加练18 几何探究之以图形折叠为载体-【一战成名新中考】2026辽宁数学中考必考知识点题组特训

og. 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 几何探究之以图形折叠为载体 1.如图1，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC,D是BC边上一点，将△ACD沿过 点D的直线折叠得到△AC'D,点C的对称点C恰好落在线段DB上，AD交AB边于点E, 将BDE沿过点E的直线折叠得到△B'D'E,点B的对称点B落在射线EA上，射线ED交 AC边于点F. D E A6 (图1) (备用图) (1)求证：EF⊥AD; (2)若点F与点C重合，其他条件不变，请在备用图中补全图形，并解答下列问题： ①猜想CD与BD的数量关系，并加以证明； ②若AC=6,求ED的长. 2.点O,E分别是长方形纸片ABCD边AB,AD上的点，沿OE,OC翻折，点A落在点 A'处，点B落在点B处 D D B A B B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点B恰好落在线段OA'上时，求∠COE的度数； (2)如图2，当点B落在∠EOA'的内部时，若∠AOE=36°，∠BOC=64°，求∠A'OB′的 度数； (3)当点A',B落在∠COE的内部时，若∠COE=a,求∠A'OB'的度数（用含的代数式 训练思维，才能打赢新中考 第1页（共16页）《一战成名》一思维型中考书开拓者 og 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 表示) 3.折叠变换是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决相关问题.数学 活动课上，同学们以矩形的折叠”为主题开展了数学探究. 在矩形ABCD中，AB=4,点M,N分别在边AD,BC上，将矩形ABCD沿MN折叠， 点A的对应点为点E,点B的对应点为点F. M D B N B N 图1 图2 (I)如图1，点E与点C重合，连接AN,猜想四边形ANCM的形状，并说明理由； (2)如图2，FE延长线过点C,若AM=DM=5,求BN的长； (3)如图3，点A的对应点E落在边CD上，EF过BC的中点Q,连接BF,若CE=1,求 BF的长 4.综合与实践 如图1，先把一张矩形纸片ABCD上下对折，设折痕为MN；如图2，再把点B叠在折痕线 上，得到△ABE.过点B向右折纸片，使D,Q,A三点仍保持在一条直线上，得到平行于 CD的折痕PQ,其中AB=2,AD=5. B G M B F N Q OH D 图1 图2 图3 (I)求证：△PBE∽△QAB; (2)你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，请证明，如果不相似，请说明理由； (3)如图3，延长AB交EC于点G,沿AG折叠，使点E落在AD上为点H,连接HG交BN 训练思维，才能打赢新中考 第2页（共16页）《一战成名》一思维型中考书开拓者 od 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 于F,求BF的长 5.在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D为BC边上一动点，连接AD,将 AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE,连接AE. G H D B 图1 图2 图3 (1)如图1，AH⊥BC,点D恰好为CH中点，AE与BC交于点G,若AB=4,求AE的 长度； (2)如图2，DE与AB交于点F,连接BE,在BA延长线上有一点P,∠PCA=∠EAB,求 证：AB=AP+V2BD; (3)如图3，DE与AB交于点F,且AB平分∠EAD,点M为线段AF上一点，点N为线段 AD上一点，连接DM,MWy点K为DM延长线上点，将aBDK沿直线BK翻折至 △BDK所在平面内得到△BQK,连接DQ，在M,N运动过程中，当DM+MN取得最小 值，且∠DKQ=45°时，请直接写出 DQ的值 BC 6.如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD边上一动点，连接CE,将△CDE沿CE折叠， 点D的对应点为F. AG B 图(1) 图(2) 图(3) 备用图 训练思维，才能打赢新中考 第3页（共16页）《一战成名》一思维型中考书开拓者 og. 学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 (1)如图1，若∠A=90°，且EF的延长线恰好经过点B.求证：BE=AD; (2)如图2，若∠A=90°，延长EF、CF分别与边BC、AD相交于H、G,若CD=6, GE DE=3,求 的值； HC (3)如图3，若AB=AD,∠BAD=120°，CD=6,EF、CF所在直线分别与直线BC、 直线AD相交于H、G.作CP1AD于点P,若PE=2,直接写 E 战成名 值 C 训练思维，才能打赢新中考 第4页（共16页）《一战成名》一思维型中考书开拓者 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 几何探究之以图形折叠为载体 1.(1)证明：设EF与AD相交于点G, .CA=CB,∠C=90°，.∠CAB=∠B=45°， 由题意，知△ACD≌△A'C'D,△BDE≌△B'D'E, ∴.∠ADC=∠A'DC',∠BED=∠B'ED', :∠BDE+∠BED+∠B=180°，∠AFE+∠AEF+∠EAF=180 .∠BDE=∠AFE=∠ADC, :∠AFE+∠CFG=180°，.∠GDC+∠CFG=180°， 振丹浓 :∠FCD+∠GDC+∠FGD+∠CFG=360°， .∠FCD+∠FGD=180°，.∠FGD=180°-∠FCD=90°，.EF⊥AD; D 入刀 E (2)①猜想：CD=BD· 证明：过点B作HB⊥CB交CE的延长线于点H, C(F) D E ⊙ 合B(C) ∴.∠CBH=90°=∠ACD,∴.∠HCB+∠CHB=90°， 由(1)知EF⊥AD,∠HCB+∠ADC=90°，.∠CHB=∠ADC, 训练思维，才能打赢新中考 第5页（共16页）《一战成名》一思维型中考书开拓者 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 .CB=CA,△CBH≌△ACD,∴.BH=CD, ,∠ADC=∠BDE=∠BHE,∠BED=∠AEC=∠BEH,BE=BE, ∴.△BDE≌△BHE,BD=BH,∴.CD=BD: ②过点E作EM⊥BC于点M, C(F) D M E 会B(C) 振丹浓 则∠EMD=∠EMB=90°=∠ACD, DM CD .∠EDM=∠ADC,.△EDM∽△ADC, EM AC AC-BC-6.CD=BD-7CB-3.EM7 DM 3 6 .∠EBM=∠BEM=45°， ∴.EM=BM=2DM, DM+BM DB,:DM+2DM =3,DM=1,EM=2, 2.解：(1)由折叠的性质，得到∠AOE=∠A'OE,∠BOC=∠B'OC, ∴.∠AOE+∠A'OE+∠BOC+∠B'OC=180°， ∴.∠A'OE+∠B'OC=90°， .∠COE=LA'OE+∠B'0C=90°； (2)由折叠的性质，得到∠AOE=∠A'OE,∠BOC=∠B'OC, ∠AOE=36°，∠B0C=64°， .∠A'OE+∠B'OC=∠AOE+∠BOC=100°，∠COE=180°-∠AOE+∠BOC)=80°， 训练思维，才能打赢新中考 第6页（共16页）《一战成名》一思维型中考书开拓者 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 .∠A'OB'=∠A'OE+∠B'OC-∠COE=20°： (3).COE=a,.∠AOE+∠BOC=180°-∠COE=180°-， 由折叠的性质，得到∠AOE=∠A'OE,∠BOC=∠B'OC. ①如图2，当点B在∠A'OE内部时， D E 振丹浓 图2 :∠A'OB'=∠A'OE+∠B'OC-∠COE, .∠A'OB'=180°-a）-a=180°-2a ②如图3，当点B在∠A'OE外部时， A B 图3 :∠A'OB=∠COE-(∠AOE+∠B'OC), .∠A'OB'=-(180°-a)=2a-180°. 综上， ∠A'OB'的度数为180°-2a或2a-180°. 3.解： (1) 四边形ANCM是菱形，理由如下， :四边形ABC是矩形， ∴.AB=CD=4,AD=BC,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAC=90°，AD∥BC, AB∥CD, 训练思维，才能打赢新中考 第7页（共16页）《一战成名》一思维型中考书开拓者 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 折叠，点E与点C重合， ∴.AB=EF=CF,∠BAD=∠FCM=∠B=∠F=90°，AM=CM, ∠B=∠F 在△ABN和△CFN中， ∠ANB=∠CNF, AB=CF m .△ABN≌△CFNAAS),.AN=CN, .∠FCN=∠DCM, 又：∠F=∠D=90°，CF=AB=CD,:△CFN≌△DCM(AAS, .CN=CM,..AM=MC=CN=AN ∴.四边形ANCM是菱形； (2)四边形ABCD是矩形， :AB=CD=4,∠A=∠D=90° 如图所示，连接MC, z h :折叠，∴.AM=EM=5=MD,AB=EF=4,BN=FN,∠A=∠MEF=90°， .AD=BC=10, :FE延长线过点C,.∠MEF=∠MEC=90°=∠D,, MC=MC 在Rt△MEC和Rt△MDC中， ME=MD'·RtaMEC≌RtMDC(HL), .CE=CD=4,.CF=FE+EC=4+4=8, 设BN=FN=x,则CN=BC-BN=I0-x, 训练思维，才能打赢新中考 第8页（共16页）《一战成名》一思维型中考书开拓者 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b,ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 在Rt△CNF中，CN2=NF2+CF2,.(10-x)2=x2+82, .9 解得，x5之BN (3)AB=CD=4,CE=1, ∴.DE=CD-CE=4-1=3, :折叠，∴AB=EF=4,BN=FN,AM=EM,∠A=∠MEF90°， ∴.∠DEM=90°-∠CEQ=∠CQE,且∠C=∠D=90°， △QCEEDM,: OC CE ED DM' 丹 :点Q是BC的中点，.BQ=CQ=。BC, 设BQ=CQ=a(a>0),则AD=BC=2a, 32a2-3 3 DM ,·DM=3 AM-EM-AD-DM-20 aa 在R1aDCM中，EM2=DM2+DE2 21 .a (负值舍去 OF=EF-QE=4-53 22’ 设BN=FN=b,则QN=BO-BN=2I-b, 2 在RIAQFN中，QN2=NF2+QF2, 训练思维，才能打赢新中考 第9页（共16页）《一战成名》一思维型中考书开拓者 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解得，b=2,BN=FN=可 > QN=BQ-BN= W21 V215V21 7 14 如图所示，过点B作BH⊥EF延长线于点H,则∠H=90°， M D 振丹 OF .∠H=∠BFQ=90°，∴.BHFN,.△QFN∽△QHB, OH BH OB 3 √21521 Of=3 2 2 7 =14 解得QH= OH BH √21 21,BH 21 10 2 ·FH=QH-QF= 2133 10 在Rt△BFH中，BF=√BH2+FH .BF= V30 5 4.(1)证明：过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上， PQ⊥AD, :矩形对边平行，PQ⊥CE,∠PBE+∠PEB=90°， :∠PBE+∠ABQ=90°，∠ABQ=∠PEB, 在△PBE和△QAB中，：∠ABQ=∠PEB,∠BPE=∠AQB=90°， 训练思维，才能打赢新中考 第10页（共16页）《一战成名》一思维型中考书开拓者