第二章诊断卷（2）-【一战成名新中考】2026河南数学中考必考知识点题组特训

一．选择题（共10小题） 1．下列方程中，是一元二次方程的是 A． B． C． D． 2．下列关于方程的说法不正确的是　　 A．各分式的最简公分母是 B．去分母，得整式方程 C．解这个分式方程转化成的整式方程，得 D．原方程的解是 3．不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是　　 A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是　　 A． B． C． D． 5．若是关于，的二元一次方程的一组解，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 6．一列复兴号高铁上只有充电口和插座充电口，已知每个充电口提供5瓦功率，每个插座充电口提供10瓦功率，且所有充电口的总功率为9000瓦，若每2个插座充电口需配1个充电口组合成一套“多孔标配插座面板”，此列慢兴号高铁上的充电口和插座充电口正好配套．设有个充电口，个插座充电口，则列出的二元一次方程组应为 A． B． C． D． 7．小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是3和2；小明在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和，则原来的方程是 A． B． C． D． 8．某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作3个大花瓶或8个小饰品．已知1个大花瓶需要配4个小饰品，为使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，设安排名工人制作大花瓶，可得方程为 A． B． C． D． 9．某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度． 设自行车的速度为．根据题意，可列方程为 A． B． C． D． 10．如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出5个数，这5个数的和不可能是 A．125 B．110 C．75 D．60 二．填空题（共5小题） 11．，移项，得．这步变形的依据是　　 ． 12．一元二次方程的解是　　 ． 13．不等式组的解集是　　 ． 14．对于任意的实数，，定义一种新运算◆，规定◆，若◆，则的值为 　　 ． 15．若关于的分式方程有增根，则这个增根是　　 ． 三．解答题（共8小题） 16．解方程： （1）； （2）． 17．现有8个大小相同的长方形，可拼成图1、图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 18．在学习完二元一次方程组的解法后，老师给出方程组，小美和小庆的部分做法如下． 小美的部分过程 小庆的部分过程 ②①，得 由②，得 ③， 把①代入③， 得 （1）下列说法正确的是 ； ．小美的过程正确 ．小庆的过程正确 ．小美和小庆的过程都正确 ．小美和小庆的过程都不正确 （2）小美用的是 ，小庆用的是 ．（选择你认为正确的序号填入） ①加减消元法 ②代入消元法 （3）请你选择一种方法写出这个方程组的完整求解过程． 19．定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． （1）判断一元二次方程是否为“方程”，请说明理由； （2）已知关于的一元二次方程是“方程”，求代数式的最小值． 20．某服装店打算购进了、两款恤，若购进款恤12件，款恤6件，则共需480元，其中款恤的进价比款恤的进价多． （1）求、两款恤进价各是多少元？ （2）一段时间后，该服装店经过统计发现，当两款恤的销售额都为3600元时，款恤的销量比款恤多10件，其中款恤的售价单价是款恤销售单价的1.2倍，求款恤的销售单价是多少元？ 21．【定义】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则该方程为“友好方程”． （1）在方程①；②；③中，为“友好方程”的是 　　 ；（填写序号即可） （2）若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； （3）若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求、的值． 22．新学年，学校计划购买30副羽毛球拍和若干盒羽毛球，已知体育用品商店的标价及活动如下： 羽毛球拍100元副，羽毛球30元盒，现在正值活动期间，有以下两种优惠方案： 方案一：整体打九折； 方案二：原价购买两副羽毛球拍赠送一盒羽毛球． （1）学校计划购买30副羽毛球拍和100盒羽毛球，若选择方案二共需花费　　 元． （2）学校计划购买30副羽毛球拍和盒羽毛球． 若选择方案一购买，需要花费　　 元（用含的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费　　 元（用含的代数式表示）． （3）学校想购买30副羽毛球拍和盒羽毛球，应该如何选择购买方案能更省钱？ 23．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”．解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成、是整数）的形式　　 ； （2）已知，则　　 ； （3）已知实数、满足，求的最值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A A C B D D D A 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：．，只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，符合题意； ．，是一元一次方程，不符合题意； ．，是分式方程，不是整式方程，不符合定义，不符合题意； ．，含有两个未知数，不符合定义，不符合题意； 故选：． 2．【解答】解：方程的最简公分母是， 选项的说法不符合题意； 去分母，得整式方程为：， 选项的说法不符合题意； 去分母，得整式方程为：， 去括号得：， 移项得： 合并同类项得：， ， 选项的说法不符合题意； 检验：当时，， 是原方程的增根， 原方程无解． 选项的说法符合题意， 故选：． 3．【解答】解：由图中两人的对话和左图可知：，由右图可知：，故选项符合题意． 故选：． 4．【解答】解：由题意，，． 故选：． 5．【解答】解：将代入得， ， 故选：． 6．【解答】解：根据题意得：， 故选：． 7．【解答】解：设原方程为， 小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是3和2， ， ； 小明在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和， ， 原来的方程是． 故选：． 8．【解答】解：设要安排名工人制作大花瓶，则安排名工人制作小饰品，根据每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，可得出关于的一元一次方程为： ， 故选：． 9．【解答】解：已知汽车的速度是自行车速度的3倍， 设自行车的速度为，则汽车的速度为，， ； 故选：． 10．【解答】解：设框出的5个数中中间一个数为，则同一行的另外两个数从左到右分别为、，同一列的两个数从上到下分别为、， 这5个数的和为：， 因此这5个数的和是5的倍数， 由于一个月最多31天，则，即， 则，即框里的5个数之和最大为120，显然当时，5个数的和为110； 当时，5个数的和为75； 当时，5个数的和为60； 当时，则这5个数分别为24、25、26、18、32，显然一个月没有32天，这5个数的和为125．这是不可能的． 故选：． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：， 等式两边同时加，得， 即． 这步变形是依据是等式的性质1． 故答案为：等式的性质1． 12．【解答】解：移项可得：， ， ， 解得或， 故答案为：或． 13．【解答】解：解不等式得，， 解不等式得，， 故不等式组的解集为， 故答案为：． 14．【解答】解：◆，◆， ， ， ， ， 故答案为：． 15．【解答】解：分式方程有增根， ， ， 这个增根是． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 16．【解答】解：（1）直接移项合并可得： ； （2）原方程移项可得： ， ， ． 17．【解答】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ． 答：每个小长方形的面积为60． 18．【解答】解：（1）小美的过程中，②①的结果应该为； 小庆的过程中，由，可得， 都不正确， 故选：； （2）由题意得，小美用的是加减消元法，小庆用的是代入消元法， 故答案为：①；②； （3）选择小美的方法： ②①，得，解得； 将代入①得，解得， ， 选择小庆的方法：由②得③， 把①代入③得，即， 解得， 将代入①得， ， ． 19．【解答】解：（1）是“方程”，理由如下： ， ， 或， ，， ， 一元二次方程是“方程”； （2）关于的一元二次方程是“方程”， ， ， ， ， ， 的最小值为． 20．【解答】解：（1）设款恤的进价是元，则款恤的进价是元， 根据题意得：， 解得：， （元． 答：款恤的进价是30元，款恤的进价是20元； （2）设款恤的销售单价是元，则款恤的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：款恤的销售单价是60元． 21．【解答】解：（1）因为方程①的解是，而，故①不是“友好方程”； 因为方程②的解是，而，故②是“友好方程”； 因为方程③的解是，而，故③不是“友好方程”； 故答案为：②． （2）因为关于的一元一次方程是“友好方程”， 又方程的解是， 所以，即， 解得； （3）因为的解为， 所以，即， 因为， 所以； 因为关于的一元一次方程是“友好方程”， 所以，即， 所以， 所以， 所以， 综上所述，，．此题主要考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程解题的方法，结合题目中“友好方程”的概念是解题的关键． 22．【解答】解：（1）（元， 选择方案二共需花费5550元； 故答案为：5550； （2）选择方案一购买，需要花费元， 选择方案二购买，需要花费元， 故答案为：，； （3）由，解得， 当时，选择方案一更省钱； 由，解得， 当时，选择两种方案相同； 由，解得， 当时，选择方案二更省钱． 23．【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）， 且， 解得且， ． 故答案为：； （3）由条件可得， ， ， ， 的最大值为6，无最小值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/14 17:46:51；用户：帐号62；邮箱：hxnts62@xyh.com；学号：37372738 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $