第四章诊断卷（1）-【一战成名新中考】2026河南数学中考必考知识点题组特训

一．选择题（共10小题） 1．如图，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B点，再从B点出发沿南偏东35°方向航行至C点，则∠ABC的度数为（　　） A．27° B．45° C．72° D．80° 2．中国武术有“枪扎一条线，横扫一大片”的说法，这句话用数学知识诠释相对最科学的是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．旋转成圆 D．点动成线，线动成面 3．如图，为了估计池塘两岸A，B之间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝9m，PB＝5m，那么A，B间的距离不可能是（　　） A．13m B．10m C．7m D．4m 4．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．垂足为D，∠A＝30°，若BD＝1，则AD 的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点P（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．HL 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，若S3＝28，S1＝10，则图中阴影部分的面积为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 8．如图，在长方形ABCD的中，已知AB＝8cm，BC＝12cm，点P以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以acm/s的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为（　　） A．4 B．3 C．2或1 D．4或3 9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，则DE的长是（　　） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8cm，D是BC边中点，P是AC边上的一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边△PDQ，连接CQ，则CQ的最小值（　　） A．1cm B．2cm C．4cm D． 二．填空题（共5小题） 11．如图，要测量两堵围墙形成的∠AOB的度数，先分别延长AO、BO得到∠COD，然后通过测量∠COD的度数从而得到∠AOB的度数，其中运用的原理是 　 　 ． 12．如图是一风筝的骨架图，AC是BD的垂直平分线，E为垂足．若AB＝2，四边形ABCD的周长为16，则CD的长度为　 　 ． 13．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则S阴影＝　 　 cm2． 14．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为10cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 　 　 cm．（杯壁厚度不计） 15．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 16．阅读题目，完成下面推理过程． 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中AB∥CD，MG∥FN，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且∠AEF＝∠GHD． 求证：∠EFN＝∠G． 证明：如图（2），延长EF交CD于点P． ∵AB∥CD（　 　 ）， ∴∠AEF＝∠EPD（　 　 ）， 又∵∠AEF＝∠GHD（　 　 ）， ∴∠EPD＝∠　 　 （等量代换）， ∴EP∥GH（　 　 ）， ∴∠EFN+∠FNG＝180°（　 　 ）， 又∵MG∥FN（　 　 ）， ∴∠FNG+∠G＝180°（　 　 ）， ∴∠EFN＝∠G（　 　 ）． 17．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AC＝BF，CD＝DF，求证：Rt△ACD≌Rt△BFD． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC于点E，交CA的延长线于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若∠B＝60°，BD＝6，AD＝BE＝3，求EC的长． 19．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE⊥BD，垂足为点F． （1）求证：△ABE∽△BCD； （2）当点E为BC中点时，若AB＝6，求AC的值． 20．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，求： （1）BC边上的高AD的长度； （2）△ABC的面积． 21．羑里城又称文王庙，是周易文化发祥地．羑里城遗址内耸立着一尊花岗岩文王雕像（如图1）．某数学兴趣小组利用测角仪和卷尺测量文王雕像AB的高度．如图2，在M处用测角仪测得雕像底部B的仰角∠BDF＝14°，沿MC方向前进2m到达点N处，又测得雕像顶端A的仰角∠AEF＝53°．已知雕像底部B距离水平地面的高度BC为3.5m，若测角仪DM和EN的高度均为1.5m，测量点M，N与点C在同一水平线上，求文王雕像AB的高度．（结果保留整数．参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）． 22．综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形”为主题开展数学活动． （1）操作与猜想：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB上，以BC为边，在△ABC外侧作△BEC≌△ADC．如图1，此时CE与CD之间的数量关系为　 　 ；CE与CD之间的位置关系为　 　 ． （2）迁移与深究：在（1）的条件下，连接AE，△AEC和△BCD的面积是否相等？说明理由． （3）拓展与应用：如图2，已知∠ABP＝∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB上，，∠BDC＝120°，在射线BP上存在点E，使S△ACE＝S△BCD，请直接写出相应的BE的长． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D A C B A D B B 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：如图： 由题意得：∠DAB＝45°，∠CBE＝35°，AD∥BE， ∴∠DAB＝∠ABE＝45°， ∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝80°， 故选：D． 2．【解答】解：由于“枪扎一条线”描述点动成线，“横扫一大片”描述线动成面， 故这句话是点动成线，线动成面． 故选：D． 3．【解答】解：连接AB， 由三角形三边关系定理得到：9﹣5＜AB＜9+5， ∴4＜AB＜14， ∴A，B间的距离不可能是4m． 故选：D． 4．【解答】解：∵∠A＝30°，CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°， ∴∠A＝∠BCD＝30°， ∵BD＝1， ∴BC＝2BD＝2，AB＝2BC＝2×2＝4， ∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3． 故选：A． 5．【解答】解：如图： 分三种情况： 当MP＝MN时，以点M为圆心，以MN长为半径作圆，则点P1，P2即为所求； 当NP＝NM时，以点N为圆心，以NM长为半径作圆，则点P3即为所求； 当PM＝PN时，作线段MN的垂直平分线，则点P4，P5即为所求； 综上所述：使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为5个， 故选：C． 6．【解答】解：∵直角三角形未被遮挡的部分是两角及其夹边， ∴这两个三角形全等的依据是ASA． 故选：B． 7．【解答】解：由正方形的面积公式结合勾股定理可得，S2＝S3﹣S1＝28﹣10＝18， 由图形可知，图中阴影部分的面积9， 故选：A． 8．【解答】解：设点P，Q运动的时间为t（s）， 依题意得：BP＝4tcm，CQ＝atcm， ∵四边形ABCD是长方形，且AB＝8cm，BC＝12cm， ∴∠B＝∠C＝90℃P＝BC﹣BP＝（12﹣3t）cm， 当以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等时，有以下两种情况： ①当AB＝PC，BP＝CQ时，则△ABP≌△PCQ（SAS）， 由BP＝CQ，得：3t＝at， 解得：a＝3； ②当AB＝CQ，BP＝CP时，则△ABP≌△QCP（SAS）， 由BP＝CP，得：3t＝12﹣3t， 解得：t＝2， 由AB＝CQ，得：8＝at， 将t＝2代入8＝at，得：a＝4， 综上所述：a的值为4或3． 故选：D． 9．【解答】解：作DH⊥AB于点H，连接CD， ∵∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DF⊥AC于点F，DE⊥BC于点E， ∴DF＝DH＝DE， ∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，且S△ADC+S△ADB+S△BDC＝S△ABC， ∴6DF10DH8DE6×8， ∴6DE10DE8DE6×8， 解得DE＝2， 故选：B． 10．【解答】解：如图，在CD的下方作等边△CDT，连接QT， 则DC＝DT，∠CDT＝60°， ∵△PDQ是等边三角形， ∴DP＝DQ，∠QDP＝∠CTD＝60°， ∴∠QDP＝∠CDT， ∴∠QDP﹣∠CDQ＝∠CDT﹣∠CDQ， ∴∠CDP＝∠QDT， 在△CDP和△TDQ中， ， ∴△CDP≌△TDQ（SAS）， ∴∠DCP＝∠DTQ＝90°， ∴∠CTQ＝∠DTQ﹣∠CTD＝90°﹣60°＝30°， ∵点D是BC边的中点，△CDT是等边三角形， ∴T是定点，∠CTQ是定值， ∴点Q在射线TQ上运动， 当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，最小值为CTCDBC8＝2（cm）， 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：根据图形可知，∠COD＝∠AOB的原理是对顶角相等． 故答案为：对顶角相等． 12．【解答】解：∵AC是BD的垂直平分线， ∴AD＝AB＝2，CD＝CB， ∵四边形ABCD的周长＝AD+AB+CD+CB＝2AD+2CD＝16， ∴CD＝6． 故答案为：6． 13．【解答】解：∵点E为边AD的中点， ∴S△BEA＝S△BED，S△CEA＝S△CED， ∴S△BECS△ABC＝2cm2， ∵F为CE的中点， ∴S阴影部分S△BEC＝1cm2， 故答案为：1． 14．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接BA′，则BA′即为最短距离， 由题意得：DEBB′＝2cm，BE＝10﹣4＝6（cm）， ∴BD＝BE+DE＝6+2＝8（cm）， ∵底面周长为16cm， ∴A′D16＝8（cm）， BA′8（cm）． 答：蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为8cm， 故答案为：8． 15．【解答】解：如图1所示，当∠BFD＝90°时， ∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴Rt△ADF中，∠ADF＝60°； 如图2，当∠BDF＝90°时， 同理可得∠BAD＝30°， ∵∠BAC＝60°，∠ACB＝78°， ∴∠B＝42°， ∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣42°﹣30°＝108°， ∴∠ADF＝∠BDA﹣∠BDF＝108°﹣90°＝18°， 综上所述，∠ADF的度数为18°或60°． 故答案为：60°或18°． 三．解答题（共7小题） 16．【解答】证明：根据平行线的判定与性质可得， 如图，延长EF交CD于点P． 由条件可知∠AEF＝∠EPD（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠AEF＝∠GHD（已知）， ∴∠EPD＝∠GHD（等量代换）． ∴EP∥GH（同位角相等，两直线平行）． ∴∠EFN+∠FNG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 由条件可知∠FNG+∠G＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠EFN＝∠G（同角的补角相等）． 故答案为：已知；两直线平行，内错角相等；已知；GHD；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；已知；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 17．【解答】证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠BDF＝90°， 在Rt△ACD和Rt△BFD中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL）． 18．【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝C， ∵DE⊥BC于点E， ∴∠FEC＝∠FEB＝90°， ∴△FEC和△DEB都是直角三角形， 在Rt△AEC中，∠F+∠C＝90°， 在Rt△DEB中，∠BDE+∠B＝90°， ∴∠F＝∠BDE， ∵∠ADF＝∠BDE， ∴∠F＝∠ADF， ∴AD＝AF， ∴△ADF是等腰三角形； （2）解：∵BD＝6，AD＝BE＝3， ∴AB＝BD+AD＝6+3＝9， 在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BC＝AB＝9， ∴EC＝BC﹣BE＝9﹣3＝6， 即EC的长为6． 19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∠DBC+∠ABF＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠BAE+∠ABF＝90°， ∴∠DBC＝∠BAE， ∴△ABE∽△BCD； （2）由（1）知△ABE∽△BCD， ∴， ∵AB＝CD，E为BC的中点， ∴2BE2＝36．则， ∴， 在Rt△ABC中可得：． 20．【解答】解：（1）设BD＝x， ∵BC＝14， 则DC＝14﹣x， ∵AD是BC边上的高，AB＝13，AC＝15， ∴AB2﹣BD2＝AD2＝AC2﹣DC2， ∴132﹣x2＝AD2＝152﹣（14﹣x）2， 解得x＝5， ∴AD2＝132﹣52＝144， ∴AD＝12（负值已舍去）． （2）由（1）得AD＝12，AD是BC边上的高， ∵BC＝14， ∴． 21．【解答】解：MN＝2m，BC＝3.5m，DM＝EN＝FC＝1.5m， ∴BF＝BC﹣FC＝2m， ∠BDF＝14°，． ∴（m）． ∴EF＝8﹣2＝6（m）， ∠AEF＝53°，， ∴AF＝EF•tan53°≈6×1.33＝7.98（m）， ∴AB＝AF﹣BF＝7.98﹣2＝5.98≈6（m）． 答：文王雕像AB的高度约为6m． 22．【解答】解：（1）∵△BEC≌△ADC， ∴CE＝CD， ∵△BEC≌△ADC， ∴∠ECB＝∠DCA， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB+∠BCD＝∠DCA+∠BCD＝90°， ∴CE⊥CD， 故答案为：CE＝CD，CE⊥CD； （2）△AEC和△BCD的面积相等，理由如下： 如图所示，过点D作DG⊥BC，垂足为点G，过点E作EF⊥AC，交AC的延长线于点F， ∴∠F＝∠CGD＝90°， ∵△BEC≌△ADC， ∴CE＝CD， ∵△BEC≌△ADC， ∴∠ECB＝∠DCA， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB+∠BCD＝∠DCA+∠BCD＝90°， ∴∠ECD＝90°，∠ACB＝90°， ∴∠ECF+∠BCE＝∠DCG+∠BCE＝90°， ∴∠ECF＝∠DCG， 在△ECF与△DCG中， ， ∴△ECF≌△DCG（AAS）， ∴EF＝DG， ∵AC＝BC， ∴， ∴△AEC和△BCD的面积相等； （3）①如图，点E在射线BP上，BE＝AD， ∵∠ABP＝∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CBA＝∠CAD＝45°， ∴∠CBE＝45°＝∠CAD， 在△BEC和△ADC中， ∴△BEC≌△ADC（SAS）， 由（2）得S△ACE＝S△BCD，作CQ⊥AB于点Q，则∠AQC＝∠DQC＝90°，， ∴， ∵∠CDQ＝180°﹣∠BDC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠DCQ＝90°﹣∠CDQ＝30°， 令DQ＝x，则CD＝2x，由勾股定理得， ∴， 解得x＝1， ∴DQ＝1， ∴， ∴BE的长是； ②如图，在①的情况下，延长AC交BP于点M，过点E作EF⊥AC，垂足为点F，在BP上找一点E′，过点E′作E′G⊥AM，垂足为点G，使E′G＝EF， ∴此时，S△ACE′＝S△BCD， 在△E'MG与△EMF中， ， ∴△E′MG≌△EMF（AAS）， ∴EM＝E′M， 由①得∠CAD＝45°，且∠ABP＝90°， ∴△ABM为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 综上，BE的长是或； 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/20 10:33:36；用户：帐号62；邮箱：hxnts62@xyh.com；学号：37372738 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $