综合与实践加练（解析版）-【一战成名新中考】2026贵州数学中考必考知识点题组特训

综合与实践 【考情分析】生活中的建模思想逐渐渗透到中考数学中，这不仅考查学生的数学基础知识，更注重考查学生将数学应用于实际生活的能力。近年来，生活中的建模问题在中考数学试卷中出现的频率逐年增加。通常作为压轴题或综合性较强的题目出现，分值占比一般在15%至25%之间，是中考数学的重要组成部分。 【常见类型】 1. 函数建模：这类问题多涉及方程、函数、不等式等数学知识，背景常为生产计划、成本利润、市场销售等。例如，某工厂生产帐篷的任务安排问题，通过建立方程或函数模型求解每天的生产量和成本利润。 2. 几何建模：题目背景多为测量、建筑设计、航海等，涉及三角形、圆、相似形等几何知识。如灯塔与航线的安全距离问题，通过构建几何模型，利用三角函数、勾股定理等知识求解。 3. 统计与概率建模：此类问题考查学生对数据收集、整理、分析的能力，背景可能为市场调查、人口统计等。例如，通过样本数据预测某种产品的市场需求量，建立统计模型进行分析。 【解题思路与方法】 1. 理解问题：首先需要认真阅读题目，理解问题的实际背景，明确需要解决的目标。 2. 抽象简化：根据问题的特征和目的，忽略次要因素，用精确的数学语言表达问题，建立假设。 3. 模型构建：利用适当的数学工具和知识，构建数学模型。例如，建立方程、函数、几何图形等。 4. 模型求解：利用数学方法求解模型，得到数学结果。 5. 结果验证：将模型结果与实际背景进行比较，验证模型的合理性和准确性。如果模型不符合实际，需要调整假设或模型，重新求解。 6. 结果解释：将数学结果转化为实际问题的解决方案，并进行解释说明。 【趋势预测】随着教育改革的不断深入，生活中的建模问题在中考中的地位将更加重要。未来的中考数学试题可能会更加贴近生活实际，题目背景更加多样化，综合性更强。同时，对学生能力的要求也将进一步提高，不仅要求学生掌握基本的数学知识，还要具备较强的分析问题、解决问题的能力，以及创新意识和实践能力。 题型01 生活中的建模- 解直角三角形 1．（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： (1)求点到地面的距离； (2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 2．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． (1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； (2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 3．（2024·新疆·中考真题）数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动： （1）准备测量工具 ①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角； ②皮尺． （2）实地测量数据 ①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点（图2）； ②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为，眼睛到地面的距离为． （3）计算旗杆高度 ①根据图3中测角仪的读数，得出仰角的度数为 ； ②根据测量数据，画出示意图4，，求旗杆的高度（精确到）；（参考数据：，，，，，） ③若测量者仍站在原处（B点），能否用三角板替代测角仪测出仰角？若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角，请写出测量方法． 4．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 5．（2023·江苏镇江·中考真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部． 如图1是俯视图，分别表示门框和门所在位置，M，N分别是上的定点，，的长度固定，的大小可变．    (1)图2是门完全打开时的俯视图，此时，，，求的度数． (2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置． （用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)在门开合的过程中，的最大值为______．（参考数据： 题型02 生活中的建模二 一次函数 6．（2024·吉林·中考真题）综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 7．（2023·黑龙江大庆·中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．    (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积． 8．（2023·广西·中考真题）【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 9．（2023·江苏苏州·中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：    (1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”） (2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式； (3)在整个往返过程中，若，求的值． 10．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．   任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 题型03 生活中的建模三 反比例函数 11．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 12．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．   13．（2024·宁夏银川·一模）如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强P与受力面积S的数据关系如下表所示(压强的计算公式是：)： 桌面所受压强 250 400 500 800 受力面积 0.8 0.5 a 0.25 (1)求出压强关于受力面积的函数表达式及a的值； (2)如图②，将另一长、宽、高分别为，，，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为，问：这种摆放方式是否安全？若安全，请说明理由，若不安全，请通过计算说明如何摆放更安全．（长方体完全置于玻璃桌面上） 14．（2024·浙江金华·模拟预测）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图2，求所在图象的函数表达式． (2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ 15．（2024·广东佛山·三模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻的阻值随着尾气中一氧化碳的含量变化的关系图象如图2所示，为定值电阻，电源电压恒定不变． (1)请根据图2，判断气敏电阻与尾气中一氧化碳的含量之间成　　　函数，并求出它的函数解析式； (2)该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准？请说明理由． 16．（2024·北京·三模）小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 17．（2024·浙江嘉兴·三模）医学研究发现，睡眠中恒温动物的体重(单位：)与脉搏率(单位：次/)存在一定的关系．如表给出一些恒温动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了脉搏率f与体重m的散点图，图2画出了与 的散点图是一种运算，如 ，) 动物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊 体重(单位∶ ) 脉搏率(单位∶ 次/) 借助计算机进行模拟，发现原始数据脉搏率与体重的立方根近似成反比例函数，数据处理后与近似成一次函数． (1)根据原始数据可建立模型：，则当增大时，如何变化？ (2)根据处理后数据可建立模型：，利用豚鼠和兔的体重、脉搏率求出的值．(参考数据： ，；) 题型04 生活中的建模四 二次函数 18．（2024·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)求6米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 19．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． (1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______； (2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 20．（2024·山西·二模）学科实践 驱动任务：“过水门”是国际民航中高级别的礼仪，因两辆（或以上）的消防车在飞机两侧喷射水柱出现一个“水门”状的效果而得名.学校计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式，数学研习小组协助彩旗队进行队列设计. 研究步骤：（1）如图，研习小组测得表演场地宽度米，在A，B处各安装一个接通水源的喷泉喷头，将出水口高度都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线形水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形水门，且点C到地面的距离为5米； （2）研习小组了解到彩旗队的队列设置要求，每两列之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持3.6米 问题解决；请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)以线段所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出“过水门”仪式中抛物线的函数表达式； (2)为保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列同学所持彩旗顶端与水柱间的铅直距离为0.4米，若彩旗队要排成6列纵队，请你通过计算，确定彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距. 21．（2024·山东青岛·模拟预测）我国高压输电技术领先全球，已建成覆盖全国的高压、超高压输电网络．输电电缆空中架设时，在两铁塔之间下垂部分可以近似地看成抛物线形状．如图所示，是在水平地面架设电缆示意图，相邻两铁塔之间的距离为，每个塔高均为，为保证安全，要求电缆最低点距地面的最小垂直高度为米． (1)请建立适当的坐标系，并求出电缆抛物线的解析式． (2)如图所示，斜坡坡比为，两铁塔高度仍为，水平距离仍为，电缆抛物线形状与水平架设相同，建立如图所示坐标系． ①求此时抛物线的解析式． ②电缆与斜坡最小垂直距离是否满足安全要求． ③为节约成本，在保证安全高度的情况下，是否可降低两铁塔的高度，降低多少？（直接写出结果即可） 题型05 生活中的建模五 几何操作 22．（2024·四川巴中·中考真题）综合与实践 (1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______． (2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为______． ②证明：四边形为平行四边形． (3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 23．（2024·山东济宁·中考真题）综合与实践 某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形中，且足够长）进行探究活动． 【动手操作】 如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，连接，把纸片展平． 第二步，把四边形折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为，再把纸片展平． 第三步，连接． 【探究发现】 根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论． 甲同学的结论：四边形是正方形． 乙同学的结论：． （1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由． 【继续探究】 在上面操作的基础上，丙同学继续操作． 如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在上的点M处，折痕为，连接，把纸片展平． 第五步，连接交于点N． 根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：． （2）请证明这个结论． 24．（2023·江苏·中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形． （1）概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________． （2）操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 试说明：矩形是1阶奇妙矩形．   　　  　　  　　   （3）方法迁移： 用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注． （4）探究发现： 小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．   25．（2023·青海·中考真题）综合与实践 车轮设计成圆形的数学道理 小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动： 将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.      (1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图2中计算C到的距离. (2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图4中计算C到的距离（结果保留根号）. (3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角______.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），在图6中计算C到的距离______（结果保留根号）. (4)归纳推理：比较，，大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）. (5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形. 【命题预测】 26．（2025·河北沧州·模拟预测）时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的人口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为，一楼到地下停车场地面的垂直高度，一楼到地平线的距离． (1)为保证斜坡的倾斜角为，应在地面上距点多远的处开始斜坡的施工？ (2)如果给该购物广场送货的货车高度为，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：，，） 27．（2025·湖南娄底·模拟预测）车田江特大桥（如实物图所示）位于娄底市新化县车田江风景区，桥体外侧呈“拱架”的构造，地方文化特色十分浓郁，与车田江自然美景融合，更是相得益彰．容融为了知道大桥的长度和桥墩的高度，进行了如下测量． 测量过程1：容融用一无人机在大桥上方点E处分别测得大桥两端A、B的俯角为和，已知点E到大桥的距离为170米， 测量过程2：若大桥的形状是轴对称图形，容融在桥墩底部C处测得拱架最高点D处的仰角为，在桥墩上方A处测得拱架最高点D处的仰角为．（结果精确到0.1米，，，） (1)求大桥的长度； (2)求大桥桥墩的高度． 28．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）【综合实践】 如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即） … b … … 8 a 2 … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则： ①y关于x的函数关系式是 ． ②完成表格： ； ． ③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，若点A的坐标为，点B的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得，请求出点C的坐标． 29．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习） 设计货船通过双曲线桥的方案 素材 一座曲线桥如图所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图是其示意图，且该桥关于对称．          素材 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米）与货船增加的载重量（吨）满足函数表达式． 问题解决 任务 确定桥洞的形状 建立平面直角坐标系如图所示，显然，落在第一象限的角平分线上． 甲说：点可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点落在时，点A的坐标为_______________，此时过点的双曲线的函数表达式为_____________，而点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意． 任务 拟定方案 此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？ （提示：先求出桥洞所在双曲线的函数表达式） 30．（2025·广东清远·模拟预测）综合与实践 【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． 【实验观察】（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间x（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； 【探索发现】（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式； 【结论应用】（3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？ 31．（2025·江西·模拟预测）某教育测量专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函数关系时，用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律． 上课时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 32 40 指标数 28.8 33.6 38.4 43.2 48 48 48 48 48 48 40 30 (1)由表格和图象可知，当时，是的 函数；当时，是的 函数；（填“一次”“二次”或“反比例”） (2)求的值并补全图象； (3)科学研究表明，当注意力指标数不低于30时，学生学习解综合题的效果会更好．为了了解一线教育的真实情况，该教育测量专家到一线听了某老师上的一节解题课，听完后，该专家对这堂课进行了点评：“这堂课刚开始进行了3分钟预热，然后开始剖析数学综合题，上到31分钟时，结束对数学综合题的探究，这段时间，学生注意力较集中，学生学习解综合题的效果很显著．”请你根据图表中给出的信息，结合测量学，解释该教育专家点评的合理性． 32．（2025·广东·模拟预测）【项目式学习】 项目主题：人工智能视觉识别 项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图，一般使用边与轴平行的矩形框． 概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴，轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小设矩形的竖直边与水平边的比为，我们称常数为图形的纵横比举例：如图，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比． 任务一： 如图，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比 ______． 如图，铅笔经过计算机识别后的图形为线段，表达式为，其目标矩形的纵横比 ______． 任务二：如图和图，排桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于轴对称，最高点与水面的距离为米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式不必写出自变量的取值范围． 任务三：如图和图，高速公路经过计算机识别后的图形为双曲线，表达式为，其中点，其目标矩形的纵横比，直接写出的值为______． 33．（2025·湖南长沙·一模）北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离/m 6 7 7.5 竖直高度/m 10 10 6.25 根据上述数据，求出与的函数关系式； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，设她平时训练时入水点与原点的水平距离为m，比赛当天入水点与原点的水平距离为m，请比较与的大小． 34．（2025·江苏苏州·模拟预测）在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． (1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率__________． (2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置……以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． (3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率． 已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值． 要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积． ∴都经过正方形的中心点， 在中，，， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值，此时 解得：． 35．（2025·河南开封·一模）新考法 知识探索＋迁移＋拓展 【操作判断】 ①在学习特殊平行四边形的性质时，赵老师让学生制作两个大小相同的正方形纸片和，其中正方形的对角线相交于点O，赵老师让学生固定正方形纸片， 将 正 方 形 纸 片的顶点D'与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，如图（1），学生们惊奇 地发现两个正方形重叠部分的面积 ．（填“变了”或“不变”） ② 赵老师又让学生制作了两个大小一样的菱形纸片和，其中菱形 的 对 角 线相交于点O，． 赵老师让学生固定菱形纸片， 将菱形纸片的顶 点 与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，交边于点E，交边 于 点 F，  如 图（2），学生们惊奇地发现两个菱形重叠部分（四边形） 的面积 ．（填“变了”或 “不变”） 【探索发现】 根据（1）中的发现，学生们认为图（1）和图（2）存在共同的特征：①射线是的 ； ② ． 【迁移探究】 如图（3），平分，点 P 在上，点E，D 分别是，上的动点，且，当点D，E 分别在， 上运动时，试判断四边形的面积是否发生变化，并利用图 （3）说明理由． 【拓展应用】 如图（4），平行四边形中 ，，，，点E为边上一点，且平分， 连接．将绕 点E 旋转，当点C 的对应点F 落在上时，点F 恰好为的三等分点，请直接写出m 的值． 36．（2025·广西·模拟预测）【问题提出】如图①，已知海岛到海岸公路的距离为，为公路上的酒店，从海岛到酒店，先乘船到登陆点，船速为，再乘汽车，车速为船速的倍，点选在何处时，所用时间最短？ 【特例分析】若，则时间，当为定值时，问题转化为：在上确定一点，使得的值最小．如图②，过点做射线，使得． （1）过点作，垂足为，试说明：； （2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点，并说明理由． 【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）． 【模型运用】（4）如图③，海面上一标志到海岸的距离，，救生员在点处发现标志处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是，在海中游泳的速度都是，求救生员从点出发到达处的最短时间． 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合与实践 【考情分析】生活中的建模思想逐渐渗透到中考数学中，这不仅考查学生的数学基础知识，更注重考查学生将数学应用于实际生活的能力。近年来，生活中的建模问题在中考数学试卷中出现的频率逐年增加。通常作为压轴题或综合性较强的题目出现，分值占比一般在15%至25%之间，是中考数学的重要组成部分。 【常见类型】 1. 函数建模：这类问题多涉及方程、函数、不等式等数学知识，背景常为生产计划、成本利润、市场销售等。例如，某工厂生产帐篷的任务安排问题，通过建立方程或函数模型求解每天的生产量和成本利润。 2. 几何建模：题目背景多为测量、建筑设计、航海等，涉及三角形、圆、相似形等几何知识。如灯塔与航线的安全距离问题，通过构建几何模型，利用三角函数、勾股定理等知识求解。 3. 统计与概率建模：此类问题考查学生对数据收集、整理、分析的能力，背景可能为市场调查、人口统计等。例如，通过样本数据预测某种产品的市场需求量，建立统计模型进行分析。 【解题思路与方法】 1. 理解问题：首先需要认真阅读题目，理解问题的实际背景，明确需要解决的目标。 2. 抽象简化：根据问题的特征和目的，忽略次要因素，用精确的数学语言表达问题，建立假设。 3. 模型构建：利用适当的数学工具和知识，构建数学模型。例如，建立方程、函数、几何图形等。 4. 模型求解：利用数学方法求解模型，得到数学结果。 5. 结果验证：将模型结果与实际背景进行比较，验证模型的合理性和准确性。如果模型不符合实际，需要调整假设或模型，重新求解。 6. 结果解释：将数学结果转化为实际问题的解决方案，并进行解释说明。 【趋势预测】随着教育改革的不断深入，生活中的建模问题在中考中的地位将更加重要。未来的中考数学试题可能会更加贴近生活实际，题目背景更加多样化，综合性更强。同时，对学生能力的要求也将进一步提高，不仅要求学生掌握基本的数学知识，还要具备较强的分析问题、解决问题的能力，以及创新意识和实践能力。 题型01 生活中的建模- 解直角三角形 1．（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： (1)求点到地面的距离； (2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)点到地面的距离为； (2)顶部线段的长为． 【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由得，在中解直角三角形即可得解； （2）过点作，垂足为 由平行线的性质得，进而得，根据平行线间的距离处处相等得，从而得，最后在中，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， 在中 答：点到地面的距离为 （2）解：如图，过点作，垂足为 ， ， 平行线间的距离处处相等 ， ∵， 在中 答：顶部线段的长为 2．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． (1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； (2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识， （1）根据，设，则，利用勾股定理求出，进而可得，问题即可得解； （2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，根据，可得，则有，在中，设，，问题随之得解． 【详解】（1）∵， ∴如图， 设，则，由勾股定理得，， ∴， 又∵， ∴， ∴折射率为：． （2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，点O是中点， ∴，， 又∵， ∴， 在中，设，， 由勾股定理得，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴截面的面积为：． 3．（2024·新疆·中考真题）数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动： （1）准备测量工具 ①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角； ②皮尺． （2）实地测量数据 ①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点（图2）； ②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为，眼睛到地面的距离为． （3）计算旗杆高度 ①根据图3中测角仪的读数，得出仰角的度数为 ； ②根据测量数据，画出示意图4，，求旗杆的高度（精确到）；（参考数据：，，，，，） ③若测量者仍站在原处（B点），能否用三角板替代测角仪测出仰角？若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角，请写出测量方法． 【答案】①；②；③不能，见详解 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的实际应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解决本题的关键． ①根据直角三角形两锐角互余即可求解； ②由题意得：，，，解可求出，由即可求解； ③不能，若使用的三角板，可以把三角板的角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向后退，直至退到角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算；若使用的三角板，可以把三角板的角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向前走，直至走到另一个角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算． 【详解】解：①如图： 由题意得， ∴； ②由题意得：，，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度约为； ③不能， 若使用的三角板，可以把三角板的角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向后退，直至退到角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算，如示意图： 若使用的三角板，可以把三角板的角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向前走，直至走到另一个角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算，如示意图： 4．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 【答案】(1)， (2)2.0千米 (3) 【分析】本题考查正多边形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性质： （1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，垂足为，解，求出，解，求出，即可； （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为，解，求出，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：， ∴，； 故答案为：； （2）过点作，垂足为． 在中，，， ． 在中，， ． 答：点到道路的距离为2.0千米． （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为． 正八边形的外角均为， 在中，． ． 又，， ． ∵， ∴， ，即， ， ． 答：小李离点不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 5．（2023·江苏镇江·中考真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部． 如图1是俯视图，分别表示门框和门所在位置，M，N分别是上的定点，，的长度固定，的大小可变．    (1)图2是门完全打开时的俯视图，此时，，，求的度数． (2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置． （用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)在门开合的过程中，的最大值为______．（参考数据：） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）在中，利用锐角三角函数求得结果； （2）以点O为圆心、的长为半径画弧，与以点F为圆心、的长为半径的弧交于点，连接得出门的位置； （3）当最大时，的值最大，过点O作MN的垂线段，当这条垂线段最大时，最大，即当垂线段为OM即垂足为M时，最大，故的最大值为． 【详解】（1）解：在中，， ∴． ∴． （2）门的位置如图1中或所示．（画出其中一条即可）        （3）如图2，连接，过点O作，交的延长线于点H．    ∵在门的开合过程中，在不断变化， ∴当最大时，的值最大． 由图2可知，当与重合时，取得最大值，此时最大， ∴的最大值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转、尺规作图、锐角三角函数等知识，准确作图，数形结合是解题的关键． 题型02 生活中的建模二 一次函数 6．（2024·吉林·中考真题）综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 【答案】(1)在同一条直线上，函数解析式为： (2) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式，解方程即可． 【详解】（1）， 解：设函数解析式为：， ∵当，， ∴， 解得：， ∴函数解析式为：， 经检验其余点均在直线上， ∴函数解析式为，这些点在同一条直线上； （2）解：把代入得： ， 解得：， ∴当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为． 7．（2023·黑龙江大庆·中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．    (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积． 【答案】(1) (2)当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为． 【分析】（1）由可表示出的长，由，可表示出，，，，，的长，进而可求出与之间的函数关系式； （2）根据（1）中相关数据列出函数解析式，然后利用函数的性质解答． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． ∵，是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵点、、分别是边、的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设面积为S， 则 ， ∴当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键． 8．（2023·广西·中考真题）【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)相邻刻线间的距离为5厘米 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）根据（3）可进行求解； （5）分别把，，，，，，，，，，代入求解，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：， 解得：； （4）解：由任务一可知：， ∴， ∴； （5）解：由（4）可知， ∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有； ∴相邻刻线间的距离为5厘米． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意． 9．（2023·江苏苏州·中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：    (1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”） (2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式； (3)在整个往返过程中，若，求的值． 【答案】(1)由负到正 (2) (3)当或时， 【分析】（1）根据等式，结合题意，即可求解； （2）设轨道的长为，根据已知条件得出，则 ，根据当和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得滑块返回的速度为，得出，代入，即可求解； （3）当时，有两种情况，由（2）可得，①当时，②当时，分别令，进而即可求解． 【详解】（1）∵， 当滑块在点时，， ， 当滑块在点时，， ， ∴的值由负到正． 故答案为：由负到正． （2）解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时， ∵， ∴， ∴ ∴是的一次函数， ∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数； ∴当时，， ∴， ∴， ∴滑块从点到点所用的时间为 ， ∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿， ∴滑块从点到点的滑动时间为 ， ∴滑块返回的速度为， ∴当时，， ∴， ∴， ∴与的函数表达式为； （3）当时，有两种情况， 由（2）可得， ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：， 综上所述，当或时，． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分析得出，并求得往返过程中的解析式是解题的关键． 10．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析 【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可； 任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值； （2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可； 任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素． 【详解】解：任务1：变化量分别为，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． （2）设，则 ． 当时，w最小． ∴优化后的函数解析式为． 任务4：时间刻度方案要点： ①时间刻度的0刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键． 题型03 生活中的建模三 反比例函数 11．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ； 探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：； 探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案． 【详解】探究 由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系， 设，将其中一点代入得：， 解得：， ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式； 将 代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， ， ； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得， 由探究1知， ， 解得， 答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． 12．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4） 【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：， ∴联立得：， 解得：，， ∴反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． 故答案为：4；2． （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， 将点代入，得：， 解得；    （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；    把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据． 13．（2024·宁夏银川·一模）如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强P与受力面积S的数据关系如下表所示(压强的计算公式是：)： 桌面所受压强 250 400 500 800 受力面积 0.8 0.5 a 0.25 (1)求出压强关于受力面积的函数表达式及a的值； (2)如图②，将另一长、宽、高分别为，，，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为，问：这种摆放方式是否安全？若安全，请说明理由，若不安全，请通过计算说明如何摆放更安全．（长方体完全置于玻璃桌面上） 【答案】(1)；； (2)见解析． 【分析】本题考查反比例函数解应用题，涉及待定系数法确定函数关系式、反比例函数图像与性质等知识，读懂题意，找出反比例函数表达式是解决问题的关键． （1）根据题中数据，可知压强关于受力面积的满足反比例函数关系，待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）由（1）中关系式，求出接触面积，代值求解与玻璃桌面承受的最大压强为比较即可得到答案． 【详解】（1）解：， 压强关于受力面积的满足反比例函数关系， 设压强关于受力面积的函数表达式为，则， 压强关于受力面积的函数表达式为； 把代入，得， 解得； （2）这种摆放方式不安全． 理由：由已知， 此时， ∴这种摆放方式不安全． 当将长为60cm，宽为10cm这一面置于玻璃桌面时， 此时，则 ∴这种摆放方式不安全． 当将长为60cm，宽为40cm这一面置于玻璃桌面时， 此时，则 ∴这种摆放方式是安全的． 14．（2024·浙江金华·模拟预测）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图2，求所在图象的函数表达式． (2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据题意可得，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出所在直线解析式为，再根据反比例函数图像轴对称的性质，可得曲线关于直线轴对称，然后联立，即可求解． 【详解】（1）解：，，，为中点，， ， 设所在双曲线的表达式为， 将点坐标代入表达式中，得： 解得：， 抛物线表达式为； （2）解：根据题意得：点与点坐标分别为，， 设所在直线解析式为， 将、两点坐标代入得：， 解得，， 所在直线解析式为， 根据反比例函数图像轴对称的性质，曲线关于直线轴对称， 联立， 解得， ∴， 联立， 解得：， ∴， ． 【点睛】本题主要查了反比例函数的实际应用，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． 15．（2024·广东佛山·三模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻的阻值随着尾气中一氧化碳的含量变化的关系图象如图2所示，为定值电阻，电源电压恒定不变． (1)请根据图2，判断气敏电阻与尾气中一氧化碳的含量之间成　　　函数，并求出它的函数解析式； (2)该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数， (2)该小轿车尾气中一氧化碳的含量没有达到标准 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质是关键． （1）根据图像上点的坐标可判断函数类型，从而得到解析式； （2）将代入函数解析式求得，比较即可得出结论即可； 【详解】（1）解：由图2可知，图象上的点有， ∴，即， ∴与之间成反比例函数，解析式为：． 故答案为：反比例函数，． （2）将代入函数解析式得：，解得， ∴该小轿车尾气中一氧化碳的含量是， ∵， ∴该小较车尾气中一氧，化碳的含量没有达到标准． 16．（2024·北京·三模）小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 【答案】(1)17，18；见解析 (2)①；②或 【分析】题目属于新定义问题，考查反比例函数的图象与性质，读懂题目是解题的关键． （1）根据计费标准完成表格即可；根据表格画出图象即可； （2）①根据把和分别代入计算的值，并作比较； ②根据幸运里程数的概念及反比例函数求解即可． 【详解】（1）根据计费模型，可得行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元．且计费以元为单位得出 ；； 故答案为：17，18； 补全表如图： 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 17 18 （2）①当时，， 当时，， 当时，， 则 ； ②当时，，w随x的增大而减小， ∴幸运里程数的取值范围，且w最小接近于； 当时，，w随x的增大而减小， 当时，里程数x为幸运里程数， 解得， ∴； 综上：轴上表示出（不包括端点）之间的幸运里程数的取值范围或． 17．（2024·浙江嘉兴·三模）医学研究发现，睡眠中恒温动物的体重(单位：)与脉搏率(单位：次/)存在一定的关系．如表给出一些恒温动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了脉搏率f与体重m的散点图，图2画出了与 的散点图是一种运算，如 ，) 动物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊 体重(单位∶ ) 脉搏率(单位∶ 次/) 借助计算机进行模拟，发现原始数据脉搏率与体重的立方根近似成反比例函数，数据处理后与近似成一次函数． (1)根据原始数据可建立模型：，则当增大时，如何变化？ (2)根据处理后数据可建立模型：，利用豚鼠和兔的体重、脉搏率求出的值．(参考数据： ，；) 【答案】(1)当增大时，变小 (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用； （1）根据反比例函数的性质，即可求解； （2）取表1中豚鼠和兔的体重、脉搏率数据代入所选函数模型，求得和的值，即可求得相应的函数解析式． 【详解】（1）解：，则当增大时，变小 （2）解：由题意得：． ∵，；， ∴． 解得： 题型04 生活中的建模四 二次函数 18．（2024·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)求6米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】(1)图见解析， (2)的长为4米，的长为2米 (3)矩形周长的最大值为米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可； （2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可； （3）由矩形周长，即可求解． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， ∵所在直线是的垂直平分线，且， ∴． ∴点B的坐标为， ∵， ∴点P的坐标为， ∵点P是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：． ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点D，E在抛物线 上， ∴设点E的坐标为， ∵，交y轴于点F， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， 根据题息，得， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． ∴， 答：的长为4米，的长为2米． （3）解：如图矩形灯带为， ，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴， ∴，， 设直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴直线解析式为， 同理可得，直线的表达式， 设点、、、， 则矩形周长， 故矩形周长的最大值为米． 19．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． (1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______； (2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)①此人腾空后的最大高度是米，解析式为；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内，理由见解析 (3)这条钢架的长度为米 【分析】（1）根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，设水滑道所在抛物线的解析式为，将代入，计算求出a的值即可； （2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，由抛物线的顶点为，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，令，求出的值，即点的坐标，即可得出结论； （3）根据题意可得点的纵坐标为4，令中，求出符合实际的x值，得到点M的坐标，求出所在直线的解析式为，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，根据这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为，由该钢架与水滑道有唯一公共点，联立，根据方程组有唯一解，求出，即该钢架所在直线的解析式为，点H与点O重合，根据，，，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点， 设水滑道所在抛物线的解析式为， 将代入，得：，即， ， 水滑道所在抛物线的解析式为； （2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称， 则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为， 人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称， ， 人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即， ∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：； 由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：， 令，则，即 或（舍去，不符合题意）， 点， ， ， ， 此人腾空飞出后的落点D在安全范围内； （3）解：根据题意可得点的纵坐标为4， 令，即， （舍去，不符合题意）或， ， 设所在直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 所在直线的解析式为， 如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H， 这条钢架与平行， 设该钢架所在直线的解析式为， 联立，即， 整理得：， 该钢架与水滑道有唯一公共点， ， 即该钢架所在直线的解析式为， 点H与点O重合， ，，， ， 这条钢架的长度为米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想． 20．（2024·山西·二模）学科实践 驱动任务：“过水门”是国际民航中高级别的礼仪，因两辆（或以上）的消防车在飞机两侧喷射水柱出现一个“水门”状的效果而得名.学校计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式，数学研习小组协助彩旗队进行队列设计. 研究步骤：（1）如图，研习小组测得表演场地宽度米，在A，B处各安装一个接通水源的喷泉喷头，将出水口高度都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线形水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形水门，且点C到地面的距离为5米； （2）研习小组了解到彩旗队的队列设置要求，每两列之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持3.6米 问题解决；请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)以线段所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出“过水门”仪式中抛物线的函数表达式； (2)为保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列同学所持彩旗顶端与水柱间的铅直距离为0.4米，若彩旗队要排成6列纵队，请你通过计算，确定彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距. 【答案】(1)建立如图所示的平面直角坐标系， (2)彩旗队每相邻两列的间距为 1.6 米 【分析】此题重点考查二次函数的图象与性质、二次函数的应用等知识，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意取中点为O，建立直角坐标系，设函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）如图，分别过最外侧队员彩旗顶端作x轴的垂线，垂足为点，分别交抛物线于点，分别求出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，建立如图所示的平面直角坐标系， 设所求抛物线的函数表达式为， 由题可知，， 点N的坐标为，点C的坐标为，， 将代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，分别过最外侧队员彩旗顶端作x轴的垂线，垂足为点，分别交抛物线于点， 由题意可知，（米）， 点的纵坐标均为4， 当时，， 解得， 点的坐标分别为和， 最外侧两列彩旗队之间的距离为（米）， （米）， 答：彩旗队每相邻两列的间距为1.6米． 21．（2024·山东青岛·模拟预测）我国高压输电技术领先全球，已建成覆盖全国的高压、超高压输电网络．输电电缆空中架设时，在两铁塔之间下垂部分可以近似地看成抛物线形状．如图所示，是在水平地面架设电缆示意图，相邻两铁塔之间的距离为，每个塔高均为，为保证安全，要求电缆最低点距地面的最小垂直高度为米． (1)请建立适当的坐标系，并求出电缆抛物线的解析式． (2)如图所示，斜坡坡比为，两铁塔高度仍为，水平距离仍为，电缆抛物线形状与水平架设相同，建立如图所示坐标系． ①求此时抛物线的解析式． ②电缆与斜坡最小垂直距离是否满足安全要求． ③为节约成本，在保证安全高度的情况下，是否可降低两铁塔的高度，降低多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1) (2)①；②能满足安全要求，③； 【分析】本题考查二次函数与实际问题结合问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； （1）建立合适的坐标系，代入坐标即可求解； （2）①根据题意设，，代入即可求解； ②根据函数解析式可得，当函数最小值为：，斜坡坡比为，则斜坡最小垂直距离为：，由此可以求得电缆与斜坡最小垂直距离是否满足安全要求； ③根据题意可设函数解析式为：，结合电缆与斜坡最小垂直距离为，解即可求出降低两铁塔的高度； 【详解】（1）根据题意建立坐标系如下： ，，， 设二次函数表达式为：， 将点，坐标代入， 可得：，，， 故此时抛物线的解析式为： （2）①解：根据题意设， 电缆抛物线形状与水平架设相同，， 设二次函数解析式为：， 将，点坐标代入函数解析式可得：， 故函数解析式为： ②根据函数解析式可得，当函数最小值为： ， 斜坡坡比为，则斜坡最小垂直距离为：， 电缆与斜坡最小垂直距离为： 保证安全，要求电缆最低点距地面的最小垂直高度高于米，满足安全需要， ③根据题意可设函数解析式为： 当函数最小值为， 则电缆与斜坡最小垂直距离为， 解得：， 为节约成本，在保证安全高度的情况下，可降低两铁塔的高度，降低米 题型05 生活中的建模五 几何操作 22．（2024·四川巴中·中考真题）综合与实践 (1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______． (2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为______． ②证明：四边形为平行四边形． (3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)①1；②见详解 (3)见详解 【分析】（1）由“角角边”即可证明； （2）①由操作知，将四边形绕点E旋转得到四边形，故，因此；②由两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明； （3）取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， 由题意得为中点，‘ ∴’， ∵， ∴ 故答案为：； （2）解：①如图，由操作知，点E为中点，将四边形绕点E旋转得到四边形， ∴， ∴， 故答案为：1； ②如图， 由题意得，是的中点，操作为将四边形绕点E旋转得到四边形，将四边形绕点H旋转得到四边形，将四边形放在左上方空出， 则，， ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴三点共线，同理三点共线， 由操作得，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：如图，     如图，取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形． 由题意得，，， ∴， ∴， 由操作得，， ∵， ∴， ∴三点共线， 同理三点共线， ∵， ∴四边形为矩形， 如图，连接， ∵为中点， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由操作得，，而， ∴， 同理，， ∵，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形能放置左上方空出， ∴按照以上操作可以拼成一个矩形． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，三角形的中位线，正确理解题意是解题的关键． 23．（2024·山东济宁·中考真题）综合与实践 某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形中，且足够长）进行探究活动． 【动手操作】 如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，连接，把纸片展平． 第二步，把四边形折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为，再把纸片展平． 第三步，连接． 【探究发现】 根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论． 甲同学的结论：四边形是正方形． 乙同学的结论：． （1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由． 【继续探究】 在上面操作的基础上，丙同学继续操作． 如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在上的点M处，折痕为，连接，把纸片展平． 第五步，连接交于点N． 根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：． （2）请证明这个结论． 【答案】（1）甲、乙同学的结论正确，证明见解析，（2）证明见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质，解题的关键是正确作出辅助线并熟练掌握相关的性质定理， （1）先证明四边形为矩形，再根据即可证明四边形为正方形，设，由折叠性质可知：，，再根据等腰直角三角形的性质分别求出，，即可得出，进而可得出结论； （2）作交于点R，利用证明，得出，再证明四边形为菱形，得出，进而证明，再根据证明，得出，进而证明，即可得出结论 【详解】解：（1）甲、乙同学的结论都正确，理由如下： 四边形是矩形， 由第一步操作根据折叠性质可知： 四边形为矩形， 又 四边形为正方形， 故甲同学的结论正确； 作于点M， 四边形为正方形， 设， 由第二步操作根据折叠性质可知：， 在中， 在中，, 故乙同学的结论正确； （2）作交于点R，如图所示： 为折痕,      四边形为矩形， 在和中， 又 由折叠性质可知： 四边形为菱形， 即 在和中， 24．（2023·江苏·中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形． （1）概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________． （2）操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 试说明：矩形是1阶奇妙矩形．   　　  　　  　　   （3）方法迁移： 用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注． （4）探究发现： 小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）将代入，即可求解． （2）设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得，设，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （3）仿照（2）的方法得出2阶奇妙矩形． （4）根据（2）的方法，分别求得四边形的周长与矩形的周长，即可求解． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为：． （2）如图（2），连接，    设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得 设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴矩形是1阶奇妙矩形． （3）用正方形纸片进行如下操作（如图）： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，再对折，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 矩形是2阶奇妙矩形，    理由如下，连接，设正方形的边长为，根据折叠可得，则，    设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ 当时， ∴矩形是2阶奇妙矩形． （4）如图（4），连接诶，设正方形的边长为1，设，则，    设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 整理得， ∴四边形的边长为 矩形的周长为， ∴四边形的周长与矩形的周长比值总是定值 【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 25．（2023·青海·中考真题）综合与实践 车轮设计成圆形的数学道理 小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动： 将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.      (1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图2中计算C到的距离. (2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图4中计算C到的距离（结果保留根号）. (3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角______.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），在图6中计算C到的距离______（结果保留根号）. (4)归纳推理：比较，，大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）. (5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形. 【答案】(1)1 (2) (3) (4)，越小 (5)0 【分析】（1）是等边三角形，进而求得，进一步得出结果； （2）是等腰直角三角形，进而求得，进一步得出结果； （3）是等边三角形，进而求得，进一步得出结果； （4）比较大小得出结果； （5）圆的半径相等，从而得出结果． 【详解】（1）解：图1， ，， ， ， 是等边三角形， ， ∵C为的中点，为半径， ∴， ； （2）解：如图2，   ，，， ， ， ； （3）解：如图3，   ，， 是等边三角形， ， 在中， ， ， 故答案为：，； （4）解：， ，则其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离越小； 故答案为：；越小． （5）解：圆的半径相等， ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的定义，解直角三角形等知识，解决问题的关键是弄清数量间的关系． 【命题预测】 26．（2025·河北沧州·模拟预测）时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的人口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为，一楼到地下停车场地面的垂直高度，一楼到地平线的距离． (1)为保证斜坡的倾斜角为，应在地面上距点多远的处开始斜坡的施工？ (2)如果给该购物广场送货的货车高度为，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1)应在地面上距点约远的处开始斜坡的施工 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用．灵活应用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）根据坡度的概念，由，即可解答； （2）过点作于点，由，求出，再与货车高度比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，，， ． 在中，， ． 答：应在地面上距点约远的处开始斜坡的施工； （2）能，理由如下： 如图，过点作于点， 则， 在中，， ， ， ∴能保证货车顺利进入地下停车场． 27．（2025·湖南娄底·模拟预测）车田江特大桥（如实物图所示）位于娄底市新化县车田江风景区，桥体外侧呈“拱架”的构造，地方文化特色十分浓郁，与车田江自然美景融合，更是相得益彰．容融为了知道大桥的长度和桥墩的高度，进行了如下测量． 测量过程1：容融用一无人机在大桥上方点E处分别测得大桥两端A、B的俯角为和，已知点E到大桥的距离为170米， 测量过程2：若大桥的形状是轴对称图形，容融在桥墩底部C处测得拱架最高点D处的仰角为，在桥墩上方A处测得拱架最高点D处的仰角为．（结果精确到0.1米，，，） (1)求大桥的长度； (2)求大桥桥墩的高度． 【答案】(1)大桥的长度约为米； (2)大桥桥墩的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）作于点，在和中，利用正切函数的定义分别求得和的长，据此求解即可； （2）作于点，交于点，在和中，利用正切函数的定义分别求得和的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：作于点，如图， 由题意得米，，， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴米； 答：大桥的长度约为米； （2）解：作于点，交于点，如图， 由题意得，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴米； 答：大桥桥墩的高度约为米． 28．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）【综合实践】 如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即） … b … … 8 a 2 … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则： ①y关于x的函数关系式是 ． ②完成表格： ； ． ③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，若点A的坐标为，点B的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得，请求出点C的坐标． 【答案】(1) (2)①；②4；；③见解析 (3)点C的坐标为或 【分析】（1）根据公式进行计算即可； （2）①根据公式即可得到；②根据①求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图像即可； （3）设，连接，，，根据三角形的面积求出a的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴重物B所受拉力为， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴，即， 故答案为：； ②由①得，， 填表如下： … … … 8 4 2 … 故答案为：4，； ③函数图象如下所示： ； （3）解：点A的坐标为，B的坐标为，C为反比例函数上一点， 设，连接，，， ∴ ， ∵， ∴， 整理得：， 解得，， 经检验，或是原方程的根， ∴时；时，， ∴点C的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，反比例函数的性质和图像，正确理解题意是解题的关键． 29．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习） 设计货船通过双曲线桥的方案 素材 一座曲线桥如图所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图是其示意图，且该桥关于对称．          素材 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米）与货船增加的载重量（吨）满足函数表达式． 问题解决 任务 确定桥洞的形状 建立平面直角坐标系如图所示，显然，落在第一象限的角平分线上． 甲说：点可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点落在时，点A的坐标为_______________，此时过点的双曲线的函数表达式为_____________，而点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意． 任务 拟定方案 此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？ （提示：先求出桥洞所在双曲线的函数表达式） 【答案】任务：，，乙正确；任务：此时货船不能通过该桥洞，要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞． 【分析】任务：设曲线的解析式为，把点代入，可得曲线的解析式为  ，再由反比例函数图象的对称性可得，点是的中点，，过点、分别作轴、轴的平行线交于，过点作于， 可得，是等腰直角三角形，，进而可得，，点在双曲线上，与点在双曲线上矛盾； 任务：设其中则，可得，由 ，，可得，，可得，再根据矩形的性质可得，即可判断此时货船不能通过，运用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得直线与双曲线的交点 ，即可求得答案； 本题是反比例函数应用题，考查了待定系数法，一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的性质等，解题的关键是根据坐标系列出相应的函数解析式． 【详解】任务：设曲线的解析式为 ，把点代入，得 ：， 解得：， ∴曲线的解析式为， ∵落在第一象限的角平分线上， ∴、关于对称，即、关于第一象限角平分线对称， ∴点是的中点，， 过点、分别作轴、轴的平行线交于，过点作于，如图， 则，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴点在双曲线上， ∴点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意， 故答案为：，，乙正确； 任务：设，，其中 ，则，如图， ∵点在直线上， ∴，即 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴ ，， ∵， ∴此时货船不能通过该桥洞， 设直线的解析式为，与双曲线的交点为，把代入得，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：(舍去)， ， ∴ ∴，即， ∵， ∴ 故要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞， 答：此时货船不能通过该桥洞，要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞． 30．（2025·广东清远·模拟预测）综合与实践 【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． 【实验观察】（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间x（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； 【探索发现】（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式； 【结论应用】（3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？ 【答案】（1）见解析 ；（2）；（3）圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题： （1）将各点在坐标系中直接描出，再用光滑的线连接即可； （2）利用待定系数法解答，即可求解； （3）令，求出x的值，即可求解． 【详解】解：（1）画出函数图象，如下：    （2）由图可知该图象是一次函数，设该函数的表达式为． 点、在该图象上 ，解得， 与之间的函数表达式为． （3）当时，即， 解得：， 则 ∴圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午． 31．（2025·江西·模拟预测）某教育测量专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函数关系时，用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律． 上课时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 32 40 指标数 28.8 33.6 38.4 43.2 48 48 48 48 48 48 40 30 (1)由表格和图象可知，当时，是的 函数；当时，是的 函数；（填“一次”“二次”或“反比例”） (2)求的值并补全图象； (3)科学研究表明，当注意力指标数不低于30时，学生学习解综合题的效果会更好．为了了解一线教育的真实情况，该教育测量专家到一线听了某老师上的一节解题课，听完后，该专家对这堂课进行了点评：“这堂课刚开始进行了3分钟预热，然后开始剖析数学综合题，上到31分钟时，结束对数学综合题的探究，这段时间，学生注意力较集中，学生学习解综合题的效果很显著．”请你根据图表中给出的信息，结合测量学，解释该教育专家点评的合理性． 【答案】(1)一次，反比例 (2) (3)见详解 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的运用，理解表格信息，函数图象信息，掌握一次函数，反比例函数的计算是解题的关键． （1）根据表格，函数图象分析即可； （2）运用待定系数法求解即可； （3）根据函数解析式，分别求出时的时间，进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息可得，当时，是的一次函数，当时，是的反比例函数， 故答案为：一次，反比例； （2）解：当时，是的一次函数，设解析式为，当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∴当时，； 当时，是的反比例函数，当时，， ∴设反比例函数解析式为， ∴， 解得，， ∴反例函数解析式为， 当时，； 综上所述，， 补全图形如下， ； （3）解：当时，一次函数解析式为， 当时，， 解得，， ∵这堂课刚开始进行了3分钟预热， ∴符合学生听课注意力指标数与上课时间的函数关系，合理； 当时，反例含解析式为， 当时，， 解得，， ∵上到31分钟时，结束对数学综合题的探究， ∴这段时间，学生注意力较集中，学生学习解综合题的效果很显著； 综上所述，该教育专家点评的合理． 32．（2025·广东·模拟预测）【项目式学习】 项目主题：人工智能视觉识别 项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图，一般使用边与轴平行的矩形框． 概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴，轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小设矩形的竖直边与水平边的比为，我们称常数为图形的纵横比举例：如图，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比． 任务一： 如图，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比 ______． 如图，铅笔经过计算机识别后的图形为线段，表达式为，其目标矩形的纵横比 ______． 任务二：如图和图，排桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于轴对称，最高点与水面的距离为米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式不必写出自变量的取值范围． 任务三：如图和图，高速公路经过计算机识别后的图形为双曲线，表达式为，其中点，其目标矩形的纵横比，直接写出的值为______． 【答案】任务一：①，②；任务二：；任务三： 【分析】本题主要考查反比例函数的综合应用，待定系数法，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键． 任务一：①根据新定义得到； ②根据目标矩形的纵横比的定义，得到线段的目标矩形纵横比； 任务二：由题意得到，再用待定系数法求出解析式即可； 任务三：求出，根据题意得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：任务一：足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的长和宽都为圆的直径， 目标矩形的纵横比； 故答案为：； 根据目标矩形的纵横比的定义，线段的目标矩形纵横比； 故答案为：； 任务二：如图： 最高点与水面的距离为米， ， 抛物线目标矩形的纵横比， ， ， 抛物线关于轴对称， ，， 设抛物线的表达式为， 把代入得：， 解得， ； 任务三：如图： 根据题意，， 目标矩形的纵横比， ， 解得舍去或， 经检验，是原方程的解； 的值为； 故答案为：． 33．（2025·湖南长沙·一模）北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离/m 6 7 7.5 竖直高度/m 10 10 6.25 根据上述数据，求出与的函数关系式； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，设她平时训练时入水点与原点的水平距离为m，比赛当天入水点与原点的水平距离为m，请比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据待定系数法求出函数关系式即可； （2）根据题意分别求出与的值，进行比较即可． 【详解】（1）解：由表格数据可知，抛物线顶点为， 抛物线过点， 抛物线的对称轴是直线， 抛物线为． 抛物线过点，代入解得， 抛物线为； （2）解：由题意，平时跳水训练的抛物线为， 令，解得（不合题意，舍去）或， ． 又比赛当天跳水的抛物线为， 令，解得（不合题的意的值已舍去）， 即． 34．（2025·江苏苏州·模拟预测）在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． (1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率__________． (2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置……以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． (3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率． 已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)．取得最小值 【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解； （2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解； （3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积． 正方形草坪的面积． 故喷洒覆盖率． （2）解：对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为． 因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为． 这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用． （3）如图所示，连接， 要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积． ∴都经过正方形的中心点， 在中，，， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值，此时 解得：． 【点睛】本题考查了正方形与圆，二次函数的应用，解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案． 35．（2025·河南开封·一模）新考法 知识探索＋迁移＋拓展 【操作判断】 ①在学习特殊平行四边形的性质时，赵老师让学生制作两个大小相同的正方形纸片和，其中正方形的对角线相交于点O，赵老师让学生固定正方形纸片， 将 正 方 形 纸 片的顶点D'与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，如图（1），学生们惊奇 地发现两个正方形重叠部分的面积 ．（填“变了”或“不变”） ② 赵老师又让学生制作了两个大小一样的菱形纸片和，其中菱形 的 对 角 线相交于点O，． 赵老师让学生固定菱形纸片， 将菱形纸片的顶 点 与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，交边于点E，交边 于 点 F，  如 图（2），学生们惊奇地发现两个菱形重叠部分（四边形） 的面积 ．（填“变了”或 “不变”） 【探索发现】 根据（1）中的发现，学生们认为图（1）和图（2）存在共同的特征：①射线是的 ； ② ． 【迁移探究】 如图（3），平分，点 P 在上，点E，D 分别是，上的动点，且，当点D，E 分别在， 上运动时，试判断四边形的面积是否发生变化，并利用图 （3）说明理由． 【拓展应用】 如图（4），平行四边形中 ，，，，点E为边上一点，且平分， 连接．将绕 点E 旋转，当点C 的对应点F 落在上时，点F 恰好为的三等分点，请直接写出m 的值． 【答案】[操作判断] ①不变；②不变； [探索发现] ①平分线；②； [迁移探究]不变，理由见详解； [拓展应用]的值为7或8 【分析】[操作判断] ①作于，作于，设与交于点，与交于点，根据正方形的性质证明，即可得结论；②取的中点，连接，得是等边三角形，证明， ，得，，进而可得不变这一结论； [探索发现] ①由正方形、菱形的性质即可得线是的平分线；②由正方形、菱形的性质即可得； [迁移探究] 过点作，，垂足分别为，，证明，进而可证明，利用面积和差可得结论； [拓展应用]根据上面所得结论，过点作，垂足为，过点作，垂足为，可得，证明，  ，求得，进而可得， 分以下两种情况讨论：当点是靠近点的三等分点时，当点是靠近点的三等分点时，结合图形求解即可． 【详解】解：[操作判断] ①不变；理由如下： 作于，作于，设与交于点，与交于点， 由题意可得，正方形中，平分， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：不变； ②不变； ， 又菱形中，，， 是等边三角形， ， 如图，取的中点，连接， 是的中位线， ， ， ， 则是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：不变； [探索发现] ①四边形是正方形， 平分； 四边形是菱形， 平分； 故答案为：平分线； ②在图（1）中，， ， 在图（2）中，， ， 故答案为：； [迁移探究] 不变，理由如下： 如图，过点作，，垂足分别为，， 则， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ，， ， ， 为定值， 故四边形的面积不发生变化； [拓展应用] 解：的值为7或8； 平分， ， ， ， ， ，， ； ， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， 可得， 同上可证明，  ， ， ， ， ， 分以下两种情况讨论： 如图，当点是靠近点的三等分点时，，，则； 当点是靠近点的三等分点时，，，则，      综上所述，的值为7或8． 【点睛】本题是三角形、四边形综合题，主要考查了旋转的性质、正方形的性质和判定、菱形的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等，熟知相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 36．（2025·广西·模拟预测）【问题提出】如图①，已知海岛到海岸公路的距离为，为公路上的酒店，从海岛到酒店，先乘船到登陆点，船速为，再乘汽车，车速为船速的倍，点选在何处时，所用时间最短？ 【特例分析】若，则时间，当为定值时，问题转化为：在上确定一点，使得的值最小．如图②，过点做射线，使得． （1）过点作，垂足为，试说明：； （2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点，并说明理由． 【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）． 【模型运用】（4）如图③，海面上一标志到海岸的距离，，救生员在点处发现标志处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是，在海中游泳的速度都是，求救生员从点出发到达处的最短时间． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）． 【分析】此题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数应用，根据题意得出的值是解题关键． （1）利用在中，，进而求出即可； （2）首先过点作交于点，则点即为所用时间最短的登陆点，由第（1）问可知，，最短，即为最短； （3）首先过点做射线，使得，进而求出点位置； （4）由救生员在岸上跑的速度都是，在海中游泳的速度都是，得出，可得，设，则，由，得，再解方程，进而得出时间． 【详解】解：（1）如图①， ， ， 在中，， ． （2）如图①过点作交于点，则点即为所用时间最短的登陆点． 理由如下：由第（1）问可知，． 最短，即为最短． 由直线外一点与这条直线上点的所有连线段中，垂线段最短． 可知此时点即为所求． （3）如图②， 过点做射线，使得， 过点作，垂足为，交于点，则即为所用时间最短的登陆点． （4）救生员在岸上跑的速度都是，在海中游泳的速度都是， 此时， ， ， ， 在中，设，则， 由，得， 解得， ，，． 时间为． 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $