第15题-【一战成名新中考】2026河南数学中考必考知识点题组特训

一．填空题（共20小题） 1．如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC，∠AOB，∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．如图②，若∠MON＝150°，射线OP为∠MON的“幸运线”，则∠MOP的度数是　 　 ． 2．如图，等腰直角三角形AEF的斜边EF经过正方形ABCD的顶点B，点G为EF的中点，连接DE，AG，DE与AG交于点H． （1）若DH＝5，则DE的长度为 　 　 ． （2）若B恰为EG的中点，则的值为 　 　 ． 3．如图，在△ABC中，AC＝5、AB＝4、BC＝3，D是平面内一点，CD＝1，连接AD、E为AD的中点，连接BE，则BE的最小值为　 　 ，最大值为　 　 ． 4．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，D为AP的中点，连接CD．若⊙O的半径为4，则CD长的最大值是 　 　 ． 5．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠B＝30°，AC，点D为AB的中点，以AD为一边在边AB上方作等腰直角△ADE，将△ADE绕着点A逆时针旋转，当△ADE旋转到B、D、E三点共线时，线段BE的长为 　 　 ． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC＝8，点D为AB的中点，点M，N分别是边AC，BC上的动点，且MN＝4，点P是MN的中点，连接BP，DP，则： ①DP的最小值为 　 　 ； ②当∠PBC最大时，线段AM的长是 　 　 ． 7．如图，在Rt△AOB中，AB＝4，OB＝2，⊙O的半径为1，点M在AB边上运动，过点M的直线MN与⊙O相切于点N，则MN的最大值为　 　 ，最小值为　 　 ． 8．矩形ABCD中，AB＝1，O是BD的中点，点E在直线AD上，且DE＝3，若△BOE与△DOE关于直线OE对称，则AD的长为 　 　 ． 9．如图，在正方形ABCD中，点A，点B在x轴上，点C坐标为（4，6），E是平面内任意一点，且始终满足AE⊥CE，连接OE，则线段OE的最大值为　 　 ，最小值为　 　 ． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝3，点P为直线AB上一个动点，作射线DP，过点C作CQ⊥DP，垂足为Q，连接AQ，则AQ的最小值为 　 　 ，最大值为 　 　 ． 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是对角线BD上一个动点，连接AP，以AP为直角边在AP右侧作等腰直角三角形APE，∠APE＝90°，连接DE． （1）当点E落在BD上时，DE的长为 　 　 ． （2）DE的最小值是 　 　 ． 12．如图，等边三角形ABC中，BC＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，E为AD的中点．若CD＝1，则BE的最大值为 　 　 ，最小值为 　 　 ． 13．如图，在正方形ABCD中，BC＝4，点E是CB延长线上一点，且BE＝2，点F为线段AE上一动点，连接BF，将线段BF绕点B顺时针旋转90°得到线段BG，连接DG，FG，则FG的最小值是　 　 ，此时DG的长为　 　 ． 14．如图，将一块直角三角板ABC绕其60°角的顶点A旋转至△ADE，连接CD、CE，已知AB＝2，当△CDE以CE为直角边时，CE的长为　 　 ． 15．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝6，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A处，折痕交AB边于点T，交AD边于点S，P为A′T的中点，连接BP，则线段BP长度的取值范围是 　 　 ． 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，连接AB′． （1）AB′的最小值是 　 　 ； （2）若△AB′F为直角三角形，则BE的长为 　 　 ． 17．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图，点B的坐标的为，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点．的最小值是　 　 ；此时点P的坐标为　 　 ． 18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 　 　 ． 19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为AB的中点，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且EF＝3，点G是EF的中点，连接AG，DG，点E，F在运动的过程中，GD的最小值为　 　 ，当∠CAG最大时，线段BF的长是　 　 ． 20．若一个三角形的三边长之比为3：4：5，则称这个三角形为“勾股三角形”．如图，在矩形ABCD中，AD＝12，点G在边DC上，将△ADG沿AG所在直线折叠，得到△AD′G，再将△AD′G沿过点A的直线折叠，使AD′与AG重合，点D′的对应点为点E，折痕与D′G 交于点F．若△GEF 是“勾股三角形”，则AF的长为 　 　 ． 参考答案与试题解析 一．填空题（共20小题） 1．【解答】解：由题意，分以下四种情况：当∠MON＝2∠MOP时，射线OP是∠MON的“幸运线”， ∵∠MON＝150°，∴；当∠MOP＝2∠NOP时，射线OP是∠MON的“幸运线”，∵∠MON＝150°，∠MOP+∠NOP＝∠MON，∴，解得∠MOP＝100°；当∠MON＝2∠NOP时，射线OP是∠MON的“幸运线”，∵∠MON＝150°，∴， ∴∠MOP＝∠MON﹣∠NOP＝75°；当∠NOP＝2∠MOP时，射线OP是∠MON的“幸运线”， ∵∠MON＝150°，∠MOP+∠NOP＝∠MON，∴∠MOP+2∠MOP＝150°，解得∠MOP＝50°； 综上，∠MOP的度数为50°或100°或75°．故答案为：50°或100°或75°． 2．【解答】解：（1）连接DF， 由条件可知AG＝EG＝FG，AG⊥EF，∠AEF＝∠AFE＝45°，∠EAF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，又∵∠DAF+∠BAF＝∠BAF+∠BAE＝90°，∴∠DAF＝∠BAE， 在△DAF和△BAE中，，∴△DAF≌△BAE（SAS），∴∠AFD＝∠AEF＝45°，∴∠DFE＝AFD+∠AFE＝90°，∴DF⊥EF，∴DF∥AG，∴△EGH∽△EFD，∴，又∵，DH＝5，∴DE＝2DH＝10，故答案为：10； （2）由条件可知△AEG是等腰直角三角形，设AG＝GE＝a，∵B恰为EG的中点，∴，∵△DAF≌△BAE，∴，由△EGH∽△EFD，，∴， ∴，即，∴，∴．故答案为：． 3．【解答】解：如图，取AC的中点Q，连接EQ， 由条件可知，∴E在以Q为圆心，为半径的⊙Q上运动，连接BQ交⊙Q于E、E′，则BE为最小，BE′为最长，∵AC＝5、AB＝4、BC＝3，∴AB2+BC2＝25＝AB2，∴∠ABC＝90°， 由条件可知，∴BE＝2.5﹣0.5＝2，BE′＝2.5+0.5＝3，∴BE的最小值为2，最大值为3； 故答案为：2，3． 4．【解答】解：如图，当点P在⊙O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O'，因此CO′交⊙O'于点D，此时CD的值最大，由题意得，OA＝OB＝OC＝2，OO′OA＝2＝O′D，在Rt△O′OC中，OC＝42，OO′＝2，O′C2，∴CD＝CO′+O′D＝22，故答案为：22． 5．【解答】解：∵∠BCA＝90°，∠B＝30°，AC，∴AB＝2AC＝2，BCAC＝3，∵D为AB中点，∴ADAB，∵△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD，当D在线段BE上时，如图： 由旋转知，∠ADE＝90°＝∠ADB，∵AD，AB＝2，∴BD3， ∴BE＝BD+DE＝3；当E在线段BD上时，如图：此时C与D重合，BE＝BC﹣DE＝3； 综上所述，线段BE的长为3或3；故答案为：3或3． 6．【解答】①解：连接CP，CD，如图所示：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝8，∴AC＝4，BC＝8，由勾股定理得：AB，∵点D是Rt△ABC斜边上的中线，∴CDAB，∵∠ACB＝90°，点P是MN的中点，MN＝4，∴PC是Rt△MCN斜边上的中线，∴PCMN＝2，∴在点M，N的运动过程中，点P始终在以C为圆心，以PC＝2为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：PC+DP≥CD，∴DP≥CD﹣PC，∴当C，P，D三点在同一条直线上时，DP最小，最小值为CD﹣PC，∵CD，PC＝2，∴DP的最小值为：，故答案为：； ②解：当∠PBC最大时，则点C到直线PB的距离最大，由①可知：点P在C为圆心，以PC＝2为半径的圆上，∴当BP与圆C相切时，点C到直线PB的距离最大，即∠PBC最大，连接PC，过点点P作PE⊥BC于点E，如图2所示：∵PB与⊙C相切，∴PC⊥PB，在Rt△PBC中，BC＝8，PC＝2，由勾股定理得：PB，由三角形的面积公式得：S△PBCBC•PEPC•PB，∴PE，∵∠ACB＝90°，PE⊥BC，∴PE∥AC，∵点P是MN的中点，∴PE是△CMN的中位线，∴CM＝2PE，∴AM＝AC﹣CM，∴当∠PBC最大时，线段AM的长是．故答案为：． 7．【解答】解：作OP⊥AB于点P，连接OM、ON，∵AB＝4，OB＝2，∠AOB＝90°，∴OA2，∵S△AOB4OP2×2，∴OP，∵直线MN与⊙O相切于点N，⊙O的半径为1，∴MN⊥ON，ON＝1，∴∠ONM＝90°，∴MN，∴当OM最大时，则MN的值最大；当OM最小时，则MN的值最小，∵点M在AB边上运动，∴OP≤OM≤OA，∴OM≤2，∴OM的最大值为2，最小值为，∵当OM＝2时，MN；当OM时，MN，∴MN的最大值为，最小值为，故答案为：，． 8．【解答】解：如图①，∵△BOE与△DOE关于直线OE对称，∴BE＝DE＝3，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，∴AE2，∴AD＝DE+AE＝3+2；如图②，∵△BOE与△DOE关于直线OE对称，∴BE＝DE＝3，∵四边形ABCD是矩形，∵∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°，∵AB＝1，∴AE2，∴AD＝DE﹣AE＝3﹣2，则AD的长为3+2或3﹣2． 故答案为：3+2或3﹣2． 9．【解答】解：连接AC，取AC中点P，连接OP，EP，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，由题意可得：AB＝BC＝6，B（4，0），∴A（﹣2，0），∴P（1，3），∴，∵AE⊥CE，，∴，当点P在线段OE上时，OE取得最大值，为；当点O在线段EP上时，OE取得最小值，为．故答案为：，． 10．【解答】解：取CD的中点M，连接AM，MQ，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝8，∠ADM＝90°， ∴DMCD＝4，∵CQ⊥DP，∴∠CQD＝90°，∴MQCD＝4，∵AD＝3，∴AM5， 由三角形三边关系定理得到：AM﹣MQ≤AQ≤AM+MQ，∴1≤AQ≤9，∴AQ的最小值为1，最大值为9．故答案为：1，9． 11．【解答】解：（1）当点E落在BD上时，如图1所示： ∵△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形，∴∠APE＝90°，AP＝PE，∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠DAB＝90°，AB∥CD，在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD10，由三角形的面积公式得：S△ABDBD•APAB•AD，∴AP，∴AP＝PE，在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP，∴DE＝BD﹣BP﹣EP； （2）过点P作PF⊥AB于点F，FP的延长线交CD于点H，过点E作ET⊥PH于点T，EK⊥CD于点K，如图2所示： 设PF＝x，∵∠PFB＝∠DAB＝90°，∠PBF＝∠DBF，∴△PFB∽△BAD，∴，∴BF，∴AF＝AB﹣BF，∵PF⊥AB，ET⊥PH，∴∠AFB＝∠PTE＝90°，∴∠FAP+∠APF＝90°，∵∠APE＝90°，∴∠APF+∠TPE＝90°，∴∠FAP＝∠TPE，在△FAP和△TPE中，，∴△FAP≌△TPE（AAS），∴PF＝ET＝x，PT＝AF，∵EK⊥CD，AB∥CD，PF⊥AB，∴四边形BFHC和四边形EKHT均为矩形，∴EK＝TH＝BP﹣PF﹣PT，DK＝CD﹣ET﹣BF，在Rt△DEK中，由勾股定理得：DE2＝EK2+DK2， ∴DE2，∴当x时，DE2为最小，最小值为，∴DE的最小值为：． 12．【解答】解：如图，取AC的中点F，连接EF，BF，则EF为△ACD 的中位线，∴，∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝BC．又∵F是AC的中点，∴BF⊥AC．在Rt△BFC 中，由勾股定理，得，当点B，E，F在同一条直线上时，出现最大值和最小值．∴BE的最大值为，BE的最小值为，故答案为：． 13． 【解答】解：∵BF＝BG，∠FBG＝90°，∴△BFG是等腰直角三角形，∴，∴当BF⊥AE时，BF最小，即FG最小，如图，∵正方形ABCD中，∠ABE＝∠ABC＝90°，BE＝2，AB＝4，∴，∵，∴，∴FG的最小值为；此时，过点G作GH⊥AB，GI⊥AD，垂足分别为H、I，过点F作FP⊥BE于P，如图， ∵AB＝AD＝4，∠ABC＝∠ABE＝∠BAD＝90°，∴AH＝GI，AI＝GH，同理可得，∴，∵BF＝BG，∠FBG＝90°，∴∠EBF＝∠GBH＝90°﹣∠FBH， 又∵∠BPF＝∠GHB＝90°，∴△FBP≌△GBH，∴，∴，∴；故答案为：；4． 14．【解答】解：∵将一块直角三角板ABC绕其60°角的顶点A旋转至△ADE，AB＝2，∴Rt△ABC≌Rt△ADE，且∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AD＝2，∴AC＝AE＝2AB＝4，由勾股定理得：，①当CE⊥DE时，如图1，由图可知，此时AE＝AB+BE＝4，AE＝AC，∵∠BAC＝60°，∴△EAC为等边三角形，∴CE＝AE＝AC＝4；②当CE⊥CD时，如图2，过点A作AF⊥CE，交CE于点F，AF与DE交点G，连接GC，∵AC＝AE，∴△ACE为等腰三角形，此时AF为△ACE的中垂线，∴GE＝GC，又∵△DCE此时为直角三角形，∴GC为△DCE斜边DE上的中线，∴GE＝GC＝DG，∴，在Rt△ADG中，由勾股定理得：，∵∠AGD＝∠EGF，∠ADE＝∠EFG＝90°，∴△ADG∽△EFG，∴，即，∴，∴，综上所述，CE的长为4或．故答案为：4或． 15．【解答】解：由折叠的性质可知：AT＝A′T，在Rt△A′TB中，P为A′T的中点，∴， ∴AT＝A′T＝2BP，由题可得：当AS＝6时，AT＝A′T最长，最长值为6， 当AS＝10时，AT＝A′T最短，设AT＝A′T＝x，则BT＝6﹣x，在Rt△A′CD中，∵A′D＝AD＝10，CD＝AB＝6，∴A′C＝8，∴BA′＝2，∵x2＝（6﹣x）2+22，解得：，∴， ∴． 16．【解答】解：（1）由题意可得，CD＝BD＝B′D，∴B′在以D为圆心CD为半径的圆上，如图一所示： 在点B′运动过程中，在△ADB′中，由三边关系得，AB′≥AD﹣B′D，在变化过程中，AD和B′D保持不变，故AB′的最小值为AD﹣B′D，即如图二所示：在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝2， ∴，AB＝4，∴，在Rt△ACD中，AC＝2，，∴，故AB′的最小值为．（2）△AB′F为直角三角形，分两种情况：①∠AFB′＝90°， 在Rt△BDF中，，∠B＝30°，，设BE＝x，，在Rt△B′EF中，∠EB′F＝30°，，B′E＝x，，解得x＝1，即BE＝x．②∠AB′D＝90°，过E点作EH⊥AH交AB′的延长线与H点，如图四所示：由折叠的性质可知，∠DBE＝∠DB′E＝30°，∵∠AB′D＝90°，∴∠AB′E＝90°+30°＝120°，∴∠EB′H＝60°，设BE＝B′E＝x，∴在Rt△B′EH中，，，在Rt△ACD和Rt△AB′D中，，∴Rt△ACD≌Rt△AB′D（HL），∴AB′＝AC＝2，在Rt△AHE中，，，AE＝4﹣x，∴，解得：．综上，BE的长是1或． 17．【解答】解：作PM⊥x轴， ∵菱形OBCD中，∠DOB＝60°，∴，∴（30°角所对的直角边是斜边的一半），则要使取最小值，点D、P、M应在一条直线上，作DN⊥x轴，此时DN即为最小值，∵点B的坐标为，∴，则菱形OBCD中，， ∵∠DOB＝60°，∴∠ODN＝30°，∴，，最小值为3，∵∠POM＝30°，∴OP＝2PN，∵PN2+ON2＝OP2，∴PN＝1，∴．故答案为：①3；②． 18．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，∴AB6， 在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，∴AD13，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，过P作PH⊥BC于H，则PH＝6，∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴PH∥AC，∴△DPH∽△DAC，∴，∴，∴PD＝6.5，∴AP＝6.5；当⊙P与AB相切时，点P到AB的距离＝6，过P作PG⊥AB于G，则PG＝6，∵AD＝BD＝13，∴∠PAG＝∠B，∵∠AGP＝∠C＝90°， ∴△AGP∽△BCA，∴，∴，∴AP＝3，∵CD＝5＜6，∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，综上所述，AP的长为6.5或3，故答案为：6.5或3． 19．【解答】解：如图1， ∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∵点D为AB的中点，∴CDAB，∵EF＝3，∴同理，在Rt△CEF中，CGEF，∵点E，F分别是边AC，BC上的动点，点G是EF的中点，∴G点的运动轨迹是以C为圆心，CG为半径的，∴当G点位于CD上时，GD最小，∴GD的最小值为CD﹣CG1；故答案为：1；∵如图2，当AG与圆C相切时，∠CAG最大，过A点作圆C的切线，切点为G，∴CG⊥AG，CG，∵AC＝3，∴在Rt△ACG中，∠CAG＝30°，∴∠ACG＝60°，∵G是EF的中点，EF＝3，∴GE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CEG＝60°，∴CF＝EF•sin∠CEG＝3×sin60°，∵BC＝4，∴BF＝4．故答案为：4． 20．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，由翻折可知：∠AEF＝∠AD′F＝∠D＝90°，∴∠FEG＝90°，∵△GEF 是“勾股三角形”，∴△GEF三边长之比为3：4：5，分两种情况：①设EG＝3x，则EF＝4x，FG＝5x，由翻折可知：D′F＝EF＝4x，AD′＝AE＝AD＝12，∴DG＝D′G＝D′F+FG＝9x，AG＝AE+EG＝12+3x，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AD2+DG2＝AG2，∴122+（9x）2＝（12+3x）2，∴x＝1，∴D′F＝4，∴AF4； ②设EF＝3x，则EG＝4x，FG＝5x，同理：DG＝D′G＝D′F+FG＝8x，AG＝AE+EG＝12+4x， ∴122+（8x）2＝（12+4x）2，∴x＝2，∴D′F＝6，∴AF6， 综上所述：当△GEF 是“勾股三角形”，则AF的长为4或6．故答案为：4或6． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/21 10:10:08；用户：帐号62；邮箱：hxnts62@xyh.com；学号：37372738 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $