第20题函数性质综合加练-【一战成名新中考】2026辽宁数学中考必考知识点题组特训

1．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在正比例函数y＝﹣2x的图象上，若x1＜x2则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2 2．已知点A（x1，a），B（x1+1，b）都在函数y＝﹣3x+3的图象上，下列对于a与b的关系判断正确的是（　　） A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定 3．若双曲线与直线y＝2x的一个交点坐标为（1，2），则另一个交点的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（2，1） 4．若点三点在抛物线y＝﹣x2﹣2x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 5．如图，密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，即（k为常数且k≠0），其图象如图所示．当V＝10m3时，气体的密度为（　　） A．1kg/m3 B．2kg/m3 C．3kg/m3 D．4kg/m3 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 7．一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行，已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角∠BAF＝30°时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（　　） A． B．12cm C． D．14cm 8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 1 ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 … 则下列结论：①a＞0；②c＝﹣2；③抛物线的对称轴为直线x＝1；④方程ax2+bx+c＝0的两个根满足﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3．其中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 9．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列选项正确的有（　　） ①y2随x的增大而减小；②函数y＝bx+d的图象不经过第二象限；③2a﹣2c＝b﹣d；④a+b+c+d＞0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为 　 　 米． 12．在一次函数y＝（k﹣5）x﹣3中，y随x的增大而减小，且k为正整数，则k的值可以是　 　 （任意写出一个符合条件的数即可）． 13．二次函数y＝ax2﹣3x+a2﹣a的图象经过原点，则a＝　 　 ． 14．已知一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则关于x的方程ax+b＝1的解为x＝　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿x轴向左平移2个单位得到△A′O′B′，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 三．解答题（共4小题） 16．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … ﹣2x+5 … 9 7 5 3 a … 3x+8 … 2 5 8 11 b … 【初步感知】a＝　 　 ；b＝　 　 ； 【归纳规律】表中﹣2x+5的值的变化规律是：x的值每增加1，﹣2x+5的值就减少2．类似地，3x+8的值的变化规律是：x的值每增加1，3x+8的值就　 　 ； 【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小3：　 　 ； 若要求x的值每增加1，代数式的值就增加5，且当x＝0时，代数式的值为﹣6．你能找到这样的满足条件的代数式吗？请直接写出这个代数式　 　 ； 【计算验证】当x的值从a增加到a+1时，猜想关于x的代数式kx﹣3（k为一次项的系数，且k＞0）的值会怎样变化，并通过计算加以说明； 【模型应用】某商店销售一种商品，每件进价为20元，当售价为40元时，每天仅能售出20件．若商店作降价促销，发现每降价1元，可多售出2件．当售价为　 　 （正整数）元时，每天的销售利润最大． 17．已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx+n． （1）若函数在x＝1时取到最大值4，求二次函数的表达式； （2）若m﹣1≤x≤m+k（k＞0）时，函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝3k，求k的值． 18．小亮根据学习函数的经验，对函数y＝﹣|x﹣2|+3的图象与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小亮的探究过程，请补充完成： （1）当x＝2时，y＝﹣|x﹣2|+3＝3； 当x＜2时，y＝﹣|x﹣2|+3＝ 　 　 ． 当x＞2时，y＝﹣|x﹣2|+3＝ 　 　 ． （2）在平面直角坐标系中画出y＝﹣|x﹣2|+3的图象，并根据图象回答： ①该函数有 　 　 （填“最大值或最小值”），这个值为 　 　 ； ②当 　 　 时（填写x的取值范围），y值随着x值的增大而增大． （3）直接写出关于x的方程﹣|x﹣2|+3＝kx+4（k为常数且k＜0）的解的个数及对应k的取值范围． 