江西南康中学2022-2023学年高三第二学期期末质量调研数学试题

江西省南康市南康中学2022-2023学年高三第二学期期末质量调研数学试题（文理合卷）试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 A． B． C． D． 2．已知向量，夹角为，， ，则( ) A．2 B．4 C． D． 3．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A． B． C． D． 4．下列函数中，在区间上为减函数的是（ ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点.若的内切圆与线段在其中点处相切，与相切于点，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．已知，则的大小关系为 A． B． C． D． 7．一辆邮车从地往地运送邮件，沿途共有地，依次记为，，…（为地，为地）．从地出发时，装上发往后面地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达，，…各地装卸完毕后剩余的邮件数记为．则的表达式为（ ）． A． B． C． D． 8．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，为坐标原点.若，则直线的斜率为( ) A． B． C． D． 9．如果直线与圆相交，则点与圆C的位置关系是（ ） A．点M在圆C上 B．点M在圆C外 C．点M在圆C内 D．上述三种情况都有可能 10．将函数图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于直线对称，则函数在上的值域是（ ） A． B． C． D． 11．已知i为虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 12．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．的展开式中，x5的系数是_________．（用数字填写答案） 14．已知集合，，则________. 15．直线过圆的圆心，则的最小值是_____. 16． “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，点为线段上的点，过三点的平面与交于点.将①，②，③中的两个补充到已知条件中，解答下列问题： （1）求平面将四棱锥分成两部分的体积比； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18．（12分）已知函数，且. （1）求的解析式； （2）已知，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 19．（12分）已知集合，. （1）若，则； （2）若，求实数的取值范围. 20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于点，将射线绕极点逆时针方向旋转交曲线于点. （1）求曲线的参数方程； （2）求面积的最大值． 21．（12分）已知函数. （1）若，解关于的不等式； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 22．（10分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）. （1）请用角表示清洁棒的长； （2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度. 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．D 【解析】 根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果. 【详解】 设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得 ， ，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D． 【点睛】 本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题. 2．A 【解析】 根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果. 【详解】 由于， 故选：A. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题. 3．A 【解析】 由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且， 再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解. 【详解】 由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得， 所以，即椭圆的左焦点为，且 ① 直线交轴于，所以，， 因为，所以，所以， 又由点在椭圆上，得 ② 由，可得，解得， 所以， 所以椭圆的离心率为. 故选A. 【点睛】 本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)． 4．C 【解析】 利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性，进而可得出结果. 【详解】 对于A选项，函数在区间上为增函数； 对于B选项，函数在区间上为增函数； 对于C选项，函数在区间上为减函数； 对于D选项，函数在区间上为增函数. 故选：C. 【点睛】 本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题. 5．D 【解析】 可设的内切圆的圆心为，设，，可得，由切线的性质：切线长相等推得，解得、，并设，求得的值，推得为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值． 【详解】 可设的内切圆的圆心为，为切点，且为中点，， 设，，则，且有，解得，， 设，，设圆切于点，则，， 由，解得，， ，所以为等边三角形， 所以，，解得. 因此，该椭圆的离心率为. 故选：D. 【点睛】 本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题． 6．D 【解析】 分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系. 详解：由题意可知：，即，，即， ，即，综上可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 7．D 【解析】 根据题意，分析该邮车到第站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案． 【详解】 解：根据题意，该邮车到第站时，一共装上了件邮件， 需要卸下件邮件， 则， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题． 8．D 【解析】 根据抛物线的定义，结合，求出的坐标，然后求出的斜率即可． 【详解】 解：抛物线的焦点，准线方程为， 设，则，故，此时，即． 则直线的斜率． 故选：D． 【点睛】 本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题． 9．B 【解析】 根据圆心到直线的距离小于半径可得满足的条件，利用与圆心的距离判断即可. 【详解】 直线与圆相交， 圆心到直线的距离， 即． 也就是点到圆的圆心的距离大于半径． 即点与圆的位置关系是点在圆外． 故选： 【点睛】 本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题． 10．D 【解析】 由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果. 【详解】 解：把函数图象向右平移个单位长度后， 可得的图象； 再根据得到函数的图象关于直线对称， ，， ，函数. 在上，，， 故，即的值域是， 故选：D. 【点睛】 本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，属于中档题． 11．A 【解析】 根据复数乘除运算法则，即可求解. 【详解】 . 故选：A. 【点睛】 本题考查复数代数运算，属于基础题题. 12．D 【解析】 根据四个列联表中的等高条形图可知， 图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大， 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．-189 【解析】 由二项式定理得，令r = 5得x5的系数是． 14． 【解析】 利用交集定义直接求解． 【详解】 解：集合奇数， 偶数， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 15． 【解析】 直线mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）经过圆x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圆心（1，﹣1），可得m+n＝1，再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出. 【详解】 ∵mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）经过圆x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圆心（1，﹣1）， ∴m+n﹣1＝0，即m+n＝1. ∴（）（m+n）＝22+2＝4，当且仅当m＝n时取等号. ∴则的最小值是4. 故答案为：4. 【点睛】 本题考查了圆的标准方程、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题. 16． 【解析】 先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果. 【详解】 若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有种; 若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有种; 因此共有种. 故答案为： 【点睛】 本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（1）；（2）. 【解析】 若补充②③根据已知可得平面，从而有，结合，可得 平面，故有，而，得到，②③成立与①②相同， ①③成立，可得，所以任意补充两个条件，结果都一样，以①②作为条件分析; （1）设，可得，进而求出梯形的面积，可求出，即可求出结论； （2），以为坐标原点，建立空间坐标系，求出坐标，由（1）得为平面的法向量，根据空间向量的线面角公式即可求解. 【详解】 第一种情况：若将①，②作为已知条件，解答如下： （1）设平面为平面. ∵，∴平面，而平面平面， ∴，又为中点. 设，则. 在三角形中，， 由知平面， ∴， ∴梯形的面积 ， ，， 平面， ，， ∴， 故，. （2）如图，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则 ， 由（1）得为平面的一个法向量， 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 第二种情况：若将①，③作为已知条件， 则由知平面，， 又，所以平面，， 又，故为中点，即，解答如上不变. 第三种情况：若将②，③作为已知条件， 由及第二种情况知，又， 易知，解答仍如上不变. 【点睛】 本题考查空间点、线、面位置关系，以及体积、直线与平面所成的角，考查计算求解能力，属于中档题. 18．（1）；（2） 【解析】 （1）由,可求出的值,进而可求得的解析式; （2）分别求得和的值域,再结合两个函数的值域间的关系可求出的取值范围. 【详解】 （1）因为,所以, 解得, 故. （2）因为,所以,所以，则, 图象的对称轴是. 因为,所以, 则,解得,故的取值范围是. 【点睛】 本题考查了三角函数的恒等变换,考查了二次函数及三角函数值域的求法,考查了学生的计算求解能力,属于中档题. 19．（1）；（2） 【解析】 （1）将代入可得集合B，解对数不等式可得集合A，由并集运算即可得解. （2）由可知B为A的子集，即；当符合题意，当B不为空集时，由不等式关系即可求得的取值范围. 【详解】 （1）若，则， 依题意， 故； （2）因为，故； 若，即时，，符合题意； 若，即时，， 解得； 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】 本题考查了集合的并集运算，由集合的包含关系求参数的取值范围，注意讨论集合是否为空集的情况，属于基础题. 20．（1）（为参数）；（2）. 【解析】 （1）根据伸缩变换结合曲线的参数方程可得出曲线的参数方程； （2）将曲线的方程化为普通方程，然后化为极坐标方程，设点的极坐标为，点的极坐标为，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程，得出和关于的表达式，然后利用三角恒等变换思想即可求出面积的最大值． 【详解】 （1）由于曲线的参数方程为（为参数）， 将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线， 则曲线的参数方程为（为参数）； （2）将曲线的参数方程化为普通方程得， 化为极坐标方程得，即， 设点的极坐标为，点的极坐标为， 将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得，， 的面积为， 当时，的面积取到最大值. 【点睛】 本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查了伸缩变换，同时也考查了利用极坐标方程求解三角形面积的最值问题，要熟悉极坐标方程所适用的基本类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 21．（1）（2） 【解析】 （1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集. （2）对分成三种情况，求得的最小值，由此求得的取值范围. 【详解】 （1）当时，， 由此可知，的解集为 （2）当时， 的最小值为和中的最小值，其中，.所以恒成立. 当时，，且，不恒成立，不符合题意. 当时，， 若，则，故不恒成立，不符合题意； 若，则，故不恒成立，不符合题意. 综上，. 【点睛】 本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 22．（1）；（2）. 【解析】 （1）过作的垂线，垂足为，易得，进一步可得； （2）利用导数求得最大值即可. 【详解】 （1）如图，过作的垂线，垂足为，在直角中，， ，所以，同理， . （2）设， 则， 令，则，即. 设，且，则 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增， 所以当时，取得极小值， 所以. 因为，所以，又， 所以，又， 所以，所以， 所以， 所以能通过此钢管的铁棒最大长度为. 【点睛】 本题考查导数在实际问题中的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题. 学科网（北京）股份有限公司 $