出的正弦值，并求出的范围，即可得解. 【详解】（1）由， 解得， 所以； （2）， 由，，得， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 又，， 所以，所以， 所以， 所以． 题型七 利用三角恒等变换判断三角形的形状（共5小题） 31．若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据三角函数和与差的正弦公式，即可判断三角形的形状. 【详解】中，， 已知等式变形得， ， 即， 整理得，即， 或（不合题意，舍去）． ，， 则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 32．在中，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】利用三角公式得到，求出，即可判断. 【详解】在中，因为， 所以， 即, 展开，整理化简得：. 因为为三角形内角，所以，所以. 因为为三角形内角，所以， 所以为直角三角形. 故选：B 33．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为(    ) A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简已知条件可得B，故可判断三角形形状. 【详解】由知，， ∴＝， ，， ， ∴， ∵在△ABC中，， ∴， ∵，∴， 即△ABC为直角三角形． 故选：C． 34．已知，，若，是关于的方程的两个根（含重根），则可能是（     ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】BCD 【分析】由韦达定理及正切的两角和公式通过分类讨论可求解. 【详解】因为方程有两根，， 所以，所以， 且或. 所以， 因为，所以，从而可得， 所以. 当时，，所以，，此时锐角三角形. 当时，，可知中有一个钝角，些时钝角三角形. 若，则，此时，所以，解得或（舍）， 当时，是等腰三角形. 因此，可能是锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形. 故选：BCD 35．在△ABC中，若，则△ABC为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】利用和角正弦公式及三角形内角和性质，可得，讨论、情况下，判断△ABC对应形状. 【详解】由题意，，又， ∴，即，， ∴当时，；当时，，又，则； ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 题型八 恒等式证明（共5小题） 36．已知，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【详解】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 37．已知函数． (1)求的值； (2)已知． （ⅰ）求的最值及相应的值； （ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ），最大值，，最小值0；（ⅱ） 【分析】（1）将直接代入表达式即可求解； （2）利用二倍角公式化简得，（ⅰ）由，则，利用整体代换法从而可求解；（ⅱ）由（ⅰ）可得，从而可求解. 【详解】（1）. （2）， （ⅰ）由，得， 所以， 所以， 当时，即时，， 当时，即时，， （ⅱ）由（ⅰ）结论可得，所以， 所以，即的取值范围是． 38．（1）已知，，求的值； （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由已知及平方关系有且，结合二倍角余弦公式列方程求； （2）应用二倍角正余弦公式化简，即可证. 【详解】（1）由，，则且， 由（负值舍）. （2），得证. 39．（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用同角三角函数关系和逆用余弦差角公式化简得到答案； （2）利用诱导公式和正弦和差公式化简得到答案. 【详解】（1）证明：左边 右边，得证； （2）原式． 40．（1）已知，求的值； （2）证明恒等式：． 【答案】（1）（2）证明见解析 【分析】（1）两边平方后，根据同角公式和二倍角的正弦公式可得结果； （2）根据两角和的正弦公式和同角公式可证等式成立. 【详解】（1）由，得， 得， 得. （2）证明：左边右边. 题型九 三角恒等变换的实际应用（共5小题） 41．某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设. (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用. 【答案】(1)，定义域为. (2) (3)米时，照明装置费用最低，最低费用元. 【分析】（1）利用直角三角形锐角三角函数来表示边，结合勾股定理可得到周长的函数； （2）利用弦化切思想可求解长度； （3）由题意可知只需最小即可，然后利用换元思想，可转化为单调函数求最值. 【详解】（1）在，中，由， 得，， 又中，由勾股定理得， 因， 当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，， 所以函数关系式为，定义域为. （2）由（1）知，， 因此， 于是. （3）依题意，要使费用最低，只需最小即可， 由（1）得，， 设，则， ， ，由，得， ， , 于是， 令，函数在上为增函数， 则当时，最小，且最小值为，此时， 所以当米时，照明装置费用最低，最低费用元. 42．如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．    (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，，求出、的长，利用三角形的面积公式以及二倍角的正弦公式可求得的面积的最大值； （2）计算出线段、、、的长，令，可得出，利用二次函数的基本性质可求得途径线段长度的最大值. 【详解】（1）解：设，则，， 在中，，，则， ， 所以，， 因为，则， 当时，即当时，的面积取最大值，且最大值为. （2）解：过点作，垂足为点，    因为，，，则四边形为矩形， 所以，，， 因为，，则为等腰直角三角形，则， 所以，，，， 所以，， 令， 因为，则，则， 所以，，， 所以，， 所以，， 故当时，取最大值， 因此，从点出发，经过线段、、、，到达点，求途径线段长度的最大值为. 43．筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先做出辅助线，然后结合几何体的特征进行计算即可求得直线与水面的夹角． 【详解】如图，    过作直线与水面平行， 过 作，垂足为点，过 作，垂足为点， 设，，则，其中， 则，， 所以，， 所以， 整理可得， 因为，则，所以，，解得. 故选：A. 44．如图，在凸四边形ABCD中，，，若，则四边形ABCD面积的最大值为___________.    【答案】 【分析】将四边形分成两个三角形和三角形，结合三角恒等变换即可解出． 【详解】连接，作垂直交于点，设角， ， 所以点为线段的中点，在三角形中， ，， ， ， 设，则，， 在三角形中，， ，， ， 所以四边形的面积为 ，此时， 故答案为：．    45．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.    (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到米? (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔个座舱，游客乙进入座舱后距离地面高度能否超过游客甲，若能，是在甲进入后的多少分钟以后? 【答案】(1)， (2)分钟 (3)能，是在甲进入的分钟后 【分析】（1）根据最高点和最低点可得与，由周期求值，由结合的取值范围可得出的值，即可得函数的解析式； （2）令，结合可求得游客甲坐上摩天轮后距离地面的高度第一次恰好达到米所需时间； （3）求出经过分钟后甲距离地面的高度为，以及乙距离地面的高度为，，化简的表达式，结合可求得满足时的取值范围，即可得出结论. 【详解】（1）解：由题意，（其中，，）， 摩天轮的最高点距离地面为米，最低点距离地面为米，，得，，              又函数周期为分钟，所以，，          又，所以， 因为，则，所以，． （2）解：， 所以，得， 因为，则， 当游客甲坐上摩天轮后，距离地面的高度第一次恰好达到米，则有，解得（分钟）， 因此，游客甲坐上摩天轮后分钟，距离地面的高度第一次恰好达到米. （3）解：经过分钟后甲距离地面的高度为， 乙与甲间隔的时间为分钟， 所以乙距离地面的高度为，，            则 ， 因为，则， 由可得， 所以，，解得， 因此，在甲进入后的分钟后，游客乙进入座舱后距离底面的高度能超过游客甲. 题型十 半角公式（共5小题） 46．已知 ，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意代入函数解析式，利用二倍角公式、同角三角函数的关系式，结合弦化切化简即可. 【详解】因为 ，所以 ， 所以 . 故选：D. 47．已知是第四象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是第四象限角结合同角三角函数关系及半角公式计算求解. 【详解】因为是第四象限角，又因为，则， 所以. 故选：D. 48．已知的值，则关于和的值，下列说法中正确的是（   ） A．的值和的值均唯一确定 B．的值唯一确定，但的值可能不唯一 C．的值唯一确定，但的值可能不唯一 D．的值和的值均可能不唯一 【答案】C 【分析】由半角公式和倍角公式可得答案. 【详解】注意到， ，则的值唯一确定，但的值可能不唯一. 故选：C 49．在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若.为的中点.则__________. 【答案】 【分析】利用夹角公式先计算，由半角公式求，设，利用即可求解. 【详解】已知，则； ，则 所以. 则， 则. 由， 得； . 因为.设. ； ， 所以. 故答案为： 50．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换和同角三角函数关系得到，利用凑角法和正切差角公式求出答案. 【详解】因为，所以且， 所以， 又，所以. 故选：C 题型十一 积化和差公式（共5小题） 51．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用积化和差公式结合诱导公式即可得到答案. 【详解】因为 ，所以. 故选：C. 52．已知，且，，是在内的三个不同零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意结合正弦函数的图像性质，解出，，，即可判断选项A、B，将根据诱导公式化为，分子分母同乘，结合倍角公式即可判断C，将分子分母同乘，结合积化和差公式进行化简即可判断D. 【详解】由题知，，是的三个根， 可化为，即， 所以可得或，， 解得或，， 因为，所以或或， 故可取，，， 所以选项A错误； 因为，所以选项B正确； ， 故选项C正确； 而 ， 根据积化和差公式：， 所以原式可化为： ，故选项D正确. 故选：BCD. 53．在中，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积化和差、和差化积公式化简，利用辅助角公式求函数的最值. 【详解】， ， , ，（其中）， ， ，当时等号成立. 的最大值为. 故选：A 54．（　　） A．+cos 4x B．sin 4x C．+cos 4x D．+sin 4x 【答案】D 【分析】利用积化和差求解, 【详解】解：， ， ， ， 故选：D. 55．中，，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再运用三角函数积化和差公式，得到角为等差数列的余弦和，即可求解． 【详解】中,,则， 又 上述各式相加得， 故， 故原式. 故选：B． 题型十二 和差化积公式（共5小题） 56．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中： (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度超过的时长； (3)若甲、乙两人座舱编号之差的绝对值等于2（座舱编号沿顺时针依次编号），求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位）参考数据：，． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）根据题意得旋转的角速度和初相，结合三角函数，列出与的函数关系； （2）令，得，求解三角不等式可得； （3）根据（1）的结果，结合两人的角度差，分别计算和，化简高度差函数，根据t的取值范围，结合三角恒等变换化简得，利用三角函数性质即可求最值. 【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系． 设时，游客甲位于点，以为终边的角为； 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约， 由题意可得，． （2）在运行一周的过程中， 由，则， 令，可得， 则，解得. 所以游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度超过的时长为. （3）由甲、乙两人座舱编号之差的绝对值等于2， 如图，甲、乙两人的位置分别用点表示，不妨设点相对于始终落后， 则， 经过后，甲距离地面的高度为， 点相对于始终落后， 此时乙距离地面的高度， 则甲、乙高度差， 利用， 可得，， 当或，即或， 所以 ， 则将参考数据，代入得， . 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. 57．已知，常数满足，若集合中恰有6个元素，则的取值构成的集合为______. 【答案】 【分析】根据，集合有6个元素，利用和差化积进行求解，利用函数的性质求解. 【详解】由， 设， 则 所以函数，最小正周期, 由集合有6个元素，则可得到在半个周期内存在6个不同的值，即 化简，即， 又由，， 所以，即, 故答案为：. 58．已知是方程的根，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】， 所以或， 所以或， 解得：或， 又，所以， 所以A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， 所以， 即， 所以， 所以，故C错误； 对于D， ，故D正确. 59．求值：___________． 【答案】 【详解】 . 60．下列等式恒成立的是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由和差角公式展开即可验证ABD；对于C，令代入左边，根据公式展开即可验证. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于 C，因为 ，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 故选：C 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 几个三角恒等式 题型1 降幂公式及其应用（重点） 题型7 利用三角恒等变换判断三角形的形状（难点） 题型2 辅助角公式（重点） 题型8 恒等式证明（重点） 题型3 三角恒等变换的化简问题（重点） 题型9 三角恒等变换的实际应用 题型4 给角求值问题（重点） 题型10 半角公式（重点） 题型5 给值求值问题（常考点） 题型11 积化和差公式（常考点） 题型6 给值求角问题（重点） 题型12 和差化积公式（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 降幂公式及其应用（共5小题） 1．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，令，若角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．    (1)求； (2)设，求的值． 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则__________. 4．计算求值： (1)； (2)已知，均为锐角，，，求的值． 5．近年来，金山区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. (1)若，求矩形的面积S； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 题型二 辅助角公式（共5小题） 6．已知函数. (1)求的最小正周期并求在上的单调增区间； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 7．已知函数和的定义域均为，若关于的方程在定义域上有实数解，则称为函数是 “优等点”， 是的“优等函数”． (1)若函数，求证：是的“优等函数”； (2)已知函数， 是的“优等函数”，求实数最大值； (3)已知函数是的“优等函数”，试求函数所有 “优等点”的和． 8．在中，，求的取值范围． 9．函数的值域是_____． 10．已知函数． (1)设，f（x）为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数m的取值范围； (2)已知函数f（x）的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数a的取值范围． 题型三 三角恒等变换的化简问题（共5小题） 11．已知函数 (1)化简的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的对称中心和单调递减区间. 12．已知函数． (1)求的严格增区间； (2)求在闭区间上的最大值和最小值及此时x的值． 13．已知函数，． (1)若，，求的值； (2)若存在，使等式成立，求实数m的取值范围． 14．设． (1)若，求的值； (2)求的最小正周期、最大值和最小值； (3)求的单调增区间． 15．（1）已知，是第三象限角，求的值； （2）已知，，，求的值； 题型四 给角求值问题（共5小题） 16．年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（   ） A． B． C． D． 17．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（    ） A． B． C． D． 18．下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 19．若，则___________. 20．已知函数． (1)求的值； (2)已知，求的值． 题型五 给值求值问题（共5小题） 21．已知，则（    ） A． B． C． D． 22．若，其中，则＝（   ） A． B． C． D． 23．已知，． (1)求、的值； (2)求的值； (3)若、均为锐角，且，求的值． 24．若，则（    ） A． B． C． D． 25．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型六 给值求角问题（共5小题） 26．已知，，且、是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 27．已知，，且，. (1)的值； (2)的值. 28．已知，，，，则的值为_____. 29．设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 30．已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 题型七 利用三角恒等变换判断三角形的形状（共5小题） 31．若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 32．在中，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 33．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为(    ) A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 34．已知，，若，是关于的方程的两个根（含重根），则可能是（     ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 35．在△ABC中，若，则△ABC为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 题型八 恒等式证明（共5小题） 36．已知，且，证明： (1)； (2). 37．已知函数． (1)求的值； (2)已知． （ⅰ）求的最值及相应的值； （ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 38．（1）已知，，求的值； （2）证明：. 39．（1）证明：； （2）化简：． 40．（1）已知，求的值； （2）证明恒等式：． 题型九 三角恒等变换的实际应用（共5小题） 41．某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设. (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用. 42．如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．    (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 43．筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（    ）    A． B． C． D． 44．如图，在凸四边形ABCD中，，，若，则四边形ABCD面积的最大值为___________.    45．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.    (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到米? (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔个座舱，游客乙进入座舱后距离地面高度能否超过游客甲，若能，是在甲进入后的多少分钟以后? 题型十 半角公式（共5小题） 46．已知 ，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 47．已知是第四象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 48．已知的值，则关于和的值，下列说法中正确的是（   ） A．的值和的值均唯一确定 B．的值唯一确定，但的值可能不唯一 C．的值唯一确定，但的值可能不唯一 D．的值和的值均可能不唯一 49．在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若.为的中点.则__________. 50．已知，，则（     ） A． B． C． D． 题型十一 积化和差公式（共5小题） 51．若，则等于（    ） A． B． C． D． 52．已知，且，，是在内的三个不同零点，则（    ） A． B． C． D． 53．在中，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 54．（　　） A．+cos 4x B．sin 4x C．+cos 4x D．+sin 4x 55．中，，（    ） A． B． C． D． 题型十二 和差化积公式（共5小题） 56．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中： (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度超过的时长； (3)若甲、乙两人座舱编号之差的绝对值等于2（座舱编号沿顺时针依次编号），求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位）参考数据：，． 57．已知，常数满足，若集合中恰有6个元素，则的取值构成的集合为______. 58．已知是方程的根，且，则（ ） A． B． C． D． 59．求值：___________． 60．下列等式恒成立的是 （     ） A． B． C． D． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $