第20题-【一战成名新中考】2026河南数学中考必考知识点题组特训

一．解答题（共12小题） 1．西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣一一坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． （1）求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ （2）该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 2．某校准备购买一批羽毛球拍和羽毛球对歌咏比赛获奖学生进行奖励，团委王老师经过调研发现购买2副羽毛球拍和3盒羽毛球需花费290元，购买3副羽毛球拍和2盒羽毛球需花费360元． （1）求每副羽毛球拍和每盒羽毛球的价格； （2）现有两家文体公司售卖羽毛球拍和羽毛球，两家公司售价与（1）中的价格相同，且两家公司均在做让利活动，方案如下： 甲公司：所有商品一律打八折． 乙公司：买一副羽毛球拍送一盒羽毛球． ①设羽毛球拍购买x副，羽毛球购买（50﹣x）盒，学校若在甲公司购买需花费y1元，若在乙公司购买需花费y2元，求出y1，y2关于x的解析式； ②若只在一家公司购买，学校应选择哪家公司最合算？ 3．某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． （1）求篮球和足球的单价； （2）学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 4．峨眉山特级（静心）竹叶青是竹叶青的一种中端产品，每年在采摘加工前，茶商们都会针对二级经销商群体推出两种预售方式，方式一：缴纳5000元购买钻石会员，二级经销商可以1600元/kg的价格购买；方式二：缴纳2000元购买铂金会员，二级经销商可以1800元/kg的价格购买；某竹叶青二级经销商此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元． （1）请直接写出y1，y2关于x的函数解析式； （2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该二级经销商此次购买茶叶的质量； （3）此次二级经销商购买茶叶的总预算为65000元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 5．为加强劳动教育，落实五育并举，郑州市中原区某校在校园内建立了一处劳动教育基地．现学校选定基地中土壤水平及光照时长相同的一块地，来种植甲、乙两种菜苗．从种植开始，每隔两天记录一次数据．数据记录如下： 已种菜苗天数x/天 0 2 4 6 8 … 甲种菜苗高度y1/cm 3 6 9 12 15 … 乙种菜苗高度y2/cm 8 10 12 14 16 … 通过分析数据，我们可以得到甲、乙两种菜苗的高度y1，y2（单位：cm）与已种菜苗天数x（单位：天）均为一次函数关系． （1）在平面直角坐标系中分别画出甲、乙两种菜苗的高度y1，y2关于已种菜苗天数x（x≥0）的函数图象，并求出y1，y2关于x的函数关系式； （2）根据实践经验可知：这两种菜苗均在高度达到60cm时成熟，请问哪种菜苗先成熟，并说明理由． 6．已知A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．如图，直线l1，l2分别表示甲、乙两人离A地的距离s与时间t之间的函数关系图象，根据图象提供的信息，解答下列问题． （1）分别求出甲、乙两人离A地的距离s（千米）与t（时）之间的函数关系式； （2）经过多长时间，两人相距40千米？ 7．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度y（m/s）与时间x（s）之间的关系如图②所示． （1）求AB所在直线的函数表达式； （2）求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 8．某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？ 9．某校计划在期末对校级“三好学生”进行表彰，准备购买某款精装硬皮笔记本作为奖品．经市场调研发现，这款笔记本各商店定价统一，花费300元购买这款笔记本的数量比花费100元购买这款笔记本的数量多20本． 学校选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优惠活动，如下： 甲商店：购买数量超过30本，超过部分打九折出售； 乙商店：购买数量超过50本，超过部分打八折出售． 设该校购买x（x＞0）本笔记本，在甲商店购买所花费用为y1元，在乙商店购买所花费用为y2元．其函数图象如图所示． （1）求这款笔记本的单价． （2）求图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义． （3）根据图象直接写出该校应选择哪家商店购买笔记本． 10．如图是4列整齐叠放成一摞的羽毛球的示意图，羽毛球的规格都是相同的．小智尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的羽毛球的总高度y（单位：cm）随着羽毛球的数量x（单位：个）的变化规律．如表是小智经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 5 6 … y/cm 9 11.5 14 16.5 19 21.5 … （1）依据小智测量的数据，猜测并求出y与x之间的函数表达式； （2）球桶的长度为32cm，两端球桶塞的总厚度约为3cm，若整齐叠放这种规格的羽毛球，求这个球桶最多能装多少个羽毛球？ 11．如图1，可以用秤砣（即秤锤）到秤纽（即绳纽）的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是关于x的一次函数．表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 4 5 8 10 y（斤） 1.5 2 3 4 5 6 根据以上素材，解决下面问题： （1）表中有一对数据记录错误．观察判断y＝　 　 是错误的； （2）求出这个一次函数的关系式； （3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？ 12．跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t（s）、运动快慢v（cm/s）、运动路程y（cm）的数据． 【收集整理数据】 运动时间t（s） 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢v（cm/s） 12 10 8 6 4 2 … 运动路程y（cm） 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：v与t之间的关系可以近似地用 　 　 函数表示，y与t之间的关系可以近似地用 　 　 函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出v与t，y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以3cm/s的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么AB的最大值是多少？ 参考答案与试题解析 一．解答题（共12小题） 1．【解答】解：（1）设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元． 根据题意，得， 解方程组，得， 答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元； （2）设购买紫丁香m株，则购买白丁香（45﹣m）株，总费用为w元． 根据题意，得w＝80m+50×（45﹣m）＝30m+2250， ∵30＞0， ∴w随m的增大而增大， ∵m≥20， ∴当m＝20时，w最小＝30×20+2250＝2850， 答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 2．【解答】：（1）设每副羽毛球拍的价格为a元，每盒羽毛球的价格为b元． 根据题意，得， ∴． 答：每副羽毛球拍的价格为100元，每盒羽毛球的价格为30元． （2）①从甲公司购买的费用：y1＝[100x+30（50﹣x）]×80%＝56x+1200；从乙公司购买的费用：y2＝100x+30（50﹣x﹣x）＝40x+1500， ∴从甲公司购买时y1关于x的函数关系式为y1＝56x+1200；从乙公司购买时y2关于x的函数关系式为y＝40x+1500； ②当y1＜y2时，即56x+1200＜40x+1500，解得x＜18.75， ∴当0＜x≤18时，到甲公司购买更划算； 当y1＝y2时，即 56x+1200＝40x+1500，解得x＝18.75． ∵x为整数， ∴甲、乙公司的花费不会相同； 当y1＞y2时，即56x+1200＞40x+1500，解得x＞18.75， 又由题意，x≤50﹣x， ∴19≤x≤25时，到乙公司购买更合算． 综上，当0＜x≤18时，到甲公司购买更划算；19≤x≤25时，到乙公司购买更合算． 3．【解答】解：（1）设足球的单价为m元，则篮球的单价为（m+20）元． 根据题意，得， 解得m＝80， 经检验，m＝80是所所列分式方程的根， 80+20＝100（元）． 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元． （2）购买足球（120﹣x）个， 根据题意，得， 解得72≤x≤119且x为整数， y＝100x+80（120﹣x）＝20x+9600， ∴y与x的函数关系式及x的取值范围是y＝20x+9600（72≤x≤119且x为整数）， ∵20＞0， ∴y随x的增大而增大， ∵72≤x≤119且x为整数， ∴当x＝72时y值最小， 120﹣72＝48（个）． 答：购买篮球72个、足球48个总费用最低． 4．【解答】解：（1）根据题意，得y1＝1600x+5000，y2＝1800x+2000． （2）令y1＝y2，即1600x+5000＝1800x+2000，解得x＝15， ∴若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，该二级经销商此次购买茶叶的质量为15kg． （3）1600x+5000＝65000，解得x＝37.5； 1800x+2000＝65000，解得x＝35． ∵37.5＞35， ∴按方式一购买可以获得更多的茶叶． 5．【解答】解：（1）y1，y2关于x的函数图象如图所示： 设y1关于x的函数关系式为y1＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）， 将坐标（0，3）和（2，6）分别代入y1＝k1x+b1， 得， 解得， ∴y1关于x的函数关系式为y1x+3； 设y2关于x的函数关系式为y2＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）， 将坐标（0，8）和（2，10）分别代入y2＝k2x+b2， 得， 解得， ∴y2关于x的函数关系式为y2＝x+8． （2）甲种菜苗先成熟．理由如下： 当y1＝60时，得x+3＝60， 解得x＝38； 当y2＝60时，得x+8＝60， 解得x＝52， ∵38＜52， ∴甲种菜苗先成熟． 6．【解答】解：（1）设l1的函数关系式为s＝kt，将点（2，30）代入得： 30＝2k， 解得：k＝15， ∴s＝15t， 设l2的函数关系式为s＝at+b，将点（0，100）、点（2，60）分别代入得： ， 解得：， ∴l2的函数关系式为s＝﹣20t+100； （2）两人相距40千米时，分两种情况讨论： ①当相遇后相距40千米时， 依题意得：15t+20t﹣100＝40， 解得：t＝4， ②当相遇前相距40千米时， 依题意得：﹣20t+100﹣15t＝40， 解得：， 综上所述，经过4小时或小时，两人相距40千米． 7．【解答】解：（1）设OA所在直线的函数表达式为y＝kx（k≠0）， ∴2＝k， ∴小球滚动过程中的速度y（m/s）与时间x（s）之间的关系为y＝2x， ∴A点坐标为（2，4）． 设AB所在直线的函数表达式为y＝mx+b（m≠0）， 得， 解得 ∴yx； （2）当y＝0时， x0， 解得x＝5， ∴5﹣2＝3， ∴该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为3s． 8．【解答】解：（1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元， 选择条件①②： 根据题意得：， 解得， 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； （2）设该学校购买篮球m个，则购买足球（10﹣m）个， 根据题意得：10﹣m≤2m， 解得m， 又∵m≤10， ∴m≤10， 设学校要购买篮球、足球的总费用为w元， 根据题意得：w＝60m+50（10﹣m）＝10m+500， ∵10＞0， ∴w随m的增大而增大， ∵m≤10，且m为正整数， ∴当m＝4时，w最小，最小值为540． 答：购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元． 9．【解答】解：（1）设这款笔记本的单价是m元． 根据题意，得20， 解得m＝10， 经检验，m＝10是所列分式方程的根． 答：这款笔记本的单价是10元． （2）当x＞30时，y1＝10×30+0.9×10（x﹣30）＝9x+30， 当x＞50时，y2＝10×50+0.8×10（x﹣50）＝8x+100， 设M（x，y），则， 解得， ∴M（70，660），其实际意义表示当购买70本时，在甲商店购买和在乙商店购买所花费用相等，为660元． （3）由图象可知，当0≤x≤30或x＝70时，y1＝y2， 当30＜x＜70时，y1＜y2， 当x＞70时，y1＞y2， ∴当0≤x≤30或x＝70时，在家商店购买所花费用相同，任选一家购买即可；当30＜x＜70时，应选择甲商店购买；当x＞70时，应选择乙商店购买． 10．【解答】解：（1）根据表格，x增加1，y增加2.5， 则y＝9+2.5（x﹣1）＝2.5x+6.5， ∴y与x之间的函数表达式为y＝2.5x+6.5． （2）根据题意，得y≤32﹣3，即2.5x+6.5≤32﹣3， 解得x≤9， ∴这个球桶最多能装9个羽毛球． 11．【解答】解：（1）观察表格中的数据可知：距离每增加1厘米，物重增加0.5斤， 故x从4到5时，y应该从3增加到3.5， 故y＝4是错误的； （2）设y＝kx+b（k≠0）， 把（2，2），（4，3）代入函数解析式得， 解得：， ∴； （3）∵， ∴当x＝18时，； 答：当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时，秤钩所挂物重是10斤． 12．【解答】解：【猜想】， 观察v随t的变化，是均匀减小，符合一次函数特征；y与t的关系结合图象判断为二次函数， 故答案为：一次，二次； 【检验】求v与t的函数关系式： 设v＝kt+b，把t＝0，v＝12和t＝4，v＝10代入， 可得，解得，所以v＝﹣0.5t+12， 验证：当t＝8时，v＝﹣0.5×8+12＝8，与表格数据一致； 求y与t的函数关系式： 设y＝at2+bt+c，把t＝0，y＝0，t＝4，y＝44，t＝8，y＝80代入， 可得 解得， ∴y＝﹣0.25t2+12t， 验证：当t＝12时，y＝﹣0.25×144+12×12＝108，与表格数据一致； 【应用】设运动时间为t秒时弹珠追上小车， 此时弹珠运动的路程y等于AB的距离加上小车运动的路程3t，即y＝s+3t（s为AB的距离）， 由y＝﹣0.25t2+12t， 可得﹣0.25t2+12t＝s+3t， 整理得s＝﹣0.25t2+9t， 对于二次函数s＝﹣0.25t2+9t，a＝﹣0.25＜0， 其最大值在t＝18时取得， 把t＝18代入s＝﹣0.25t2+9t，得s＝81， 所以AB的最大值是81cm． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/20 15:59:04；用户：帐号62；邮箱：hxnts62@xyh.com；学号：37372738 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $