特殊四边形判定及性质相关计算加练-【一战成名新中考】2026辽宁数学中考必考知识点题组特训

1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点E是BC的中点，且AC平分∠DAE． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）已知AB＝8，AE＝5，求线段AC的长． 2．在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）证明：四边形ADCF是正方形； （2）若，求正方形ADCF的面积． 3．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE．连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若∠DAB＝60°，AF平分∠DAB，AD＝4，求AB的长． 4．在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在BC边上，连接DE，DE＝AD，点F在DE上，连接AF，AF＝CD，且∠AFE＝∠ADC． （1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形． （2）如图2，若BE＝CE，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中面积等于△ADE面积一半的所有三角形． 5．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点P，连接DE、CF，DF． （1）求证：DF∥OE； （2）若AB＝4，BF＝8，点P恰好是CD的中点． ①求证：四边形CFDE是矩形； ②若四边形CFDE是正方形，求BC的长度． 7．某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地设计一片矩形菜地，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，此次活动记录如下： 活动主题 为学校设计矩形菜园 活动准备 1．准备皮尺等测量工具；2．调研学校需求 采集数据 图1是学校围墙一角的平面图，信息图下： 1．两道墙之间的夹角为直角； 2．两道墙可用于建菜园的长度都不超过6m． 3．可用的篱笆总长度为10m． 设计方案 把篱笆按如图2示的方式扎下后和两道墙构成矩形ABCD．通过改变AB的长度，使得菜园的面积最大． 确定思路 小组成员经过讨论，确定设AB的长为xm，菜园的面积为Sm2，列出S关于x的函数关系，根据x的取值范围确定函数值的范围．从而获得菜园面积的最大值． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求菜园面积S（单位：m2）关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）当菜园面积最大时，求此时矩形菜园的长和宽； （3）判断该方案围成面积最大时是否符合墙长要求？ 8．在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对四边形”进行研究． 定义：对角线相等的四边形是等对四边形． （1）判断：根据等对四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是等对四边形的是 　 　 ； ①矩形②菱形③正方形④平行四边形 （2）操作：如图1是6×8方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为的等对四边形，要求四个顶点均在格点上； （3）推理：如图2，已知△ABC中，以AB和AC为边在△ABC的外侧分别作等腰直角△ABD和△ACE，连结DE．求证：四边形BCED是等对四边形． 9．如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB，PC＝1，求∠BPC的大小．李明同学的思路是： 将△BPC绕点B旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP'，只要证得△BP'P是等边三角形，△PP′A是直角三角形，进而求得∠BPC的度数，使问题得到解决． 问题（1）：请直接写出∠BPC的度数； 问题（2）：请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题： 如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA，BP，PC＝1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长． 10．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与边AD，BC分别相交于点E，F，交直线CD于点M． （1）求证：AE＝CF； （2）当AB＝AC＝5，BC＝6时： ①若DM＝7，求CF的长； ②在①的条件下，求△COM的面积； ③若DM＝2，请直接写出的值． 11．如图1，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E． （1）【特殊情形，整体感知】 通过观察图1，线段AB与DE的数量关系是　 　 ； （2）【转化应用，类比迁移】 在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O是直线BC上一动点（不与点C，B重合），线段AO绕点O顺时针旋转90°得到线段OD，连接BD． 如图2，点O在BC边上时，猜想AB与BD的位置关系并说明理由； ②如图3，点O在BC的延长线上，若AC＝5，当四边形AODB的面积为18时，求点D到BC的距离； （3）【积累经验，拓展延伸】 若∠CAO＝α，∠ODB＝β，直接选出此时对应的α与β的数量关系　 　 ． A． α+β＝45° B．α+β＝135° C．α﹣β＝45° D．α﹣β＝60° 12．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF． 请回答：在图2中，∠GAF的度数是 　 　 ． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，若∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长度． （2）如图4，△ABC中，AC＝4，BC＝6，以AB为边作正方形ADEB，连接CD．当∠ACB＝　 　 时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值． 参考答案与试题解析 1．（1）证明：∵点E是BC的中点， ∴BC＝2CE， ∵BC＝2AD， ∴CE＝AD， ∵AD∥BC， ∴四边形AECD为平行四边形， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACE， ∵AC平分∠DAE， ∴∠DAC＝∠EAC， ∴∠ACE＝∠EAC， ∴AE＝CE， ∴平行四边形AECD为菱形； （2）解：∵AE＝6， 根据（1）可得CE＝BE＝AE＝5， ∴BC＝10， ∴∠ACE＝∠EAC，∠ABE＝∠EAB， ∵∠ACE+∠ABE+∠EAC+∠EAB＝180°， ∴∠BAC＝∠EAC+∠EAB＝90°， ∵AB＝8， ∴． 2．（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 在△FAE和△BDE中， ， ∴△FAE≌△BDE（AAS）， ∴AF＝BD， ∵BD＝DC， ∴AF＝DC， 又∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点， ∴，AD⊥DC， ∴四边形ADCF是正方形； （2）解：∵， ∴， 由（1）知，AD＝DC，AD⊥DC， ∴在Rt△ACD中，， ∴． 3．（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∵CF＝AE， ∴DF＝BE且DC∥AB， ∴四边形DFBE是平行四边形， 又∵DE⊥AB， ∴四边形DFBE是矩形； （2）解：方法一： ∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB， ∴AE＝2，DEAE＝2， ∵四边形DFBE是矩形， ∴BF＝DE＝2， ∵AF平分∠DAB， ∴∠FAB∠DAB＝30°，且BF⊥AB， ∴ABBF＝6． 方法二： ∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB， ∴AE＝2， ∵AB∥DC， ∴∠AFD＝∠BAF， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∴∠AFD＝∠DAF， ∴DA＝DF＝4， 又DF＝BE＝4， ∴AB＝AE+BE＝6． 4．（1）证明：∵∠AFE＝∠ADF+∠DAF，∠ADC＝∠ADF+∠EDC， 又∵∠AFE＝∠ADC， ∴∠DAF＝∠EDC， 在△ADF和△DEC中， ， ∴△ADF≌△DEC（SAS）， ∴∠ADF＝∠DEC， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：由条件可知S△AED＝S△AEF+S△DEC平行四边形ABCD是面积， ∵BE＝CE， ∴S△AEB＝S△DEC， ∵△ADF≌△DEC， ∴S△AEB＝S△DEC＝S△ADF， ∴S△AEB＝S△DEC＝S△ADF＝S△AEF； 即面积等于△ADE面积一半的所有三角形为△ABE，△DCE，△AEF，△ADF． 5．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， 得矩形EMCN， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； ②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∴CE⊥CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9． ∵CG＝3， ∴CE＝6， 连接EG， ∴EG3， ∴DEEG＝3． ∴正方形DEFG的边长为3． 6．证明：（1）在平行四边形ABCD中，OB＝OD， ∵EF＝BE， ∴OE是△BDF的中位线， ∴OE∥DF； （2）①在平行四边形ABCD中，AB＝4， ∴AB＝CD＝4， ∵BF＝8， ∴EF＝BE＝CD＝4， ∵OE∥DF， ∴∠PCE＝∠PDF，∠PEC＝∠PFD， ∵点P恰好是CD的中点， ∴CP＝DP， ∴△CPE≌△DPF（AAS）， ∴DF＝CE， ∵DF∥CE， ∴四边形CFDE是平行四边形， ∵EF＝CD＝4， ∴四边形CFDE是矩形； ②∵四边形CFDE是正方形，EF＝CD＝4， ∴， ∵OE是△BDF的中位线，， ∴， ∵平行四边形ABCD， ∴，AD＝BC， ∴， ∴在直角三角形ADE中，， ∴． 7.解：（1）根据题意得，S＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x（0＜x≤6）； （2）由（1）知，S＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25， ∴当x＝5时，S有最大值， ∴当菜园面积最大时，此时矩形菜园的长和宽分别为5m和5m； （3）∵当菜园面积最大时，此时矩形菜园的长和宽分别为5m和5m；0＜x≤6， ∴该方案围成面积最大时符合墙长要求． 8．（1）解：∵矩形和正方形的对角线相等， ∴矩形和正方形是等对四边形， 故答案为：①③； （2）解：如图所示，四边形ABCD即为所求； （3）证明：连接BE，CD， ∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝90°， ∴∠DAB+∠BAC＝∠BAC+∠CAE， ∴∠DAC＝∠BAE， 在△ABE与△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴BE＝CD， ∴四边形BCED是等对四边形． 9．解：（1）根据旋转可知： △BP′A≌△BPC， ∴BP′＝BP，AP′＝PC＝1， 又∵∠P′BP＝60°， ∴△P′PB＝60°， ∴△P′PB是等边三角形， ∴∠BP′P＝∠BPP′＝60°，PP'， 在△APP′中，AP′＝1，PP′，AP＝2， 12+（）2＝22， 即AP′2+P′P2＝AP2， ∴∠AP′P＝90°， ∴∠AP′B＝60°+90°＝150°， ∴∠BPC＝∠AP′B＝150°， 故答案为：150； （2）如图， 将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A． ∴AP′＝PC＝1，BP＝BP′； 连接PP′， 在Rt△BP′P中， ∵BP＝BP′，∠PBP′＝90°， ∴PP′＝2，∠BP′P＝45°， 在△AP′P中，AP′＝1，PP′＝2，AP， ∵12+22＝（）2，即AP′2+PP′2＝AP2； ∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P＝90°， ∴∠AP′B＝90°+45°＝135°， ∴∠BPC＝∠AP′B＝135°； 过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形， ∴∠EP′B＝45°， ∴EP′＝BE＝1， ∴AE＝2； ∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB， ∴∠BPC＝135°，正方形边长为． 10．（1）证明：在▱ABCD中，OA＝OC，AD∥BC， ∴∠EAC＝∠FCA， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF； （2）解：①在▱ABCD中，AB＝CD＝5，AB∥CD，AD＝BC＝6， ∵DM＝7， ∴CM＝DM﹣DC＝2， ∵CF∥DE， ∴， 由（1）知AE＝CF， ∴DE＝AD﹣AE＝6﹣CF， ∴， 解得CF； ②过A作AK⊥BC于点K， 则BK＝BC＝3， ∴AK4， ∵， ∴DE＝AD﹣AE， ∴S梯形CDEF（CF+DE）•AK＝12， ∵（）2， ∴， ∴S△FMC， ∵OE＝OF，， ∴， ∴， ∴S△COMS△FMC； ③如图， ∵DE∥BC， ∴， 设EM＝2x，则EF＝5x， 由（1）知△AOE≌△COF， ∴OE＝OF＝2.5x， ∴OM＝OE+EM＝4.5x， ∴． 11．解：（1）∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴∠DEB＝∠A， ∠DBE+∠D＝90°， 由旋转可得BD＝CB，∠CBD＝90°， ∴∠ABC+∠DBE＝180°﹣∠CBD＝90°， ∴∠ABC＝∠D， 在△ABC和△EDB中， ， ∴△ABC≌△EDB（AAS）， ∴AB＝DE， 故答案为：AB＝DE； （2）①AB⊥BD；理由如下： 如图2，在AC上截取AE＝OB，连接OE， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝45°，BC﹣OB＝AC﹣AE， ∴CE＝OC， ∴∠CEO＝∠COE＝45°， ∴∠AEO＝180°﹣∠CEO＝135°， 由旋转可得AO＝OD，∠AOD＝90°＝∠ACB， ∴∠DOB＝∠CAO＝90°﹣∠AOC， 在△AEO和△OBD中， ， ∴△AEO≌△OBD（SAS）， ∴∠OBD＝∠AEO＝135°， ∴∠ABD＝∠OBD﹣∠ABC＝90°， ∴AB⊥BD； ②过点D作DF⊥BC于点F，如图3，则∠DFO＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACO＝90°＝∠DFO， 由旋转的性质得：∠AOD＝90°，AO＝OD， ∴∠AOC＝∠ODF＝90°﹣∠DOF， 在△ACO和△OFD中， ， ∴△ACO≌△OFD（AAS）， ∴OC＝DF， 设OC＝DF＝x， ∵BC＝AC＝5， ∴OB＝5+x， ∵四边形AODB的面积， ∴（5+x）•5+（5+x）•x＝36， ∴（5+x）2＝36， ∴x＝1或x＝﹣11（不合题意，舍去）； ∴DF＝1，即点D到BC的距离为1； （3）此时对应的α与β的数量关系ABC．理由如下： 分三种情况讨论： ①当点O在线段BC上时，如图4， 由（2）①可知：∠DOB＝∠CAO＝α，∠OBD＝135°， ∴∠DOB+∠BDO＝180°﹣∠OBD＝45°， 即：α+β＝45°； ②当点O在线段BC的延长线上时，如图5， 由（2）②可知，∠DOB＝∠CAO＝α，△ACO≌△OFD， ∴OF＝AC＝BC， ∴BF＝OC＝DF， ∴∠BDF＝∠DBF＝45°， ∴∠ODB＝∠ODF+∠BDF＝90°﹣α+45°， ∴α+β＝135°； ③当点O在CB的延长线上时，如图6，作DM⊥OC， 与（1）同理可得△AOC≌△ODM， ∴∠DOM＝∠OAC＝α，OC＝DM，AC＝OM， ∵AC＝BC， ∴OC＝BC+OB＝AC+OB＝OM+OB， ∴BM＝DM， ∴∠MBD＝45°， ∵∠DOM＝∠ODB+∠OBD， ∴α＝45°+β， ∴α﹣β＝45°， 综上所述，α+β＝45°或α+β＝135°或α﹣β＝45°． 故答案为：ABC． 12．解：阅读材料： 根据旋转△ABG≌△QDE， ∴∠GAB＝∠EAD，AG＝AE， ∵∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠DAE＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAF+∠GAB＝45°，即∠GAF＝45°； （1）过点A作AF⊥CB 交CB的延长线于点F， ∵AD∥BC，∠D＝90°， ∴∠B＝180°﹣∠D＝90°， ∵AD＝CD＝10， ∴四边形AFCD是正方形， ∴CF＝10， 根据上面结论，可知BE＝DE+BF， 设BE＝x， ∵DE＝4， ∴BF＝BE﹣DE＝x﹣4， ∴CB＝CF﹣BF＝10﹣x+4＝14﹣x， CE＝CD﹣DE＝10﹣4＝6， ∵∠C＝90°， ∴CE2+CB2＝BE2， ∴36+（14﹣x）2＝x2， 解得：x， 故BE； （3）过点A作AF⊥CA，取AF＝AC， 连接BF，CF， ∵∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝90°+∠BAC， ∠DAC＝∠BAD+∠BAC＝90°+∠BAC， ∴∠BAF＝∠DAC， 又∵AC＝AF，AB＝AD， ∴△FAB≌△CAD（SAS）， ∴BF＝CD， ∴线段CD有最大值时，只需BF最大即可， 在△BCF中，BF≤BC+CF， 当B、C、F三点共线时， BF取最大值，此时BF＝BC+CF， 在等腰直角三角形ACF中AC＝AF＝4，∠ACF＝45°， ∴CFAC＝4， ∵CB＝6， BF最大为：46，即CD最大值为46，此时∠BCA＝180°﹣∠ACF＝135°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $