圆的综合题-【一战成名新中考】2026河南数学中考必考知识点题组特训

一．解答题（共18小题） 1．如图，已知△内接于，是的直径，点在上（不与点，重合），过点作的切线，交的延长线于点，连接，． （1）若要使，需要添加一个条件．请从“条件①：平分；条件②：；条件③：”中选择一个你认为正确的条件添加，并写出相应的证明过程． （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 2．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． （1）为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程． 已知：如图①，弦，交于点． 求证：　　． （2）如图②，已知是的直径，与弦交于点，且于点，过作的切线，交的延长线于，为切点，若，的半径为5，求的长． 3．在△中，，是△的外接圆，过点作的切线，在上截取，连接交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）连接，若的半径为5，，求的长． 4．在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心在的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心在的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心在的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：如图，在中，所对的圆周角是，圆心角是． 求证：． 5．如图，已知△的边是的切线，切点为，经过圆心并与圆相交于点，，过点作直线，交的延长线于点． （1）过点作于点，求证：． （2）若，，求的半径． 6．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏．现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆． 请根据以上信息解答下列问题： （1）求喷泉的半径； （2）要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？取3.14，结果保留整数） 7．如图，圆内接四边形，是的直径，交于点． （1）求证：点为的中点； （2）若，，求． 8．如图，是的直径，一直尺的顶点在的延长线上，使边与相切，为切点，连接，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 9．团扇又称宫扇、纨扇，是一种圆形有柄的扇子，它代表着团圆友善、吉祥如意，是中国汉族传统工艺品及艺术品．如图1是一柄团扇示意图，它由一个手柄和一个扇面组成，手柄所在直线经过扇面圆心，将其插入扇架中，为方便取用，扇架两端的支架高度要小于手柄长度的如图2，已知该团扇的半径为，过扇柄一端的直线与扇面相切于点，． （1）求扇架两端支架的取值范围； （2）为了美观，要在如图2所示的阴影部分做装饰，求做装饰部分的面积． 10．如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形，开口部分与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸（鱼缸内无水），使玻璃棒底端恰在弧的中点处，发现，将玻璃棒竖立起来时，测得． （1）求的度数，并求的长； （2）求弧的长； （3）若向鱼缸内加水，使水面的宽度为，求鱼缸内水的深度． 11．顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角是弦切角．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．下面是某数学兴趣小组对弦切角定理的证明过程． 证明：如图1，是的直径，为的切线，在上取一点，连接，，． ， ． 是的直径， ， 为的切线， ， ． ， 即弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数． 根据以上材料解决下面的问题： 如图2，已知：，，是上的点，过点作，交的延长线于点．求证：是的切线． 12．停车楔（图，又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．如图2为停车楔工作模型侧面示意图，水平地面与车轮切于点，为的直径，射线与射线交于点，于点，连接． （1）求证：平分． （2）若，，求车轮的半径． 13．如图，为的直径，点在上，点是的延长线上一点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，已知． （1）在不添加辅助线的情况下，写出一个与相等的角为　　 ； （2）求证：是的切线； （3）若，求的长． 14．如图在中，，以为直径的交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的切线，交的延长线于点，交于（不写作法和证明，保留作图痕迹） （2）求证：； （3）若，，求的半径． 15．如图，在中，，，以边上一点为圆心，为半径作圆，恰好经过边的中点，并与边相交于另一点． （1）求证：是的切线； （2）若，点是半圆上一动点，连接、、，填空： ①当的长度是　　时，四边形是菱形； ②当的长度是　　时，是直角三角形． 16．【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题： 14．如图，在锐角中，探究， 之间的关系．（提示：分别作和边上的高． 【得出结论】 【基础应用】 在中，，，，利用以上结论求的长． 【推广证明】 进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足为外接圆的半径）． 请利用图1证明． 【拓展应用】 如图2，四边形中，，，，．求过，，三点的圆的半径． 17．如图，锐角△内接于，，射线经过圆心并交于点，连接、，与的延长线交于点． （1）求证：平分． （2）①比较大小：　　 （填“，，” ． ②若，的半径为，则的长为　　 ． （3）若，，则的长为　　 ． 18．如图，△中，，以为直径的分别交，于点，，点在的延长线上． （1）尺规作图：做，的延长线与相交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：直线是的切线； （3）若，，求和的长． 参考答案与试题解析 一．解答题（共18小题） 1．【解答】（1）解：（1）选择条件①， 证明：连接交于点，如解图所示． ．． 是的直径，．，． ． ，． 平分，．． 或选择条件②， 证明：连接交于点，如解图所示． 为的切线，．． 是的直径，．，． ． ，． ，． ，． （2）解：设的半径为，则，． 在△中，，解得． ，，． （若选择条件②，此步可替换为“，” ．．． 又，为△的中位线．． ，，即，解得．． 2．【解答】解：（1）求证：． 证明：连接、，如图①． ，，，，． 故答案为：； （2），，，由（1）可知，， ，是的直径，，， 连接．如图②． 为切线，， ，，，，， ，，， 又，． 3．【解答】解：（1）四边形是平行四边形， 理由：连接并且延长交于点，交于点， ，，垂直平分，， 与相切于点，，， ，四边形是平行四边形． （2）解：连接，是的直径，， 的半径为5，，，， ，，， ，，， ，的长为8． 4．【解答】证明：如图，， ，， 同理可得：，， ； 如图，，，， 同理可得：，， ． 5．【解答】（1）证明：已知△的边是的切线，切点为，如图1，连接． ，，，， ，，，平分， ，； （2）解：如图2，连接． ，， 在直角三角形中，，， 由勾股定理得：， 是的直径，，， 由（1）得，△△， ，，的半径为． 6．【解答】解：（1）连接，设喷泉的半径为，则：， ，由条件可知平分弦，， ，，米； 答：喷泉的半径为5米； （2）由题意，得：米，（盏； 答：大约需要安装25盏景观灯． 7．【解答】（1）证明：是的直径，， ，即点为的中点； （2）解：是的直径，， ，， 是的直径，， ，，， ，． 8．【解答】解：（1）连接，则，， 与相切，为切点，，， ，且，，， 的度数是． （2）连接，，， △是等边三角形，， ，，，， ， 是的直径，是的半径，，的长为4． 9．【解答】解：（1）连接，，过点作于点，如图所示： 依题意得：，，，在同一条直线上， 扇面的半径为，， 直线与扇面相切于点，，， 在△中，由勾股定理得：， ，扇架两端支架的取值范围为：； （2）在△中，，， ，， 在△中，，△是等边三角形，， ，， 由勾股定理得：， ， 又， 做装饰部分的面积为：． 10．【解答】解：（1）如图，设圆心为，连接，． 点是的中点，，， ，，是等边三角形，，平分， ，，， ，，； （2），的长； （3）由题意，，， ， 当在点的下方时，． 综上所述，水面的宽度为，鱼缸内水的深度为或． 11．【解答】证明：如图3，连接并延长，交于点，连接， 为的直径，，， ，，，，， ，是的切线． 12．【解答】（1）证明：连结，如图2， 切于点，． ，，． ，，，平分； （2）解：设的半径为 ，则 ． 在△中， ，，， 由勾股定理得：，，解得， 即的半径为． 13．【解答】（1）解：相等的角为， 理由：，；故答案为：； （2）证明：点是的中点，，，， ，，，， ，，，， 是的半径，是的切线； （3）解：，设，， ，，， ，， 解得或（不合题意舍去），，，， ，， ，△△，，，， ，． 14．【解答】（1）解：1．以点为圆心，任意长为半径画弧，交直线于点，， 2．分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点， 3．过点，作直线，交于点，交的延长线于点， 则直线为过点的的切线． （2）证明：连接，如图，为的直径，，， ，， ，为的中位线，． 由（1）知：直线为过点的的切线，，． （3）解：设的半径为，则，，， ，，，， （不合题意，舍去）或，的半径为4． 15．【解答】（1）证明：如图1，连接， 在中，，，， 是的中点，，，， ，，，即， 是的切线． （2）解：①当时，四边形是菱形； 如图2，设交于点，连接，则， ，，， ，，四边形是平行四边形， ，四边形是菱形； ，是等边三角形，，， ，， ，的长度为：； 故答案为：； ②若，则点与点重合，此时的长度为：； 若，则是直径，则，此时的长度为：； 不是直径，； 综上可得：当的长度是或时，是直角三角形．故答案为：或． 16．【解答】解：【基础应用】 ，，， ，，，，解得； 【推广证明】 作于点，作于点，连接并延长交于点，连接，如图所示， ，，， 同理可证，，， 是直径，， ，，，； 【拓展应用】 连接，如图所示， ，，，，， ，，，，， 作交于点，则四边形是矩形， ，，，， ，过，，三点的圆的半径为． 17． 【解答】（1）证明：，， ，，． 为的直径，． ，． ，，，平分； （2）解：①由上题可知：， ，， ．，△△，， ，， 故答案为：； ②为的直径，， ，， 半径为，， 在直角三角形中，由勾股定理得：，， 解得：（负值已舍去），． ，，． ，△△，，， 解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意），， 故答案为：6； （3）解：为的直径，． ，，，， ，△为等边三角形，，，， ， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 故答案为：． 18．【解答】（1）解：连接，如图1， 为的直径，， ，，即为所求； （2）证明：，，， ，，， 是圆的直径，直线是的切线； （3）解：过点作，如图2， ，， ，， ，，， ，，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ，△△，，，， ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/21 12:08:44；用户：帐号62；邮箱：hxnts62@xyh.com；学号：37372738 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $