第21题-【一战成名新中考】2026河南数学中考必考知识点题组特训

一．解答题（共12小题） 1．如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD（CD⊥BD）．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i＝1：3，AB＝10米．（点A，B，C，D，M，N在同一竖直平面内）． （1）求平台BN的高度； （2）求建筑物的高度（即CD的长）． 2．小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）． 参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1． 3．综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．） 【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）BC的长为　 　 ； （2）求B，D之间的距离（结果精确到1cm）．（参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 4．火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB＝3m，∠BAC＝53°，∠DOC＝37°． （1）求BO的长； （2）消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3m，求云梯OD旋转了多少度．（参考数据，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44） 5．如图1是渠县三汇公园内的白塔，被誉为达州市第一塔．贺贺同学想利用自己学习的知识测量一下白塔的高度，如图2，贺贺在地面C处测得塔顶A的仰角为60°，在高为1m的摄像机DE的点E处测得塔顶A的仰角为46°，CD＝20m，C，D，B三点共线，求白塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，tan46°≈1.04，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69）． 6．中原福塔，又名“河南广播电视塔”，是郑州市的地标建筑之一．中原福塔分为塔座、塔身、塔楼、桅杆四个部分，福塔顶部桅杆天线高120m．某校“综合与实践”小组的同学把“测量中原福塔的高度”作为一项课题活动，他们制定了两种测量方案，并完成实地测量，如下表所示 课题 测量中原福塔的高度 方案 方案一 方案二 测量示意图 方案说明（点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内） 在C处测得桅杆顶部A的仰角为55.4°，测得桅杆底部D的仰角为45°． 距地面高度为40m（EF＝40m）的无人机在F处测得点A的仰角α＝60°，中原福塔底部边缘G处的俯角β＝16.8°． 计算中原福塔的高度 …… （1）数学老师说方案一的结果与中原福塔的实际高度误差较小，方案二的结果误差较大．方案二的结果与实际中原福塔的高度相比是偏　 　 （填“大”或“小”），请说明方案二产生较大误差的原因． （2）请根据方案一中的测量数据，求出中原福塔的高度AB（结果精确到1m．参考数据：sin55.4°≈0.82，cos55.4°≈0.57，tan55.4°≈1.45，） 7．在综合实践活动中，数学兴趣小组用镜面反射测量旗杆的高度．如图，这是测量旗杆高度的示意图，测量小组成员站在点D处以入射角45°方向观看与竖直方向OE倾斜20°的平面镜，恰好看见旗杆的顶端A．测量数据：测量小组成员的眼睛距地面高度CD＝1.5m，CO＝0.6m，人距旗杆底部的距离BD＝6m，所有的点都在同一个平面上，求旗杆的高度AB．（结果精确到0.1m．sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 8．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行16海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求： （1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里？ （2）小岛P方圆7.5海里内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由． 9．如图①是古代测量工具“水平真尺”的示意图，在尺子的表面有一条凹槽用来盛水，尺子两端各有一个小孔，通过这两个小孔去观察远处的目标，如果两个小孔和水面在同一水平线上，那么通过小孔看到的远处目标也在同一水平线上．如图②，小明利用自制水平真尺测量池塘对面楼房CE的高度．小明在B处安置一根与地面垂直的标杆BG，利用水平真尺在点A处测得点A，B，楼房底端点C在同一水平线上，此时点A，标杆上的点D，楼房顶端点E恰在同一直线上．小明往后退5米到点F处，利用水平真尺测得点F，B，C在同一水平线上，此时点F，标杆顶点G，楼房顶端点E在同一直线上．测量得到AB＝3米，BD＝1.5米，DG＝1.7米．请据此计算出楼房CE的高度． 10．文峰塔（图1）位于河南省安阳市古城内西北隅，建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，为全国重点文物保护单位．文峰塔由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．如图2，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量文峰塔AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与文峰塔顶点A在同一直线上，已知DE＝1.2米，EF＝0.6米，目测点D到地面的距离DG＝1.65米，到文峰塔的水平距离DC＝74米，求文峰塔的高度． 11．图1是一棵拦腰折断的大树，已知未折断的树干DE与地面保持垂直的关系，折断部分DF与地面形成的夹角∠DFE的正切值为．树干DE旁有一根与地面垂直的电线杆AB，高度为9米．如图2，在某一时刻的太阳照射下，测得电线杆的影长BC为14米，树干DE的影长CE为7米，且点A，D，C在同一条直线上．请求出这棵大树未折断前的高度． 12．风力发电是我国电力资源的重要组成部分，嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算，如图（图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段OA、OB、OC表示三片风叶，OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，某时刻OA，OB的影子恰好重合为线段EF，OD⊥EF于点D，测得DE＝36m，EF＝20m，同一时刻测得高为4m的标杆MN影长为3m． （1）直接写出∠ABO的度数及OD的长； （2）求风叶转动时点B到地面DF的最小距离． 参考答案与试题解析 一．解答题（共12小题） 1．【解答】解：（1）过点B作BE⊥AM，垂足为E， ∵斜坡AB的坡度i＝1：3， ∴BE：AE＝1：3， ∴设BE＝x米，则AE＝3x米， 在Rt△ABE中，ABx（米）， ∵AB＝10米， ∴x＝10， 解得：x＝10， ∴BE＝10米，AE＝30米， ∴平台BN的高度为10米； （2）延长CD交AM于点F，则CF⊥AM， 由题意得：BE＝DF＝10米，BD＝EF， 设BD＝EF＝a米，则AF＝AE+EF＝（30+a）米， 在Rt△BCD中，∠CBD＝60°， ∴CD＝BD•tan60°a（米）， 在Rt△ACF中，∠CAF＝30°， ∴CF＝AF•tan30°（a+30）米， ∵CD+DF＝CF， ∴a+10（a+30）， 解得：a＝15﹣5， ∴CDa＝（1515）米， ∴建筑物的高度（即CD的长）为（1515）米． 2．【解答】解：过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H， 则四边形CDHG是矩形， ∴GH＝CD＝10m，CG＝DH， ∵∠1＝45°， ∴CG＝BG， 设AH＝xm， ∴AG＝（x+10）， 在Rt△ACG中， ∵∠2＝52°， ∴CGm， ∴BG＝CGm， ∴BH＝BG+GH＝（10）m， 在Rt△BDH中，∠3＝65°， ∴tan65°2.1， ∴x≈1.8，AH≈1.8，BH≈19.1， ∴AB＝BH+AH≈21（m）． 答：大楼的高度AB约为21m． 3．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°， ∴∠B＝45°， ∴BC＝AC＝20cm， 故答案为：20cm； （2）由题可知ON＝ECAC＝10cm， ∴NB＝ON＝10cm， 又∵∠DON＝32°， ∴DN＝ON•tan∠DON＝10•tan32°≈10×0.62＝6.2cm， ∴BD＝BN﹣DN＝10﹣6.2＝3.8≈4cm． ∴B，D之间的距离为4cm． 4．【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥OC于点E， 在Rt△ABE中，∠BAC＝53°，AB＝3m， ∴BE＝AB•sin∠BAE ＝3×sin53° ≈3 ， 在Rt△BOE中，∠BOE＝37°，BE， ∵sin∠BOE， ∴OB ＝4（m）， 答：OB＝4m； （2）如图，过点D作DF⊥OC于点F，旋转后点D的对应点为D′，过点D′作D′G⊥OC于点G，过点D作DH⊥D′G于点H， 在Rt△FOD中，OD＝OB+BD＝4+6＝10，∠DOF＝37°， ∴DF＝OD•sin37° ≈10 ＝6（m）， ∴D′G＝D′H+HG＝3+6＝9（m）， 在Rt△D′OG中，OD′＝10m，D′G＝9m， ∴sin∠D′OG， ∴∠D′OG≈64°， ∴∠D′OD＝64°﹣37°＝27°， 即云梯OD大约旋转了27°． 5．【解答】解：过点E作EF⊥AB于点F， 则四边形EDBF为矩形， ∴BD＝EF． 由题意知，∠ACB＝60°，∠AEF＝46°，ED＝1m，CD＝20m． 设AB＝xm，则AF＝（x﹣1）m， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 答：白塔的高度为55m． 6．【解答】（1）解：根据题意，方案二在解答时，算出来不是BE的长度， BG的长度被忽略了，将EG的长即作为点F到AB的距离即BE进行计算，导致误差较大，即， ，故方案二的结果与实际相比，偏小了． 故答案为：小； （2）解：设BD＝xm，AB＝AD+BD＝（120+x）m， 在Rt△BCD中，∠BCD＝45°， ∴BD＝BC＝xm， 在Rt△ABC中，∠ACB＝55.4°，， ∴AB＝BCtan∠ACB， ∴120+x＝1.45x， 解得x≈266.7， ∴120+x≈387（m）． 答：中原福塔的高度AB大约是387米． 7．【解答】解：如图，过点C作CM⊥OE于点M，过点O作ON⊥AB于点N． 由题意得ON＝BE，BN＝OE，CM＝DE，CD＝ME，∠AOC＝90°，∠EON＝90°， ∴∠AON＝∠COM＝45°+20°＝65°． 在Rt△OCM中，∠COM＝65°，CO＝0.6m， ∴OM＝OC•cos65°≈0.25，CM＝OC•sin65°≈0.54， ∴ON＝BE＝BD+DE， ∵CD＝1.5m，BD＝6m， ∴ON＝6+0.54＝6.54（m）． 在Rt△AON中，∠AON＝65°， ∴AN＝ON•tan65°≈14.00（m）， ∴AB＝AN+BN＝AN+OM+ME＝AN+OM+CD＝14.00+0.25+1.5＝15.75≈15.8（m）． 答：旗杆的高度AB约为15.8m． 8．【解答】解：（1）过点P作PD⊥AB于点D， ∵∠PBD＝90﹣60°＝30°， 且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90°﹣75°＝15°， ∴∠APB＝∠PBD﹣∠PAB＝30°﹣15°＝15°， ∴∠PAB＝∠APB， ∴BP＝AB＝16海里． （2）由（1）知，AB＝PB＝16海里， ∵∠PBD＝30°， ∴， 该船继续向东航行，没有触礁的危险． 9．【解答】解：∵楼房CE和标杆BG均与地面垂直， ∴∠ACE＝∠ABD＝∠FBG＝90°， ∵∠CAE＝∠BAD， ∴△CAE∽△BAD， ∴， 整理，得CB＝2CE﹣3， ∵∠CFE＝∠BFG， ∴△CFE∽△BFG， ∴， ， 整理，得8CE＝6.4CE+16， 解得CE＝10， 答：楼房CE的高度为10米． 10．【解答】解：∵∠BCD＝∠B＝∠G＝90°，DE＝1.2米，EF＝0.6米，DC＝74米， ∴四边形BCDG为矩形， ∴BC＝DG＝1.65m， 由题意可得：∠ADC＝∠FDE，∠ACD＝∠FED， ∴△DEF∽△DCA， ∴， ∴， 解得：AC＝37， ∴AB＝AC+BC＝AC+DG＝37+1.65＝38.65（米）， 答：文峰塔的高度为38.65米． 11．【解答】解：由题意可得：AB∥DE， ∴∠CDE＝∠CAB，∠CED＝∠CBA， ∴△ABC∽△DEC， ∴， ∵AB＝9米，BC＝14米，CE＝7米， ∴， ∴， ∵， 即 设DE＝3r，EF＝4r， 故 ∴， ∴， ∴． 答：这棵大树未折断前的高度是12m． 12．【解答】解：（1）∵太阳光线视为平行光线，OD⊥EF于点D，DE＝36m，EF＝20m，同一时刻测得高为4m的标杆MN影长为3m， ∴OE∥NG，∠ODE＝∠NMG＝90°， ∴∠OED＝∠G， ∴△ODE∽△NMG， ∴， ∴， ∴DO＝48m， ∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴； （2）过点O作OH⊥AB于点H，过点E作EI⊥AF于点I， 在Rt△NMG中，由勾股定理得NG＝5m； 同理可证明：△EIF∽△NMG， ∴， ∴， ∴EI＝16m， 由题意得，OE∥AF，而OH⊥AF，EI⊥AF， ∴OH＝EI＝16m， ∵在Rt△OBH中，∠ABO＝30°， ∴BO＝2OH＝32m， ∴当OB⊥DF时，风叶转动时点B到地面DF的最小距离为48﹣32＝16（m）， 答：风叶转动时点B到地面DF的最小距离为16m． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/20 16:14:06；用户：帐号62；邮箱：hxnts62@xyh.com；学号：37372738 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $