第19题-【一战成名新中考】2026河南数学中考必考知识点题组特训

一．解答题（共13小题） 1．如图，点A，B，C是不在一条直线上的三个点，过B，C两点作直线，并连接AB，AC． （1）尺规作图： ①延长CA至D，使得点A为CD的中点； ②作射线AB，在射线AB上截取AE＝3AB．（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）若AB＝AC，CD＝10cm，求BE的长． 小明同学写出解答的部分过程，请你帮忙完成填空． 解：因为点A为CD的中点， 所以　 　 ， 因为CD＝10， 所以AC＝　 　 ， 因为AB＝AC， 所以AB＝5， 因为AE＝3AB， 所以AE＝　 　 ， 所以BE＝　 　 ﹣　 　 ＝　 　 ． 2．如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，且AD＝AB＝CD，连接AC． （1）作∠ADC的平分线DE交AC于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的基础上，若AC⊥BC，求证：AE＝BC． 3．如图，是由边长为1的小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A在小正方形的顶点上，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）以格点为顶点，作△ABC，使． （2）在（1）的基础上，在线段BC上画一点G，使∠CAG＝45°． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC边的中点． （1）用无刻度的直尺和圆规在边AB上作点E，使∠DEB＝2∠A．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接CF，求证：CF∥AB． 5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点O在边AB上，以OB为半径作⊙O，交BC于点D，连接OD． （1）尺规作图：在AC边上作一点E，使CE＝DE，再作直线DE；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）DE是⊙O的切线吗？请说明理由． 6．某数学兴趣小组在研究一个尺规作图课题：在△ABC中，∠ABC＝90°，作以C为顶点的等腰三角形BCE．以下为两位同学的做法： 甲：如图1，以C为圆心，CB为半径画弧交AC于点E，连结BE． 乙：如图2，步骤1，作△ABC的高线BD；步骤2，作∠ABD的平分线交AC于点E，连结BE． （1）如图1，若∠ABE＝18°，则∠BCE＝　 　 °． （2）尺规作图：请你在图2中完成乙同学的步骤2．（不写作法，保留作图痕迹） （3）你认为乙同学的做法正确吗？如果正确请证明，如果错误请说明理由． 7．如图，在地面上竖直安装着AB，CD，EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB，CD形成的影子分别为BG与DH． （1）在图中画出光源的位置（用点P表示）； （2）此光源下形成的投影是　 　 （填“中心投影”或“平行投影”）； （3）在图中画出立柱EF此时在该光源下所形成的影子（用线段FM表示）． 8．如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于P． （1）请用无刻度的直尺和圆规作∠BPQ＝∠ABP，射线PQ交BC于点Q（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形ABQP是菱形． 9．小明对菱形的作法非常感兴趣，他根据所学的知识，利用直尺和圆规，在▱ABCD内分别以A，D为圆心，以AD的长为半径画弧，分别交AB，DC于点E，F，快速地作出一个菱形ADFE，如图（1）所示，根据小明的尺规作图过程，解决下列问题． （1）小明用到的作图依据是（ 　 　 ）； A．一组对边平行且相等的四边形是菱形 B．两组对边分别相等的四边形是菱形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （2）请在图（2）▱ABCD内运用另一种尺规作图的方法作出菱形，并证明你的结论．（保留作图痕迹，不写作法） 10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AB＝4，BC＝5，BD＝2． （1）求证：BD⊥CD； （2）请用不带刻度的直尺和圆规作△BCD的外接圆⊙O（不必写作法，但要保留作图痕迹），作图后判断AD是否为⊙O的切线，并说明理由． 11．小华与小红一起研究一个尺规作图问题： 如图1，已知E是▱ABCD边BC上一点（不包含B，C），连结AE，用尺规作CF∥AE，其中F是边AD上一点． 小红：如图2，以点A为圆心，CE长为半径作弧，交AD于点F，连结CF，则CF∥AE． 小华：以点C为圆心，AE长为半径作弧，交AD于点F，连结CF，则CF∥AE． 小红：小华，你的作法有问题． 小华：哦……我明白了！ （1）根据小红的作法，证明：CF∥AE． （2）指出小华作法中存在的问题． 12．如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，∠D＝2∠B． （1）用无刻度直尺和圆规在线段BC上求作一点E，使得AE＝BE，连接AE；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若∠CAD＝∠ACB，请证明（1）中得到的四边形AECD是平行四边形． 13．如图，AB是⊙O的直径． （1）请用无刻度的直尺和圆规作OB的垂直平分线，交⊙O于点C，D．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接AC，AD，判断△ACD的形状，并说明理由． 参考答案与试题解析 一．解答题（共13小题） 1．【解答】解：（1）①如图，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交CA的延长线于点D， 则点D即为所求． ②以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交AB的延长线于点F，再以点F为圆心，AB的长为半径画弧，交AF的延长线于点E， 则AE即为所求． （2）因为点A为CD的中点， 所以AC， 因为CD＝10， 所以AC＝5， 因为AB＝AC， 所以AB＝5， 因为AE＝3AB， 所以AE＝15， 所以BE＝AE﹣AB＝10． 故答案为：CD；5；15；AE；AB；10． 2．【解答】解：（1）如图所示，AE即为所求作： （2）由条件可知DE⊥AC， ∵AD⊥AB，AC⊥CB， ∴∠AED＝∠DAB＝∠ACB＝90°， ∴∠DAE+∠BAC＝90°，∠BAC+∠B＝90°． ∴∠DAE＝∠B， 在△DEA和△ACB中， ， ∴△DEA≌△ACB（AAS）， ∴AE＝BC． 3．【解答】解：（1）如图1中，△ABC即为所求； （2）如图2中，点G即为所求． 4．【解答】（1）解：如图，点E为所求； 由作图得AE＝DE， ∴∠A＝∠ADE， ∴∠DEB＝∠A+∠ADE＝2∠A； （2）证明：∵D是AC边的中点， ∴AD＝CD， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴∠A＝∠DCF， ∴CF∥AB． 5．【解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：DE是⊙O的切线，理由如下： ∵CE＝DE， ∴∠EDC＝∠C， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∵∠A＝90°， ∴∠OBD+∠C＝90°， ∴∠ODB+∠EDC＝90°， ∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE， 又∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线． 6．【解答】解：（1）由作图得，CB＝CE， ∴∠CBE＝∠CEB． ∵∠ABC＝90°，∠ABE＝18°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝72°． ∴∠CEB＝72°， ∴∠BCE＝180°﹣∠CEB﹣∠CBE＝36°． 故答案为：36． （2）如图2所示． （3）乙同学的做法正确． 证明：∵BD为△ABC的高线， ∴∠BDC＝∠ABC＝90°， ∴∠C+∠CBD＝∠C+∠A＝90°， ∴∠CBD＝∠A． ∵BE为∠ABD的平分线， ∴∠ABE＝∠DBE， ∵∠BEC＝∠A+ABE，∠CBE＝∠CBD+∠DBE， ∴∠BEC＝∠CBE， ∴三角形BCE是以C为顶点的等腰三角形． 7．【解答】解：（1）如图，连接GA，HC并分别延长，相交于点P， 则点P即为所求． （2）由题意知，此光源下形成的投影是中心投影． 故答案为：中心投影． （3）连接PE并延长，与地面交于点M，则FM即为所求． 8．【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC． 又∵∠BPQ＝∠ABP， ∴∠BPQ＝∠PBC， ∴PQ∥AB． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AP∥BQ， ∴四边形ABQP为平行四边形． ∵AD∥BC， ∴∠APB＝∠PBC＝∠ABP， ∴AB＝AP， ∴四边形ABQP为菱形． 9．【解答】解：（1）根据小明的尺规作图知，AE＝AD＝DF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， 又∵AE＝DF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE＝AD， ∴平行四边形AEFD是菱形， 用到的作图依据是有一组邻边相等的平行四边形是菱形， 故选：C； （2）连接AC，作AC的中垂线交CD、AB于G、H，则四边形AHCG是菱形， 理由：由作图可知：AG＝CG，AH＝CH，AO＝CO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠OCG＝∠OAH， ∵∠COG＝∠AOH，AO＝CO， ∴△COG≌△AOH（ASA）， ∴OG＝OH， ∴四边形AHCG是平行四边形， ∵AG＝CG， ∴四边形AHCG是菱形． 10．【解答】（1）证明：∵AB＝4，BC＝5，BD， ∴， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴△ABD∽△DBC， ∴∠BDC＝∠A＝90°， 即BD⊥CD． （2）解：如图，作线段BC的垂直平分线，交BC于点O，以点O为圆心，OB的长为半径画圆， 则⊙O即为所求． AD是⊙O的切线． 理由：连接OD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ABD＝∠ODB， ∴AB∥OD． ∵∠A＝90°，∴∠ADO＝90°， ∵OD为⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线． 11．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，∴CE∥AF， ∵CE＝AF，∴四边形AECF为平行四边形，∴CF∥AE． （2）解：小华作法中存在的问题：以点C为圆心，AE长为半径作弧，与AD可能有两个交点，如图所示． 12．【解答】（1）解：如图，点E为所作； （2）证明：∵EA＝EB， ∴∠EAB＝∠B， ∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝2∠B， ∵∠D＝2∠B， ∴∠AEC＝∠D， 在△ACE和△CAD中， ， ∴△ACE≌△CAD（AAS）， ∴AE＝CD，CE＝AD， ∴四边形AECD是平行四边形． 13．【解答】解：（1）作OB的垂直平分线，如图1，CD即为所求； （2）△ACD是等边三角形．理由如下： 连接AC，AD，如图2，连接OC，BC． ∵CD垂直平分OB， ∴OC＝BC ∵OC＝OB， ∴OC＝BC＝OB， ∴△OCB是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CD⊥OB， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°， ∴∠ACD＝90°﹣30°＝60°． ∵∠ADC＝∠B＝60°， ∴∠CAD＝60°， ∴△ACD是等边三角形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/20 15:10:31；用户：帐号62；邮箱：hxnts62@xyh.com；学号：37372738 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $