数学终极押题猜想（青岛专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 坐标与图形变化 2 押题猜想二 二次函数的图象与性质 24 押题猜想三 圆的相关计算 33 押题猜想四 求图形阴影部分的面积 44 押题猜想五 尺规作图 48 押题猜想六 统计与概率 56 押题猜想七 解直角三角形实际应用 64 押题猜想八 平行四边形 29 押题猜想九 二次函数实际问题 70 押题猜想十 相似三角形--动点问题 78 押题猜想一 坐标与图形变化 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】如图，将线段绕点逆时针旋转得到，那么A（6，-14）的对应点的坐标是（   ） A．（6，14） B．（14，6） C．（6，-14） D．（14，-6） 【答案】B 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，由， 线段绕点逆时针旋转得到， ， ， 在中，， ， ， ， ， 点的坐标为（6，-14）， AM=6,OM=14, A’=14,ON=6, 点在第一象限， 点的坐标为(14,6)， 故答案为：B． 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考数学命题趋势来看，坐标与图形变化是中考的高频基础考点，多以选择、填空题形式出现，偶尔融入解答题的几何综合题中。该题型核心考查平面直角坐标系内图形的平移、旋转、轴对称、位似等变换，重点围绕坐标变化规律、变换前后图形的对应关系、变换的性质应用展开，同时会结合勾股定理、全等/相似三角形等知识点综合考查，对学生的空间想象能力和坐标运算能力要求较高，是区分基础题与中档题的关键考点。 终极猜想·精练通关 1．（2026·辽宁·模拟预测）如图，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，原中轴， 因此，， 绕逆时针旋转后，如图： 在中轴， 因此，， 旋转后落在第二象限（横坐标为负，纵坐标为正）， 因此坐标为． 2．（2026·安徽合肥·一模）如图,平面直角坐标系中,点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作轴于点,过点作轴于点,如图所示： 则, 根据旋转可知, , ∴, , , , ∵,, ∴, , ∴点在直线上, 为定值, ∴当最小时,的周长最小, 如图,作点关于直线的对称点,连接交直线于点,连接, 根据轴对称可知：, ∴, ∵两点之间线段最短, ∴当在点处时,最小,且最小值为的长度, ∴最小值为：, 的周长最小值为. 3．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点G．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，可得， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴点B的坐标为， 第1次顺时针旋转，点B的对应点在第四象限，其坐标为， 第2次顺时针旋转，点B的对应点在第三象限，其坐标为， 第3次顺时针旋转，点B的对应点在第二象限，其坐标为， 第4次顺时针旋转，点B的对应点在第一象限，其坐标为， 第5次顺时针旋转，点B的对应点在第四象限，其坐标为， …… 每4次旋转为一个循环，则， ∴与对应，坐标为． 4．（2026·山东青岛·一模）如图，将先向右平移，使点与点重合，再将所得的三角形绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意，平移得到和旋转所得图形，过点作轴垂线，垂足为，连接，过点作轴垂线，垂足为，连接，如图所示， ∵的坐标为，，，点与点重合， ∴三角形整体向右平移个单位长度， ∴的坐标为，，， 由图可得，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴将点逆时针旋转，点的对应点即为点， 故选：A． 5．（2026·湖北黄石·一模）如图，在中，，点B在x轴上，将绕点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点A和点分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D， ∴， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（2026·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，已知点A的坐标为，将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第18次旋转后点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴点的纵坐标为， ∵，点的横坐标为， ∴点的横坐标为，即， ∵菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴旋转次为一个循环， ∴过点作轴，轴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ， ∴第一次旋转后，点的对应点坐标为， 同理：第二次旋转后，点的对应点坐标为， 第三次旋转后，点的对应点坐标为， 第四次旋转后，点的对应点坐标为，此时回到了点C的初始位置， ∵， ∴第18次旋转后点C的对应点的坐标对应的坐标，即， 故选：C． 7．（2025·湖南邵阳·三模）如图，点的坐标是，将绕点顺时针旋转得到，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，如图， ∴，， ∵点的坐标是，在第二象限，且绕点顺时针旋转， ∴点在第一象限，，， ∴． 故选：B． 8．（2026·辽宁阜新·一模）如图，菱形的顶点，，若菱形绕点逆时针旋转每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 是平面直角坐标系中第一、三象限的角平分线， 四边形是菱形， 点是的中点， 点的坐标是， ， 旋转秒时点回到初始位置， ， 第秒时，点旋转了圈又秒， ， 点旋转到第四象限， 点的坐标是． 故选：A． 9．（2026九年级·全国·专题练习）如图，将先向上平移1个单位长度，再绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示： A的坐标为，向上平移1个单位后为，再绕点P逆时针旋转后对应点的坐标为． 故选：D． 10．（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标均为整数，可由绕点旋转得到，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，可由绕点顺时针旋转得到，所以旋转中心的坐标为．    故选：A． 11．（25-26九年级上·山东德州·期末）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，∵三角板绕原点顺时针旋转得到， ∴，． ∵， ∴． 过点作于，则， 在中，，， ∴，即为等腰直角三角形，． 在中，由勾股定理得， ∴． ∵点在第四象限， ∴点的坐标为； 故选：C． 12．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在正方形中，顶点，，，在坐标轴上，且，以为边构造菱形．将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得：四边形为正方形，且， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转， ∴，，，，…， ∴不难发现从第五次旋转开始，点的坐标与前面的重复了， ∵， ∴第2026次旋转结束时，点的坐标与重合，坐标为． 故选：B． 押题猜想二 二次函数的图象与性质 试题前瞻·能力先查 限时：6min 【改编题】二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（    ） A． B．函数的最大值为 C．当时， D． 【答案】C 【详解】解：由图象可得， ， ， ， 故A正确，符合题意； ∵对称轴为直线， ∴当时，的最大值为，故B正确，符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为， ∴抛物线与轴的另一交点为， ∴当时，，故C错误，不符合题意； 由图象知，当时，，故D正确，符合题意． 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，二次函数含参数问题主要涉及到二次函数的性质以及图像的综合应用问题，同时也会考察到二次函数最值问题以及不等式知识点，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。此外，该题型也会在选择、填空题中单独考查图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点等基础性质，是青岛中考数学的核心重难点，贯穿全卷的核心考点。 终极猜想·精练通关 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）关于二次函数，下列结论错误的是（   ）． A．图象开口向下 B．最小值为 C．对称轴为直线 D．顶点为 【答案】B 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，故D正确；二次函数的对称轴为直线，故C正确； ∵， ∴二次函数的图象开口向下，故A正确； ∴二次函数在顶点处取得最大值，故B错误． 2．（2026·陕西咸阳·一模）已知二次函数（a为常数，且）的自变量，对应的函数值分别为，，当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．该函数图象的对称轴为 C．该函数有最大值，且最大值为9 D．该函数图象一定与y轴交于正半轴 【答案】D 【详解】解：∵的对称轴为直线，顶点为，当时，， ∴抛物线开口向下，即，故A、B正确； ∴该函数有最大值，且最大值为9；故C正确； ∵， ∴该函数图象与y轴交于， 无法确定，则该函数图象不一定与y轴交于正半轴，故选项D错误，符合题意． 3．（25-26九年级下·四川成都·月考）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【详解】解：把化为顶点式：， ∵， ∴图象开口向上，A错误； 该函数的对称轴为直线，B错误； ∵开口向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 4．（2026·四川成都·一模）如图，二次函数的部分图象如图所示，其对称轴是直线，且图象经过点，下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．是方程的一个根 【答案】D 【详解】解：A．∵二次函数图象开口向下， ∴，故选项错误，不符合题意； B．∵图象与y轴的交点在正半轴， ∴当时，，故选项错误，不符合题意； C．∵对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ，此范围包含对称轴左侧和右侧部分区域， ∴随增大而增大不成立，故选项错误，不符合题意； D．方程 ， 即求二次函数图象上函数值为时对应的值． ∵对称轴为，且图象经过点； ∴点关于对称轴的对称点横坐标为： 即点也在二次函数图象上； 当时，，成立，是方程的一个根，选项正确，符合题意． 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在中，当时，，故二次函数与轴的交点坐标为，故A选项不符合题意； 当时，对称轴为直线，在轴的右侧，故B选项不符合题意； 当时，对称轴为直线，在轴的左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意． 6．（2026·山东聊城·一模）已知二次函数的图像的一部分如图所示，对称轴为，对于下列结论： ①； ②多项式可因式分解为； ③若点，在函数图像上，且，则； ④不等式的解集为． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：观察函数图象，得出二次函数的开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴ 故①是符合题意； 观察函数图象，得出二次函数经过点， ∵对称轴为， ∴二次函数经过点， 即多项式可因式分解为， 故②是不符合题意； ∵开口向上，对称轴为直线， ∴越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小 ∵点，在函数图像上，且， ∴， ∴， 当时，即，则，即； 当，时，则，即； ∴， 当时，则，则不成立 综上： 故③是符合题意； ∵二次函数经过点以及点， 而一次函数也经过点以及点，如下图所示： 可得不等式的解集为或， ∴可得不等式的解集为或， 故④不符合题意； 7．（2026·河南周口·一模）在空气，水分，温度，养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．当时，随的增大而减小 B．当时， C．当时，有最大值 D．当时， 【答案】C 【详解】解：A、由图象可知，当时，随的增大先增大后减小，故A选项错误，不符合题意； B、由图象可知，抛物线经过点和， ∴当时，，故B选项错误，不符合题意； C、∵ 抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，故C选项正确，符合题意； D、当时，设， 将，代入得： ， 解得， ∴ ， 当时，， 解得， 故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 8．（2026·广东广州·一模）二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．以下结论：；若，，在该函数图象上，且；对于任意实数，都有成立；方程（，为常数）的所有根的和为．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵与轴交于， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴， ∴，故正确； ∵关于对称轴的对称点为，时，随的增大而减小，， ∴，故错误； 根据图象可知：当时，有最小值， 则当时，， ∴，故错误； 由方程（，为常数）的根是抛物线与直线的交点，如图， ∵对称轴为直线， ∴当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为，故错误， 综上可得：正确，共个． 9．（2026·安徽·模拟预测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④对于任意实数，都有；⑤方程有两个异号的实数根．其中正确的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴，根据函数图象可得， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵当时，， 又， ∴，即，故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值 ∴对于任意实数，都有，即，故④正确； 对于方程的解，即为的交点的横坐标， 如图所示，方程有两个同号的实数根，故⑤错误． 10．（2026·河南·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：由图象可知，， 对称轴为直线， ， ， ，①错误； 函数与轴有两个交点，故，②正确； 当时，，③正确； ， ， ， 当时，， ，④正确． 11．（2026·山东济南·一模）如图，直线与抛物线交于两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，则以下结论： ①； ②时，直线与抛物线函数值都随着的增大而增大； ③当时，； ④有可能成为等边三角形； ⑤的解集为； 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②⑤ C．②③④ D．①②④⑤ 【答案】B 【详解】解：①∵直线与轴交于正半轴， ∴； ∵抛物线开口向上， ∴； ∴， 故①正确； ②当时，直线与抛物线函数值都随着的增大而增大， 故②正确； ③∵点的横坐标是，点的横坐标是3， ∴由图象可得当时，， 故③错误； ④若为等边三角形，则， ∴点关于轴对称， 则，，与矛盾， ∴不可能成为等边三角形， 故④错误； ⑤直线关于轴对称的直线解析式为， ∵直线与抛物线交于两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3， ∴直线与抛物线交于两点，且两点的横坐标是，点的横坐标是2， ∴的解集为， 即的解集为， 故⑤正确； 综上，正确的结论是①②⑤． 12．（2026·江苏徐州·一模）如图为函数的图象，下列说法中①；②， ③， ④．正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：观察图象可知，二次函数图象与x轴有两个交点， ∴， ∴①正确； ∵二次函数图象开口向下，对称轴在0和1之间， ∴，， ∴， ∴， ∴②不正确； 当时，， 即可得， ∴③正确； 当时，， ∴， ∴④不正确． 故选：B． 押题猜想三 圆的相关计算 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【原创题】如图，是的直径，点C，D在上，，已知∠D=500，则（   ） A．250 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点C，D在上，， ∴， ∵∠D=500， ∴650, ∵是的直径， ∴， ∵∠A=∠D=500， ∴400， ∴250． 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考数学命题规律来看，圆的相关计算是中考的必考核心考点，多以选择、填空题（中档题）和解答题（几何综合题）形式考查。该题型核心围绕圆的基本性质（垂径定理、圆周角定理）、弧长与扇形面积计算、切线的判定与性质、圆与直线/多边形的位置关系展开，常结合勾股定理、相似三角形、解直角三角形等知识点综合命题，对学生的几何推理能力和计算能力要求较高，是青岛中考区分度较高的关键题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东淄博·一模）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ． ，是⊙O的切线， ， ， ． 故选：C． 2．（2026·吉林·一模）如图，是的直径，是弦，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵ ∴， ∵ 则， 3．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，，是的切线，，为切点，连结，长为，，则的半径为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，． 4．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【详解】解：∵半径于点D， ∴， 由圆的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴． 5．（2026·湖南长沙·二模）如图，，，都是的半径，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 6．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，是的直径，A，D为上的两点，与相交于点E，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 7．（2026·浙江台州·一模）如图，在圆内接四边形中，是圆的直径，过点C作于点E，连接．若，，，则的面积为（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∵，， ∴； 在和中， ， ∴， ∴； 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴． 8．（2026·贵州遵义·一模）如图，，是的弦，延长，相交于点P．连接，，已知，，的半径为9，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图：连接、， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为． 9．（2026·山东聊城·一模）如图，在中，，是的外接圆，为的中点，为延长线上一点，若，则________． 【答案】/37度 【详解】解：设，， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四点共圆， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 解得：， ∴． 10．（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，为直径上一点，弦经过点．若，，，则弦的长为___________． 【答案】 【详解】解：， 圆的半径 点为的中点 过点作于点，连接 ， 在中， 在 中，， 根据勾股定理得： ． 11．（2026·陕西西安·二模）如图，是的直径，点是上一点，连接，过点作的切线交的延长线于点，若，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（2026·河南周口·一模）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，等边的边长为，点在以为圆心，为半径的优弧上，若为“反直角三角形”，则___________． 【答案】a或 【详解】解：如图， ∵等边的边长为， ∴， ∴， ∵为“反直角三角形”， ∴， ∴， ∴ 当点落在点上时，， ∵为“反直角三角形”， ∴， ∴， ∴ 作于点， ∴， ∵， ∴， 综上可知，或． 押题猜想四 求图形阴影部分的面积 试题前瞻·能力先查 限时：7min 【改编题】如图，为半圆的直径，以点B为圆心，为半径构造一个的扇形，交半圆于点D，若AB=4，则阴影部分的面积是______． 【答案】2 【详解】解：连接，∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴在中，2， 由对称性可知弓形的面积等于弓形的面积， ∴．S阴影=－=2 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考数学考查情况来看，求图形阴影部分的面积是中考的高频中档考点，多以选择、填空题形式出现，偶尔融入解答题的几何综合题中。该题型核心考查割补法、等积变换、和差法等面积计算技巧，常结合圆、扇形、三角形、四边形等基本图形，同时会涉及图形的平移、旋转、对称等变换，重点考查学生的图形转化能力和面积公式的灵活应用，是青岛中考中兼具基础性与技巧性的经典题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·河南·一模）如图，是边长为2的等边三角形，分别以，为斜边作等腰直角三角形和，，，的圆心分别是点C，D，E，半径分别是，，，图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∴ 扇形（圆心为C，半径为）的面积为∶ ， ∵和分别是以，为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ 扇形（圆心为D，半径为）的面积为：， 的面积为：， ∴ 弓形（由弧和弦围成，圆心为D）的面积为： ， 同理，弓形（由弧和弦围成，圆心为E）的面积为：， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·山西吕梁·一模）如图，是的直径，点是下方的中点，连接，以点为圆心，的长为半径作圆弧．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，点是下方的中点，， ∴， 阴影部分面积为 3．（2026·广东佛山·一模）如图，点C、D是以为直径的半圆上的三等分点，连接，半径，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，，，如图， ∵点C、D是以为直径的半圆上的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 4．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在半径为，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∵是半圆的直径， ∴，即， 在等腰直角三角形中，垂直平分，， ∴． 故选：A． 5．（2026·山东日照·模拟预测）如图，为的弦，为的切线，分别与，相交于点，，且，，，求阴影部分的面积为______． 【答案】 【详解】解：连接 ， 为 的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， 解得 ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积 ． 6．（2026·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以点O为圆心，长为半径作弧交y轴的正半轴于点B，过点作y轴的平行线交弧于点D，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【详解】解：连接， 根据题意可得，， 在中，，， ∴​， ∴， 由勾股定理得， ∴​． 7．（2026·山东菏泽·一模）如图，已知，，以点C为圆心，为半径作弧，又以为直径作半圆，圆心为O，过点O作的垂线，分别交弧、弧于点M、N，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【详解】解：连接，如图， 根据题意得：在中，，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积 ． 8．（2026·广西柳州·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【详解】解：如图所示，、交于点， 在扇形中，，点为的三等分点， ，， ， ， ， ， ，， 在中，， ， ， 故答案为：． 9．（2026·河南南阳·一模）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，与边相切于点，若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【详解】如解图，连接，过点作于点 ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ，即，解得， ∴， ， ， ， ，． ， ． 10．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，以为直径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 11．（2026·吉林·一模）如图，过原点，交两坐标轴于两点，已知的半径为1，点在上，，则阴影部分的面积为_____(结果保留根号和)． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ， 为直径，即三点共线， ， 的半径为1， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．（2026·山东济南·一模）如图，将⊙O沿弦折叠，恰经过圆O，若，则阴影部分的面积为_________． 【答案】 【详解】解：过点作于点，交劣弧于点，如图所示： 由题意可得：， ∴， ， ， ∴弓形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 故答案为：． 押题猜想五 尺规作图 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图，已知△ABC，请用尺规作图法在下方求作一点，连接，使得+=900，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【详解】解：+=900，即， 以为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，以点，点分别为圆心，半径不变画弧，交于点，连接，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，则点P为所作． 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考数学命题趋势来看，尺规作图是中考的必考基础考点，多以解答题第1题形式单独考查，偶尔融入几何综合题中。该题型核心考查五种基本作图（作线段、作角、作垂直平分线、作角平分线、过点作垂线），以及基于基本作图的复杂作图（如作三角形、作圆、作图形的变换等），同时会要求学生写出作图依据，重点考查学生的动手操作能力和几何原理的理解能力，是青岛中考中保障基础分的关键题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·陕西西安·二模）如图，已知和上的点C，请利用尺规作图法作，使得点D在上，且．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【详解】解：如图所示： ． 2．（2026·河南·一模）如图，在 中，，是上一点，且． (1)尺规作图：作的角平分线交于点，连接．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图即为所求， （2）证明：∵平分， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 3．（2026·陕西·一模）如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在射线上求作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析． 【详解】解：如图，作垂直平分线交于点，连接，再以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则点即为所求， 理由：由作图可知，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴点即为所求． 4．（25-26九年级下·山东青岛·月考）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知：． 求作：，使，且点到边、的距离均相等． 【答案】见解析 【详解】解：如图所示，即为所求． 5．（2026·河南周口·二模）如图，． (1)若，则______°． (2)尺规作图： ①在线段延长线上，作点，使点是线段的中点（不写画法，保留作图痕迹）； ②如图，请在的边上找一点，使得（不写画法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)30 (2)见解析 【详解】（1）解：， ． （2）①如图，在线段延长线上，取一点，使，则点是线段的中点． ②如图，在的内部作， 则，， ． 押题猜想六 统计与概率 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【新情景】智能机器人的用途广泛，涵盖家庭、医疗、教育、工业等多个领域，通过技术赋能，正在逐步替代重复性劳动，提升服务效率，同时为特殊群体提供支持，未来应用场景将更加多元化和智能化．如图，是智能机器人分拣快递，实践小组随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计信息如下图表： 【数据收集与整理】 如图是A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2 A型号 14和16 15 B型号 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中________，________，________； (2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司做出合理选择，并说明理由； (3)上述条形统计图和表格分别表示A、B型号智能机器人每天可分拣的快递数量，请你结合材料分析各自的优势．（各写出一条即可） 【答案】(1)20；15；1.4 (2)购买B型智能机器人合适，见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：型号的智能机器人每天可分拣万件的机器人有台，数量最多， 故众数； 型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是，， 故中位数； ； （2）解：购买型智能机器人合适．理由如下： 从众数、平均数、中位数来看，型机器人的数据都高于型机器人， 所以购买型智能机器人合适； （3）解：条形统计图：能够直观地显示被抽取的型号智能机器人每天可分拣的快递的具体数目；通过直条的长短可以清楚地看出数量的多少；数据之间的差别比较直观，容易看出各个数据项之间的对比关系等； 表格统计：合理地安排统计数据，能够清晰、简明地反映出数据的分布特征；便于对统计数据进行对照、比较和分析，还有利于计算统计分析指标；减少文字叙述篇幅，能够达到简明易懂、紧凑有力的分析效果等． 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考数学考查情况来看，统计与概率是中考的必考基础考点，多以解答题（中档题）和选择、填空题形式出现，分值稳定且难度适中。该题型核心考查统计图表（条形图、折线图、扇形图、频数分布表）的分析与绘制、数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）与离散程度（方差）、概率的计算（列表法、树状图法）、统计与概率的实际应用，重点考查学生的数据处理能力和实际应用能力，是青岛中考中易得分的核心题型。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九年级下·河南·月考）启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛． 【数据整理】 小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图： 【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 甲组 8 8 乙组 7.5 9 【数据应用】请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_____，_____． (2)小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由； (3)小华认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小华的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可） 【答案】(1)7.5；8 (2)乙，理由见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：乙组学生成绩从低到高排列，处于第4、5位的分别是7、8，则乙组的中位数； 甲组学生成绩8分学生数最多，故甲组的众数； （2）解：由甲、乙两组学生竞赛成绩的统计分析表可知，甲组的中位数为8分，乙组的中位数为分，由于小明的描述可知小明的成绩大于自己所在组的中位数，即小明是乙组的学生； （3）解：虽然甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，但乙组成绩的众数大于甲组的众数，说明乙组优秀学生多于甲组，因此从众数的角度看，乙组成绩比甲组好；所以不能仅甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，即小华的观点比较片面． 2．（2026·安徽安庆·一模）为了响应“健康中国2030”的号召，某学校要求学生积极参与体育运动．为了解学生身体素质，某班对24名男生一分钟跳绳个数进行了统计和分析： 数据收集（单位：个） 160，201，170，163，190，171，180，195，184，172，164，186， 192，180，182，194，186，173，166，194，183，180，188，202 数据整理： 数量（个） 频数 a 4 9 5 2 数据分析： 平均数 众数 中位数 b c 问题解决： (1) ， ， ； (2)根据安徽中考体育细则规定，男生跳绳每分钟不低于180个为满分，若该校九年级毕业生中男生有360人，请估计该校九年级毕业生中男生跳绳满分的人数； (3)体育老师考虑到学生考场心态等问题，最终确定一半男生本次成绩为“稳满分”，子轩同学跳了182个，他认为自己的成绩高于平均数，所以他应该也是“稳满分”，子轩同学说法是否正确，请说明理由． 【答案】(1)4，180， (2)240人 (3)不正确，理由见解析 【详解】（1）解：由数据可得，， 出现最多的是180，共3次，即众数， 男生成绩按从小到大的顺序排列，中位数为第12位和第13位的平均数，即中位数． （2）解：由题意得，24名男生一分钟跳绳个数中，不低于180个的有16人， （人）． 答：估计该校九年级毕业生中男生跳绳满分的人数为240人； （3）解：子轩同学的说法不正确，理由如下： ∵一半男生本次成绩为“稳满分”， ∴“稳满分”学生的成绩应该大于或等于中位数， ∵子轩同学的成绩高于平均数，但是低于中位数， ∴子轩同学的成绩不是“稳满分”，即子轩同学的说法不正确． 3．（2026·山东青岛·一模）生活现象与“二十四节气”相关的成语、谚语蕴含了丰富的自然规律，如：“冰雪融化”“镜花水月”“寒露草枯雁南飞”“清明断雪，谷雨断霜”等．某校跨学科兴趣小组为了解学生对生活现象及谚语中蕴含的自然规律的掌握情况，从甲、乙两个校区的学生中各随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道题，根据测试结果绘制出如下统计表和如图所示的统计图． 甲校区学生测试结果统计表： 答对题数 5 6 8 10 人数 3 7 6 4 (1)通过计算判断抽取的样本中哪个校区的学生答对题数的平均数更大； (2)该小组随后又从乙校区随机抽取了几名其他的学生进行相同的测试，得知最少的答对了8道题，将其与之前乙校区20名学生的成绩数据合并后，发现答对题数的中位数变大了，则最少又测试了 人． (3)其中的一道题目如下：先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用“．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（A，B为物理现象，C，D 主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽．这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】(1)抽取的样本中乙校区的学生答对题数的平均数更大 (2)2 (3)这个活动规则对他们双方公平，理由见解析，表格见解析 【详解】（1）解：甲校区的学生答对题数的平均数为题， 乙校区的学生答对题数的平均数为题， ∵， ∴抽取的样本中乙校区的学生答对题数的平均数更大； （2）解：将乙校区原来抽取的20名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第10个数据，第11个数据分别为7题，7题，即中位数为7题， ∵再次抽取的学生中，最少的答对了8道题， ∴若再次抽取了1名学生，那么将乙校区抽取的21名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第11个数据为7题，即中位数为7题，此时中位数保持不变， 若再次抽取了2名学生，那么将乙校区抽取的22名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第11个数据为7题，第12个数据为8题，即中位数为题，此时中位数变大了， ∴最少又测试了2人； （3）解：这个活动规则对他们双方公平，理由如下： 列表如下： 小宇小辉 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们抽取的两张卡片上都是物理现象的结果数有4种，他们抽取的两张卡片上都是化学变化的结果数有4种， ∴由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率为，由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率为， ∴两人能分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率相同， ∴这个活动规则对他们双方公平． 4．（2026·安徽芜湖·一模）综合与实践 【项目背景】一般指一个国家或地区在一定时期内所生产的所有最终商品和服务的市场价值总和，为了解安徽省近五年来经济发展状况，数学兴趣小组通过调查安徽省2023年和2025年上半年全省16市值，为安徽省经济蓝图发展提出建议． 将收集的数据进行如下分组： 组别 A B C D                     绘制2023，2025上半年安徽省各市频数分布直方图 (1)任务一：分别补全上述两幅条形统计图； (2)任务二：【数据收集与整理】单位（亿元，数据来源：安徽省统计局发布） 2023年C组值 1409 1332 1181 1065 1057 1030 2025年C组值 1462 1351 1311 1225 1173 1135 2023年上半年16市数据中位数是年上半年16市数据中位数是，则___________，___________； (3)任务三：下列说法正确的是___________； ①相比2023年，2025年A组个数增加； ②相比2023年，2025年D组个数减少； ③不计算，记2023年C组数据方差为年C组数据方差为，则． (4)任务四：结合两幅统计图，对安徽省经济增降情况做出判断并给出条合理的建议． 【答案】(1)见解析 (2)1061；1268 (3)①③ (4)答案不唯一，见解析 【详解】（1）解：2023年D组个数为：（个）， 2025年B组个数为：（个） 补全两幅条形统计图如下： （2）解：根据题意，16个数据从小到大排列，中位数是第8个和第9个数据的平均数， ∵2023年中，A组2个城市，B组2个城市，C组6个城市，D组6个城市， ∴2023年中，中位数为C组的第2个和第3个数据的平均数， ∵2023年C组值按从小到大排列如下：1030，1057，1065，1181，1332，1409， ∴中位数； ∵2025年中，A组3个城市，B组2个城市，C组6个城市，D组5个城市， ∴2025年中，中位数为C组的第3个和第4个数据的平均数， ∵2025年C组值按从小到大排列如下：1135，1173，1225，1311，1351，1462， ∴中位数； （3）解：∵2023年A组2个城市，2025年A组3个城市， ∴相比2023年，2025年A组个数增加了，故①正确； ∵2023年D组6个城市，2025年D组5个城市， ∴相比2023年，2025年D组个数减少了，故②错误； ∵2023年C组值按从小到大排列如下：1030，1057，1065，1181，1332，1409，2025年C组值按从小到大排列如下：1135，1173，1225，1311，1351，1462，2023年C组值波动较大， ∴，故③正确； （4）解：从数据来看，安徽省经济呈现发展趋势，建议加大经济较弱地区的扶持，实现共同富裕． 押题猜想七 解直角三角形实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】3．（2026·山西晋中·一模）城市雕塑能够折射出城市的历史底蕴、精神气质和文化内涵．图1是某红色文化主题公园内的雕塑，它能够提醒人们不忘初心和使命，砥砺前行；如图2所示是其抽象成的示意图．四边形为雕塑侧面图，四边形为石基底座，连接，已知，测得，，，的长为，的长为，石基底座的高为，求的长。（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】的长约为 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 则， ∵ ∴ ∴四边形为矩形， 在中，， ； ∵四边形为矩形， 在中，， 则， ， ， 的长约为． 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考数学命题规律来看，解直角三角形实际应用是中考的必考中档考点，多以解答题（几何应用题）形式出现，偶尔以选择题形式考查。该题型核心围绕仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等实际场景，考查解直角三角形的方法（勾股定理、锐角三角函数），重点考查学生将实际问题转化为几何模型的能力、三角函数的灵活应用能力，是青岛中考中联系生活实际的经典题型，也是学生必须掌握的得分点。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东济宁·一模）项目式学习 课题：估算摩天轮的高度 背景 曲阜亦乐田园是适合亲子游玩的休闲场所，园内摩天轮已正式投入使用，成为园区标志性建筑．某校九年级综合实践活动小组，计划通过测量与计算，对摩天轮的最大高度进行估算．    估算方法 方法一：利用全景吊舱数量依据行业标准来估算 摩天轮总高度由轮盘直径与底部支撑净空构成： 吊舱沿圆周均匀分布，相邻吊舱中心弧距通常为5.2~5.8米（适用于24个吊舱结构）．底部支撑净空通常为3~5米（含基座与安全间隙）．吊舱中心弧距指圆周上相邻吊舱间的弧长．底部支撑净空指吊舱在最低端到水平地面的垂直距离． 方法二：基于仰角的三角测量法 测量的相关数据如下 为了测得摩天轮的高度，在处用高为1.6米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进54米至处，又测得摩天轮顶端的仰角．    问题解决 (1)任务一：已知摩天轮安装了24个全景吊舱，依据方法一请估算出摩天轮的高度的范围．（精确到0.1米，取3） (2)任务二：根据方法二的测量数据，请估算出摩天轮的高度．（参考数据：，，，，精确到0.1米） 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）解：摩天轮安装了24个全景吊舱，吊舱沿圆周均匀分布， 圆周上相邻吊舱中心弧距， 通常为米， ， ， 取， （米）， （米）， ， 底部支撑净空通常为米，， （米）， （米）， ， 即摩天轮的高度的估算范围为米； （2）解：过点分别作于点，则三点共线，， ， 四边形和四边形均为矩形， 米, 米， 设米， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得，， 米 （米）． 2．（2026·安徽合肥·一模）项目式学习：某数学实践小组观测太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）与物体影长的关系，并借助相关知识探究合肥骆岗公园“大蘑菇”的高度．下面是小组成员进行交流展示时的部分资料及实践结果，请同学们分析成果展示并完成任务： 项目主题：                      测量骆岗公园“大蘑菇”建筑的高度 项目素材 合肥市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角α参照表： 时刻 太阳高度角（度） 47 35 22 参考数据：，， 示意图 项目成果 “自律”小组 “自强”小组 下午时，在观测点C处测“大蘑菇”的影子．但因为“大蘑菇”周围有一圈栅栏，所以无法直接测量影子的长度． 下午时，从C向“大蘑菇”方向前进27米到达点D，在点D处用高1米的测角仪测得塔顶A的仰角为． 项目任务 请你求出“大蘑菇”的高度（注意：计算结果保留整数）． 项目任务：请你求出“大蘑菇”的高度（注意：计算结果保留整数）． 【答案】约61米 【详解】解：延长交于，则四边形为矩形， ∴，， 根据题意得，，，米， ∴， 设米，则,米， ∴， ∴， 解得， 经检验：是原方程的根， ∴米， 答：“大蘑菇”的高度约为米． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）为了加强红色教育，传承红色基因，某校组织学生前往陕西省铜川市军台岭战斗旧址进行参观，参观期间，组织同学们开展了测量军台岭战斗纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量军台岭战斗纪念碑的高度 测量过程及示意图 如图，在地面上的点处竖立一根标杆，某一时刻纪念碑与标杆在太阳光下的影子顶端重合于地面上的点处，将标杆移至点处后，给标杆顶端处放置一个测角仪（大小忽略不计），测得纪念碑的顶端的仰角的度数． 测量数据 米，米，米， 测量说明 、，，、、在同一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 参考数据 请你根据以上测量结果，计算军台岭战斗纪念碑的高度． 【答案】14米 【详解】解：如图，延长交于点， 则（米）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 假设，则， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴（米）， ∴（米）． 4．（2026·山东济南·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 【答案】(1)1.7米 (2)0.6米 【详解】（1）解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵O为的中点，米， ∴米， 在中，， ，， ∴支点到小竹竿的距离（米）； （2）解：由（1）知，，， ∴米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴米， ∴水桶在竖直方向上升的距离约为0.6米． 押题猜想八 平行四边形 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】如图，在中，，点为的中点，点为上一点，过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)已知，请判断四边形的形状，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形 【详解】（1）证明：如图： ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵，，， ∴． （2）四边形是菱形； 理由如下：∵， ∴， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， 在中，， ∴， 即， ∴平行四边形是菱形． 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考数学考查情况来看，平行四边形（含特殊平行四边形：矩形、菱形、正方形）是中考的核心几何考点，多以解答题（几何综合题）和选择、填空题形式出现。该题型核心考查平行四边形的性质与判定、特殊平行四边形的性质与判定、图形的证明与计算，常结合全等三角形、相似三角形、勾股定理、图形变换等知识点综合命题，对学生的几何推理能力和逻辑证明能力要求较高，是青岛中考几何部分的核心重难点。 终极猜想·精练通关 1．（2026·贵州·模拟预测）在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 2．（2026·北京·模拟预测）如图，在中，是边上的中线，过点D作于点E，过点C作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵在中，是边上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴； 在中，， ∴． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点E、F、G分别为线段、、的中点，连接、、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，请判断并证明四边形的形状． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形为菱形，证明见解析 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E、F、G分别为线段、、的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∴，， ∴ 四边形为平行四边形． （2）解：四边形为菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． 4．（2026·安徽·一模）如图1，平行四边形中，，为边，上两点，经过中点且，平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)若， ，求周长； (3)如图2，当时，连接，交于点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴四边形为菱形． （2）解：由（1）可知，四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长为． （3）解：如图，作，垂足为． 由题意可知，， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 押题猜想九 二次函数实际问题 试题前瞻·能力先查 限时：12min 【新题型】【综合与实践】 【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计 某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证实验．测试开始时，测试车辆以初速度．进入一段足够长的水平直道（忽略车身长度影响），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速度等量减小）；与此同时，其正前方距离为处，目标障碍物车辆以恒定速度同向匀速行驶．为确保车在任何时刻均不与车发生接触（即全程保持非负车间距），需建立函数模型，求解满足安全约束的最小初始车距．实验测得车辆在水平直道上运动的数据如下： 时间 速度 路程 【问题探究】 (1)已知速度是时间的一次函数，路程是时间的二次函数，请分别求出一次函数与二次函数的关系式，并求车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程； (2)测试车辆驶入水平直道的同时，目标障碍物测试车从其正前方处开始，以的速度匀速向前行驶．为保证测试车辆始终不会撞上目标障碍物测试车，求安全初始距离的最小值； (3)在（）的条件下，于实际降雨环境中开展测试，当时两车却发生了追尾事故，请结合所学知识分析事故原因． 【答案】(1)，，； (2)安全初始距离的最小值是； (3)见解析． 【详解】（1）解：设， 将，；，代入， 得， 解得， 速度关于时间的一次函数为； 设， 将，；，；，代入， 得， 解得， 路程关于时间的二次函数为， 当时，，即， 此时， 车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程为． （2）解：目标障碍物测试车行驶的路程为， 要使得两辆车不会发生碰撞，则需要满足， ， ， ， 当时，有最大值， 最小为时才安全， 安全初始距离的最小值是． （3）解：当时发生了追尾，可能是由于雨天，使得地面摩擦力减小，测试车从开始到最终停下的刹车距离大幅增加，导致测试车与目标障碍物测试车在安全距离即使大于了的情况下依然发生了追尾． 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考数学命题趋势来看，二次函数实际问题是中考的高频中档考点，多以解答题（应用题）形式出现，偶尔融入压轴题中。该题型核心围绕销售利润、面积最值、运动轨迹、抛物线型实际问题（如拱桥、喷泉）等场景，考查二次函数的建模、最值求解、实际意义分析，重点考查学生将实际问题转化为函数模型的能力、二次函数性质的应用能力，是青岛中考中代数与实际应用结合的核心题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东聊城·一模）在“助力家乡文旅发展”的综合实践活动中，某校数学兴趣小组的同学们主动为家乡的网红民宿出谋划策．活动中，某小组为家乡的一家民宿设计宣传海报． 素材1 海报原是长、宽的矩形，为了贴在民宿的接待区墙面更美观，学生们决定给海报加一个“上下左右宽度相等”的边框，且添加边框后的整个图形的面积为． 素材2 这家民宿共有30间客房．学生们协助民宿老板做定价调研：旅游旺季时，若客房定价为190元/天，所有客房都会住满；每将定价提高10元，就会空出1间客房．另外，对于有人入住的客房，民宿要给每间客房每天花费20元的用品费．现设每间客房的定价提高了x元．（x是10的整数倍） (1)任务1：求民宿宣传海报四周所加边框的宽； (2)任务2：要使这家民宿每天纯收入最大，且让老板节省人力，则每间客房的定价应为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【详解】（1）解：设民宿宣传海报四周所加边框的宽为， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）． 答：民宿宣传海报四周所加边框的宽为． （2）解：设每天民宿纯收入为元，由题意可得： ． ， 抛物线开口向下，有最大值， ∵x是10的整数倍， ∴当时，（元），此时入住房间（间） 当时，（元），此时入住房间（间） ∵或时纯收入一样，但要让老板节省人力，则入住房间数应该少一些， ∴， ∴定价为（元） 答：使这家民宿每天纯收入最大，且让老板节省人力，则每间客房的定价应为元． 2．（2026·辽宁·模拟预测）篮球投篮抛物线运动分析综合实践活动表 活动主题 分析篮球投篮的抛物线运动轨迹，判断投篮是否命中篮筐 活动准备 ．查阅抛物线运动相关的数学知识；．准备纸笔用于建立平面直角坐标系并计算、 采集数据 右图为篮球投篮轨迹的平面示意图，信息如下： ．篮球出手点距地面高度为； ．篮球运动到最高点时，距地面高度为，且水平距离出手点； ．篮筐中心距地面高度为． 设计方案 考虑分析投篮轨迹的需要，确定原点，建立平面直角坐标系． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以小明出手点在地面的垂直投影为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系．顶点的坐标为，分析数据得到点的坐标为，进而求出抛物线的表达式，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求篮球飞行的抛物线解析式（不写自变量取值范围） (2)若篮筐中心与出手点的水平距离是，判断此次投篮能否命中篮筐？ 【答案】(1) (2)不能 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴篮球飞行的抛物线解析式为； （2）解：把代入，得， ∵， ∴此次投篮不能命中篮筐． 3．（2026·浙江杭州·模拟预测）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线． 【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离（单位：m）和竖直高度（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图． 设抛物线的表达式为． … … … … (1)【建立模型】求出抛物线的函数表达式； (2)【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离； (3)【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为，顶点为，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米． 【答案】(1) (2)，投掷的距离为米 (3)改进后投掷实心球的距离能超过10米 【详解】（1）解：由表格可知，点和点的纵坐标相等， ∴抛物线的对称轴为直线， 结合表格可知，顶点坐标为， ∴，，， 将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）可知，顶点坐标为，顶点即最高点， 将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）， ∴小明该次投掷实心球的距离为9.8米； （3）解：根据题意，改进后，， 将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）． ∵， 又∵， ∴， ∴． 答：改进后投掷实心球的距离能超过10米． 4．（2026·山西晋中·一模）学科实践：根据以下项目材料，探索并完成任务． 课题 为新校区设计拱形校门 背景 校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等，从而增强对学校的认同感，提升学校的社会价值．数学实践小组设计出一款拱形校门，拱形在中国古典庭院设计中被广泛应用，同时也是西方古典建筑的重要元素；选取“拱”为主要元素，恰如其分的体现出学校“和而不同，美美与共”的理念． 图示 效果图 示意图 实验数据 图1为“拱形校门”的效果图，由门房、拱形钢架以及电动推拉门组合而成，整个图形呈轴对称，拱形钢架可抽象为抛物线形状；如图2，是其正面示意图，以为原点建立平面直角坐标系，抛物线的跨度米，最高点离地面的距离为8米，两侧矩形门房、大小相同且米，米，抛物线与关于对称且抛物线、与的形状相同，经过点、、，经过点、、，点的对称点，米． 问题解决 (1)求出抛物线的函数表达式； (2)求点、的坐标； (3)若在抛物线钢架拱门内壁悬挂一个平行于的矩形横幅，、为悬挂点，悬挂点在抛物线上且关于对称，横幅长为6米，宽为0.5米，请你计算横幅最低点离地面的距离． 【答案】(1) (2)点的坐标为，点的坐标为 (3)横幅最低点离地面的距离为7米 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为． 抛物线的跨度米，最高点离地面的距离为8米， 米， 抛物线的顶点的坐标为， ， 点的坐标为， 将点代入，得，解得， 抛物线表达式为； （2）解：米，米， 点的坐标为， 米， 点的坐标为， 抛物线、与的形状相同， 设抛物线表达式为， 把代入得， 解得：， 抛物线表达式为， 令时，则， 点的坐标为， 由（1）得抛物线的顶点的坐标为， 点的对称点为， 点的坐标为； （3）解：由（1）得抛物线的顶点的坐标为， 横幅长为6米，、为悬挂点，悬挂点在抛物线上且关于对称， 点的横坐标为， ∵， 当时，， 横幅宽为0.5米， （米）， 横幅最低点离地面的距离为7米． 押题猜想十 相似三角形--动点问题 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【改编题】如图，在中，cm，是边上的高，cm，动点从点出发沿折线向点运动（点不与的顶点重合），点在上的速度是每秒，点在上的速度是每秒cm，过点作的垂线交于点，以为腰作等腰直角三角形，，且点、线段在的同侧，设点运动的时间为（秒）． (1)_____； (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)在运动过程中，当与重叠部分的图形是四边形时，求的取值范围； 【答案】(1) (2)的长为或 (3)的取值范围为或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， （2）解：当时， 由题意得：， ∵ ∴， ∴， ， 当时， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或； （3）解:当点在上且点在上时，如图， 由（）知： ∴ ∵， ∴， ∵. ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，与重叠部分的图形是四边形； 当点在上且点在线段上时，如图 由（）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，与重叠部分的图形是四边形； 综上，当与重叠部分的图形是四边形时，的取值范围为或； 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考数学考查情况来看，相似三角形-动点问题是中考的压轴级核心考点，多以解答题的几何压轴题形式呈现。该题型核心围绕动点运动过程中相似三角形的存在性、图形的形状变化、线段长度/面积的最值问题展开，常结合全等三角形、勾股定理、二次函数、图形变换等知识点综合命题，对学生的动态几何分析能力、分类讨论思想、综合推理能力要求极高，是青岛中考数学中区分顶尖学生的关键题型。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九年级上·山东临沂·月考）如图，在中，，点P从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，设点P、Q的运动时间为t，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． (1)经过几秒后，的面积等于？ (2)设四边形的面积为S，求S的最大值或最小值； (3)是否存在某一时刻t，使得与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4秒 (2)S的最小值为24 (3)存在，为秒或秒 【详解】（1）解：设经过t秒后，的面积等于， 由题意得， ∴， ∵的面积等于， ∴， 即， 整理得：， 解得：， 答：经过4秒后，的面积等于； （2）解：由题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动， ∴， ∵二次项系数1为正，且抛物线的对称轴为直线， ∴当时取得最小值24； （3）解：存在； ∵， ∴， 当时，则， 即， 解得：； 当时，则， 即， 解得：； 综上，当为秒或秒时，与相似． 2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形中，，，，，于点．线段沿以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．连接交于点，连接，设运动时间为秒． (1)如图1，连接、，当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)设四边形面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一个时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，四边形为平行四边形 (2) (3)存在， 【详解】（1）解：四边形为平行四边形 ， ， 解得：， 当时，四边形为平行四边形． （2）解：由题意得：， 由（1）知：， ， ， ， 因此，与之间的函数关系式为． （3）解：过点作于点 ， ， ． 平分， 解得： 当，平分． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点P从点A出发，沿对角线向点C以每秒的速度移动；同时点Q从点B出发，沿线段向点A以每秒的速度移动．P，Q两点有一点到达终点时全部停止移动．连接，设点P移动时间为t秒，回答下列问题： (1)当t为何值时，? (2)当t为何值时，以O，P，Q，B为顶点的四边形的面积等于? (3)以点Q为圆心，的长为半径作．在运动过程中，是否存在与矩形的对角线有三个公共点，若存在，请直接写出t的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，，， ∴， 解得：； （2）如图，连接， ∵， ∴根据矩形的性质可得：， ∵， ∴， ，则， 解得：或； （3）如图，，为垂足； 当时，⊙Q与相切，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有四个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 当时，⊙Q经过点O，⊙Q与矩形的对角线有二个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 故存在⊙Q与矩形的对角线有三个公共点， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 作，为垂足； 同理可得，， ∵点Q的运动速度为每秒1 ， 当时，⊙Q与相切，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； ∴或或． 4．（25-26九年级上·海南·期中）如图所示，在中，，，为中点，动点从点出发，沿→方向匀速运动到点停止，速度为每秒个单位长度；同时，点从点出发，沿→方向匀速运动到点停止，速度为每秒个单位长度，当一个点停止移动时，另一个点也立即停止移动．过点作，交于，连接，设点运动的时间为 (1)当时，求的长； (2)是否存在某一时刻，使？若存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． (3)如图2，作交于点，． ①设面积为，求关于的函数关系式； ②是否存在某一时刻，使？若存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)①；②存在，或6 【详解】（1）解：依题意得：，． ∵， ∴， 当时，，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． （2）解：存在． 由（1）得：，即， ∴． ∵， ∴， 解得． （3）解：①过点作交于点， ∵，， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， 即：． ②存在或． ，， ∴，即：， ∴， 解得或． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 坐标与图形变化 2 押题猜想二 二次函数的图象与性质 6 押题猜想三 圆的相关计算 10 押题猜想四 求图形阴影部分的面积 13 押题猜想五 尺规作图 17 押题猜想六 统计与概率 18 押题猜想七 解直角三角形实际应用 23 押题猜想八 平行四边形 26 押题猜想九 二次函数实际问题 28 押题猜想十 相似三角形--动点问题 32 押题猜想一 坐标与图形变化 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】如图，将线段绕点逆时针旋转得到，那么A（6，-14）的对应点的坐标是（   ） A．（6，14） B．（14，6） C．（6，-14） D．（14，-6） 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考数学命题趋势来看，坐标与图形变化是中考的高频基础考点，多以选择、填空题形式出现，偶尔融入解答题的几何综合题中。该题型核心考查平面直角坐标系内图形的平移、旋转、轴对称、位似等变换，重点围绕坐标变化规律、变换前后图形的对应关系、变换的性质应用展开，同时会结合勾股定理、全等/相似三角形等知识点综合考查，对学生的空间想象能力和坐标运算能力要求较高，是区分基础题与中档题的关键考点。 终极猜想·精练通关 1．（2026·辽宁·模拟预测）如图，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·一模）如图,平面直角坐标系中,点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点G．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东青岛·一模）如图，将先向右平移，使点与点重合，再将所得的三角形绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为（       ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北黄石·一模）如图，在中，，点B在x轴上，将绕点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，已知点A的坐标为，将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第18次旋转后点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖南邵阳·三模）如图，点的坐标是，将绕点顺时针旋转得到，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·辽宁阜新·一模）如图，菱形的顶点，，若菱形绕点逆时针旋转每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．（2026九年级·全国·专题练习）如图，将先向上平移1个单位长度，再绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标均为整数，可由绕点旋转得到，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·山东德州·期末）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在正方形中，顶点，，，在坐标轴上，且，以为边构造菱形．将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 押题猜想二 二次函数的图象与性质 试题前瞻·能力先查 限时：6min 【改编题】二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（    ） A． B．函数的最大值为 C．当时， D． 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，二次函数含参数问题主要涉及到二次函数的性质以及图像的综合应用问题，同时也会考察到二次函数最值问题以及不等式知识点，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。此外，该题型也会在选择、填空题中单独考查图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点等基础性质，是青岛中考数学的核心重难点，贯穿全卷的核心考点。 终极猜想·精练通关 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）关于二次函数，下列结论错误的是（   ）． A．图象开口向下 B．最小值为 C．对称轴为直线 D．顶点为 2．（2026·陕西咸阳·一模）已知二次函数（a为常数，且）的自变量，对应的函数值分别为，，当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．该函数图象的对称轴为 C．该函数有最大值，且最大值为9 D．该函数图象一定与y轴交于正半轴 3．（25-26九年级下·四川成都·月考）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 4．（2026·四川成都·一模）如图，二次函数的部分图象如图所示，其对称轴是直线，且图象经过点，下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．是方程的一个根 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山东聊城·一模）已知二次函数的图像的一部分如图所示，对称轴为，对于下列结论： ①； ②多项式可因式分解为； ③若点，在函数图像上，且，则； ④不等式的解集为． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2026·河南周口·一模）在空气，水分，温度，养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．当时，随的增大而减小 B．当时， C．当时，有最大值 D．当时， 8．（2026·广东广州·一模）二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．以下结论：；若，，在该函数图象上，且；对于任意实数，都有成立；方程（，为常数）的所有根的和为．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·安徽·模拟预测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④对于任意实数，都有；⑤方程有两个异号的实数根．其中正确的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 10．（2026·河南·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2026·山东济南·一模）如图，直线与抛物线交于两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，则以下结论： ①； ②时，直线与抛物线函数值都随着的增大而增大； ③当时，； ④有可能成为等边三角形； ⑤的解集为； 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②⑤ C．②③④ D．①②④⑤ 12．（2026·江苏徐州·一模）如图为函数的图象，下列说法中①；②， ③， ④．正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 押题猜想三 圆的相关计算 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【原创题】如图，是的直径，点C，D在上，，已知∠D=500，则（   ） A．250 B． C． D． 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考数学命题规律来看，圆的相关计算是中考的必考核心考点，多以选择、填空题（中档题）和解答题（几何综合题）形式考查。该题型核心围绕圆的基本性质（垂径定理、圆周角定理）、弧长与扇形面积计算、切线的判定与性质、圆与直线/多边形的位置关系展开，常结合勾股定理、相似三角形、解直角三角形等知识点综合命题，对学生的几何推理能力和计算能力要求较高，是青岛中考区分度较高的关键题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东淄博·一模）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 2．（2026·吉林·一模）如图，是的直径，是弦，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，，是的切线，，为切点，连结，长为，，则的半径为（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 5．（2026·湖南长沙·二模）如图，，，都是的半径，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，是的直径，A，D为上的两点，与相交于点E，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江台州·一模）如图，在圆内接四边形中，是圆的直径，过点C作于点E，连接．若，，，则的面积为（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 8．（2026·贵州遵义·一模）如图，，是的弦，延长，相交于点P．连接，，已知，，的半径为9，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·山东聊城·一模）如图，在中，，是的外接圆，为的中点，为延长线上一点，若，则________． 10．（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，为直径上一点，弦经过点．若，，，则弦的长为___________． 11．（2026·陕西西安·二模）如图，是的直径，点是上一点，连接，过点作的切线交的延长线于点，若，则的度数为______． 12．（2026·河南周口·一模）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，等边的边长为，点在以为圆心，为半径的优弧上，若为“反直角三角形”，则___________． 押题猜想四 求图形阴影部分的面积 试题前瞻·能力先查 限时：7min 【改编题】如图，为半圆的直径，以点B为圆心，为半径构造一个的扇形，交半圆于点D，若AB=4，则阴影部分的面积是______． 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考数学考查情况来看，求图形阴影部分的面积是中考的高频中档考点，多以选择、填空题形式出现，偶尔融入解答题的几何综合题中。该题型核心考查割补法、等积变换、和差法等面积计算技巧，常结合圆、扇形、三角形、四边形等基本图形，同时会涉及图形的平移、旋转、对称等变换，重点考查学生的图形转化能力和面积公式的灵活应用，是青岛中考中兼具基础性与技巧性的经典题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·河南·一模）如图，是边长为2的等边三角形，分别以，为斜边作等腰直角三角形和，，，的圆心分别是点C，D，E，半径分别是，，，图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西吕梁·一模）如图，是的直径，点是下方的中点，连接，以点为圆心，的长为半径作圆弧．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．4 D． 3．（2026·广东佛山·一模）如图，点C、D是以为直径的半圆上的三等分点，连接，半径，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在半径为，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山东日照·模拟预测）如图，为的弦，为的切线，分别与，相交于点，，且，，，求阴影部分的面积为______． 6．（2026·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以点O为圆心，长为半径作弧交y轴的正半轴于点B，过点作y轴的平行线交弧于点D，则图中阴影部分的面积为____________． 7．（2026·山东菏泽·一模）如图，已知，，以点C为圆心，为半径作弧，又以为直径作半圆，圆心为O，过点O作的垂线，分别交弧、弧于点M、N，则阴影部分的面积为______． 8．（2026·广西柳州·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为___________． 9．（2026·河南南阳·一模）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，与边相切于点，若，，则图中阴影部分的面积为_____． 10．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，以为直径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 11．（2026·吉林·一模）如图，过原点，交两坐标轴于两点，已知的半径为1，点在上，，则阴影部分的面积为_____(结果保留根号和)． 12．（2026·山东济南·一模）如图，将⊙O沿弦折叠，恰经过圆O，若，则阴影部分的面积为_________． 押题猜想五 尺规作图 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图，已知△ABC，请用尺规作图法在下方求作一点，连接，使得+=900，且．（保留作图痕迹，不写作法） 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考数学命题趋势来看，尺规作图是中考的必考基础考点，多以解答题第1题形式单独考查，偶尔融入几何综合题中。该题型核心考查五种基本作图（作线段、作角、作垂直平分线、作角平分线、过点作垂线），以及基于基本作图的复杂作图（如作三角形、作圆、作图形的变换等），同时会要求学生写出作图依据，重点考查学生的动手操作能力和几何原理的理解能力，是青岛中考中保障基础分的关键题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·陕西西安·二模）如图，已知和上的点C，请利用尺规作图法作，使得点D在上，且．（不写作法，保留作图痕迹） 2．（2026·河南·一模）如图，在 中，，是上一点，且． (1)尺规作图：作的角平分线交于点，连接．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (2)求证：． 3．（2026·陕西·一模）如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在射线上求作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 4．（25-26九年级下·山东青岛·月考）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知：． 求作：，使，且点到边、的距离均相等． 5．（2026·河南周口·二模）如图，． (1)若，则______°． (2)尺规作图： ①在线段延长线上，作点，使点是线段的中点（不写画法，保留作图痕迹）； ②如图，请在的边上找一点，使得（不写画法，保留作图痕迹）． 押题猜想六 统计与概率 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【新情景】智能机器人的用途广泛，涵盖家庭、医疗、教育、工业等多个领域，通过技术赋能，正在逐步替代重复性劳动，提升服务效率，同时为特殊群体提供支持，未来应用场景将更加多元化和智能化．如图，是智能机器人分拣快递，实践小组随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计信息如下图表： 【数据收集与整理】 如图是A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2 A型号 14和16 15 B型号 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中________，________，________； (2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司做出合理选择，并说明理由； (3)上述条形统计图和表格分别表示A、B型号智能机器人每天可分拣的快递数量，请你结合材料分析各自的优势．（各写出一条即可） 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考数学考查情况来看，统计与概率是中考的必考基础考点，多以解答题（中档题）和选择、填空题形式出现，分值稳定且难度适中。该题型核心考查统计图表（条形图、折线图、扇形图、频数分布表）的分析与绘制、数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）与离散程度（方差）、概率的计算（列表法、树状图法）、统计与概率的实际应用，重点考查学生的数据处理能力和实际应用能力，是青岛中考中易得分的核心题型。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九年级下·河南·月考）启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛． 【数据整理】 小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图： 【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 甲组 8 8 乙组 7.5 9 【数据应用】请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_____，_____． (2)小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由； (3)小华认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小华的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可） 2．（2026·安徽安庆·一模）为了响应“健康中国2030”的号召，某学校要求学生积极参与体育运动．为了解学生身体素质，某班对24名男生一分钟跳绳个数进行了统计和分析： 数据收集（单位：个） 160，201，170，163，190，171，180，195，184，172，164，186， 192，180，182，194，186，173，166，194，183，180，188，202 数据整理： 数量（个） 频数 a 4 9 5 2 数据分析： 平均数 众数 中位数 b c 问题解决： (1) ， ， ； (2)根据安徽中考体育细则规定，男生跳绳每分钟不低于180个为满分，若该校九年级毕业生中男生有360人，请估计该校九年级毕业生中男生跳绳满分的人数； (3)体育老师考虑到学生考场心态等问题，最终确定一半男生本次成绩为“稳满分”，子轩同学跳了182个，他认为自己的成绩高于平均数，所以他应该也是“稳满分”，子轩同学说法是否正确，请说明理由． 3．（2026·山东青岛·一模）生活现象与“二十四节气”相关的成语、谚语蕴含了丰富的自然规律，如：“冰雪融化”“镜花水月”“寒露草枯雁南飞”“清明断雪，谷雨断霜”等．某校跨学科兴趣小组为了解学生对生活现象及谚语中蕴含的自然规律的掌握情况，从甲、乙两个校区的学生中各随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道题，根据测试结果绘制出如下统计表和如图所示的统计图． 甲校区学生测试结果统计表： 答对题数 5 6 8 10 人数 3 7 6 4 (1)通过计算判断抽取的样本中哪个校区的学生答对题数的平均数更大； (2)该小组随后又从乙校区随机抽取了几名其他的学生进行相同的测试，得知最少的答对了8道题，将其与之前乙校区20名学生的成绩数据合并后，发现答对题数的中位数变大了，则最少又测试了 人． (3)其中的一道题目如下：先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用“．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（A，B为物理现象，C，D 主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽．这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 4．（2026·安徽芜湖·一模）综合与实践 【项目背景】一般指一个国家或地区在一定时期内所生产的所有最终商品和服务的市场价值总和，为了解安徽省近五年来经济发展状况，数学兴趣小组通过调查安徽省2023年和2025年上半年全省16市值，为安徽省经济蓝图发展提出建议． 将收集的数据进行如下分组： 组别 A B C D                     绘制2023，2025上半年安徽省各市频数分布直方图 (1)任务一：分别补全上述两幅条形统计图； (2)任务二：【数据收集与整理】单位（亿元，数据来源：安徽省统计局发布） 2023年C组值 1409 1332 1181 1065 1057 1030 2025年C组值 1462 1351 1311 1225 1173 1135 2023年上半年16市数据中位数是年上半年16市数据中位数是，则___________，___________； (3)任务三：下列说法正确的是___________； ①相比2023年，2025年A组个数增加； ②相比2023年，2025年D组个数减少； ③不计算，记2023年C组数据方差为年C组数据方差为，则． (4)任务四：结合两幅统计图，对安徽省经济增降情况做出判断并给出条合理的建议． 押题猜想七 解直角三角形实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】3．（2026·山西晋中·一模）城市雕塑能够折射出城市的历史底蕴、精神气质和文化内涵．图1是某红色文化主题公园内的雕塑，它能够提醒人们不忘初心和使命，砥砺前行；如图2所示是其抽象成的示意图．四边形为雕塑侧面图，四边形为石基底座，连接，已知，测得，，，的长为，的长为，石基底座的高为，求的长。（结果精确到，参考数据：，，，） 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考数学命题规律来看，解直角三角形实际应用是中考的必考中档考点，多以解答题（几何应用题）形式出现，偶尔以选择题形式考查。该题型核心围绕仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等实际场景，考查解直角三角形的方法（勾股定理、锐角三角函数），重点考查学生将实际问题转化为几何模型的能力、三角函数的灵活应用能力，是青岛中考中联系生活实际的经典题型，也是学生必须掌握的得分点。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东济宁·一模）项目式学习 课题：估算摩天轮的高度 背景 曲阜亦乐田园是适合亲子游玩的休闲场所，园内摩天轮已正式投入使用，成为园区标志性建筑．某校九年级综合实践活动小组，计划通过测量与计算，对摩天轮的最大高度进行估算．    估算方法 方法一：利用全景吊舱数量依据行业标准来估算 摩天轮总高度由轮盘直径与底部支撑净空构成： 吊舱沿圆周均匀分布，相邻吊舱中心弧距通常为5.2~5.8米（适用于24个吊舱结构）．底部支撑净空通常为3~5米（含基座与安全间隙）．吊舱中心弧距指圆周上相邻吊舱间的弧长．底部支撑净空指吊舱在最低端到水平地面的垂直距离． 方法二：基于仰角的三角测量法 测量的相关数据如下 为了测得摩天轮的高度，在处用高为1.6米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进54米至处，又测得摩天轮顶端的仰角．    问题解决 (1)任务一：已知摩天轮安装了24个全景吊舱，依据方法一请估算出摩天轮的高度的范围．（精确到0.1米，取3） (2)任务二：根据方法二的测量数据，请估算出摩天轮的高度．（参考数据：，，，，精确到0.1米） 2．（2026·安徽合肥·一模）项目式学习：某数学实践小组观测太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）与物体影长的关系，并借助相关知识探究合肥骆岗公园“大蘑菇”的高度．下面是小组成员进行交流展示时的部分资料及实践结果，请同学们分析成果展示并完成任务： 项目主题：                      测量骆岗公园“大蘑菇”建筑的高度 项目素材 合肥市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角α参照表： 时刻 太阳高度角（度） 47 35 22 参考数据：，， 示意图 项目成果 “自律”小组 “自强”小组 下午时，在观测点C处测“大蘑菇”的影子．但因为“大蘑菇”周围有一圈栅栏，所以无法直接测量影子的长度． 下午时，从C向“大蘑菇”方向前进27米到达点D，在点D处用高1米的测角仪测得塔顶A的仰角为． 项目任务 请你求出“大蘑菇”的高度（注意：计算结果保留整数）． 项目任务：请你求出“大蘑菇”的高度（注意：计算结果保留整数）． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）为了加强红色教育，传承红色基因，某校组织学生前往陕西省铜川市军台岭战斗旧址进行参观，参观期间，组织同学们开展了测量军台岭战斗纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量军台岭战斗纪念碑的高度 测量过程及示意图 如图，在地面上的点处竖立一根标杆，某一时刻纪念碑与标杆在太阳光下的影子顶端重合于地面上的点处，将标杆移至点处后，给标杆顶端处放置一个测角仪（大小忽略不计），测得纪念碑的顶端的仰角的度数． 测量数据 米，米，米， 测量说明 、，，、、在同一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 参考数据 请你根据以上测量结果，计算军台岭战斗纪念碑的高度． 4．（2026·山东济南·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 押题猜想八 平行四边形 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】如图，在中，，点为的中点，点为上一点，过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)已知，请判断四边形的形状，请说明理由． 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考数学考查情况来看，平行四边形（含特殊平行四边形：矩形、菱形、正方形）是中考的核心几何考点，多以解答题（几何综合题）和选择、填空题形式出现。该题型核心考查平行四边形的性质与判定、特殊平行四边形的性质与判定、图形的证明与计算，常结合全等三角形、相似三角形、勾股定理、图形变换等知识点综合命题，对学生的几何推理能力和逻辑证明能力要求较高，是青岛中考几何部分的核心重难点。 终极猜想·精练通关 1．（2026·贵州·模拟预测）在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 2．（2026·北京·模拟预测）如图，在中，是边上的中线，过点D作于点E，过点C作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点E、F、G分别为线段、、的中点，连接、、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，请判断并证明四边形的形状． 4．（2026·安徽·一模）如图1，平行四边形中，，为边，上两点，经过中点且，平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)若， ，求周长； (3)如图2，当时，连接，交于点，求的值． 押题猜想九 二次函数实际问题 试题前瞻·能力先查 限时：12min 【新题型】【综合与实践】 【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计 某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证实验．测试开始时，测试车辆以初速度．进入一段足够长的水平直道（忽略车身长度影响），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速度等量减小）；与此同时，其正前方距离为处，目标障碍物车辆以恒定速度同向匀速行驶．为确保车在任何时刻均不与车发生接触（即全程保持非负车间距），需建立函数模型，求解满足安全约束的最小初始车距．实验测得车辆在水平直道上运动的数据如下： 时间 速度 路程 【问题探究】 (1)已知速度是时间的一次函数，路程是时间的二次函数，请分别求出一次函数与二次函数的关系式，并求车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程； (2)测试车辆驶入水平直道的同时，目标障碍物测试车从其正前方处开始，以的速度匀速向前行驶．为保证测试车辆始终不会撞上目标障碍物测试车，求安全初始距离的最小值； (3)在（）的条件下，于实际降雨环境中开展测试，当时两车却发生了追尾事故，请结合所学知识分析事故原因． 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考数学命题趋势来看，二次函数实际问题是中考的高频中档考点，多以解答题（应用题）形式出现，偶尔融入压轴题中。该题型核心围绕销售利润、面积最值、运动轨迹、抛物线型实际问题（如拱桥、喷泉）等场景，考查二次函数的建模、最值求解、实际意义分析，重点考查学生将实际问题转化为函数模型的能力、二次函数性质的应用能力，是青岛中考中代数与实际应用结合的核心题型。 终极猜想·精练通关 1．（2026·山东聊城·一模）在“助力家乡文旅发展”的综合实践活动中，某校数学兴趣小组的同学们主动为家乡的网红民宿出谋划策．活动中，某小组为家乡的一家民宿设计宣传海报． 素材1 海报原是长、宽的矩形，为了贴在民宿的接待区墙面更美观，学生们决定给海报加一个“上下左右宽度相等”的边框，且添加边框后的整个图形的面积为． 素材2 这家民宿共有30间客房．学生们协助民宿老板做定价调研：旅游旺季时，若客房定价为190元/天，所有客房都会住满；每将定价提高10元，就会空出1间客房．另外，对于有人入住的客房，民宿要给每间客房每天花费20元的用品费．现设每间客房的定价提高了x元．（x是10的整数倍） (1)任务1：求民宿宣传海报四周所加边框的宽； (2)任务2：要使这家民宿每天纯收入最大，且让老板节省人力，则每间客房的定价应为多少元？ 2．（2026·辽宁·模拟预测）篮球投篮抛物线运动分析综合实践活动表 活动主题 分析篮球投篮的抛物线运动轨迹，判断投篮是否命中篮筐 活动准备 ．查阅抛物线运动相关的数学知识；．准备纸笔用于建立平面直角坐标系并计算、 采集数据 右图为篮球投篮轨迹的平面示意图，信息如下： ．篮球出手点距地面高度为； ．篮球运动到最高点时，距地面高度为，且水平距离出手点； ．篮筐中心距地面高度为． 设计方案 考虑分析投篮轨迹的需要，确定原点，建立平面直角坐标系． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以小明出手点在地面的垂直投影为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系．顶点的坐标为，分析数据得到点的坐标为，进而求出抛物线的表达式，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求篮球飞行的抛物线解析式（不写自变量取值范围） (2)若篮筐中心与出手点的水平距离是，判断此次投篮能否命中篮筐？ 3．（2026·浙江杭州·模拟预测）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线． 【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离（单位：m）和竖直高度（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图． 设抛物线的表达式为． … … … … (1)【建立模型】求出抛物线的函数表达式； (2)【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离； (3)【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为，顶点为，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米． 4．（2026·山西晋中·一模）学科实践：根据以下项目材料，探索并完成任务． 课题 为新校区设计拱形校门 背景 校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等，从而增强对学校的认同感，提升学校的社会价值．数学实践小组设计出一款拱形校门，拱形在中国古典庭院设计中被广泛应用，同时也是西方古典建筑的重要元素；选取“拱”为主要元素，恰如其分的体现出学校“和而不同，美美与共”的理念． 图示 效果图 示意图 实验数据 图1为“拱形校门”的效果图，由门房、拱形钢架以及电动推拉门组合而成，整个图形呈轴对称，拱形钢架可抽象为抛物线形状；如图2，是其正面示意图，以为原点建立平面直角坐标系，抛物线的跨度米，最高点离地面的距离为8米，两侧矩形门房、大小相同且米，米，抛物线与关于对称且抛物线、与的形状相同，经过点、、，经过点、、，点的对称点，米． 问题解决 (1)求出抛物线的函数表达式； (2)求点、的坐标； (3)若在抛物线钢架拱门内壁悬挂一个平行于的矩形横幅，、为悬挂点，悬挂点在抛物线上且关于对称，横幅长为6米，宽为0.5米，请你计算横幅最低点离地面的距离． 押题猜想十 相似三角形--动点问题 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【改编题】如图，在中，cm，是边上的高，cm，动点从点出发沿折线向点运动（点不与的顶点重合），点在上的速度是每秒，点在上的速度是每秒cm，过点作的垂线交于点，以为腰作等腰直角三角形，，且点、线段在的同侧，设点运动的时间为（秒）． (1)_____； (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)在运动过程中，当与重叠部分的图形是四边形时，求的取值范围； 分析有理·押题有据 从近五年青岛中考数学考查情况来看，相似三角形-动点问题是中考的压轴级核心考点，多以解答题的几何压轴题形式呈现。该题型核心围绕动点运动过程中相似三角形的存在性、图形的形状变化、线段长度/面积的最值问题展开，常结合全等三角形、勾股定理、二次函数、图形变换等知识点综合命题，对学生的动态几何分析能力、分类讨论思想、综合推理能力要求极高，是青岛中考数学中区分顶尖学生的关键题型。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九年级上·山东临沂·月考）如图，在中，，点P从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，设点P、Q的运动时间为t，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． (1)经过几秒后，的面积等于？ (2)设四边形的面积为S，求S的最大值或最小值； (3)是否存在某一时刻t，使得与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形中，，，，，于点．线段沿以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．连接交于点，连接，设运动时间为秒． (1)如图1，连接、，当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)设四边形面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一个时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点P从点A出发，沿对角线向点C以每秒的速度移动；同时点Q从点B出发，沿线段向点A以每秒的速度移动．P，Q两点有一点到达终点时全部停止移动．连接，设点P移动时间为t秒，回答下列问题： (1)当t为何值时，? (2)当t为何值时，以O，P，Q，B为顶点的四边形的面积等于? (3)以点Q为圆心，的长为半径作．在运动过程中，是否存在与矩形的对角线有三个公共点，若存在，请直接写出t的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·海南·期中）如图所示，在中，，，为中点，动点从点出发，沿→方向匀速运动到点停止，速度为每秒个单位长度；同时，点从点出发，沿→方向匀速运动到点停止，速度为每秒个单位长度，当一个点停止移动时，另一个点也立即停止移动．过点作，交于，连接，设点运动的时间为 (1)当时，求的长； (2)是否存在某一时刻，使？若存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． (3)如图2，作交于点，． ①设面积为，求关于的函数关系式； ②是否存在某一时刻，使？若存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $