第19题函数实际应用加练-【一战成名新中考】2026辽宁数学中考必考知识点题组特训

1．某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为甲、乙两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米（恰好用完）． （1）设AB＝x，整个花园的面积为S，求S关于x的函数表达式，并求出S的最大值； （2）在花园面积最大的条件下，甲，乙两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 2．某公园要铺设广场地面，其图案设计如图，矩形地面ABCD的长AD＝50m，宽AB＝32m，四周各角留一个矩形花坛，中心建设一个正方形景观空地，其边长等于四个角上每个矩形花坛的宽的4倍，图中阴影处铺设地砖．已知矩形花坛的长比宽多7m，设每个矩形花坛的宽均为xm． （1）用x的式子表示：每个矩形花坛的长为　 　 m；铺设地砖的面积为　 　 m2； （2）若铺设地砖的面积为1168m2，则求正方形景观空地的面积； （3）若四个角的矩形花坛面积之和为Sm2，则求出当面积S最大时，矩形花坛的长和宽各是多少m？ 3．数学兴趣小组的同学为了了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，进行相关的物理实验．以下是他们的实验报告： 一、收集并整理实验数据 经过实验测量，得到了6组拉力x（N）与弹簧长度y（cm）之间的数据，如表所示： 弹簧受到的拉力x（单位：N） 0 5 10 15 20 25 弹簧的长度y（单位：cm） 6 8 10 12 14 16 （1）在平面直角坐标系中，描出以上述实验所得数据为坐标的各点并顺次连线； 二、建立模型 （2）结合表中数据，求出弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式； 三、解决问题 （3）若弹簧的长度为30cm，求此时弹簧受到的拉力x的值． 4．2025年在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委提出要实施“体重管理3年行动计划”，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某羽毛球俱乐部为倡导人们积极参加健身运动，普及羽毛球运动，特推出如下活动方案： 方案一：购买一张羽毛球健身的年卡，以后每次七折优惠； 方案二：不购买羽毛球健身卡，每次九折优惠． 设小熙每年去俱乐部打羽毛球x次，按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x，其函数图象如图所示． （1）请直接写出方案一的函数表达式：y1＝　 　 ，并写出b的实际意义：　 　 ； （2）求方案二健身所需费用的函数关系式y2＝k2x，并说明k2的实际意义； （3）小熙给自己制定了一个2026年健身计划，每周去俱乐部打球1次（一年365天），他选择哪种方案所需费用更少？说明理由． 5．为积极落实乡村振兴政策，某市鼓励农民种植人们喜欢的水果——草莓．周末，小东和小明一起去采摘园采摘草莓，小东说：“我用200元采摘的甲种草莓比你用200元采摘的乙种草莓多1kg．”小明说：“甲、乙两种草莓的单价之比为4：5．” （1）根据小东和小明的对话，求出甲、乙两种草莓的单价； （2）由于草莓的成熟期较短，该草莓采摘园为吸引顾客，推出一种优惠方案：采摘甲种草莓按原价的八折销售；采摘乙种草莓超过4kg，超出部分按原价的六折销售．某公司团建活动准备采摘两种草莓共40kg，已知采摘的乙种草莓不少于10kg且不多于甲种草莓的一半．设采摘乙种草莓为m千克，总费用为W元， ①请写出W关于m的关系式； ②如何采摘能使采摘的总费用最低？最低费用为多少元？（两种草莓的采摘量均为正整数） 6．阅读下列材料，认真思考并回答相关的问题． 材料一：在﹣20℃到40℃范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）v（单位：m/s）与气温t（单位：℃）的关系如下表： 气温（℃） ﹣10 0 10 20 30 声速（m/s） 325 331 337 343 349 材料二：声音的频率（f）是指声波每秒振动的次数，单位为赫兹（Hz）．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是20～20000Hz． 材料三：声音的波长（λ）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离，单位为米（m）．声音的频率f和波长λ与声音的传播速度（v）（单位：m/s）满足公式：v＝f•λ． （1）当气温为10℃时，声速为　 　 m/s；当声速为349m/s时，气温为　 　 ℃； （2）根据材料一中的表格数据，求声速（v）与气温（t）之间函数的解析式（不要求写出t的取值范围）； （3）目前国际通用的钢琴标准音A4频率为440Hz，在室温为23℃的情况下，求钢琴标准音A4的波长． 7．综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动．若花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成的四边形ABCD是一个长方形花圃． 如图2，围成长方形花圃EFHG时，中间用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小长方形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口．（进出口不用栅栏） （1）方案一中，若围成一个面积为450m2的长方形花圃．设与墙垂直的栅栏AB的长度为xm，与墙平行的栅栏BC的长度为ym，则y＝　 　 （用含x的式子表示），y与x成　 　 （填“正”或“反”）比例关系； （2）方案一中，若栅栏AB的长为（2a+3b）m，栅栏BC的长比它多（a+b）m．求方案一中所需栅栏的总长度； （3）方案二中，若所需栅栏的总长度为60m，设中间栅栏MN的长度为（2a+3b）m，用含a，b的代数式表示与墙平行的栅栏FH的长度，并求当a＝1，b＝3时方案二中花圃的面积． 8．某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从30℃加热到60℃需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． （1）求材料加热到90℃的时间． （2）求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． （3）已知该工艺品操作时温度需保持在60～90℃（包括60℃，90℃），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 方案 恒温60℃工作 间歇加热工作 过程 ①从30℃加热到60℃； ②保持60℃进行加工． ①从30℃加热到90℃； ②自然降温到60℃； ③再次加热到90℃； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） 9．在综合与实践活动中，某校数学兴趣小组研究了一个问题： 在一块直角三角形材料上按如图1方式剪出一个矩形，如何剪使这个矩形面积最大． 为了研究这个问题，建立如图2所示平面直角坐标系，点C（x，y）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过点C向x轴，y轴作垂线，垂足分别为D，E，得到矩形ODCE，其面积记为S． （1）若OA＝4，OB＝8， ①根据图2中所给出的信息，写出C点的纵坐标y与横坐标x之间的函数关系式y＝　 　 ，并写出x的取值范围　 　 ； ②图2中矩形面积S＝　 　 （用含x的式子表示）； ③当x＝　 　 时，矩形的面积最大． （2） 若OA＝a，OB＝b（a＜b），则矩形的最大面积可表示为　 　 （用含a，b的式子表示）． 10． 探究主题 拱桥水位的变化 呈现问题 某景区有一座抛物线形石拱桥，工作人员需研究水位变化对桥面下水面宽度的影响．测量发现：当拱顶离水面4m时，水面宽8m，当水面上涨3m时，水面宽度减少多少？ 数学抽象 从实际问题抽象出数学问题为：已知抛物线顶点为P，DC∥AB，PF⊥AB，垂足为F，交DC于点E，PF＝4，AB＝8，EF＝3，求AB﹣DC． 自主建模 求线段长，需要先求点的坐标，就需要建立平面直角坐标系． 小组展示对比优化 小组一：以顶点P为原点，抛物线的对称轴为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 小组二：以AB的中点F为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系． 小组三：以原水面左侧端点A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系． 小组四：以上涨后水面左侧端点D为原点，DC所在直线为x轴建立如所示平面直角坐标系． 问题解决： （1）选择一种建模思路求出水面上涨3m，水面宽度减少多少？ （2）把呈现问题中的“当水面上涨3m时”改为“当水面宽度为10m时”，水面是下降还是上涨？水位变化是多少？ 参考答案与试题解析 1．解：（1）设AB＝x米，则BC＝（120﹣3x）米， 根据题意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200， ∵﹣3＜0， ∴当x＝20时，S取最大值1200， ∴S关于x的函数表达式为S＝﹣3x2+120x，S的最大值为1200平方米； （2）设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2﹣m＝（2400﹣m）株， ∵学校计划购买费用不超过5万元， ∴25m+15（2400﹣m）≤50000， 解得m≤1400， ∴最多可以购买1400株牡丹． 2．解：（1）设矩形花坛的宽是x米，则长是（x+7）米，正方形EFGH的边长为4x米， ∴铺设地砖的面积为：50×32﹣4x（x+7）﹣4x•4x＝1600﹣4x2﹣28x﹣16x2＝（﹣20x2﹣28x+1600）m2． 故答案为：（x+7），（﹣20x2﹣28x+1600）； （2）根据题意得：﹣20x2﹣28x+1600＝1168， 整理得：5x2+7x﹣108＝0， 解得：x1＝4，x2（舍去）， ∴x＝4， 此时正方形景观空地的面积：4x•4x＝16x2＝16×16＝256（m2）， 答：正方形景观空地的面积为256m2； （3）根据题意得：S＝4x（x+7）＝4（x2+7x）＝4（x+3.5）2﹣49， ∴抛物线的开口向下， ∵50﹣2（x+7）﹣（32﹣2x）＝4＞0， ∴50﹣2（x+7）＞32﹣2x， 由题意得：， ∴0＜x≤6， ∴x＝6时，S最大， ∴x+7＝13． 答：矩形花坛的长为13米，宽为6米． 3．解：（1）描点、连线如图所示： （2）设弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式为y＝kx+b， 将（0，6），（5，8）代入函数解析式得， ，∴ 故弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式为． （3）当y＝30cm，， ∴x＝60． 故弹簧的长度为30cm，此时弹簧受到的拉力x的值为60N． 4．解：（1）方案一的函数表达式：y1＝35x+400，并写出b的实际意义：购买一张羽毛球健身的年卡费用为400元；理由如下： 由题意知：y1＝k1x+b的图象经过（80，3200）、（0，400）两点，将两点坐标代入得：， 解得：， ∴函数表达式为y1＝35x+400， 故b的实际意义为：购买一张羽毛球健身的年卡费用为400元， 故答案为：35x+400，购买一张羽毛球健身的年卡费用为400元； （2）根据y1＝35x+400得打一次羽毛球价格为：（元）， 方案二打一次羽毛球的价格为：（元）， 故函数关系式y2＝45x，k2的实际意义是打九折后每次费用为45元； （3）选择方案一所需费用更少；理由如下： 当45x＝35x+400时， 解得：x＝40， 故当40次时，两种方案的费用一样； 当45x＞35x+400时，解得：x＞40 当大于40次时，方案一便宜； 当45x＜35x+400时，解得：x＜40， 当小于40次时，方案二便宜， ∵52（次）……1（天），超过40次， 故方案一便宜． 5．解：（1）∵甲、乙种草莓的单价之比为4：5， ∴设甲、乙两种草莓的单价分别为4x元，5x元， 由题意得， 解得x＝10． 经检验，x＝10是方程的解，且符合题意， 4x＝40，5x＝50， 答：甲、乙两种草莓的单价分别为40元，50元； （2）①设采摘乙种草莓mkg，则采摘甲种草莓（40﹣m）kg， 由题意知，， 解得，，且m为正整数， ∴总费用W＝（40﹣m）×40×0.8+4×50+（m﹣4）×50×0.6＝﹣2m+1360； ②∵W＝﹣2m+1360， ∴﹣2＜0， ∴W随m的增大而减小， 又∵，且m是整数， ∴当m＝13时，Wmin＝﹣2×13+1360＝1334． 答：采摘甲种草莓27kg，乙种草莓13kg时费用最低，最低费用为1334元． 6．解：（1）根据题意，当气温为10℃时，声速为337m/s， 当声速为349m/s时，气温为30℃； 故答案为：337；30； （2）根据表格信息，声速随着气温的增大而增大， ∴选择一次函数， ∴设声速（v）与气温（t）的函数关系为v＝kt+331（k≠0）， 把t＝﹣10，v＝325代入， ﹣10k+331＝325， 解得，， ∴声速（v）与气温（t）的函数关系为， 当t＝30时，，符合题意； （3）由（2）可知声速（v）与气温（t）的函数关系为， ∴室温为23℃时，， ∵声音的频率f和波长λ与声音的传播速度（v）（单位：m/s）满足公式：v＝f•λ， ∴， ∴钢琴标准音A4的波长为． 7．解：（1）由题意，∵与墙垂直的栅栏AB的长度为xm，与墙平行的栅栏BC的长度为ym， ∴xy＝450． ∴y，则y与x成反比例关系； 故答案为：；反； （2）由题意，∵栅栏AB的长为（2a+3b）m，栅栏BC的长比它多（a+b）m， ∴BC＝2a+3b+a+b＝3a+4b． ∴所需栅栏的总长度＝2AB+BC ＝2（2a+3b）+3a+4b ＝4a+6b+3a+4b ＝7a+10b． ∴方案一中所需栅栏的总长度为（7a+10b）m． （3）由题意，∵所需栅栏的总长度为60m，中间栅栏MN的长度为（2a+3b）m， ∴与墙平行的栅栏FH的长度为：60﹣3（2a+3b）+6＝66﹣6a﹣9b． ∴当a＝1，b＝3时，方案二的面积＝MN•FH ＝（2+9）（66﹣6﹣27） ＝11×33 ＝363（m2）． 答：与墙平行的栅栏FH的长度（66﹣6a﹣9b）m；当a＝1，b＝3时方案二中花圃的面积为363m2． 8．解：（1）由题意，结合图象，从30℃加热到60℃是一次函数的图象， ∴可设函数解析式为y＝kx+b． 又图象过（0，30），（10，60）， ∴． ∴． ∴函数的解析式为y＝3x+30． ∴令y＝3x+30＝90，则x＝20． ∴材料加热到90℃的时间为20min． （2）由题意，设所求函数为y， 又∵材料自然降温时图象过（20，90）， ∴m＝20×90＝1800． ∴所求函数为y． （3）由题意可知，加热时长为10分钟．恒温阶段8×60﹣10＝470（分钟）， 费用为：10×100+470×60＝29200（元）． 间加热工作：对于， 令y＝60， ∴x＝30． ∴除第一次加热到60℃需要10分钟，后续60℃加热到90℃，自然降温到60℃一轮需要20分钟，一天8小时中，加热时间为10+23×10+10＝250（分钟）． ∴费用为：250×100＝25000（元），25000＜29200． ∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本． 9．解：（1）①∵CD⊥x轴， ∴CD∥OB， ∴， ∵OA＝4，OB＝8， ∴AD＝4﹣x，CD＝y， ， ∴y＝8﹣2x； ∵点C（x，y）为线段AB上一动点（不与A，B重合）， ∴0＜x＜4， 故答案为：8﹣2x，0＜x＜4； ②由题意得：S＝xy＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x， 故答案为：﹣2x2+8x； ③S＝﹣2x2+8x＝﹣2（x2﹣4x）＝﹣2（x﹣2）2+8， ∴﹣2＜0，0＜x＜4， ∴当x＝2时，S有最大值， 故答案为：2； （2）∵CD⊥x轴， ∴CD∥OB， ∴， ∵OA＝a，OB＝b， ∴AD＝a﹣x，CD＝y， ∴， ∴y（a﹣x）， ∴S＝xy＝x（a﹣x）x2+bx（x2﹣ax）（x）2， ∵0， ∴当x时，S有最大值，最大值为， 故答案为：． 10．解：（1）小组一建模（以顶点P为原点，抛物线对称轴为y轴），以P为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则P（0，0），原水面AB距拱顶4m，故AB所在直线y＝﹣4，AB＝8，则A（﹣4，﹣4），B（4，﹣4）． 设抛物线解析式为y＝ax2． ∵抛物线过A（﹣4，﹣4）， ∴﹣4＝a×（﹣4）2， 解得， ∴抛物线解析式为， 水面上涨3m后，水面所在直线y＝﹣4+3＝﹣1，代入解析式得， 解得x＝±2， ∴此时水面宽度DC＝2﹣（﹣2）＝4m． 水面宽度减少值为AB﹣DC＝8﹣4＝4m． 小组二建模（以AB中点F为原点，AB所在直线为x轴）以AB中点F为原点，AB所在直线为x轴，PF所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则P（0，4），A（﹣4，0），B（4，0）． 设抛物线解析式为y＝ax2+4． ∵抛物线过A（﹣4，0）， ∴0＝a×（﹣4）2+4， 解得， ∴抛物线解析式为， 水面上涨3m后，y＝0+3＝3，代入解析式得， 解得 x＝±2， ∴此时水面宽度DC＝2﹣（﹣2）＝4m． 水面宽度减少值为AB﹣DC＝8﹣4＝4m． 小组三建模（以原水面左侧端点A为原点，AB所在直线为x轴），以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（8，0），拱顶P（4，4）． 设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+4． ∵抛物线过A（0，0）， ∴0＝a（0﹣4）2+4， 解得， ∴抛物线解析式为． 水面上涨3m后，y＝0+3＝3，代入解析式得， 解得x＝6或x＝2， ∴此时水面宽度DC＝6﹣2＝4m． 水面宽度减少值为AB﹣DC＝8﹣4＝4m． 小组四建模（以上涨后水面左侧端点D为原点，DC所在直线为x轴）以上涨后水面左侧端点D为原点，DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设D（0，0），C（t，0），则， ∵原水面AB距拱顶4m， ∴原水面AB所在直线y＝1﹣4＝﹣3，AB＝8， ∴，， 设抛物线解析式为． ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． 又因原水面AB过，且原抛物线在小组二建模中解析式为，其对称性可知t＝4，即DC＝4m． 水面宽度减少值为AB﹣DC＝8﹣4＝4m． （2）以小组二坐标系为例，抛物线解析式． 当水面宽度为10m时，x＝±5，代入得， 原水面y＝0，﹣2.25＜0，故水面下降． 水位变化量为0﹣（﹣2.25）＝2.25m． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $