第22题-【一战成名新中考】2026河南数学中考必考知识点题组特训

一．解答题（共12小题） 1．开封是我国西瓜三大主产区之一，西瓜种植历史悠久，始于五代，广种于宋，已有1000多年栽培历史，南宋诗人范成大曾在他的《西瓜园》一诗中云：“碧蔓凌霜卧软沙，年来处处食西瓜”．图1是某瓜农种植的吊篮西瓜．为了提供更好的生长环境，促进西瓜生长、丰产，该瓜农搭建了西瓜大棚，其横截面可模拟为抛物线．如图2是大棚的横截面，大棚在地面上的宽度AB是8m，最高点C距地面AB的距离为2m．以水平地面AB为x轴，AB的中点O为原点建立平面直角坐标系． （1）求此抛物线的解析式； （2）根据图2，若一位身高1.75m的瓜农想要在大棚内站直行走，请通过计算说明该瓜农站直行走的横向距离是否超过3m． 2．在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（m）与飞出的水平距离x（m）满足． （1）这次传球的出手高度是　 　 ，篮球飞行的最大高度是　 　 ； （2）队员乙在篮球飞行方向上距甲6m处，他的最大摸高是3m，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ 3．如图是某个拱型彩灯门的横截面示意图，其由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段AB，CD构成，以地面BC所在直线为x轴，过抛物线的最高点M且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知BC＝12m，OM＝7m，AB＝CD＝3m，O为BC的中点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）为支撑拱型彩灯门的结构，在抛物线上的点E，F处，制作三条撑杆EG，FH，EF，且EG＝FH，EG，FH均垂直于地面BC，求这三条撑杆长度和的最大值． 4．小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数y＝ax2+bx+1.8（a，b为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离，图象经过点（2，3.2），（4，4.2）． 信息二：球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒）（0≤t≤1.6）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： t（秒） 0 0.4 0.6 … x（米） 0 4 6 … （1）求y与x的函数关系式； （2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ （3）当t为1.6秒时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数y＝﹣0.02x2+px+m（p，m为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标x为2，纵坐标y大于等于1.8时，p的取值范围为 　 　 （直接写出结果）． 5．抛物线y1＝ax2﹣4x过点（2，0），顶点为Q．抛物线y2＝﹣（x﹣t）2+t2﹣2（其中t为常数）． （1）求a的值和点Q的坐标； （2）通过计算说明，无论t为何值，将y1的顶点Q向左平移1个单位长度后一定落在y2上； （3）当t＝1时，y1与y2的交点为A，B，请直接写出y2＞y1时，x的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C． （1）OC＝　 　 ； （2）如图，已知点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0）． ①求出二次函数的表达式． ②当1≤x≤m，且m＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t，且s﹣t＝2，求m的值． 7．某超市以每件10元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 8．物理实验课上某小组做一个实验：在一条笔直的滑道上有一个黑小球以一定的速度在A处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度vt（单位：cm/s）随滚动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表． 滚动时间t/s 0 1 2 3 4 滚动速度vt/（cm/s） 8 7 6 5 4 [提示：本题中，距离s＝平均速度时间t，，其中v0是开始时的速度，vt是t秒时的速度]（1）探究发现，黑球的滚动速度vt与滚动时间t之间成一次函数关系．直接写出vt关于t的函数解析式：　 　 （不要求写出自变量的取值范围）． （2）黑球在滑道上滚动14cm用了多少秒？ （3）求黑球在滑道上滚动的最远距离． 9．【定义】若二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝kx上，则此二次函数叫做直线y＝kx的开心函数．例如：二次函数y＝x2﹣2x+2的顶点为（1，1）在直线y＝x上，所以二次函数y＝x2﹣2x+2是直线y＝x的开心函数． （1）若二次函数y＝﹣x2+4x﹣3是直线y＝kx的开心函数，求k的值； （2）若二次函数y＝x2﹣4mx+n是直线y＝﹣x的开心函数． ①求n（用含m的代数式表示）； ②若当﹣2≤x≤4时，y的最小值为﹣2，求n的值． 10．新情境投壶投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为1m）．某同学将箭从A（0，1.5）处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线L：y＝ax2+bx+c的一部分，且当箭的最大高度为2m时，距离投出点的水平距离为1m．把壶近似看作矩形DEFG，已知壶口的宽度GF＝0.2m，壶的高度EF＝0.72m． （1）求抛物线L的表达式． （2）若箭刚好由点G处擦边投入壶中，求人离壶的距离OE． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出OA的取值范围． 11．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），其顶点为D． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标． （2）在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若在y轴上存在一点E，使△BDE为等腰三角形，请直接写出以BD为腰时点E的坐标． 12．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）当y＜0时，写出x的取值范围； （3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值． 参考答案与试题解析 一．解答题（共12小题） 1．【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点C的坐标为（0，2），且过点B（4，0）， ∴设抛物线的解析式为y＝ax2+2， 将B（4，0）代入解析式，得0＝16a+2， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）该瓜农站直行走的横向距离不超过3m，理由如下： 令y＝1.75， 即， 解得， ∴瓜农站直行走的横向距离是． ∵， ∴瓜农站直行走的横向距离不超过3m． 2．【解答】解：（1）篮球的高度y（m）与飞出的水平距离x（m）满足， 当x＝0时，得：y， 将化为顶点式得：， ∴篮球飞行的最大高度是4m； 故答案依次为：m；4m； （2）他在原地不能接到球；理由如下： 当x＝6时，得： ， ∵， ∴他在原地不能接到球． 当y＝3时，得：， 整理得：（x﹣1）（x﹣7）＝0， 解得：x1＝1，x2＝7， ∴7﹣6＝1（m），6﹣1＝5（m）， ∴他应该后退1m或前进5m能接到球． 3．【解答】解：（1）∵以BC所在直线为x轴，过抛物线的最高点M且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，BC＝12m，OM＝7m，AB＝CD＝3m，O为BC的中点， ∴顶点M（0，7），点A（﹣6，3）， 设抛物线的函数解析式为y＝ax2+7，将点A的坐标代入得： 36a+7＝3， 解得：， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）设，则，EF＝GH＝﹣2m， ∴这三条撑杆的长度和为：， ∴当时，所需撑杆长度和的最大值为． 4．【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y＝ax2+bx+1.8经过点（2，3.2）和（4，4.2）， ∴ ∴a＝﹣0.05，b＝0.8， ∴二次函数为y＝﹣0.05x2+0.8x+1.8． （2）由题意，∵二次函数为y＝﹣0.05x2+0.8x+1.8， ∴其对称轴为直线， ∴此时最大高度为：y＝﹣0.05×82+0.8×8+1.8＝5． 又根据信息二，x与t是一次函数关系， ∴可设x＝kt+c， 又∵结合表格数据可得，图象过（0，0）和（0.4，4）， ∴c＝0，且0.4k+c＝4． ∴k＝10，c＝0． ∴一次函数为x＝10t． ∴当x＝8时，t＝0.8（秒）． ∴经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米． （3）由题意，当t＝1.6秒时，x＝10×1.6＝16， ∴代入原抛物线得y＝﹣0.05×162+0.8×16+1.8＝1.8，即此时球的坐标为（16，1.8）． 又∵新抛物线y＝﹣0.02x2+px+m过点（16，1.8），得m＝1.8+0.02×162﹣16p＝6.92﹣16p， ∴抛物线为y＝﹣0.02x2+px+6.92﹣16p． 又∵当x＝2时，y≥1.8， ∴﹣0.02×22+2p+6.92﹣16p≥1.8． ∴p≤0.36． 故答案为：p≤0.36． 5．【解答】解：（1）把（2，0）代入y1＝ax2﹣4x得4a﹣8＝0， 解得a＝2， ∴y1＝2x2﹣4x， ∵y1＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2， ∴顶点Q的坐标为（1，﹣2）； （2）点Q（1，﹣2）向左平移1个单位长度后对应点的坐标为（0，﹣2）， 当x＝0时，y2＝﹣（x﹣t）2+t2﹣2＝﹣t2+t2﹣2＝﹣2， ∴点（0，﹣2）在抛物线y2＝﹣（x﹣t）2+t2﹣2上， 即无论t为何值，将y1的顶点Q向左平移1个单位长度后一定落在y2上； （3）当t＝1时，y2＝﹣（x﹣1）2﹣1， 当y2＝y1，﹣（x﹣1）2﹣1＝2（x﹣1）2﹣2， 即（x﹣1）2， 解得x1＝1，x2＝1， ∴y1与y2的交点为A，B的横坐标分别为1，1， ∴当1x＜1时，y2＞y1． 6．【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，c＝3， 即OC＝3， 故答案为：3； （2）①将点A，点B的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3； ②当1≤x≤m，且m＞1时，根据函数图象可得： 当x＝1时，取得最大值，即s＝4， 当x＝m时，y取得最小值为t＝﹣m2+2m+3， ∵s﹣t＝2， ∴4﹣（﹣m2+2m+3）＝2， 解得：（不合题意的值已舍去）． 7．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 由所给函数图象可知：， 解得：， 故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+60； （2）根据题意得： （x﹣10）（﹣2x+60）＝192， 解得：x1＝18，x2＝22， 答：销售单价应为18元或22元； （3）由题意可知：w＝（x﹣10）（﹣2x+60） ＝﹣2x2+80x﹣600 ＝﹣2（x﹣20）2+200， ∵a＝﹣2＜0， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线x＝20， ∴当x＝20时，w有最大值，W最大＝200． 答：当销售单价为20元时，每天获利最大，最大利润是200元． 8．【解答】解：（1）设vt＝kt+b， ∴， 解得：， ∴vt＝﹣t+8， ∴vt关于t的函数解析式为：vt＝﹣t+8， 故答案为：vt＝﹣t+8； （2）由题意得：， 整理得：t2﹣16t+28＝0， 解得：t＝2或t＝14， 答：黑球在滑道上滚动14cm用了2或14秒； （3）∵距离，， ∴， 当t＝8时，黑球在滑道上滚动的最远距离为32cm． 9．【解答】解：（1）由函数的表达式知，顶点坐标为：（2，1）， 将（2，1）代入y＝kx得：1＝2k，则k； （2）①由函数的表达式知，顶点坐标为：（2m，﹣4m2+n）， 将（2m，﹣4m2+n）代入y＝﹣x得﹣4m2+n＝﹣2m， 则n＝4m2﹣2m； ②由①知，抛物线的表达式为：y＝x2﹣4mx+4m2﹣2m，顶点坐标为：（2m，﹣2m）， 当x＝4时，y＝x2﹣4mx+4m2﹣2m＝4m2﹣18m+16，当x＝﹣2时，同理可得：y＝4m2+6m+4， 当m≥2时，则抛物线在x＝4时，取得最小值， 即y＝4m2﹣18m+16＝﹣2，则m（舍去）或3，即m＝3， 此时n＝4m2﹣2m＝30； 当﹣1≤m＜2时，则抛物线在顶点，取得最小值， 即﹣2m＝﹣2，则m＝1， 此时n＝4m2﹣2m＝＝2； 当m＜﹣1时，x＝﹣2时，函数取得最小值， 即y＝4m2+6m+4＝﹣2，无解， 综上，n＝2或30． 10．【解答】解：（1）∵箭的最大高度为2m时，距离投出点的水平距离为1m， ∴抛物线的顶点为（﹣1，2）， ∴y＝a（x+1）2+2， ∵抛物线经过点A（0，1.5）， ∴a+2＝1.5， 解得a＝﹣0.5， ∴y＝﹣0.5（x+1）2+2x2﹣x； （2）令x2﹣x0.72， 解得x＝﹣2.6或x＝0.6（舍）， ∴OE＝2.6﹣0.2＝2.4（米）， ∴人离壶的距离OE为2.4米； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为yx2﹣x+n， 将（﹣2.4，0.72）代入，（﹣2.4）2﹣（﹣2.4）+n＝0.72， 解得n＝1.2， ∴yx2﹣x+1.2， ∴1.2m≤OA≤1.5m． 11．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），C（0，3）代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3， 对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y＝﹣4， 故顶点D坐标为（1，﹣4）； （2）存在，M（0，﹣3）； ∵A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， ∴B（3，0）， ∴BD＝2， 作点B关于y轴对称点B'（﹣3，0）， 则BM＝B'M， ∴△BDM周长＝BD+BM+DM ＝2BM+DM ＝2B'M+DM≥2B'D， 当且仅当B、M、D三点共线时取等， 由B'（﹣3，0）和D（1，﹣4）可得直线B'D表达式为y＝﹣x﹣3， 令x＝0，得y＝﹣3， ∴M（0，﹣3）； （3）设点E（0，t）， 则DE2＝1+（t+4）2，BE2＝9+t2，BD2＝20， 由题意可分两种情况： ①BD＝BE，即9+t2＝20， 解得t＝±， ∴E（0，）或（0，）； ②BD＝DE，即1+（t+4）2＝20， 解得t＝﹣4， ∴E（0，﹣4）或（0，﹣4）； 综上，点E坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣4）或（0，﹣4）． 12．【解答】解：（1）∵二次函数的对称轴是直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2， 将A（﹣1，0）代入y＝x2﹣2x+c中， 解得c＝﹣3． ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点， A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， ∴B（3，0）， ∴当﹣1＜x＜3时，y＜0， ∴当y＜0时，x的取值范围为﹣1＜x＜3； （3）①若a+1≤1，即a≤0时， 则当x＝a+1时，函数值最小， ∴（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a， 解得：a＝1或a＝1（舍去）； ②如a＜1＜a+1，即0＜a＜1时， 则当x＝1时函数值最小， ∴1﹣2﹣3＝2a， 解得：a＝﹣2（不合题意）； ③若a≥1， 则当x＝a时函数值最小， ∴a2﹣2a﹣3＝2a， 解得：a＝2或a＝2（舍去）， ∴a的值为1或2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/20 16:55:07；用户：帐号62；邮箱：hxnts62@xyh.com；学号：37372738 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $