三角形几何综合加练-【一战成名新中考】2026辽宁数学中考必考知识点题组特训

1．如图，在四边形ABCD中，连接BD，已知AD∥BC，且AD＝BC，E、F是BD上两点，连接AE、CF，且BE＝DF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠CBD＝35°，∠BCF＝75°，求∠AEB的度数． 2．如图，∠ADE＝∠CFD＝Rt∠，AD＝CF，DE＝DF． （1）求证：△ADE≌△CFD． （2）若F为AD的中点，CD＝6，BD＝4，求DE和BE的长． 3．已知如图：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝25°． （1）求证：AC＝BD； （2）求∠APB的大小． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC1，点D在AC上且CD＝CB，点E是AB上一点，连结CE，BD交于点F，连结DE． （1）当BC＝BE时． ①求证：AE＝BE； ②求∠EDB的度数； （2）当△DEF为直角三角形时，求AE的长． 5．小南同学在物理课上知道了摆动现象是由杠杆原理，重力作用，动能与势能转换以及阻力的影响共同作用的结果．这一原理在很多领域都有应用，如摆钟，秋千等．为了对其作进一步的探究．小南同学自制了一个钟摆球，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置；当小南同学推动小球时，小球从OA位置摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，且测得点B到OA的距离为7cm；当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的点A，B，C，O在同一平面内），过点C作CE⊥OA于点E，测得点C到OA的距离为16cm． （1）判断CE与OD的数量关系，并说明理由； （2）求两次摆动中的点B和点C的高度差DE的长． 6．勾股定理在我国西汉典籍《周髀算经》中已有记载，数学家赵爽首次给出了该定理的证明．如图1所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成，其证明思路的核心是“双求法”，即用两种不同的方式表示同一个量来建立等式．请你运用“双求法”解决下面的问题． （1）利用图1的赵爽弦图（其中b＞a），完成勾股定理的推导过程（用图1中的字母表示）； 证明：∵大正方的面积有两种求法：一种是大正方形面积为c2，另一种是4个直角三角形和中间小正方形的面积和为　 　 ，∴根据面积相等得　 　 ，整理得：a2+b2＝c2． （2）如图2，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度； （3）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，求BD的长度． 7．（1）【问题提出】 如图1，直线l经过点A，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．我们发现△ABD≌△CAE．所以，如果BD＝6，DE＝10，那么CE＝　 　 ，BD、DE、CE满足的数量关系是　 　 ； （2）【变式探究】如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠BAC＝∠ADB，AB＝AC，（1）的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】如图3所示，在Rt△BAD和Rt△CAE中，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，作BC边上的高AG，延长GA交DE于点H．若AH＝5，AG＝12，求△DAE的面积． 8．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法：如图1，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即PM＝PN．过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线，已知角尺的夹角∠MPN＝90°． （1）请解释工人师傅这样做能得到角平分线的原因； （2）小明认为，当∠AOB＝90°时，工人师傅就不需要先在边OA，OB上分别取OM＝ON．如图2，直接移动角尺，使角尺的两边分别与OA，OB相交于点M，N，且满足PM＝PN，便可以得到OP平分∠AOB．你觉得小明的观点对吗？并说明理由； （3）如图3，∠AOB＝90°，OQ平分∠AOB．P是射线OQ上的一点，过点P作PE⊥OB于点E，OE＝5．点C在射线OA上运动，过点P作PD⊥PC，与直线OB交于点D．若OD＝2，请直接写出OC的长． 9．定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段，例如：如图1，在△ABC中，∵AD⊥BC于D，且AD＝DC，∴△ABC是等直三角形，AD是△ABC的一条等直分割线段． （1）定义理解：下列说法正确的是 　 　 ；（填序号） ①等直三角形一定是直角三角形； ②直角三角形一定是等直三角形； ③锐角三角形一定不是等直三角形； ④等腰三角形一定不是等直三角形． （2）定义应用：如图2，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的等直分割线段，AC＝4，BC＝8，求AD的长； （3）应用提升：在△ABC中，AB＝6，∠B＝30°，AD是△ABC的等直分割线段，则AC的长可以为 　 　 ． 参考答案与试题解析 1．（1）证明：∵BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF，即BF＝DE， 又∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）解：∵∠CBD＝35°，∠BCF＝75°， ∴∠BFC＝180°﹣∠CBD﹣∠BCF＝70°， ∵△ADE≌△CBF， ∴∠AED＝∠BFC＝70°， ∴∠AEB＝110°． 2．（1）证明：在△ADE和△CFD中， ， ∴△ADE≌△CFD（SAS）． （2）解：∵CD＝6，BD＝4， ∴BC＝CD+BD＝6+4＝10， 由（1）得△ADE≌△CFD， ∴AE＝CD＝6，∠DAE＝∠FCD， ∵∠CFD＝Rt∠，F为AD的中点， ∴CF垂直平分AD， ∴CA＝CD＝6， ∴∠FCA＝∠FCD， ∴∠DAE＝∠FCA， ∴∠BAC＝∠DAE+∠DAC＝∠FCA+∠DAC＝∠CFD＝90°， ∴AB8， ∴BE＝AB﹣AE＝8﹣6＝2； ∵DE＝DF＝AF， ∴AD＝2DF＝2DE， ∴AEDE＝6， ∴DE， ∴DE的长为，BE的长为2． 3．（1）证明：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC与△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC＝BD； （2）解：如图，AC交OB于点Q， ∵△AOC≌△BOD， ∴∠OAC＝∠OBD， ∵∠BQP＝∠AQO， ∴180°﹣∠AQO﹣∠OAC＝180°﹣∠BQP﹣∠OBD， ∴∠AOB＝∠APB＝25°． 4．解：（1）①证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵BC＝BE， ∴△BCE为等边三角形， ∴∠BCE＝60°，BE＝CE， ∴∠ACE＝30°＝∠A， ∴AE＝CE， ∴AE＝BE； ②∵CD＝CB， ∴CD＝CE，∠CDB＝45°， ∵∠DCE＝30°， ∴∠CDE75°， ∴∠EDB＝∠CDE﹣∠CDB＝30°； （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC1， ∴AB＝2BC＝22， ∴AC3， ∴AD＝AC﹣CD＝2， 根据题意可知∠CED＜90°， ∴分两种情况讨论： 当∠DFE＝90°时，如图， ∵CD＝CB，CF⊥BD， ∴∠BCF＝∠DCF＝45°， 过E作EM⊥BC于点M，则∠BEM＝30°， 设BM＝x，则BE＝2BM＝2x， ∵∠ECM＝45°， ∴EM＝CMx， ∴BCx+x， 解得x＝1， ∴BE＝2x＝2， ∴AE＝AB﹣BE＝2； 当∠EDF＝90°时，如图，过作EN⊥AD于点N， 则∠EDN＝180°﹣∠EDF﹣∠CDB＝45°， ∴EN＝DN， ∴∠A＝30°， ∴设EN＝DN＝x，则AE＝2x，ANx， ∴AD＝AN+DNx+x＝2， 解得x1， ∴AE＝2x＝22； 综上，AE＝2或22． 5．解：（1）CE＝BD．理由如下： ∵OB⊥OC， ∴∠BOD+∠COE＝90°， ∵BD⊥OA，CE⊥OA， ∴∠ODB＝∠CEO＝90°， ∴∠BOD+∠OBD＝90°， ∴∠OBD＝∠COE， 在△COE和△OBD中， ， ∴△COE≌△OBD（AAS）， ∴CE＝BD； （2）∵点B到OA的距离为8cm，点C到OA的距离为14cm， ∴CE＝16cm，AB＝7cm， ∵△COE≌△OBD， ∴OE＝BD＝7cm，CE＝OD＝16cm， ∴DE＝OD﹣OE＝16﹣7＝9（cm）， ∴两次摆动中点B和C的高度差DE的长为9cm． 6．（1）证明：∵大正方的面积有两种求法：一种是大正方形面积为c2，另一种是4个直角三角形和中间小正方形的面积和为4ab+（b﹣a）2， ∴根据面积相等得4ab+（b﹣a）2＝c2， 整理得：a2+b2＝c2． 故答案为：4ab+（b﹣a）2，4ab+（b﹣a）2＝c2； （2）解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， ∵CD是AB边上的高， ∴S△ABCAC•BCAB•CD， ∴CD； （3）解：∵AD是BC边上的高， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2＝AD2， ∴42﹣BD2＝52﹣（6﹣BD）2， ∴BD． 7．解：（1）∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝180°﹣90°＝90°， ∵直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∴∠BAD+∠DBA＝90°， ∴∠CAE＝∠DBA， 在△DBA和△EAC中， ， ∴△DBA≌△EAC（AAS）； ∴DA＝EC，AE＝BD， ∵DE＝AE+DA， ∴DE＝BD+CE； ∵BD＝6，DE＝10， ∴CE＝10﹣6＝4； 故答案为：4，DE＝BD+CE． （2）DE＝BD+CE成立， 证明：∵∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝∠CEA+∠ACE，∠CEA＝∠BAC， ∴∠ACE＝∠BAD， 在△CAE和△ABD中， ∴△CAE≌△ABD（AAS）， ∴AD＝CE，AE＝DB， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）如图，过点E作EM⊥HG于点M，作DN⊥GH，交GH的延长线于点N， ∴∠EMH＝∠DNH＝90°， 与（1）同理可得△DNA≌△AGB，△EMA≌△AGC， ∴DN＝AG，EM＝AG， ∴DN＝EM＝AG＝12， 若， ∴． 8．（1）证明：在△OPM和△OPN中， ， ∴△OPM≌△OPN（SSS）， ∴∠POM＝∠PON， 即OP平分∠AOB； （2）解：小明的观点正确，理由如下： 如图，过点P作PD⊥OA于点D，作PE⊥OB于点E， ∴∠AOB＝∠PDO＝∠PNO＝90°， ∴∠DPE＝90°， ∵∠MPN＝90°， ∴∠DPM＝∠EPN＝90°﹣∠MPE， ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDM＝∠PEN＝90°， ∵PM＝PN， ∴PDM≌△PEN（AAS）， ∴PD＝PE， ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴OP平分∠AOB． （3）解：①当点D在点O右侧时，过点P作PF⊥OA于点F，如图， ∵PE⊥OB，OQ平分∠AOB， ∴PF＝PE，∠PFC＝∠PED＝∠PFO＝90°， 同上可得，∠CPD＝∠FPE＝90°， ∴∠FPC＝∠EPD＝90°﹣∠FPD， ∴△FPC≌△EPD（ASA）， ∴CF＝DE＝OE﹣OD＝5﹣2＝3， ∵OQ平分∠AOB， ∴∠FOP＝∠EOP， ∵PO＝PO，∠PFO＝∠PEO＝90°， ∴△PFO≌△PEO（AAS）， ∴OF＝OE＝5， ∴OC＝OF+FC＝8； ②当点D在点O左侧时，过点P作PF⊥OA于点F，如图， ∵PE⊥OB，OQ平分∠AOB， ∴PF＝PE，∠PFC＝∠PED＝∠PFO＝90°， 同上可得，∠CPD＝∠FPE＝90°， ∴∠FPC＝∠EPD＝90°﹣∠FPD， ∴△FPC≌△EPD（ASA）， ∴CF＝DE＝OE+OD＝5+2＝7， ∵OQ平分∠AOB， ∴∠FOP＝∠EOP， ∵PO＝PO，∠PFO＝∠PEO＝90°， ∴△PFO≌△PEO（AAS）， ∴OF＝OE＝5， ∴OC＝OF+FC＝5+7＝12， 综上，OC长为8或12． 9．解：（1）①等直三角形不一定是直角三角形； ②如图1，DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，则△ABD是等腰三角形， ∵∠C＝90°， ∴△ACD是直角三角形， ∴AD是△ABC的一条等直分割线段； ∴直角三角形一定是等直三角形， ③如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝80°，∠C＝45°， ∴△ABC是锐角三角形， ∵AD⊥BC， ∴∠BAD＝10°， ∴∠DAC＝∠C＝45°， ∴△ABC是等直三角形； ④等腰直角三角形一定是等直三角形， 故答案为：②； （2）∵AD是△ABC的等直分割线段， ∴AD＝BD， 在△ABC中，∠C≡90°，AC≡4，BC＝8， 由勾股定理得：AD2＝AC2+CD2， ∴AD2＝42+（8﹣AD）2， 解得：AD＝3； （3）在△ABC中，AB＝6，∠B＝30°，AD是△ABC的等直分割线段， ①若AD⊥BC，AD＝CD时，如图2， ∴ADAB＝3， ∴CD＝AD＝3，AC3； ②若AD⊥AB，AD＝CD时，如图3， ∴∠ADB＝60°，∠C＝∠CAD， ∴∠C+∠CAD＝2∠C＝∠ADB＝60°， ∴∠C＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∴AC＝AB＝6； ③若AD＝BD，AC⊥BC时，如图4， ∴ACAB＝3； ④若AD＝BD，AD⊥AC时，如图5， ∴∠B＝∠BAD＝30°， ∴∠B+∠BAD＝∠ADC＝60°， ∴∠C＝90°﹣∠ADC＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∴AC＝AB＝6， 综上所述：AC的长可以为3或3或6． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $