集训6 四边形-2026年山东中考数学必备试题汇编

(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长。 集训六 四边形 类型1多边形和平行四边形 8.如图，在□ABCD中，BC=2,点E在DA的延长线上， BE=3。若BA平分∠EBC,则DE= 0 1.下列多边形中，内角和最小的是 9.如图，在口ABCD中，E,F是对角线AC上两点，且AE= A. B. D CF,连接BE,DF。求证：BE=DF。 2.直线I与正六边形ABCDEF的边AB,EF分别相交于点 M,N,如图所示，则a+B= ( A.115° B.120 C.135o D.144o R 类型2矩形、菱形、正方形 第2题图 12.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, 第3题图 则下列结论一定正确的是 3.如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结 A.AB=AD B.AC⊥BD 论一定正确的是 ( 10.如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB,CE交 C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD A.AB=BC B.AD=BC 于点F,DF=FB,AF∥CD。 y C.OA=OB D.AC⊥BD (1)求证：四边形AFCD是平行四边形； 4.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC, (2)若∠EFB=90°，tan∠FEB=3,EF=1,求BC CE∥BD。若AC=3,BD=5,则四边形OCED的周长为 的长。 ( A.4 B.6 C.8 D.16 第12题图 第13题图 13.如图，0是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负 半轴上。若顶点C的坐标为(3,4)，则顶点A的坐标为 0 () A.(-4,2) B.(-√5,4) 第4题图 第5题图 C.(-2,4) D.(-4,W3) 5.如图，在口ABCD中，O是BD的中点，EF过点O,下列结 14.已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判 论：①AB∥CD;②0E=DE;③LA=∠C;④S四边形BoE= 定口ABCD是矩形的是 S四边形cDor,其中正确结论的个数为 A.∠A=90° B.∠B=∠C A.1 B.2 C.3 D.4 C.AC=BD D.AC⊥BD 6.如果一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边 15.如图，正方形CEFG的顶点G在正方形 A 形的边数为 ABCD的边CD上，AF与DC交于点H, 7.如图，F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长 若AB=6,CE=2,则DH的长为 与CD的延长线交于点G,则∠BGC的度数为 11.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E在边AB上， B.3 C.S 8 A.2 D. 3 请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条 件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号）， 16.小美同学按如下步骤作四边形ABCD: (1)画∠MAN; 再解决下列问题： A 第7题图 第8题图 (2)以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交 (1)求证：四边形BCDE是平行四边形； AM,AN于点B,D; (3)分别以点B,D为圆心，1个单位长度为半径画弧， 两弧交于点C; (4)连接BC,CD,BD。 若∠A=44°，则∠CBD的大小为 ( A.64° B.66° C.689 D.70 M F B A D'N 第16题图 第17题图 17.如图，在矩形ABCD中，AB=√3，BC=1,动点E,F分别 从点A,C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB, CD向终点B,D运动，过点E,F作直线I,过点A作直线 l的垂线，垂足为G,则AG的最大值为 () A.√3 B③ C.2 D.1 18.如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点 F,CG⊥DE于点G。若AD=5,CG=4,则△AEF的面积 为 D E B 第18题图 第19题图 19.如图，四边形ABCD各边中点分别是E,F,G,H。若对角 线AC=24,BD=18,则四边形EFGH的周长为 20.如图，两张宽度均为3cm的纸条交 叉叠放在一起，交叉形成的锐角为 60 60°，则重合部分构成的四边形AB B CD的周长为 cmo 21.如图，四边形ABCD是矩形，点E和 点F在边BC上，且BE=CF,求证：AF=DE。 8- 22.如图，△ABC的中线BD,CE交于点O,F,G分别是OB, OC的中点。 (1)求证：四边形DEFG是平行四边形： (2)当BD=CE时，求证：口DEFG是矩形。 E D 、0 G B 23.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是各边的中点， 且AB∥CD,AD∥BC,四边形EFGH是矩形。 (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为 10,求AB的长。 D F -1 24.如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB= 【深入探究】 AF,连接BF,O是BF的中点，AO的延长线交边BC 应用问题1的结论解决下面的问题。 于点E,连接EF。 问题2：如图3，连接BD,O是BD的中点，连接OA,OG。 (1)求证：四边形ABEF是菱形： 求证：OA=OD=OG; (2)若平行四边形ABCD的周长为12，CE=1, 【尝试应用】 ∠BAD=120°，求AE的长。 问题3：如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60° 时，点G经过路线的长度。 26.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6。D是边BC上 25.数学活动课上，某小组将一个含45°角的三角尺AEF 的一点（点D不与点B,C重合），作射线AD,在射线AD 和一个正方形纸板ABCD如图1摆放，AE=1,AB=2。 上取点P,使AP=BD,以AP为边作正方形APMN,使点 将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α(0°≤a≤ M和点C在直线AD同侧。 90°)角，观察图形的变化，完成探究活动。 (1)当D是边BC的中点时，求AD的长； (2)当BD=4时，点D到直线AC的距离为 (3)连接PN,当PN⊥AC时，求正方形APMW的边长； (4)若点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的 3倍，则CD的长为（写出一个即可）。 图1 图2 D 60° 0 图3 图4 【初步探究】 如图2，连接BE,DF并延长，延长线相交于点G,BG 交AD于点M。 问题1：BE和DF的数量关系是 ,位置关系 是 ； 27.如图1，E,F,G,H分别是口ABCD各边的中点，连接AF, CE交于点M,连接AG,CH交于点N,将四边形AMCW 称为口ABCD的“中顶点四边形”。 A E B ∠M 图1 图2 图3 (1)求证：中顶点四边形AMCN是平行四边形； (2)①如图2，连接AC,BD交于点O,可得M,N两点都 在BD上，当口ABCD满足 时，中顶点四边形 AMCN是菱形； ②如图3，已知矩形AMCN是某平行四边形的中顶点四 边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形。 (保留作图痕迹，不写作法) 20-∴.∠ABD+∠ADB=90°。 经检验，x=28.8是原方程的解，且符合题意。 AE⊥BD,.∠DAE+∠ADB=90°。 故AB≈29m,即雕塑高度AB约为29m。 ∴.∠ABD=∠DAE。 19.C .·∠BAD=∠ADE=90°，∴.△ADE∽△BADE 20.B【解析】如图，过点A作AM⊥BC,垂足为 AD、DE AD2=DE·BA。 BA AD M。在Rt△ABM中，sinB=A AB' .AM=5× .AB=CD,.AD=DE·CD。 5=4。BM=V5-4=3。又：AB=AC,BC=2BM=6。 4 (2)如图，连接AC交BD于点O。 故选B。 ·四边形ABCD是矩形，∴.∠ADE=90°。 21.B【解析】如图，设过点A的水平线与 .∴.∠DAE+∠AED=90°。 CD交于，点E。,四边形ABDE是矩形， AE⊥BD,∴.∠DAE+∠ADB=90°。 430 ∴.∠ADB=∠AED。 .DE=AB=10米，AE=BD。在 .·∠FEC=∠AED,∴.∠ADO=∠FEC。 RABCD中，BD=CD 3 Fan60°=3 CD。在 人60° ,四边形ABCD是矩形， 0M=0D=2BD。 Rt△ACE中，AE=,CE an30°=3(CD- ~EF=CF=号BD, D)=5(GD-10),5(CD-10)=9cD。解得cD= 15(米)。故选B。 .OA=OD=EF=CF。 22.(6-25)【解析】如图，延长DC交1于点H,连接0C。在 ∴.∠ADO=∠OAD,∠FEC=∠FCE: Rt△OBH中，∠B0H=90°-60°=30°，0B=12dm,∴.BH=12× .∠ADO=∠FEC,∴.∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE .∠ODA=∠FEC, tan30°=4√3(dm),0H=8√5dm。:SAOBH=SAocH+SAOBC, 在△ODA和△FEC中 ∠OAD=∠FCE, 20B·B附=20H:Cf+20B·BC。7×12x43= LOD=FE, 1 .△ODA≌△FEC(AAS)。.CE=AD。 x85xCF+7x12x4。cf=(6-20dm 18.解：(1).影长EF恰好等于自己的身高DE, ,△DEF是等腰直角三角形。 B 由平行投影性质可知，△ABC是等腰直角三角形， .AB=BC=11.3m。 故答案为11.3。 23.(4√15-2√5)【解析】如图，过点E作水平 (2)由反射定律可知，∠DCE=∠ACB 560: 地面的平行线，交AB的延长线于点H,则 又.'∠DEC=90°=∠ABC,∴.△DEC∽△ABC。 ∠BEH=∠DCF。在Rt△BEH中，tan∠BEH= 能器8。 n/BCF-册分，设Bm=术，则EH= C11 解得AB=12(米)，即旗杆高度为12米。 2x米，BE=√E+Bm=5x=10(米)。∴x=25。∴BH= (3),∠CDG=∠ADB,∠CGD=90°=∠ABD, △c0△n4.g-8%。 2V5米，EH=45米。.∠EAH=180°-60°-90°=30°，.AH= 3EH=4√15米。.AB=AH-BH=(4√15-25)米。 设AB=xm,BD=ym,则：8=5 24.解：如图，过点E作EH⊥AD于点H。 x yo 由题意可知，∠CEB=a=36.9°， BiTa----- y=5 t。 EH=1.20m, B;法线 D8即2、2 同理可得8 BC1.20 水面 =24+y ∴.CE tan36.90.75 =1.60(m), 池 E 壁 122 AH=AD-CE=2.50-1.60= A 5。解得x=28.8。 D777 77777777777 x24+ 6+ 0.90(m)。 池底 -49 .AE=√A㎡+Ef=√0.902+1.202=1.50(m)。 .四边形AMND是矩形。 A_0.90=0.60。 .AD=MN EM+EF+FN '.sin y=AE=1.50 =20.0+40.0+20.0=80.0(m)。 mB=n∠CB6-g器=esLC6B=omsa=0S0. ∴.“大碗”的口径AD的长为80.0m。 (2)如图，延长CB交AM于点G。 太阳光线 ÷0g-8813 根据题意，得BE=GM=2.4m,BG=EM= 25.解：(1)如图，过点B作BE⊥AC,垂足为E。 20.0m,BG⊥AM,∠EBG=90°。 在Rt△ABE中，∠BAE=90°-45°=45°，AB=40海里， ∠ABE=152°， 六AB=AB·c845°=40×2=202（海里）， .LABG=LABE-LEBG=62°。 2 在Rt△ABG中，AG=BG·tan62°≈20.0×1.88=37.6(m), BE=AB·in45°=40×2=202（海里）。 ∴.AM=AG+GM=37.6+2.4=40.0(m)。 ∴.“大碗”的高度AM的长约为40.0m。 在Rt△BCE中，∠CBE=60°， 集训六四边形 .CE=BE.tan60°=20√2×√5=20√6（海里）。 1.A .∴.AC=AE+CE=202+20V6≈77.2（海里）。 2.B【解析】正六边形ABCDEF的每个内角为(6-2)×180°÷6= ∴.A,C两港之间的距离约为77.2海里。 120°，六边形MBCDEN的内角和为(6-2)×180°=720°，∴.∠B+ D ∠C+∠D+∠E+∠ENWM+∠NMB=720°。∴.∠ENM+∠NMB= 北 720°-4×120°=240°。B+∠ENM++∠NMB=180°×2= 309 西东 G60 南 360°，.a+B=360°-240°=120°。故选B。 B 3.B【解析】A.平行四边形的邻边不一定相等，无法得到AB=BC, A 故选项不符合题意；B.平行四边形的对边相等，故AD=BC,故选 45° 600 项符合题意；C.平行四边形的对角线不一定相等，无法得到OA= B OB,故选项不符合题意；D.平行四边形的对角线不一定互相垂直， (2)甲货轮先到达C港。 无法得到AC⊥BD,故选项不符合题意。故选B。 理由：如图，根据题意，得∠CDF=30°，DF∥AG, 4C【解析]：四边形ABCD是平行回边形0C=24C=2, 3 .∠GAD=∠ADF=60°。 ·.∠ADC=∠ADF+∠CDF=90°。 0D=BD=。DE,/4C,CE/BD,回边形0CD是平行四 在Rt△ACD中，∠CAD=90°-∠GAD=30°、 C0=分4C=(10万+10O海里， 边形。四边形0CED的周长=2(0C+0)-2×(号+）=8。 5.C【解析】~四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD,AD∥BC, AD=√3CD=(10W6+30√2)海里。 在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BE=20√2海里， ∠A=∠C,故①③正痛；易得S4m=5a0m=宁5m,∠0E= BC=BE。-202=402(海里）。 ∠OBF。.O是BD的中点，∴.OD=OB。又，∠DOE=∠BOF, c0s60° 1 ∴.△ODE≌△OBF(ASA)。.SAODE=SAOBF,OE=OF≠DE,故②不 2 正确；SAARD=SACDE,SAODE=SAOBF,.SAABD-SA0DE=S△cDB- ∴.甲货轮航行的路程=AB+BC=40+40√2≈96.4（海里）， S△0BF,即S四边形B0B=S四道形CDOP,故④正确。综上所述，正确结论的 乙货轮航行的路程=AD+CD 个数为3。故选C。 =106+302+10√2+10W6 6.9【解析】360°÷40°=9，所以这个多边形的边数为9。 =206+40W2≈105.4（海里）。 7.18°【解析】由正五边形的性质可知，BG是正五边形ABCDE的对 .96.4海里<105.4海里， 称轴，∴.∠DFG=90°。，∠FDG是正五边形ABCDE的外角， .甲货轮先到达C港。 .∠FDG=360°÷5=72°。.∠BGC=90°-72°=18°。 26.解：(1).AM⊥MN,DN⊥MN, 8.5【解析】小四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,AD=BC= ∴.∠AMN=∠DNM=90°。 2。∴.∠EAB=∠CBA。.BA平分∠EBC,∴.∠EBA=∠CBA。 .·AD∥MN,∴.∠DAM=180°-∠AMN=90°。 .∴∠EAB=∠EBA。∴.AE=BE=3。.DE=AD+AE=2+3=5。 -50- 9.证明：，四边形ABCD是平行四边形， 15.B【解析】由题意，得AD∥GF,.△ADH△FGH。AB=6, .AB=CD,AB∥CD。.∠BAE=∠DCF。 CE=2,.DH:HG=AD:GF=6:2=3:1。.DG=6-2=4, AB=CD, ∴.DH=4÷(1+3)×3=3。故选B。 在△BAE和△DCF中， ∠BAE=∠DCF 16.C【解析】由步骤(1)(2)(3)可知，四边形ABCD是菱形， LAE=CF. ∴.AB=AD,BC∥AD。.∠ABD=∠ADB=∠CBD。,·∠A= .△BAE≌△DCF(SAS)。∴.BE=DF。 44°，.∠ABD+∠ADB=180°-∠A=180°-44°=136°。 10.(1)证明：.E是AB的中点，∴.AE=BE。 .∠ABD=∠ADB=∠CBD=68°。故选C。 ·DF=BF,.EF是△ABD的中位线。 17.D【解析】如图，连接AC交EF于点O。 D ∴.EF∥AD。∴.CF∥AD。 ,四边形ABCD是矩形，∴.AB∥CD,∠B= ,:AF∥CD,∴.四边形AFCD是平行四边形。 90°。AB=5,BC=1,.AC=√AB+BC= (2)解：由(1)知，EF是△ABD的中位线 3+1=2。.动点E,F分别从点A,C同时出发，以每秒1个 ∴.AD=2EF=2。 单位长度的速度沿AB,CD向终点B,D运动，∴.CF=AE。:AB∥ '∠EFB=90°，tan∠FEB=3,∴.BF=3EF=3。 CD,.∠ACD=∠CAB。又：∠COF=∠AOE,.△COF≌ .DF=FB,.DF=BF=3。 △AOE(AAS)。.OA=OC=1。AG⊥EF,.点G在以OA为 AD∥CE,.∠ADF=∠EFB=90°。 直径的圆上运动。.AG为直径时，AG有最大值为1。故选D。 .AF=AD+DF2=13。 四边形AFCD是平行四边形，.CD=AF=√3。 18冬【解折1：四边形ABCD是正方形AD=CD=5,∠A0C DF=BF,CE⊥BD,∴.BC=CD=I3。 ∠DAE=90°。AF⊥DE,CG⊥DE,∴.∠AFD=∠CGD=90°。 :∠ADF+∠CDG=∠ADF+∠DAF,.∠CDG=∠DAF。 11.解：选择①（或②）。 （1)选择①证明：：∠B=∠AED,∴.BC∥DE。 .△CDG≌△DAF(AAS)。.AF=DG=√CD2-CG=3,DF= AB∥CD,.四边形BCDE是平行四边形。 CG=4。同理可得∠EAF=∠ADF。又：∠AFE=LAFD, 选择②证明：.AE=BE,AE=CD, △E△D器-，即子=5即= ∴.BE=CD。 :AB∥CD,.四边形BCDE是平行四边形。 SAA=TAF.EF= 8 (2)由(1)知，四边形BCDE是平行四边形，.DE=BC=10。 19.42【解析】小：四边形ABCD各边中点分别是E,F,G,H,EF, .'AD⊥AB,.∠A=90°。 FG,GH,HE分别是△ABC,△BCD,△ADC,△ABD的中位线。 .AE=DE2-AD2=102-82=6, 即线段AE的长为6。 BF=24C=3×24=12,6H=34C=12,FG=2B0= 1 12.C 分×18=9，B=之BD=9。四边形BFCH的周长为12+ 1 13.C【解析】如图，过，点C作CN⊥x轴于点 9+12+9=42。 N,过点A作AM⊥x轴于点M。点C的坐 标为(3,4)，.0N=3,CN=4。.0C= 20.83【解析】如图，过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F, ∴.∠AEB=∠AFD=90°。.两张纸条宽度均为3cm,∴.四边形 √ON+CW=5。四边形AB0C是菱 B MO ABCD是平行四边形，且AE=AF=3cm。∴.∠ADF=∠ABE= 形，.AC=OC=5,AC∥OB。∴.四边形AMWC是矩形。∴.MN= 60°。∴，△ADF≌△ABE(AAS)。,,AD=AB。.四边形ABCD AC=5。∴.OM=MN-ON=2。.点A的坐标为(-2,4)。故选C。 是菱形。在Rt△ADF中，∠ADF=60°，AF=3cm,.AD= 14.D【解析四边形ABCD是平行四边形，.当∠A=90°时，平行 AF 四边形ABCD是矩形。故选项A不符合题意。：四边形ABCD是 sin60。=2,V5cm。 平行四边形，∴.AB∥CD。.∠B+∠C=180°。当∠B=∠C时， 四边形ABCD的周长为2√V3×4=8√3(cm)。 ∠B=∠C=90°，此时□ABCD是矩形。故选项B不符合题意。 ·四边形ABCD是平行四边形，∴.当AC=BD时，平行四边形AB 609 CD是矩形。故选项C不符合题意。，：四边形ABCD是平行四边 形，∴.当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形。故选项D符合 题意。故选D。 -51- 21.证明：四边形ABCD是矩形， ∴子4C+B0=1。 ∴.AB=CD,∠B=∠C=90°。 ·BE=CF, .AB2=0A2+0B2=111。AB=I1T。 ∴.BE+EF=CF+EF,即BF=CEe 24.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， AB=DC. .AD∥BC。.∠AFO=LEBO。 在△ABF和△DCE中，∠B=∠C, .0O是BF的中点，∴.OB=OF。 BF CE, r∠AFO=∠EBO, ∴.△ABF≌△DCE(SAS)。∴.AF=DE。 在△AOF和△EOB中，OF=OB, 22.证明：(1)BD和CE是△ABC的中线， ∠AOF=∠EOB, ·点E和点D分别是AB和AC的中点。 .△AOF≌△EOB(ASA)。.OA=0E。 .OB=OF,.四边形ABEF是平行四边形。 .DE是△ABC的中位线。 AB=AF,四边形ABEF是菱形。 DE/Bc,DE=2BC。 (2)解：.AD∥BC,∴.∠BAD+∠ABC=180°。 同理可得，FG/BC,FG=2BC。 ·.∠BAD=120°，∴.∠ABE=60°。 AB=BE,△ABE是等边三角形。AE=AB。 ∴.DE∥FG,DE=FGO AD BC,AF=BE,..CE DF=1. .四边形DEFG是平行四边形。 DF∥CE,∴.四边形EFDC是平行四边形。 (2).△ABC的中线BD,CE交于点O, ∴.CD=EF。 ∴.点O是△ABC的重心。 .AB+BC+CD+AD=12,∴.AB+BE+1+CD+AF+1=12。 ∴.0B=20D,0C=20E。 .4AB=10。AE=AB=2.5。 又：F,G分别是0B,OC的中点， 25.解：(1)四边形ABCD是正方形，AB=AD,∠BAD=90°。 .OF=FB,OG=GC。 .△AEF是含有45°角的直角三角尺， DF=号BD,BG=号CE。 .△AEF是等腰直角三角形。 ∴.AE=AF,∠EAF=90°。 BD=CE,∴.DF=EGa .·∠BAD-∠DAE=∠EAF-∠DAE」 又·四边形DEFG是平行四边形， ∴.∠BAE=∠DAF。∴.△ABE≌△ADF(SAS)。 口DEFG是矩形。 ∴.BE=DF,∠ABE=∠ADF。 23.（1)证明：如图，连接AC,BD交于点0，交 :∠AMB=∠DMG,∴.∠G=LBAM=90°，即BE⊥DF。 FG于点N,交HG于点M。 故答案为BE=DF;BE⊥DF。 .AB∥CD,AD∥BC, (2):△BAD是直角三角形，O是BD的中点， .四边形ABCD是平行四边形。 0A=2BD=0D。 .四边形EFGH是矩形， ∴.∠HGF=90°。 由(1)，知LG=90°，.△BGD是直角三角形。 ,G分别是4D,Dc的中点Gm/AC,6H=4C。 0G=2BD=0D。0A=0D=0G。 .∠HGF=∠GNC。∴.∠GNC=90°。 （3)如图，连接OA,OG。 由(2)，知0A=0D=0G。 G,F分别是CD,BC的中点FG∥BD,FG=2BD。 ∴.点G的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径 .∠GNC=∠M0C=90°。 的弧如图所示。 .BD⊥AC。四边形ABCD是菱形。 :旋转角从0°变化到60°， (2)解：.矩形EFGH的周长为22， .此时点G的运动路线就是AG。 ∴.GH+FG=11。∴.AC+BD=22。 .∠BAE=60°，∴.∠ABE=30°。 :2×AC×BD=10,.AC·BD=20。 ∴.∠0BG=45°-30°=15°。 (AC +BD)2=AC2 +2AC.BD +BD2, y0B=0G=2B0,∠D0G=30。 .AC2+BD2=444。 .∴.∠A0G=180°-∠A0B-∠D0G=60°。 52- AB=2,.BD=2AB=2V2。.0A=0G=√2。 “AC的长度=60×π×2=2m 六如∠0Mc=手。 180 31 设CD=x,DE= 5*,CE=3 4 t。 即点G经过路线的长度为号。 六是。 26.解：(1)如图1 3 .AB=AC,D是BC的中点，∴.BD=CD。 了t=5,解得x=25 0 BC=6,BD=28C=3。 故答案为的或菪。（写出其中一个即可） 在Rt△ABD中，AB=5, 27.（1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD=√AB-BD=4。 .AB∥CD,AD∥BC,AB=CD,AD=BC。 (2)如图2，过点D作DE⊥AC于点E,过点A作AF⊥BC于点F。 :E,F,G,H分别是口ABCD各边的中点， .BC=6,BD=4,∴.CD=2。 AE-AB-CD-CC,AE//CG. 由(1)，知AF=4。 ∴，四边形AECG是平行四边形。 AG DE 1CD·AF,即5DE=8, 同理可得，四边形AFCH是平行四边形。 ∴.AM∥CN,AN∥CM。 ∴DE=号，即点D到AC的距离为。 ∴.四边形AMCN是平行四边形。 故答案为。 (2)解：①当平行四边形ABCD满足AC⊥BD时，中顶点四边形 AMCN是菱形。 由(1)，得四边形AMCN是平行四边形。 .AC⊥BD,MN⊥AC。 ∴.中顶点四边形AMCN是菱形。 图2 故答案为AC⊥BD。 (3)当PN⊥AC时，如图3，过点D作DE⊥AC于点E。 ②如图，连接AC,作直线MW交于点O,作DN=2ON,BM= 设AP=x,则CD=6-x。 2OM,连接AB,BC,CD,DA,分别延长CM,AM,AN,CN交四边于 50E=AB=号（6-，GE=号6-。 点E,F,G,H。平行四边形ABCD即为所求作。 ∴.点M和N分别是△ABC和△ADC的重 号(6-)+6-)=5。 心，符合题意。 证明：~四边形AMCN是矩形， 解得x=号，即正方形AMN的边长为另。 ∴.AC=MN,OM=ON。 (4)①当M,N在AC同侧时，如图4。 .·DN=2ON,BM=2OM, .点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍， .OB=OD。 ..tan LDAC=3 2 ∴.四边形ABCD是平行四边形。 .四边形AMCN是矩形， 设cD=,DE=号，CE=子。 3 ∴.AM∥CN,OM=ON。 由作图，得BM=MN,∴.△MBF∽△NBC。 6 、6 3 25 AE=3。x+x=5。解得x=号。 影-酬-子F是C的中点。 同理可得，点E是AB的中点，G是DC的中点，H是AD的中点。 集训七圆 1.C 图4 2.A【解析】.AB是⊙O的直径，，∠ACB=90°。，∠CDB= ②当M,N在AC两侧时，如图5。 60°.∠A=∠CDB=60°。.LABC=90°-∠A=30°。故 .:点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍， 选A。 -53- 3.C【解析】如图，设圆心为0，连接OB。CD 又：∠AFE=∠ADC,.∠AFE=∠CBM。.EF∥BC。 垂直平分AB,AB=40cm,∴.BD=20cm ②如图，过点D作DG∥BC交⊙O于点G,连接AG,CG。 .CD=10cm,OC=OB,∴.OD=0B-10。 .·DG∥BC,∴.∠DGC+∠BCG=180°。 ∠0DB=90°，.0D2+BD2=0B2,即 又.CD是直径，∴.∠DBC=∠DGC=90°。 (0B-10)2+202=0B2,解得0B=25(cm),即圆形工件的半径为 可知四边形BDGC为矩形，∴.BD=CG。 25cm。故选C。 ·四边形ACGD是圆内接四边形，.∠GDE=∠ACG。 4.A【解析】如图，连接BD,CD。BC是 .EF∥DG,∴.∠DEF=∠GDE。.∠DEF=∠ACG。 ⊙O的直径，∴.∠BAC=∠BDC=90°。 .:∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC, AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD。A' 0 ∴.∠AFE=∠AGC .BD=DC。.BD=CD。在四边形ABDC ,·AE=AC,∴.△AEF≌△ACG(AAS)。 中，∠BAC=∠BDC=90°，.∠ACD+∠ABD=180°。∴.△ADC绕 ∴.EF=CG。∴.EF=BDe 点D逆时针旋转90°后得到对应的三角形为△A'DB,则A,B,A'三 10.(1)证明：AF=EF,.∠FAE=∠AEF。 ,点共线，如图所示。∴.AB+AC=AB+A'B=AA'。由旋转可知 ·:∠FAE与∠BCE都是BF所对的圆周角， ∠A'DB=∠ADC,A'D=AD,∴.∠A'DA=∠A'DB+∠BDA= ∴.∠FAE=∠BCE。 ∠ADC+∠BDA=∠BDC=90°。.在等腰直角三角形A'DA中， .·∠AEF=∠CEB,∴.∠CEB=∠BCE。 m=血鼎-号小错8c-五 CE平分LACD∴.∠ACE=∠DCE。 AB是⊙0的直径，∠ACB=90°。 5.55【解析】如图，设AB与CD相交于点E。 ∴.∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°。 ⊙0的直径AB平分弦CD(不是直径)，.AB⊥ .∴.∠CDE=90°。.∴.CD⊥AB。 CD。.∠DEB=90°。∠D=35°，.∠B= (2)解：由(1)，知∠BEC=∠BCE,∴.BE=BC。 90°-∠D=55°。∴.∠C=∠B=55°。 .·AF=EF,FM⊥AB,∴.AM=EM=2,AE=4。 6.130°【解析】四边形ABCD是⊙0的内接四边形，.∠A+ .∴.圆的半径OA=OB=AE-OE=3。 ∠C=180°。.·∠A=50°，∴.∠C=130°。 ∴.BC=BE=OB-OE=2。 7.90【解析】小：AB是圆的直径，AB所对的孤是半圆，所对圆心角 在△ABC中，AB=6,BC=2,∠ACB=90°， 的度数为180°。·∠1，∠2，∠3，∠4所对的孤的和为半圆， .AC=√AB2-BC=√62-2=42。 1 六∠1+∠2+∠3+∠4=2×180°=90。 11.解：(1).'∠BAC=∠BCD,∠B=∠B, 8.8【解析】如图，延长AC,BD交于点E。AB ∴△aAc△BCcD.器- 是⊙0的直径，.BD⊥AD。.∠ADB= LADE=90°。AD平分∠BAC,.∠BAD= AB=4E,D是AB的中点，BD=AD=22。 ∠DAE。.AD=AD,∴.△BAD≌△EAD(ASA)。 ∴.BC2=16。∴.BC=4。 ∴.BD=DE=25。∴.BE=4√5。AB=10, (2)如图，过点A作AE⊥CD于点E,连接C0并延长，交⊙O于点 F,连接AF。 BD=2√5，.AD=√102-(25)2=4W5。:∠DAB=∠DAC= CBD,LADB=LBCE=90,L△BsC△ABD。R-) 4√5BC 1045 ∴.BC=8。 9.(1)解：：CD是直径，∴.LC4D=90°。 ,∠AFE=∠ADC=60°，∴.∠ACD=90°-60°=30°。 在A4D中，w∠01=5=号A0=2 ∴.∠ABD=∠ACD=30°。 DE=1。.AE=√AD2-DE=√7。 (2)证明：①如图，延长AB到 点M。四边形ABCD是圆 △AC△BCD%-器=2. 内接四边形， 设CD=x,则AC=√2x,CE=x-1。 ,∴.∠CBM=∠ADC。 M 在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2,即(2x)2=(x-1)2+(√7)2， 54-