第四章诊断卷（2）-【一战成名新中考】2026河南数学中考必考知识点题组特训

一．选择题（共10小题） 1．同安银湖大桥全长约为901米，是连接同安老城与城南片区的交通要道．其桥塔与拉索等结构广泛采用三角形设计来确保这座长约为九百米的大桥的稳固安全．这么做的依据是（　　） A．三角形的内角和是180° B．外形美观 C．三角形具有稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，若AC＝5，BC＝4，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 3．一个角的补角比这个角的余角的3倍少20°，这个角的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 4．表中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．则AC的长度为（　　） 诗文： 波平如镜一湖面 半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中里 突遭狂风吹一边 离开原处二尺远 花贴湖面象睡莲 A．3.5尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.5尺 5．如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经过灯碗反射以后平行射出，如果∠ABO＝α，∠DCO＝β，则∠BOC的度数是（　　） A．α+β B．180°﹣α C．（α+β） D．90°+（α+β） 6．在寻宝游戏中有一线索：宝藏埋藏点P在图1中的小路AB上（CA≠CB），且到河岸l1，l2的距离相等．依据线索甲、乙、丙三人各自在藏宝图中标记了点P（如图2所示），则能找到宝藏的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．甲和乙 7．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为12cm，若AP：PB＝1：3，则这根绳子原来的长度为（　　） A．16cm B．28cm C．16cm或32cm D．16cm或28cm 8．等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”，若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为6，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（　　） A．1.5 B．2 C．3 D．4 10．如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：A→C→B，路程为l甲． 乙：A→D→E→F→B，路程为l乙． 丙：A→G→H→B，路程为l丙． 下列关系正确的是（　　） A．l甲＞l乙＞l丙 B．l乙＞l甲＞l丙 C．l甲＞l丙＞l乙 D．l甲＝l乙＞l丙 二．填空题（共5小题） 11．如图，已知AB＝CD，要使△ABC≌△CDA，则应补充条件 　 　 ．（填写一个即可） 12．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，则图中共有　 　 个直角三角形． 13．已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝　 　 ． 14．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 　 　 ． 15．如图，已知点A（1，0）、B（5，0），点C在y轴上运动．将AC绕A顺时针旋转60°得到AD，则BD的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 16．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOE． （1）若∠BOE＝84°，求∠AOC的度数； （2）若∠BOE：∠AOE＝4：5，求∠AOC的度数． 17．如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）若AB＝10，CF＝7，求BD的长． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD． （1）求∠CAD的度数； （2）若BD＝5，求CD的长． 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上，连接BD，点E在BD上，连接AE，CE，且∠DAE＝∠DBA． （1）求证：AD2＝BD•DE； （2）若点D是AC的中点，求证：∠CED＝90°． 20．综合与实践： 初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”．如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD． 【操作应用】（1）如图1，将“筝形功能器”上的点A与∠PRQ 的顶点R重合，AB，AD分别放置在角的两边RP，RQ上，并过点A，C画射线AE． 求证：AE是∠PRQ 的平分线； 【实践拓展】（2）实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点A处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点B，D紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点C，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由． 21．综合与实践：利用相似三角形测量距离 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i，这就是光的反射定律． 【探索活动】淇淇和嘉嘉分别测量两个旗杆高度． 【活动1】如图2所示，淇淇将镜子放在地面上，然后后退直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，已知淇淇的身高是1.54m，眼睛位置A距离淇淇头顶的距离是4cm，求旗杆DE的高度． 【活动2】如图3所示，嘉嘉在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放置时影长2m，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的影长为10m，落在斜坡上的影长为，∠DCE＝45°，求旗杆AB的高度？ 【深度思考】在实际测量的过程中，你有哪些措施可以帮助他（她）们减小测量过程中的误差？（写出一条即可） 22．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AE＝AD，连接CE． 发现问题： （1）如图1，当点D在边BC上时，请写出BD和CE之间的位置关系为　 　 ，并猜想BD和DE、CD之间的数量关系：　 　 ． 尝试探究： （2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系，BD和DE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）当点D在射线CB上且其他条件不变时，若BA＝14，，直接写出线段ED的长． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B A B C C B D 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：∵其桥塔与拉索等结构广泛采用三角形设计来确保这座长约为九百米的大桥的稳固安全， ∴其数学依据是三角形具有稳定性． 故选：C． 2．【解答】解：∵AC＝5，BC＝4，∠ABC＝90°， ∴， ∴， 故选：C． 3．【解答】解：设这个角为α，则它的补角为180°﹣α，余角为90°﹣α， 根据题意得，180°﹣α＝3（90°﹣α）﹣20°， 解得α＝35°． 故选：B． 4．【解答】解：∵AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺，设AC的长度为x尺，则AB＝AB′＝（x+0.5）尺， 在直角三角形AB′C中，由勾股定理得：AC2+B′C2＝AB′2， ∴x2+22＝（x+0.5）2， 解得：x＝3.75， ∴AC的长度为3.75尺． 故选：B． 5．【解答】解：过点O作OE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥OE∥CD， ∴∠1＝∠ABO＝α，∠2＝∠DCO＝β， ∴∠BOC＝∠1+∠2＝α+β． 故选：A． 6．【解答】解：由题意知：甲作的是AB的垂线，乙作的是∠ACB的平分线，丙作的是线段AB的垂直平分线， ∵P到河岸l1，l2的距离相等， ∴点P一定是在∠ACB的角平分线与AB的交点处， ∴能找到宝藏的是乙． 故选B． 7．【解答】解：∵AP：PB＝1：3，AP+PB＝AB， ∴APAB，PBAB， ①当“折合点”在点A时，绳子所剪成2AP，PB，PB三段， 而2APAB，PBAB，2AP＜PB， ∴PB＝12AB， 解得AB＝16，此时绳子长为2AB＝32cm； ②当“折合点”在点B时，绳子所剪成AP，AP，2PB， 由①得，2PB＝12， 解得PB＝6，即AB＝6， 解得AB＝8， 此时绳子长为2AB＝16cm； 综上所述，绳子长为16cm或32cm， 故选：C． 8．【解答】解：当6为腰长时， ∵等腰△ABC的周长为20， ∴△ABC的底边长为：20﹣6﹣6＝8， ∴“和谐比”为当6为底边长时， △ABC的腰长为：， ∴“和谐比”为；故选：C． 9．【解答】解：∵∠DBC＝60°，∠C＝90°， ∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°， ∴BD＝2BC＝2×1＝2， ∵∠C＝90°，∠A＝15°， ∴∠ABC＝90°﹣15°＝75°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝75°﹣60°＝15°， ∴∠ABD＝∠A， ∴AD＝BD＝2． 故选：B． 10．【解答】解：在图丙中，延长AG，BH交于点P，如图所示： 设AB＝a， 在图甲中， ∵∠A＝∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC＝AB＝a， ∴甲所行走的路程l甲＝AC+BC＝2a， 在图乙中，AE+BE＝AB＝a ∵∠A＝∠AED＝∠FEB＝∠B＝60°， ∴△DAE和△FEB都是等边三角形， ∴AD＝DE＝AE，DF＝FB＝EB， ∴乙所行走的路程l乙＝AD+DE+DF+FB＝2（AE+BE）＝2a； 在图丙种， ∴∠A＝∠B＝60°， ∴AP＝AB＝a， 根据三角形三边之间的关系得：GH＜PG+PH， ∴AG+GH+HB＜AG+GH+PG+PH＝PA+PB＝2a， ∴丙所行走的路程l丙＝AG+GH+HB＜2a， ∴l甲＝l乙＞l丙， 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：∵AB＝CD，AC＝CA， ∴当补充条件∠BAC＝∠DCA时，则△ABC和△CDA全等，理由如下： 在△ABC和△CDA中， ， ∴△ABC≌△CDA（SAS）； 当补充条件BC＝AD时，则△ABC和△CDA全等，理由如下： 在△ABC和△CDA中， ， ∴△ABC≌△CDA（SSS）； 当补充AB∥CD时，则△ABC和△CDA全等，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， 在△ABC和△CDA中， ， ∴△ABC≌△CDA（SAS）， 故答案为：∠BAC＝∠DCA（答案不唯一）． 12．【解答】解：由条件可知∠ADB＝∠CDB＝90°， ∴直角三角形有△ABC，△ADB，△CDB，共3个直角三角形． 故答案为：3． 13．【解答】解：在Rt△AFC中，点D是AC的中点，AC＝6cm， ∴DFAC6＝3（cm）， ∵EF＝1cm， ∴DE＝DF+EF＝3+1＝4（cm）， ∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB＝2DE＝2×4＝8（cm）， 故答案为：8cm． 14．【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中， 4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，即（11，60，61）， 故答案为：（11，60，61）． 15．【解答】解：以AO为边作等边三角形AOH，连接HD， ∵点A（1，0）、B（5，0）， ∴OA＝1，AB＝4， ∵△AOH是等边三角形， ∴AO＝AH＝OH，∠OAH＝60°， ∵将AC绕A顺时针旋转60°得到AD， ∴AD＝AC，∠CAD＝60°＝∠OAH， ∴∠OAC＝∠DAH， ∴△CAO≌△DAH（SAS）， ∴∠AHD＝∠COA＝90°， ∴点D在过点H且垂直于AH的直线上运动， ∴当BD⊥DH时，BD有最小值， 此时，如图，过点A作AN⊥BD于N， ∵∠AHD＝90°，AN⊥BD，DB⊥HD， ∴四边形AHDN是矩形， ∴AH＝DN＝1，∠HAN＝90°， ∴∠BAN＝30°， ∴BNAB＝2， ∴BD＝DN+BN＝3， 故答案为：3． 三．解答题（共7小题） 16．【解答】（1）解：∵OD平分∠BOE， ∴（角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线）， 又∵∠BOE＝84°， ∴． 又∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC＝42°． （2）∵∠BOE：∠AOE＝4：5，∠BOE+∠AOE＝180°， ∴． ∵OD平分∠BOE， ∴， ∴， 又∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC＝40°． 17．【解答】（1）证明：∵CF∥AB， ∴∠ADE＝∠F，∠A＝∠ECF， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）； （2）由（1）可知，△ADE≌△CFE， ∴AD＝CF＝7， ∵AB＝10， ∴BD＝AB﹣AD＝10﹣7＝3， 即BD的长是3． 18．【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝30°， ∴∠CAD＝120°﹣30°＝90°； （2）∵BD＝5，AD＝BD， ∴BD＝AD＝5， 在△ACD中，∠DAC＝90°，∠C＝30°， ∴CD＝2AD＝10． 19．【解答】证明：（1）∵∠DAE＝∠DBA，∠DAE＝∠DBA， ∴△DAE∽△DBA， ∴AD：BD＝DE：AD， ∴AD2＝BD•DE； （2）∵点D是AC的中点， ∴AD＝CD， ∵AD2＝BD•DE， ∴CD2＝BD•DE； 即CD：BD＝DE：CD， ∵∠CDE＝∠BDC， ∴△DCE∽△DBC， ∴∠DEC＝∠DCB＝90°． 20．【解答】（1）证明：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴AE是∠PRQ 的平分线； （2）解：实践小组的判断对，理由如下： ∵△ABD是等腰三角形，AB＝AD， 由（1）知：AC平分∠BAD， ∴AC⊥BD， ∵AC是铅锤线， ∴BD是水平的． ∴门框是水平的． ∴实践小组的判断对． 21．【解答】解：【活动1】由题意可得：AB＝1.5m，BC＝0.5m，DC＝4m，△ABC﹣△EDC， ∴， ∴， 解得：DE＝12， 答：DE的长为12米． 【活动2】延长AD 交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E， ∴米，∠DCE＝45°， ∴DE＝CE＝2米， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴， 解得EF＝2DE＝4米， ∴BF＝10+2+4＝16（米）， ∵DE⊥BC，AB⊥BC， ∴△EDF∽△BAF， ∴， 即， ∴AB＝8米． 答：旗杆的高度约为8米． 【深度思考】在实际测量的过程中，多次测量求平均值，可以减小测量数据产生的误差（答案不唯一）． 22．【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°， ∴∠BCE＝45°+45°＝90°，即BD⊥CE． ∴DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2， 故答案为：BD⊥CE，DE2＝CD2+BD2； （2）BD⊥CE成立，数量关系成立，关系为BD2＝DE2﹣CD2； 理由：同（1）可得， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ACE+∠ACB＝90°， ∴BD2＝CE2＝DE2﹣CD2；BD⊥CE； （3）①当点D在线段CB上时， 在Rt△ABC中，AB＝AC，BA＝14， ∴BCBA＝14， 由（1）知BD＝CE， ∴BD＝10， ∴CD＝BC﹣BD＝4， 在Rt△DCE中，由勾股定理得DE2． ②当点D在线段CB上时， 在Rt△ABC中，AB＝AC，BA＝14， ∴BCBA＝14， 同（1）可得， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE， 即∠BAD＝∠EAC， ∵AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE＝10，∠ACE＝∠ABD＝135°， ∴CD＝BC+BD＝24， ∵∠ACB＝45° ∴∠DCE＝90°， 在Rt△DCE中，由勾股定理得，DE2＝DC2+CE2＝（24）2+（10）2＝2×262， ∴DE＝26． 综上，DE的值为2或26． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/20 11:11:33；用户：帐号62；邮箱：hxnts62@xyh.com；学号：37372738 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $