6.4.3.1余弦定理（一）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦余弦定理及推论，通过池塘长度的实际问题导入，转化为已知两边及夹角求第三边的数学问题，联系初中全等三角形知识引出探究，借助向量法推导定理，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以实际问题驱动，培养数学眼光观察现实世界，用向量推导体现数学思维的逻辑推理，例题变式结合数学语言解决问题。如例3用余弦定理判断三角形形状，变式巩固勾股定理联系，小结梳理知识点和思想方法。帮助学生提升探究与应用能力，为教师提供清晰教学流程和多样化例题。

6.4.3 余弦定理（一) 已知和及其夹角C，求角的对边的长度 这一个池塘，其长度是多少？你有什么方法？ 将这个实际问题转化为数学问题 由初中知识我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的。也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示。那么，应该如何表示呢？ 这一问题你能否借助向量探究吗？ C 推导 A B C = = = 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍．即 A B C 余弦定理(law of cosines) 余弦定理的推论 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。 应用1：已知两边及其夹角，解三角形 应用2：已知三边，解三角形 【小结】 已知两边及一角解三角形的步骤 (1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系式建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)再用余弦定理及其推论以及三角形内角和定理求出其他两角． 例3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据条件，试判断△ABC的形状.(1)若B=60°，2b=a+c. 得 又 又∵B=60° ∴△ABC是等边三角形 例3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据条件，试判断△ABC的形 (2)已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos Asin B=sin C. 又∵CC= ∵2cos Asin B=sin C ∴2cos Asin B=sin （A+B)=sinAcosB+cosAsinB ∴ 又∵A-BA-B=0即A=B ∴ △ABC是等边三角形 变式 √ 课堂小结 知识点： 思想方法： 数形结合、化归转化 谢谢聆听 例1在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，C和边a. 解：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°， 所以a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝30°，所以C＝120°. 当a＝6时，由余弦定理的推论得cos A＝＝＝0，所以A＝90°. 又B＝30°，所以C＝60°. 综上可得a＝3，A＝30°，C＝120°或a＝6，A＝90°，C＝60°. 例2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小． 解：根据余弦定理的推论，得cos A＝＝＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. 又cos C＝＝＝， 因为C∈(0，π)，所以C＝. 所以B＝π－A－C＝π－－＝. 所以A＝，B＝，C＝. $