19．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的顶点坐标为（1，5）． （1）求b和c的值； （2）将二次函数y＝﹣x2+bx+c（x≥0）的图象记为M1，将M1关于原点对称的图象记为M2，M1与M2合起来得到的图象记为M，完成以下问题： ①在如图所示的平面直角坐标系中画出图象M； ②若对于图象M上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1≤﹣2，m≤x2≤m+1时，总有y1＞y2，请直接写出m的取值范围． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A A A A D D D D 1．【解答】解：∵y＝﹣2x的比例系数是﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小． ∵x1＜x2， ∴y1＞y2． 故选：B． 2．【解答】解：∵一次函数函数的解析式为：y＝﹣3x+3， ∴k＝﹣3＜0， ∴函数y＝﹣3x+3中，y随x的增大而减小， ∵x1＜x1+1， ∴a＞b． 故选A． 3．【解答】解：∵双曲线与直线y＝2x的一个交点坐标为（1，2）， ∴它们另一个交点坐标是（﹣1，﹣2）， 故选：A． 4．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+m， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x1， ∵（﹣1）＞（﹣1）﹣（）＞（﹣1）﹣（﹣1）， ∴y3＞y2＞y1， 故选：A． 5．【解答】解：∵密度ρ与体积V是反比例函数关系为， 将（4，2.5）代入，得， 解得k＝10， ∴， 将V＝10代入，得ρ＝1， ∴该气体的密度为1kg/m3． 故选：A． 6．【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＞0，x0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误． 故选：A． 7．【解答】解：如图，以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 由题意得：A（﹣2，0），B（2，0），E（，6），F（，6）， 设抛物线的解析式为：y＝ax2+b， 将B（2，0），F（，6）代入， 得， 解得， ∴yx2﹣4， 当y＝12时，12x2﹣4， 解得x1＝4，x2＝﹣4， ∴C（﹣4，12），D（4，12）， 根据题意可知，∠DCE＝∠BAF＝30°，设BE与y轴的交点坐标P，CD与y轴交于点Q， 在Rt△CPQ中， CQ＝4，∠PCQ＝30°， ∴PQ＝4cm， ∴PO＝8cm， ∴P（0，8）， ∴直线CE的解析式为：y＝kx+m， 将C（﹣4，12），P（0，8），代入， 得， 解得， ∴直线CE的解析式为：yx+8， 令x2﹣4x+8， 解得x或x， ∴点E的横坐标为， 当x时，y8＝5， ∴E（，5）． ∴CE14（cm）， 故选：D． 8．【解答】解：∵当x＝0时，y＝﹣2，且y＝ax2+bx+c中x＝0时y＝c， ∴c＝﹣2，故②正确，符合题意； ∵当x＝﹣1和x＝3时，y＝1，且函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，故③正确，符合题意； ∵对称轴为直线x＝1，且y值随x增大先减后增， ∴抛物线开口向上，即a＞0，故①正确，符合题意； ∵当x＝﹣1时y＝1＞0，x＝0时y＝﹣2＜0， ∴方程 ax2+bx+c＝0在﹣1＜x＜0内有一根x1，即﹣1＜x1＜0； ∵当x＝2时y＝﹣2＜0，x＝3时y＝1＞0， ∴在2＜x＜3内有一根x2，即2＜x2＜3，故④正确，符合题意； 故选：D． 9．【解答】解：由图象可得：对于函数y2＝cx+d来说，y随x的增大而减小，故①正确； 由于b＞0，d＜0， ∴函数y＝bx+d的图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限，故②正确； ∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为﹣2， ∴﹣2a+b＝﹣2c+d， ∴a﹣2c＝b﹣d，故③正确； 当x＝1时，y1＝a+b，y2＝c+d，由图象可知|y1|＞|y2|， ∴a+b＞﹣（c+d），即a+b+c+d＞0，故④正确； 综上①②③④都正确，故选：D． 10．【解答】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3， ∴∠AOB＝∠A＝45°， ∵CD⊥OB， ∴CD∥AB， ∴∠OCD＝∠A， ∴∠AOD＝∠OCD＝45°， ∴OD＝CD＝t， ∴S△OCDOD×CD t2（0≤t≤3），即St2（0≤t≤3）． 故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为0≤t≤3、开口向上的二次函数图象； 故选：D． 11.【解答】解：当y＝0时，0， 解得：x1＝11，x2＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴推铅球的距离是11米． 故答案为：11． 12．【解答】解：∵在一次函数y＝（k﹣5）x﹣3中，y随x的增大而减小， ∴k﹣5＜0， 解得：k＜5， ∵k为正整数， ∴k值可以为1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 13．【解答】解：将（0，0）代入y＝ax2﹣3x+a2﹣a， ∴0＝a2﹣a， ∴a＝0（舍去）或a＝1， 故答案为：1． 14．【解答】解：关于x的方程ax+b＝1的解为x＝4． 故答案为：4． 15．【解答】解：如图， ∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（5，0），B（0，﹣3）， ∵将△AOB沿x轴向左平移2个单位得到△A′O′B′， ∴直线AB向左平移2个单位得到直线A′B′，且A′（3，0）， 则直线A′B′的解析式为， x＝0时，， 则， ∴． 故答案为：． 16．解：【初步感知】∵当x＝2时，﹣2x+5＝﹣2×2+5＝1，∴a＝1， ∵当x＝2时，3x+8＝3×2+8＝14， ∴b＝14， 故答案为：1，14； 【归纳规律】∵当x＝0时，3x+8＝8， 当x＝1时，3x+8＝11， 当x＝2时，3x+8＝14， …… ∴3x+8的值的变化规律是：x的值每增加1，3x+8的值增加3， 故答案为：增加3； 【问题解决】代数式﹣3x+1， ∵当x＝1时，﹣3x+1＝﹣2， 当x＝2时，﹣3x+1＝﹣5， …… ∴x的值每增加1，代数式的值就减小3， 代数式5x﹣6， ∵当x＝1时，5x﹣6＝﹣1， 当x＝2时，5x﹣6＝4， …… ∴x的值每增加1，代数式的值就增加5， ∵当x＝2时，5x﹣6＝﹣6， ∴代数式5x﹣6的x的值每增加1，代数式的值就增加5，且当x＝0时，代数式的值为﹣6， 故答案为：﹣3x+1（答案不唯一），5x﹣6； 【计算验证】猜想：代数式kx﹣3的x的值每增加1，代数式的值就增加k， ∵当x＝a时，kx﹣3＝ka﹣3， 当x＝a+1时，kx﹣3＝k（a+1）﹣3＝ka+k﹣3， ∴（ka+k﹣3）﹣（ka﹣3）＝ka+k﹣3﹣ka+3＝k． ∴代数式kx﹣3的x的值每增加1，代数式的值就增加k； 【模型应用】设售价为x元，每天销售利润为y元， 根据题意得：y＝（x﹣20）[20+2（40﹣x）] ＝（x﹣20）（﹣2x+100） ＝﹣2x2+140x﹣2000 ＝﹣2（x﹣35）2+450， ∵﹣2＜0， ∴当x＝35时，y有最大值，最大值为450， 故答案为：35． 17．解：（1）∵函数在x＝1时取到最大值4， ∴顶点为（1，4）， ∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4； （2）∵二次函数y＝﹣x2+2mx+n（m，n为常数）， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线xm， 把x＝m代入y＝﹣x2+2mx+n，得y＝﹣m2+2m2+n＝m2+n， ∴抛物线的顶点坐标为（m，m2+n）， ∴当m﹣1≤x≤m+k（k＞0）时，函数的最大值为p＝m2+n， 若0＜k＜1，则x＝m﹣1时函数有最小值，且函数最小值，q＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）+n＝m2+n﹣1， ∴p﹣q＝m2+n﹣（m2+n﹣1）＝1＝3k， 解得k， 若k≥1，则x＝m+k时函数有最小值，且函数最小值q＝﹣（m+k）2+2m（m+k）+n＝m2﹣k2+n， ∴p﹣q＝m2+n﹣（m2﹣k2+n）＝k2＝3k， 解得k＝0（舍去）或k＝3， 综上所述，k或k＝3． 18．解：（1）当x＜2时，y＝﹣|x﹣2|+3＝﹣2+x+3＝x+1， 当x＞2时，y＝﹣|x﹣2|+3＝﹣x+2+3＝﹣x+5， 故答案为：x+1，﹣x+5； （2）当x＜2时，y＝x+1过点（﹣1，0），（0，1）， 当x＞2时，y＝﹣x+5过点（3，2），（5，0）， 函数y＝﹣|x﹣2|+3的图象如图所示， 由图象可知， ①该函数有最大值，这个值为3； ②当x＜2时，y值随着x值的增大而增大． 故答案为：最大值，3；x＜2； （3）如图： ∵关于x的方程﹣|x﹣2|+3＝kx+4（k为常数且k＜0）， 令y＝kx+4，则图象过点（0，4）， 当y＝kx+4过点（2，3）时，2k+4＝3， ∴k，此时，关于x的方程﹣|x﹣2|+3＝kx+4（k为常数且k＜0）有一个解； 当直线y＝kx+4平行于y＝﹣x+5时，k＝﹣1， ∴k≤﹣1时，关于x的方程﹣|x﹣2|+3＝kx+4（k为常数且k＜0）有一个解； ∴当﹣1＜k时，方程有两个解； 当k≤﹣1或k时，方程有一个解； 当k＜0时，方程没有解． 19．解：（1）设二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点式表达式为y＝﹣（x﹣h）2+k， ∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的顶点坐标为（1，5）， ∴二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点式表达式为y＝﹣（x﹣1）2+5， 将y＝﹣（x﹣1）2+5展开得，y＝﹣x2+2x+4， ∴b的值为2，c的值为4； （2）①∵二次函数y＝﹣x2+2x+4（x≥0）的图象记为M1， ∴图象与y轴的交点为（0，4），顶点坐标为（1，5），与x轴正半轴的交点为（2，0）． ∴M1关于原点对称的图象M2，与y轴的交点为（0，﹣4），顶点坐标为（﹣1，﹣5），与x轴负半轴的交点为（﹣2，0）． ②当点B在y轴的左侧和点M（﹣2，﹣4）之间时，总有y1＞y2． ∴﹣2＜x2＜0． ∵m≤x2≤m+1， ∴﹣2＜m＜﹣1； 当点B在y轴的右侧时，点B在点N的右边时，总有y1＞y2． 当y＝﹣4时，﹣4＝﹣x2+2x+4． 解得：x1＝﹣2（不合题意，舍去），x2＝4， ∴m＞4时，总有y1＞y2． 综上：﹣2＜m＜﹣1或m＞4时，总有y1＞y2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $